Wichtige Formelzeichen, Größen und Einheiten Nach DIN 1304

Wichtige Formelzeichen, Größen und Einheiten Nach DIN 1304

Formel- zeichen*

GrößeEinheit,Einheiten-name

Einheiten-zeichen

1. Länge und ihre Potenzen

𝑙Δ𝑙

bh

d, 𝛿r, R

d, Ds

Länge, AbstandLängenänderung, LängendifferenzBreiteHöhe, TiefeDicke, SchichtdickeRadius, Halbmesser, AbstandDurchmesserWeglänge, Kurvenlänge

Meter m

A, S

S, q

Flächeninhalt, Fläche, OberflächeQuerschnittsfläche, Querschnitt

Quadrat-meter

m2

VΔV

𝛾

Volumen, RauminhaltVolumenänderung, VolumendifferenzVolumenausdehnungs-koeffizient

Kubik- meter

m3

𝛼, 𝛽, 𝛾 ebener Winkel Grad ° (Grad)

𝜑 Drehwinkel Radiantrad = m ___

m

= 1

Ω, 𝜔 Raumwinkel Steradiant sr

2. Raum und Zeit

tΔt

T

𝜏, T

Zeit, DauerZeitdifferenz, ZeitänderungPeriodendauer, SchwingungsdauerZeitkonstante

Sekunde s

f, 𝜈fc

fr

FrequenzGrenzfrequenzResonanzfrequenz

Hertz Hz = 1/s

𝜔 Kreisfrequenz, Pulsatanz – rad/s = 1/s

n Drehzahl, Umdrehungsfrequenz – 1/s

𝜔, Ω Winkelgeschwindigkeit, Drehgeschwindigkeit

Radiant je Sekunde

rad/s

𝜆 Wellenlänge Meter m

v, u, wc

GeschwindigkeitAusbreitungsgeschwin-digkeit einer Welle

Meter je Sekunde

m/s

a

g

Beschleunigung, Verzögerungörtliche Fallbeschleunigung

Meter je Sekunde hoch zwei

m/s2

* Sind für eine Größe mehrere Zeichen angeführt, so ist das an erster Stelle stehende (meist internationale) Zeichen zu bevorzugen.

** 𝜉 griech. Kleinbuchstabe zeta

Formel- zeichen*

GrößeEinheit,Einheiten-name

Einheiten-zeichen

3. Mechanik

m Masse, Gewicht als Wägeergebnis

Kilo-gramm

kg

𝜚, 𝜚m

Dichte, Massendichte, volumenbezogene Masse

Kilogramm je Kubik-meter

kg/m3

FFG, G

KraftGewichtskraft

Newton N

M Kraftmoment, Drehmoment

Newton-meter

Nm

p Druck Pascal Pa

𝜀 Dehnung, relative Längenänderung

– 1

𝜇 Reibungszahl – 1

W Arbeit, Energie Joule J

P Leistung Watt W

𝜂

𝜉

i

Wirkungsgrad (Leistungsverhältnis)Arbeitsgrad** Nutzungsgrad (Arbeitsverhältnis, Energieverhältnis)Übersetzungsverhältnis

– 1

4. Wärme und Wärmeübertragung

T, 𝛩

ΔT, Δt, Δ𝜗

thermodynamische TemperaturTemperaturdifferenz

Kelvin K

t, 𝜗 Celsius-TemperaturGrad Celsius

°C

𝛼𝑙

𝛼v, 𝛾

Längenausdehnungs-koeffizientVolumenausdehnungs-koeffizient

je Kelvin 1/K

Q Wärme, Wärmemenge Joule J

Rththermischer Widerstand, Wärmewiderstand

Kelvin je Watt

K/W

Cth WärmekapazitätJoule je Kelvin

J/K

c spezifische Wärmekapazität

Joule je kg und Kelvin

J/(kg ∙ K)

Fortsetzung siehe hintere Umschlag-Innenseite

01

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

1819

2021

2223

EUROPA-FACHBUCHREIHE für Elektrotechnik

Formeln Elektrotechnik PLUS +

Bearbeitet von Ingenieuren und Lehrernan beruflichen Schulen (siehe Rückseite)

Lektorat: Klaus Tkotz

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL • Nourney, Vollmer GmbH & Co. KGDüsselberger Straße 23 • 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 30289

Autoren: Isele, Dieter Lauterach

Klee, Werner Mehlingen

Tkotz, Klaus Kronach

Winter, Ulrich Kaiserslautern

Leitung des Arbeitskreises und Lektorat: Klaus Tkotz

Bildbearbeitung: Grafische Produktionen Jürgen Neumann, 97222 Rimpar

Betreuung der Bildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern

Bildentwürfe: Die Autoren

1. Auflage 2021, korrigierter Nachdruck 2021

Druck 5 4 3 2

Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Korrektur von Druckfehlern identisch sind.

ISBN 978-3-7585-3028-9

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.

© 2021 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten www.europa-lehrmittel.de

Umschlag: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald

Umschlagfotos: Erwin Wodicka - [email protected]; ©AA+W - stock.adobe.com; Casio Europe GmbH

Satz: Grafische Produktionen Jürgen Neumann, 97222 Rimpar

Druck: mediaprint solutions GmbH, 33100 Paderborn

Wegweiser Formeln für Elektrotechniker

Inhaltsverzzeichnis Kurzform

1 Mathematische Grundlagen 6

2 Längen- und Flächenberechnungen 10

3 Körper-, Volumen- und Masseberechnungen 14

4 Mechanik 16

5 Wärmelehre 18

6 Elektrotechnische Grundlagen 20

7 Elektrisches Feld, Kondensator 30

8 Magnetisches Feld 32

9 Wechselstrom und Drehstrom 36

10 Elektrische Maschinen 53

11 Elektrische Anlagen 65

12 Digitaltechnik 90

13 Elektronik 93

14 Regelungstechnik 111

15 Messtechnik 114

16 Info und Tabellenteil 116

Nützliches

Mathematische Zeichen (Tabelle 4) 116

Griechisches Alphabet (Tabelle 6) 116

E-Reihen von Widerständen und Kondensatoren (Tabelle 21) 121

Drehstrommotoren (Betriebsdaten) 123

Wichtige Formelzeichen Innenumschlagseiten

Arbeiten mit Formeln hintere Innenumschlagseite

1 Mathematische Grundlagen

9 Wechselstrom und Drehstrom

5 Wärmelehre

13 Elektronik

3 Körper-, Volumen- und Masseberechnungen

11 Elektrische Anlagen

7 Elektrisches Feld, Kondensator

15 Messtechnik

2 Längen- und Flächen-berechnungen

10 Elektrische Maschinen

6 Elektrotechnische Grundlagen

14 Regelungstechnik

4 Mechanik

12 Digitaltechnik

8 Magnetisches Feld

16 Info und Tabellenteil

4 Inhaltsverzeichnis

Inha

ltsve

rzei

chni

s

1 Mathematische Grundlagen 6

1.1 Summieren, MuItiplizieren 6

1.2 Rechnen mit Brüchen 6

1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 7

1.4 Winkel, Winkeleinheiten 7

1.5 Rechnen am Dreieck 8

1.6 Zahlensysteme, BCD-Code, Rechenregeln 9

2 Längen- und Flächenberechnungen 10

2.1 Drahtlängen von Rundspulen und von Rechteckspulen 10

2.2 Flächen 10

3 Körper-, Volumen- und Masseberechnungen 14

3.1 Volumen und Oberflächen 14

3.2 Masse und Gewichtskraft 15

4 Mechanik 16

4.1 Kräfte 16

4.2 Wirkungsgrad, Arbeitsgrad 17

5 Wärmelehre 18

5.1 Temperatur 18

5.2 Wärmedehnung 18

5.3 Wärmemenge 19

5.4 Wärme-Kreisprozess 19

6 Elektrotechnische Grundlagen 20

6.1 Grundgesetze 20

6.2 Anpassung 21

6.3 Schaltungen von Widerständen 22

6.4 Spannungsteiler 23

6.5 Widerstandsbestimmung 24

6.6 Unabgeglichene Brückenschaltung 25

6.7 Dreieck-Stern-Umwandlung 25

6.8 EIektrische Arbeit und elektrische Leistung 26

6.9 Kosten der elektrischen Arbeit (Arbeitspreis) 26

6.10 Elektrowärme 27

6.11 Elektrochemie 28

6.12 Schaltung von gleichartigen Spannungserzeugern 28

7 Elektrisches Feld, Kondensator 30

7.1 Elektrische Feldstärke 30

7.2 Kondensator 30

7.3 Zeitkonstante bei RC-Schaltung, Ladezeit und Entladezeit 31

8 Magnetisches Feld 32

8.1 Magnetische Größen 32

8.2 Haltekraft von Elektromagneten 33

8.3 Magnetische Feldkräfte 33

8.4 Induktion 34

9 Wechselstrom und Drehstrom 36

9.1 Grundgrößen des Wechselstroms 36

9.2 Wechselstromwiderstände 37

9.3 Resonanz (Parallel- und Reihenschwingkreis) 43

9.4 Leistung bei Wechselstrom 44

9.5 Kompensation der Blindleistung 45

9.6 Sinus- und nichtsinusförmige Spannungen 46

9.7 Hoch- und Tiefpässe 48

9.8 DreiphasenwechseIstrom (Drehstrom) 49

10 Elektrische Maschinen 53

10.1 Transformator 53

10.2 Antriebstechnik 5610.2.1 Bewegungen 5610.2.2 Mechanische Arbeit, mechanische Energie 5710.2.3 Riementrieb, Zahnradtrieb, Schneckentrieb 5910.2.4 Drehmoment und Hebel 5910.2.5 Mechanische Leistung 60

10.3 Umlaufende elektrische Maschinen 6110.3.1 Wechselstrommotoren 6110.3.2 Drehstrommotoren 6210.3.3 Schrittmotor 6210.3.4 Zahnläufer 6310.3.5 Gleichstrommaschinen 63

11 Elektrische Anlagen 65

11.1 Schutzmaßnahmen 6511.1.1 Fehlerstromkreis 6511.1.2 Schutzmaßnahmen im TN-System 6611.1.3 Schutzmaßnahmen im TT-System 6611.1.4 Schutzmaßnahmen im lT-System 6711.1.5 FehIerstrom-Schutzeinrichtung (RCD) 6711.1.6 Maximale Abschaltzeiten im TN-System und

im TT-System (nach DIN VDE 0100-410) 6811.1.7 Abschaltströme von Leitungsschutzschaltern

(LS-Schalter) 6811.1.8 Messen des Isolationswiderstandes 6811.1.9 Isolationswiderstandsmessung von

isolierenden Fußböden und Wänden 6811.1.10 Auslösekennlinien von Überstrom-

Schutzeinrichtungen 69

11.2 Leitungsberechnungen 7011.2.1 Unverzweigte Leitungen 7011.2.2 Verzweigte Leitungen 7311.2.3 Ringleitung 7611.2.4 Lichtwellenleitung (LWL) 7711.2.5 Bestimmung des Leiterquerschnittes A

(nach DIN VDE 0298-4) 7811.2.6 Bestimmung des Leiterquerschnittes A

bei Oberschwingungen (nach DIN VDE 0100-520, Bbl.3) 79

11.3 Fotovoltaik 81

11.4 Licht und Beleuchtung 8211.4.1 Lichttechnische Größen 8211.4.2 Berechnung von Beleuchtungsanlagen 83

11.5 Antennen 8411.5.1 Frequenzbereiche 8411.5.2 Wellenlänge, Empfangsspannung,

Wellenwiderstand 84

5Inhaltsverzeichnis

Inha

ltsve

rzei

chni

s

11.5.3 Verstärkungen, Dämpfungen, Pegel 8611.5.4 Mechanische Sicherheit von Antennenanlagen 89

12 Digitaltechnik 90

12.1 Grundfunktionen 90

12.2 Zusammengesetzte Funktionen 90

12.3 Spezielle zusammengesetzte Funktionen 91

12.4 Rechengesetze der Schaltalgebra 92

13 Elektronik 93

13.1 Halbleiterdioden 93

13.2 Bipolarer Transistor 94

13.3 Feldeffekttransistor 97

13.4 Transistor als Schalter 98

13.5 KippschaItungen 98

13.6 GIeichrichterschaItungen 101

13.7 Glättung und Siebung der gleichgerichteten Spannung 103

13.8 Spannungsstabilisierung 104

13.9 Kühlung von elektronischen HalbIeiterbaueIementen 106

13.10 LeistungseIektronik 107

13.11 Operationsverstärker 108

14 Regelungstechnik 111

14.1 Regelstrecken 111

14.2 Unstetiges Regeln (bei 100 % Leistungsüberschuss) 111

14.3 Stetiges Regeln 112

15 Messtechnik 114

15.1 Messfehler von Zeigermessgeräten 114

15.2 Messfehler von digitalen Messgeräten 114

15.3 Messwertbestimmung sinusförmiger Größen mit dem Oszilloskop 115

16 Info und Tabellenteil 116

Tabelle 1: Wichtige Formelzeichen, Größen und Einheiten 116

Tabelle 2: SI-Basisgrößen und SI-Basiseinheiten (Grundeinheiten) 116

Tabelle 3: Vielfache und Teile von Einheiten 116Tabelle 4: Mathematische Zeichen 116Tabelle 5: Wichtige physikalische Konstanten 116Tabelle 6: Griechisches Alphabet 116Tabelle 7: Werkstoffwerte von Metallen (und Kohle) 117Tabelle 8: Werkstoffwerte von Legierungen 117Tabelle 9: Elektrochemische Äquivalente und Wertigkeit 117Tabelle 10: Verlegearten von Kabeln und isolierten

Leitungen (nach DIN VDE 0298-4) 118Tabelle 11: Bemessungswert Ir der Strombelastbarkeit

von Kabeln und Leitungen für feste Verlegung in den Verlegearten A1, A2, B1, B2, C und D bei einer Umgebungstemperatur von 30 °C (nach DIN VDE 0298-4) 118

Tabelle 12: Zuordnung von Überstrom-Schutzeinrichtungen gG und LS-Schaltern Typ B, C und D mit einem Abschaltstrom Ia ≤ 1,45 · IN, zu den

Leiternennquerschnitten isolierter Leitungen bei Dauerbetrieb (umgerechnet auf eine Umgebungstemperatur von 25 °C) (nach DIN VDE 0298-4) 119

Tabelle 13: Umrechnungsfaktoren f 1 für abweichende Umgebungstemperaturen (nach DIN VDE 0298-4) 119

Tabelle 14: Umrechnungsfaktoren f 2 für Häufung von Kabeln oder Leitungen (nach DIN VDE 0298-4) 119

Tabelle 16: Typische Verbraucher- und Verzerrungsströme elektronischer Verbraucher (nach DIN VDE 0100-520) 120

Tabelle 17: Belastbarkeit von Kabeln und Leitungen für die Verlegeart A1, A2, B1, B2 und C mit Berücksichtigung der Oberschwingungen.(Betriebstemperatur: 70 °C, Umgebungstemperatur: 25 °C, Leitermaterial: Kupfer) (nach DIN VDE 0100-520) 120

Tabelle 18: Umrechnungsfaktor f 4 für Verbraucher, die Oberschwingungen erzeugen (nach DIN VDE 0100-520) 120

Tabelle 19: Leiternennquerschnitte in mm2 121

Tabelle 20: Bemessungsströme von Typ-B-Leitungsschutzschaltern (LS-Schaltern) in A 121

Tabelle 21: Übliche Fertigungswerte für Widerstände und Kondensatoren (E-Reihen) (nach DIN IEC 63) 121

Tabelle 22: Bemessungsleistung von Widerständen in W 121

Tabelle 23: Farbkennzeichnung von Widerständen 121

Tabelle 24: Wertkennzeichnung von Widerständen durch Buchstaben (Beispiele) (nach DIN EN 60062) 122

Tabelle 25: Schutzarten elektrischer Betriebsmittel (nach DIN VDE 0470) 122

Tabelle 26: Baugrößen, Bemessungswerte und Kurzschlussschutzsicherungen für Drehstrom-Asynchronmotoren mit Kurzschlussläufer bei Direktanlauf oder YΔ-Anlauf 123

Tabelle 27: Kernblechschnitte und Bemessungswerte für Kleintransformatoren 123

Tabelle 28: Wartungswerte Em der mittleren Beleuchtungsstärke

_ E v

(nach DIN EN 12464-1) 124

Tabelle 29: Reflexionsgrade 𝜚 von Farben und Werkstoffen 124

Tabelle 30: Leuchtenbetriebswirkungsgrade und Raumwirkungsgrade 124

Tabelle 31: Auszug aus dem Datenblatt der Z-Diode BZX 55/C3V9 … BZX 55/C18 125

Tabelle 32: Auszug aus dem Datenblatt der Leuchtdioden CQX35 und CQX37 125

Tabelle 33: Auszug aus dem Datenblatt der Silicium- Diode BYT 79/… 126

Tabelle 34: Auszug aus dem Datenblatt des NPN- Transistors BC 107, BC 171, BC 237/… 126

Sachwortverzeichnis 127

* siehe vordere und hintere Umschlag-Innenseite

i

6

1

2M

athe

mat

ik



1.1 Summieren, MuItiplizieren

1.2 Rechnen mit Brüchen

Kommutativgesetz Assoziativgesetz

a + b + c

= a + c + b

= b + c + a

a · b · c

= a · c · b

= b · c · a

a + b + c + d

= a + (b + c + d)

= (a + c) + (b + d)

a – b + c – d

= a – (b – c + d)

= (a + c) – (b + d)

a · b · c · d

= a · (b · c · d)

= (a · c) · (b · d)

Regeln für das Rechnen mit Vorzeichen

(+ a) + (+ b) = a + b (+ a) – (– b) = a + b (+ a) – (+ b) = a – b (+ a) + (– b) = a – b

(+ a) · (+ b) = + a · b = ab

(– a) · (– b) = + a · b = ab

(+ a) · (– b) = – a · b = – ab

(– a) · (+ b) = – a · b = – ab

Distributivgesetz

a · (c + d) = ac + ad a · (c – d) = ac – ad a – bc – bd + be = a – b · (c + d – e)

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

(a – b) · (c – d) = ac – ad – bc + bd

(a + b) · (c – d) = ac – ad + bc – bd

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Vorzeichenregeln

+ a ____ + b

= + a __ b

= a __ b

– a ____ – b

= + a __ b

= a __ b

– a ____ + b

= – a __ b

+ a ____ – b

= – a __ b

Rechenregeln

Kürzen mit k: Erweitern mit n: Summieren:

ak ___ bk

= a · k _____ b · k

= a __ b

a __ b

= a · n _____ b · n

= an ___ bn

a __ d

+ b __ d

= a + b _____ d

a __ d

– b __ d

= a – b _____ d

a __ c

+ b __ d

= ad + bc _______ cd

a __ c

– b __ d

= ad – bc _______ cd

Multiplizieren: Dividieren:

a __ b

· c = a · c ____ b

= ac ___ b

a __ b

· c __ d

= a · c _____ b · d

= ac ___ bd

a __ b

: c = a _____ b · c

= a ___ bc

a __ b

: c __ d

= a · d _____ b · c

= ad ___ bc

Wichtige Anwendungen:

ak + bk _______ ck

= k (a + b) ________ ck

= a + b _____ c

; a _____ b + c

+ d __ e

= ae + (b + c) · d ______________ (b + c) · e

; 1 __ a

= 1 __ b

+ 1 __ c

= b + c _____ b · c

⇒ a = b · c _____ b + c

7

1

2

Mat

hem

atik

1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

1.4 Winkel, Winkeleinheiten

Winkel 𝛼G im Gradmaß 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

Winkel 𝛼B im Bogenmaß 0 π __ 6 = 0,52 π __

4 = 0,79 π __

3 = 1,05 π __

2 = 1,57 π = 3,14 3 __

2 · π = 4,71 2 · π = 6,28

Potenzena Grundzahl (Basis)n Hochzahl (Exponent) an = cc Potenzwert

c = a · a · a · … · a ⇒ an

n Faktorenan = c

am · an = am + n am ___

an = am – n a0 = 1 1 ___ an = a –n

am · bm = (a · b)m am ___

bm = ( a __ b

) m

am ___

bm = am · b–m (am)n = am · n

Wurzelna Wurzeln Wurzelexponent √

__ c = a

c Radikand

c = a · a · a · … · a ⇒ n √ __

c = a

n Faktoren n √

__ c = c

1 __ n

n √ ____

c · d = n √ _

c · n √ __

d n √

__

c __ d

= n √

_ c ___

n √ __

d = ( c __

d )

1 __ n

n √ ___

cm = c m __ n a2 = c ⇒ a = ± √

_ c

Logarithmen

10 gleiche Teile

Logarithmische Teilung fürdie Werte 1, 2, 5 und 10

3 Teile 3 Teile4 Teile

1 2 5 10

n Logarithmus a Basisc Numerus

Eingabemodus: Taste log c = an ⇒ loga c = n

• Zehnerlogarithmus (dekadischer Logarithmus): log10c = lg c

• Natürlicher Logarithmus (e = 2,718...): logec = ln c

• Zweierlogarithmus (binärer Logarithmus): log2c = lb c

logac + logad = loga(c · d)

k · logac = loga(ck)

logac – logad = loga ( c __ d

)

1 __ n

· logac = loga ( n √ __

c )

– logad = loga ( 1 __ d

)

logbc = logac ______ logab

= logac · logba

ååB

G

1

r

b

𝛼B Winkel im Bogenmaß, Einheit Radiant (rad)

𝛼G Winkel im Gradmaß, Einheit Grad (°)

b Bogenlänge

r Radius

𝛼B = b __ r rad = m ___

m = 1

𝛼B = 𝛼G _____ 360º

· 2 π

⇒ 𝛼G = 𝛼B ___ 2 π · 360º

8

1

2M

athe

mat

ik


1.5 Rechnen am Dreieck

Satz des Pythagoras

C

BA

ba

c

c2 = a2 + b2

a = √ ______

c2 – b2

c = √ ______

a2 + b2

b = √ _____

c2 – a2

c Hypotenuse a Kathete b Kathete ⦝

Kennzeichen für rechten Winkel

Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktionen)

C

BA

b a

c

¿å

c Hypotenusea Gegenkathete von 𝛼,

Ankathete von 𝛽b Gegenkathete von 𝛽,

Ankathete von 𝛼

Einheitskreis

tan å

sin å

cos å

cot å2. Quadrant

r = 1

å

å

4.3.

1.

Qua-drant sin 𝜶 cos 𝜶 tan 𝜶 cot 𝜶

1. + + + +2. + – – –3. – – + +4. – + – –

sin 𝛼 = a __ c

cos 𝛼 = b __ c

tan 𝛼 = a __ b

cot 𝛼 = b __ a

sin 𝛽 = b __ c

cos 𝛽 = a __ c

tan 𝛽 = b __ a

cot 𝛽 = a __ b

⇒ a = c ∙ sin 𝛼 ; c = a _____ sin 𝛼

⇒ b = c ∙ cos 𝛼 ; c = b _____ cos 𝛼

⇒ a = b ∙ tan 𝛼 ; b = a _____ tan 𝛼

⇒ b = a ∙ cot 𝛼 ; a = b _____ cot 𝛼

⇒ b = c ∙ sin 𝛽 ; c = b _____ sin 𝛽

⇒ a = c ∙ cos 𝛽 ; c = a _____ cos 𝛽

⇒ b = a ∙ tan 𝛽 ; a = b _____ tan 𝛽

⇒ a = b ∙ cot 𝛽 ; b = a _____ cot 𝛽

Sinussatz

C

BA

b a

c

å ¿

©

a __ b

= sin 𝛼 _____ sin 𝛽

b __ c

= sin 𝛽 _____ sin 𝛾

c __ a

= sin 𝛾 _____ sin 𝛼

⇒ a = b ∙ sin 𝛼 _____ sin 𝛽 ; b = a ∙ sin 𝛽 _____

sin 𝛼

sin 𝛼 = a __ b

∙ sin 𝛽 ; sin 𝛽 = b __ a

∙ sin 𝛼

⇒ b = c ∙ sin 𝛽 _____ sin 𝛾 ; c = b ∙ sin 𝛾 _____

sin 𝛽

sin 𝛽 = b __ c

∙ sin 𝛾 ; sin 𝛾 = c __ b

∙ sin 𝛽

⇒ c = a ∙ sin 𝛾 _____ sin 𝛼 ; a = c ∙ sin 𝛼 _____

sin 𝛾

sin 𝛾 = c __ a

∙ sin 𝛼 ; sin 𝛼 = a __ c

∙ sin 𝛾

9

1

2

Mat

hem

atik

1.6 Zahlensysteme, BCD-Code, Rechenregeln

1.6 Zahlensysteme, BCD-Code, Rechenregeln

Wichtige Winkelfunktionswerte:

Funktion Winkel 𝜶

0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°

Sinus 𝛼 0 0,259 0,500 0,707 0,866 0,966 1 0 – 1 0

Cosinus 𝛼 1 0,966 0,866 0,707 0,500 0,259 0 – 1 0 1

Tangens 𝛼 0 0,268 0,577 1 1,732 3,732 ∞ 0 ∞ 0

Vergleich von Zahlensystemen: BCD-(8-4-2-1-) Code: Rechnen mit Dualzahlen:

Dezimal-zahl

DualzahlSedezimal-

zahl***

0 0 0

1 = 20 1 1

2 = 21 10 2

3 11 3

4 = 22 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 = 23 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 = 24 10000 10

Dezimal-zahl

Stellen-wert

8421

0 0000 0000

1 0000 0001

2 0000 0010

3 0000 0011

4 0000 0100

5 0000 0101

6 0000 0110

7 0000 0111

8 0000 1000

9 0000 1001

* 0000 1010

** +0110

10 0001 0000

11 0001 0001

12 0001 0010

13 0001 0011

14 0001 0100

15 0001 0101

16 0001 0110

17 0001 0111

18 0001 1000

19 0001 1001

* 0001 1010

** +0110

20 0010 0000

00+ 0

00

00– 0

00

01+ 0

01

01– 0

01

00+ 1

01

00– 1– 01

01+ 1

10

01– 1

00

011+ 10

101

011– 10

001

011+ 11

110

011– 100– 001

1 · 1 = 1

0 · 0 = 0

1 · 0 = 0

0 · 1 = 0

0 : 1 = 0

1 : 1 = 1

* Pseudotetrade, bewirkt Rückstellung und Übertrag auf die nächste Dekade.

** Korrektursummand beim Übertrag.*** auch Hexadezimalzahl genannt.

Kosinussatz

C

BA

b a

c

å ¿

©

a2 = b2 + c2 – 2 · bc · cos 𝛼

b2 = a2 + c2 – 2 · ac · cos 𝛽

c 2 = a2 + b2 – 2 · ab · cos 𝛾

⇒ cos 𝛼 = c2 + b2 – a2

___________ 2 bc

⇒ cos 𝛽 = c2 + a2 – b2

___________ 2 ac

⇒ cos 𝛾 = a2 + b2 – c2

___________ 2 ab

10

2

Läng

en/F

läch

en

2 Längen- und Flächenberechnungen


2.1 Drahtlängen von Rundspulen und von Rechteckspulen

2.2 Flächen

Rechteck

e

b

l

A = 𝑙 ∙ b

u = 2 (𝑙 + b)

e = √ ______

𝑙2 + b2

⇒ 𝑙 = A __ b

⇒ 𝑙 = u __ 2 – b

A Flächeu Umfang

𝑙 Längee Diagonale, Eckenmaß

b Breite

Quadrat

e

l

lA = 𝑙2

u = 4 ∙ 𝑙

e = √ __

2 ∙ 𝑙

⇒ 𝑙 = √ __

A

⇒ 𝑙 = u __ 4

A Fläche𝑙 Seitenlänge

u Umfange Diagonale, Eckenmaß

Rechteckspulen

b

hlm

a h

𝑙 = (2a + 2b + π · h) · N

𝑙 = 𝑙m · N

⇒ N = 𝑙 ______________ 2a + 2b + π ∙ h

;

h = 1 __ π ∙ ( 𝑙 __

N − 2a − 2b)

𝑙 Drahtlängeb Breite

𝑙m mittlere Windungslängeh Wickelhöhe

a LängeN Windungszahl

Rundspulen

D

dm

d

h

𝑙 DrahtlängeD, d Durchmesserdm mittlerer Durchmesserh Höhe (Wickelhöhe)N Windungszahl

𝑙 = π · dm · N

dm = D + d ______ 2

h = D – d ______ 2

dm = d + h

dm = D – h

⇒ N = 𝑙 ______ π ∙ dm

⇒ D = 2 ∙ dm − d

⇒ D = 2 ∙ h + d ; d = D − 2 ∙ h

11

2

Läng

en/F

läch

en

2.2 Flächen

Trapez

l2

l1

l 3

l4

b

lm

A Flächeb Breite𝑙1 große Länge𝑙2 kleine Länge𝑙m mittlere Länge𝑙3, 𝑙4 Längen der Schrägseiten

A = 𝑙1 + 𝑙2 ______ 2 ∙ b

u = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 + 𝑙4

u = 2 · 𝑙m + 𝑙3 + 𝑙4

A = 𝑙m ∙ b

𝑙m = 𝑙1 + 𝑙2 ______ 2

⇒ 𝑙1 = 2 ∙ A _____ b

− 𝑙2

⇒ 𝑙1 = u − 𝑙2 − 𝑙3 − 𝑙4

⇒ 𝑙m = u − 𝑙3 − 𝑙4 _________ 2

⇒ 𝑙m = A __ b

; b = A ___ 𝑙m

⇒ 𝑙1 = 2 ∙ 𝑙m − 𝑙2 ; 𝑙2 = 2 ∙ 𝑙m − 𝑙1

Dreieck

l1

l 2 l3

b

A Fläche𝑙1, 𝑙2, 𝑙3 Längen der Seitenb Breiteu Umfang

A = 𝑙1 ∙ b _____ 2

u = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3

⇒ b = 2 ∙ A _____ 𝑙1 ; 𝑙1 = 2 ∙ A _____

b

⇒ 𝑙1 = u − 𝑙2 − 𝑙3

Parallelogramm

l 2

b

l1

A Fläche𝑙1, 𝑙2 Längen der Seitenb Breiteu Umfang

A = 𝑙1 ∙ b

u = 2 (𝑙1 + 𝑙2)

⇒ 𝑙1 = A __ b

; b = A __ 𝑙1

⇒ 𝑙1 = u __ 2

− 𝑙2 ; 𝑙2 = u __ 2 − 𝑙1

Raute

l

b

l

A Fläche𝑙 Längeb Breiteu Umfang

A = 𝑙 ∙ b

u = 4 ∙ 𝑙

⇒ 𝑙 = A __ b

⇒ 𝑙 = u __ 4

12

2

Läng

en/F

läch

en


Regelmäßiges Vieleck

D

d

l

b

¿å

å

A Fläche𝑙 Seitenlängeb Breite eines Teildreiecksn Eckenzahlu UmfangD Umkreisdurchmesserd Inkreisdurchmesser𝛼 Mittelpunktswinkel𝛽 Eckenwinkel

A = 𝑙 + b ______ 2 ∙ n

u = 𝑙 ∙ n

𝑙 = D ∙ sin 𝛼 __ 2

𝛼 = 360° _____ n

b = 1 __ 2 · d

𝛽 = 180° – 𝛼

⇒ n = 2 ∙ A _____ 𝑙 + b ; 𝑙 = 2 ∙ A _____

n − b

⇒ 𝑙 = u __ n

; n = u __ 𝑙

⇒ D = 𝑙 _____ sin 𝛼 __

2

⇒ n = 360° _____ 𝛼

⇒ d = 2 · b

⇒ 𝛼 = 180° – 𝛽

Kreis

d

r

A Kreisfläched Durchmesserr Radius, Halbmesseru Umfangπ Kreiszahl (π = 3,1415...)

A = d2 ∙ π ______ 4 ;

A = π ∙ r2

u = π ∙ d ;

u = 2π ∙ r

⇒ d = √

____

4 ∙ A _____ π

⇒ r = √

__

A __ π

⇒ d = u __ π

⇒ r = u ____ 2 ∙ π = d ____

2

Kreisring

ddm

D

b

R

r

A KreisringflächeD Außendurchmesserd Innendurchmesserdm mittlerer DurchmesserR, r Radienb Breite (Dicke)um mittlerer Kreisumfang

(gestreckte Länge)

A = π __ 4 (D2 – d2)

um = π ∙ dm

b = D – d ______ 2

dm = D + d ______ 2

⇒ D = √

________

4 ∙ A _____ π + d2 ;

d = √

________

D2 − 4 ∙ A _____ π

⇒ dm = um ___ π

⇒ D = 2 ∙ b + d ; d = D – 2 b

⇒ D = 2 ∙ dm – d ; d = 2 ∙ dm – D

13

2

Läng

en/F

läch

en

2.2 Flächen

Kreisausschnitt (Kreissektor)

r d

lB

å

A Fläche des Kreisausschnitts

d Durchmesser

r Radius

𝑙B Bogenlänge

𝛼 Innenwinkel

A = π ∙ d 2 ∙ 𝛼 ________ 4 ∙ 360°

;

A = r ∙ 𝑙B _____ 2

𝑙B = π ∙ r ∙ 𝛼 _____ 180°

⇒ d = √ ___________

4 ∙ A ∙ 360° ___________ π ∙ 𝛼 ;

𝛼 = 4 ∙ A ∙ 360° ___________ π ∙ d 2

⇒ r = 𝑙B ∙ 180° ________ π ∙ 𝛼

Kreisabschnitt

r

d

lB

å

l

b

A Fläche

r Radius

d Durchmesser

𝑙B Bogenlänge

𝑙 Sehnenlänge

b Breite

𝛼 Innenwinkel

𝑙B = π ∙ r ∙ 𝛼 _______ 180°

A = 𝑙B ∙ r − 𝑙 (r − b) ______________ 2

Näherungsformel:

A ≈ 2 __ 3

∙ 𝑙 ∙ b

⇒ r = 2 ∙ A − r ∙ b ___________ 𝑙B − 𝑙 ;

𝑙B = 2 ∙ A + 𝑙 (r − b) _____________ r

Ellipse

r

d

R

D

A Fläche

d kleine Achse

D große Achse

r kleine Halbachse

R große Halbachse

u Umfang

A = π ∙ D ∙ d ________ 4 ;

A = π ∙ R ∙ r

u ≈ D + d ________ 2 ;

u ≈ π ∙ (R + r)

⇒ D = 4 ∙ A _____ π ∙ d ; d = 4 ∙ A _____ π ∙ D

⇒ R = A ____ π ∙ r ; r = A _____ π ∙ R

14

3

Körp

er



3.1 Volumen und Oberflächen

Zylinder

d

r

h

A

V VolumenA Grundflächeh Höhed Durchmesserr RadiusA0 Oberfläche

V = A ∙ h

V = π ∙ d 2 ______

4 ∙ h

A0 = π ∙ d ∙ h + π ∙ d 2 ______

2

A = π ∙ r2

A = d2 ∙ π ______ 4

π = 3,1415 …

π __ 4

= 0,785 …

⇒ h = V __ A

; A = V __ h

⇒ h = 4 ∙ V __ π ∙ d2

; d = √ _____

4 ∙ V __ π ∙ h

⇒ h = A0 __ π ∙ d − d __

2

d = √

____

4 ∙ V _____ π ∙ h

d = √

___________

2 ∙ (A0 − π ∙ d) _____________ π

Prisma

h

lb

d

A

V VolumenA Grundflächeh Höhe𝑙 Längeb BreiteA0 Oberfläched Raumdiagonale

V = A ∙ h

V = 𝑙 ∙ b ∙ h

A0 = 2 ∙ (𝑙 ∙ b + 𝑙 ∙ h + b ∙ h)

d = √ _________

𝑙2 + h2 + b2

A = 𝑙 ∙ b

⇒ A = V __ h

; h = V __ A

⇒ 𝑙 = V _____ b ∙ h

; b = V _____ 𝑙 ∙ h ;

h = V _____ 𝑙 ∙ b

⇒ h = √ ____________

d 2 − 𝑙2 − b2

𝑙 = √ ____________

d 2 − h2 − b2

b = √ ____________

d 2 − 𝑙2 − h2

Würfel

l

ll

d

A

V VolumenA Grundfläche𝑙 KantenlängeA0 Oberfläched Raumdiagonale

V = A ∙ 𝑙

V = 𝑙3

A0 = 6 ∙ 𝑙2

d = 𝑙 ∙ √ __

3

A = 𝑙2

⇒ A = V __ 𝑙 ; 𝑙 = V __ A

⇒ 𝑙 = 3 √ __

V = V 1 __ 3

⇒ 𝑙 = √ ___

A0 ___ 6

⇒ 𝑙 = d ___ √

__ 3

15

3

Körp

er

3.2 Masse und Gewichtskraft

3.2 Masse und Gewichtskraft

m

FG

V Volumenm Masse𝜚 DichteFG Gewichtskraftg Fallbeschleunigung (9,81 m/s2)

Werte für Dichte 𝜚: Seite 117

m = 𝜚 ∙ V

FG = m ∙ g

FG = 𝜚 ∙ V ∙ g

[𝜚] = kg _____ dm3

; [m] = kg

1 t ___ m3

= 1 kg _____ dm3

= 1 g ____ cm3

[FG] = kg · m ______ s2 = N

⇒ V = m ___ 𝜚 ; 𝜚 = m ___ V

⇒ V = FG _____ 𝜚 ∙ g ; 𝜚 = FG _____

V ∙ g

i

Kugel

d

V = π · d 3 _____

6

A0 = π ∙ d 2

⇒ d = 3 √

_____

6 · V _____ π

⇒ d = √ ____

A0 ___ π

V Volumen d Durchmesser A0 Oberfläche

Kegel

d

r

l

hA

AM

V VolumenA GrundflächeAM MantelflächeA0 Oberflächeh Höhed Durchmesserr Radius𝑙 Länge der Mantellinie

V = A · h _____ 3

V = π ___ 12

· d 2 · h

AM = π ∙ r ∙ 𝑙

A0 = π ∙ (𝑙 ∙ r + r 2)

A = d2 · π ______ 4 = π ∙ r 2

𝑙 = √ ______

h2 + r 2

A0 = AM + A

⇒ A = 3 · V _____ h

; h = 3 ∙ V _____ A

⇒ d = √ ______

12 · V ______ π · h ; h = 12 ∙ V ______

π · d 2

⇒ r = AM ____ π ∙ 𝑙 ; 𝑙 = AM _____ π ∙ r

⇒ 𝑙 = A0

_____ π ∙ r − r

16

4

Mec

hani

k

4 Mechanik

4 Mechanik

4.1 Kräfte

Zusammensetzen von zwei Kräften

F

F2F1

F2F

F2

F1

F1

F

å

¿

ƒ

ƒ

F

F1

F1

F2

F2

d)

c)

b)

a)

e)

å

F1, F2, ... Teilkräfte, KomponentenF Gesamtkraft, resultierende Kraft,

Ersatzkraft𝜑 Winkel zwischen Teilkraft und

Ersatzkraft𝛼 Winkel zwischen den Teilkräften𝛽 Winkel im Krafteck 𝛽 = 180° – 𝛼 – 𝜑

In den Formeln sind für F1, F2 und F Beträge einzusetzen.

arccos, Eingabemodus:

2nd cos

a) Teilkräfte gleichgerichtet:

F = F1 + F2

b) Teilkräfte entgegen- gerichtet:

F = F1 − F2

c) Gleichgewichtsbedingung:

F1 = F2

d) Teilkräfte senkrecht aufeinander:

F = √ _______

F12 + F2

2

F = F1 _____ cos 𝛼

F = F2 _____ cos 𝜑

⇒ F1 = F − F2 ; F2 = F − F1

⇒ F1 = F + F2 ; F2 = F1 − F

⇒ F1 − F2 = 0

⇒ F1 = √ ______

F2 − F22 ; F2 = √

______ F2 − F1

2

⇒ F1 = F ∙ cos 𝛼; cos 𝛼 = F1 ___ F

⇒ F2 = F ∙ cos 𝜑; cos 𝜑 = F2 ___ F

e) Teilkräfte nicht senkrecht aufeinander:

F = √ ____________________

F12 + F2

2 − 2 ∙ F1 ∙ F2 ∙ cos 𝛽

⇒ 𝛽 = arccos ( F12 + F2

2 − F 2 _____________ 2 ∙ F1 ∙ F2

)

F1 = √ ___________________

F + F22 − 2 ∙ F ∙ F2 ∙ cos 𝜑

⇒ 𝜑 = arccos ( F2 + F2

2 − F12 _____________

2 ∙ F ∙ F2 )

F2 = √ ___________________

F 2 + F12 − 2 ∙ F ∙ F1 ∙ cos 𝛼

⇒ 𝛼 = arccos ( F2 + F1

2 − F22 _____________

2 ∙ F ∙ F1 )

i

Einheit, Darstellung

Angriffspunkt

ƒWirk-linie

F

Formelzeichen: FEinheit: [F ] = N

Einheitenname: Newton

Kräftemaßstab: z. B. 200 N ≙ 10 mm

Betrag der Kraft ≙ Länge des Pfeils

Richtung der Kraft ≙ Richtung des Pfeils

17

4

Mec

hani

k

4.2 Wirkungsgrad, Arbeitsgrad

4.2 Wirkungsgrad, Arbeitsgrad

Welle

Netz

VerlustePv

Pab , Wab

Pzu , Wzu𝜂 = Pab ___

Pzu

Pv = Pzu – Pab

𝜁 = Wab ___ Wzu

𝜂 = 𝜂1 · 𝜂2 · 𝜂3 ...

⇒ Pab = 𝜂 ∙ Pzu ; Pzu = Pab ___ 𝜂

⇒ Pab = Pzu – Pv ;

Pzu = Pab + Pv

⇒ Wab = 𝜁 ∙ Wzu ;

Wzu = Wab ____ 𝜁

⇒ 𝜂1 = 𝜂 _________ 𝜂2 · 𝜂3 · ...

𝜂* Wirkungsgrad (Leistungsverhältnis)

Pab abgegebene Leistung (statt Pab auch: P2)

Pzu zugeführte Leistung (statt Pzu auch: P1)

Pv Verlustleistung𝜁** Arbeitsgrad, Nutzungsgrad

(Arbeits-, Energieverhältnis)Wab abgegebene EnergieWzu zugeführte Energie

𝜂 Gesamtwirkungsgrad𝜂1, 𝜂2 … Einzelwirkungsgrade*𝜂 griech. Kleinbuchstabe eta**𝜁 griech. Kleinbuchstabe

zeta

Zerlegen einer Kraft in zwei Teilkräfte (Komponenten)

¿/2 ¿/2å

FS FS

FG

FS

¿

Aufhängung

Schiefe Ebene

l

b

h

FH

FH

FGFN

ƒ

ƒ

𝛽 = 180° − 𝛼

FS = FG ______________ √

__________ 2 ∙ (1 − cos 𝛽)

FH = FG · sin 𝜑

sin 𝜑 = h __ 𝑙

FN = FG · cos 𝜑

cos 𝜑 = b __ 𝑙

FH = FN · tan 𝜑

tan 𝜑 = h __ b

⇒ 𝛼 = 180° − 𝛽

⇒ FG = FS · √ __________

2 · (1 – cos 𝛽)

cos 𝛽 = 1 − FG2 ______

2 ∙ FS2

⇒ FG = FH _____ sin 𝜑

FH = FG ∙ h __ 𝑙 ; FG = FH ∙ 𝑙 _____ h

⇒ FG = FN _____ cos 𝜑

FN = FG ∙ b __ 𝑙 ; FG = FN ∙ 𝑙 _____ b

⇒ FN = FH _____ tan 𝜑

FH = FN ∙ h __ b ; FN = FH ∙ b _____

h

FG GewichtskraftFS Seilkräfte𝛼 Winkel zwischen den Seilkräften𝛽 Winkel im Krafteck

FH HangabtriebskraftFN Normalkraft𝑙 Länge der schiefen Ebene

b Basislänge der schiefen Ebene

h Höhenunterschied𝜑 Neigungswinkel der

schiefen Ebene

18

5

Wär

mel

ehre

5 Wärmelehre

5 Wärmelehre

5.1 Temperatur

5.2 Wärmedehnung

0 K

0 °C

°C

°F20

40

60

110

-273,15 °C -459,7 °F

32 273,15K

-40

-20

80

Ska

le d

er a

bso

lute

n T

emp

erat

ur

Tem

per

atu

rska

le n

ach

Cel

siu

s

Tem

per

atu

rska

le n

ach

Fah

ren

hei

t

𝜗 Temperatur in Grad Celsius

T Temperatur in Kelvin

Δ𝜗, ΔT Temperaturdifferenz in Kelvin

𝜗F Temperatur in Grad Fahrenheit

T = (273 + 𝜗 ___ °C

) K

Δ𝜗 = 𝜗2 – 𝜗1

ΔT = T2 – T1

𝜗F = 9 __ 5 𝜗 + 32 °F

Absoluter Nullpunkt:T0 = 0 K ≙ 𝜗0 = – 273,15 °C ≈ – 273 °C

Eispunkt des Wassers:T1 = 273,15 K ≈ 273 K ≙ 𝜗1 = 0 °C

[𝜗] = °C[T ] = K[Δ𝜗] = [ΔT ] = °C = K

⇒ 𝜗 = ( T __ K

− 273) °C

⇒ 𝜗2 = 𝜗1 + Δ𝜗; 𝜗1 = 𝜗2 − Δ𝜗

⇒ T2 = T1 + Δ𝜗; T1 = T2 − Δ𝜗

⇒ 𝜗 = 5 __ 9 ∙ (𝜗F − 32 °F)

l1

l2

#l

Werkstoff

Δ𝑙, ΔV Längen- bzw. Volumen- änderung

𝑙1, V1 Länge bzw. Volumen in kaltem Zustand

𝑙2, V2 Länge bzw. Volumen in erwärmtem Zustand

Δ𝜗 Temperaturdifferenz

𝛼𝑙 Längenausdehnungs- koeffizient

𝛾 Volumenausdehnungs- koeffizient

i Weitere Werte für 𝛼𝑙 : Seite 117

Δ𝑙 = 𝛼𝑙 · 𝑙1 · Δ𝜗

Δ𝑙 = 𝑙2 − 𝑙1

ΔV = 𝛾 · V1 · Δ𝜗

ΔV = V2 − V1

𝑙2 = 𝑙1 ∙ (1 + 𝛼𝑙 · Δ𝜗)

V2 = V1 ∙ (1 + 𝛾 · Δ𝜗)

𝛾 ≈ 3 · 𝛼𝑙

[𝛼𝑙] = [𝛾] = 1 ___

°C =

1 __

K

Längenausdehnungskoeffizient 𝛼𝑙 in 1 __ K

Kupfer Aluminium Silber Eisen Lithium

17 ∙ 10−6 23,8 ∙ 10−6 19,3 ∙ 10−6 11,5 ∙ 10−6 56 ∙ 10−6

⇒ 𝛼𝑙 = Δ𝑙 _______ 𝑙1 · Δ𝜗

; 𝑙1 = Δ𝑙 _______ 𝛼𝑙 · Δ𝜗

Δ𝜗 = Δ𝑙 ______ 𝛼𝑙 · 𝑙1

⇒ 𝛾 = ΔV _______ V1 · Δ𝜗

; V1 = ΔV ______ 𝛾 · Δ𝜗

Δ𝜗 = ΔV _____ 𝛾 · V1

⇒ 𝑙1 = 𝑙2 __________ 1 + 𝛼𝑙 · Δ𝜗

⇒ V1 = V2 _________ 1 + 𝛾 · Δ𝜗

⇒ 𝛼𝑙 ≈ 1 __ 3 ∙ 𝛾

19

5

Wär

mel

ehre

5.3 Wärmemenge

5.3 Wärmemenge

Wärmeaufnahme und Wärmeabgabe bei Temperaturänderung

#ª

ª2

ª1

Heizplatte

Q

c, m

Q Wärme, Wärmemengem MasseΔ𝜗 Temperaturdifferenz𝜗1 Anfangstemperatur𝜗2 Endtemperaturc spezifische WärmekapazitätCth Wärmekapazität

• Weitere Werte für c : Seite 117

• Elektrowärme: Seite 27

Δ𝜗 = 𝜗2 – 𝜗1

Q = c · m · Δ𝜗

C th = c · m

Q = C th · Δ𝜗

[c ] = kJ ______

kg · K

[Cth] = kJ

___ K

Spezifische Wärmekapazität c in kJ _____ kg ∙ K

Stoff Wert Stoff Wert

Wasser 4,187 Aluminium 0,921

Kupfer 0,389 Eisen 0,461

Silber 0,234 Messing 0,377

Wasserstoff 14,277 Luft 1,005

⇒ 𝜗2 = 𝜗1 + Δ𝜗; 𝜗1 = 𝜗2 − Δ𝜗

⇒ c = Q _______ m · Δ𝜗 ; m = Q ______

c · Δ𝜗 ;

Δ𝜗 = Q _____ c · m

⇒ c = C th ___ m

; m = C th ___ c

⇒ C th = Q ___ Δ𝜗 ; Δ𝜗 = Q ___ C th

i

5.4 Wärme-Kreisprozess

Wärmepumpe (Funktionsschema)

Wel

Wk

Qzu Qab

Außen-raum

Ver-dampfer

Ver-flüssiger

Entspannungsventil

Verdichter(Kompressor)

Kältemittel-Kreislauf

Innen-raum

M

Qab = Qzu + Wk

Eine Wärmepumpe bringt die vom Außenraum zugeführte Wärme Qzu von einer niedrigen Temperatur auf eine höhe-re Temperatur und gibt sie im Innenraum als Heizwärme Qab ab.

i

𝛽 = QJahr ______ WJahr

Die Jahresarbeitszahl 𝛽 ist ein Maß für die Wirtschaftlich-keit einer Wärmepumpe.

Typische Werte der Jahresarbeitszahl: 𝛽 = 3,5 … 5

i

⇒ Qzu = Qab − Wk;

Wk = Qab − Qzu

⇒ QJahr = 𝛽 ∙ WJahr;

WJahr = QJahr _____ 𝛽

Qzu zugeführte Wärme (Umweltwärme)Qab abgegebene Wärme (Heizwärme)QJahr pro Jahr abgegebene HeizwärmeWk Kompressionsarbeit

Wel zugeführte elektrische EnergieWJahr pro Jahr zugeführte elektr. Energieβ Jahresarbeitszahl

Wichtige Formelzeichen, Größen und Einheiten Nach DIN 1304

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