Kapitel 1

Wellenfunktion

“Diejenigen, die nicht schockiert sind, wenn sie zum ersten mal mit Quantenmecha-nik zu tun haben, haben sie nicht verstanden.” (“If you are not confused by quantumphysics then you have not really understood it”.) Niels Bohr

“I am still confused, but on a higher level.” Enrico Fermi“Ich denke, man kann mit Sicherheit sagen, dass niemand Quantenmechanik

versteht.” (“I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics”.)Richard Feynman

“Ich mag sie nicht, und es tut mir leid, jemals etwas damit zu tun gehabt zuhaben.” Erwin Schrodinger uber Quantenmechanik.

1.1 Schrodinger - Gleichung

Eindimensionale Bewegung, Teilchen Masse m, vorgegebene Kraft F (t) = −∂V∂x

Weiter: nur konservative Systeme, weil alle mikroskopische Systeme konservativ sind!

Klassische Mechanik:Hauptaufgabe der Mechanik: Position des Teilchens zur beliebigen Zeit zu bestim-men:

x(0), v(0) =⇒ md2x

dt2= −∂V

∂x=⇒ x(t)

Dann wissen wir alle dynamische Grossen:

x(t) =⇒ v =dx

dt=⇒ p =⇒ T =

mv2

2

1

Quantenmechanik:das Problem wird anders gelost

• Dem Teilchen wird die komplexe Wellenfunktion Ψ(x, t) zugeordnet (bitteΨ und ψ unterscheiden).

• Die ist die Losung der Schrodinger Gleichung

ih∂Ψ

∂t= − h2

2m

∂2Ψ

∂x2+ VΨ

V : Potentielle Energie (nicht pot.EnergieLadung

, nicht elektrisches Potential)

Planksche Konstante “h quer” (Plancksches Wirkungsquantum):

h =h

2π= 1.054572 × 10−34J s ,

die konstante hat die Dimension von Energie mal Zeit.

1.2 Statistische Interpretation der Wellenfunktion

Nach Max Born, 1926

Komplexe Funktion Ψ(x, t) (i.A: Ψ(~r, t)) heisst Wellenfunktion oderZustandsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsamplitude. Integral

∫ b

a|Ψ(x, t)|2dx =

∫ b

aΨ∗Ψdx

ist die Wahrscheinlichkeit, ein quantenmechanisches Teilchen bei einerOrtsmessung zum Zeitpunkt t zwischen a und b zu finden = Flache

Fläche

xba

|Ψ|2

=⇒ QM gibt nur statistische Informationen uber mogliche Messergebnisse

2

Statistische Beschreibung mittels Wellenfunktion bedeutet dass in der QM keineBahnen gibt! (Keine deterministische Beschreibung!)

Messung andert den Zustand =⇒ andert Ψ gleich nach der Messung (z.B.Teilchen bei x = c gefunden, s. Abb. n. Seite.)

c x

Statistische Interpretaion der QM war nie unumstritten.Albert Einstein:“Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Liebe Gott mit Wuerfeln spielt!”Niels Henrik David Bohr:“Einstein, schreiben Sie Gott nicht vor, was er zu tun hat.”Also: die Messung liefert x = c.Die Frage: wo war das Teilchen gleich vor der Messung? Drei mogliche Variantendas zu beantworten:

1. Antwort eines Realisten: das Teilchen war im Punkt c (Einstein). Wenn es soware, dann ware die Quantenmechanik keine komplette Theorie. D.h.:Wellenfunktion reicht nicht um das Teilchen zu beschreiben, es gibt eine“verborgene” Variable.

2. Orthodox Antwort: das Teilchen war nirgendwo (Kopenhagener Deutung,Bohr und andere). Nur die Messung “zwingt” das Teilchen den “Stand” (einbestimmten Wert der Koordinate) zu nehmen.

3. Antwort eines Agnostikers: macht kein Sinn dass zu besprechen (Pauli).

John Bell, 1964: das kann man experimentell verifizieren!! Experimente zeigen dasses keiner verborgene Variable gibt und die Antwort 2 richtig ist. (Daruber spater.)

3

1.3 Schrodinger - Gleichung: Motivation

Nach de Broglie:p = hk k = 2π/λ

E = hν = hω

Ein Teilchen entspricht ein Wellenpaket, das sich als Superposition ebener Wellendarstellen lasst. Ebene Welle:

ei(kx−ωt) = ei(p

hx−E

ht) = Ψ(x, t)

Wir suchen nach einer Wellengleichung, die de Broglie ebene Wellen als Losungenhat. Wir berechnen:

∂Ψ

∂t= −iE

hΨ =⇒ E =

ih

Ψ

∂Ψ

∂t

∂Ψ

∂x= i

p

hΨ

∂2Ψ

∂x2= −p

2

h2Ψ =⇒ p2 = − h

2

Ψ

∂2Ψ

∂x2

Wir benutzen

E =p2

2m+ V

und bekommen die Schr.-Gl.

1.4 Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1.4.1 Diskrete Variablen

Beispiel: 14 Leute im Zimmer:1 Person 14 Jahre alt1 Person 15 Jahre alt3 Personen 16 Jahre alt2 Personen 22 Jahre alt2 Personen 24 Jahre alt5 Personen 25 Jahre alt

Notation: N(j) ist die Anzahl von Personen, die j Jahre alt sind:N(14) = 1N(15) = 1N(16) = 3N(22) = 2N(24) = 2N(25) = 5

4

Andere Werte: z.B. N(17) = 0

N =∞∑

j=0

N(j)

Histogramme.

Wahrscheinlichkeit P (j) = N(j)N

Bemerkungen:

1. W’keit eine Person im Alter von 14 oder 15 zu finden ist P (14) + P (15)

∞∑

j=0

P (j) = 1

2. wahrscheinlichster Wert?entspricht dem Maximum von P (j)

3. Medianwert (Zentralwert): Hier 23 (7 Personen junger, 7 Personen alter).i.A.: W’keit einen großeren oder kleineren Wert zu finden ist gleich.

4. Mittelwert (Erwartungswert)

1 · 14 + 1 · 15 + 3 · 16 + 2 · 22 + 2 · 24 + 5 · 2514

= 21

< j >=

∑jN(j)

N=

∞∑

j=0

jP (j)

↑ ubliche NotationErwartungswert ist nicht der wahrscheinlichste Wert!!

5. Mittelwert von Quadraten

142 mit W’keit 1/14 u.s.w.

< j2 >=∞∑

j=0

j2P (j)

i.A.: < f(j) >=∞∑

j=0

f(j)P (j)

5

Wichtig: < j2 > 6=< j >2 i.A.

zwei Babies, 1 und 3 Jahre alt: < j2 >= 1+92 = 5 < j >2= 4

1.4.2 Standardabweichung

Bild: zwei Histogramme mit dem gleichen Mittelwert

∆j = j− < j > Abweichung

< ∆j >=∑

(j− < j >)P (j) =∑

jP (j)− < j >∑

P (j)

= < j > − < j >= 0

σ2 ≡< (∆j)2 > Varianz

σ Standardabweichung

σ2 =∑

(∆j)2P (j) =∑

(j− < j >)2P (j)

=∑

(j2 − 2j < j > + < j >2)P (j)

=∑

j2P (j) − 2 < j >∑

jP (j)+ < j >2∑

P (j)

= < j2 > −2 < j >< j > + < j >2=< j2 > − < j >2≥ 0

σ =√

< j2 > − < j >2

< j2 > ≥ < j >2

1.4.3 Kontinuierliche Variablen

Z.B.: Alter in SekundenW’keit, dass der Messwert zwischen x und x+ dx liegt ist ρ(x)dx

↑Wahrscheinlichkeitsdichte

Pab =

∫ b

aρ(x)dx

1 =

∫ ∞

−∞ρ(x)dx

6

< x > =

∫ ∞

−∞xρ(x)dx

< f(x) > =

∫ ∞

−∞f(x)ρ(x)dx

σ2 = < (∆x)2 >=< x2 > − < x >2= Var(x)

Beispiel:

x

h

Stein

Photos gemacht zu zufalligen Zeiten =⇒ viele OrtsmessungenFrage: < x >=? (Soll kleiner als h/2 sein.)

x(t) =1

2gt2 =⇒ t =

√

2x

g=⇒ Fallzeit T =

√

2h/g ,dx

dt= gt

W’keit ein Photo im Intervall x, x+ dx zu machen (W’keit der Ortsmessung) ist

P = ρ(x)dx ∼ dt =dx

v=dx

gt

Wir schreiben

ρ(x)dx = Adx

gt= A

dx√2gx

,

wobei A eine noch unbekannte Normierungskonstante ist.Wir finden A aus der Bedingung

∫ h

0ρ(x)dx = 1 =

A√2g

∫ h

0

dx√x=

A√2g

2√h =⇒ A =

√g

2h

=⇒ W’keitsdichte:

ρ(x) =

√g

2h· 1√

2gx=

1

2√hx

(0 ≤ x ≤ h)

7

h x

ρ(x)

12h

Mittelwert der Ortsmessung:

< x >=

∫ h

0xρ(x)dx =

∫ h

0x

1

2√hxdx =

1

2√h(2

3x3/2)

∣∣∣

h

0=h

3

< x > ist kleiner als h/2, wie erwartet.

1.5 Normierung der Wellenfunktion

|Ψ(x, t)|2 ist die W’keitsdichte, also entspricht ρ. Es soll gelten:

∫ ∞

−∞|Ψ(x, t)|2dx = 1 ,

sonst ware die statistische Interpretation sinnlos.

Widerspricht das der Schrodingergleichung?

Nein: Schrodingergleichung ist linear

⇒ wenn Ψ eine Losung ist, dann ist auch AΨ eine Losung

⇒ wir konnen A so wahlen, dass die Normierung stimmt, wenn∫∞−∞ |Ψ|2dx

existiert.

Dafur soll Ψ(x, t) schneller abfallen als 1√|x|.

Andere Losungen haben keine physikalische Bedeutung.

Wichtige Frage:

Angenommen, wir haben Ψ zur Zeit t = 0 normiert.

8

Bleibt Ψ mit der Zeitentwicklung normiert?Antwort: jaBeweis: ∫ ∞

−∞|Ψ|2dx ist eine Zeitfunktion

Wir berechnend

dt

∫ ∞

−∞|Ψ|2dx =

∫ ∞

−∞

∂

∂t|Ψ(x, t)|2dx

∂

∂t|Ψ|2 = ∂

∂t(Ψ∗Ψ) = Ψ∗∂Ψ

∂t+∂Ψ∗

∂tΨ

Aus der Schrodinger Gleichung folgt:

∂Ψ

∂t=

ih

2m

∂2Ψ

∂x2− i

hVΨ

Komplex konjugiert:

∂Ψ∗

∂t=

−ih2m

∂2Ψ∗

∂x2+i

hVΨ∗ (wir ersetzen i→ −i)

∂

∂t|Ψ|2 = Ψ∗ ih

2m

∂2Ψ

∂x2− i

hVΨΨ∗ −Ψ

ih

2m

∂2Ψ∗

∂x2+i

hVΨΨ∗

=ih

2m(Ψ∗ ∂

2Ψ

∂x2− ∂2Ψ∗

∂x2Ψ)

=∂

∂x

[ ih

2m(Ψ∗∂Ψ

∂x− ∂Ψ∗

∂xΨ)

]

(wird auch weiter benutzt)

Letztendlichd

dt

∫ ∞

−∞|Ψ|2dx =

ih

2m(Ψ∗ ∂Ψ

∂x− ∂Ψ∗

∂xΨ)

∣∣∣

∞

−∞

Normierungsbedingung: Ψ → 0 wenn x→ ±∞

⇒ d

dt

∫ ∞

−∞|Ψ|2dx = 0 ⇒ Integral ist konstant ⇒ Normierung bleibt erhalten

9

1.6 Impuls

Mittelwert bei einer Ortsmessung:

< x >=

∫ ∞

−∞x|Ψ(x, t)|2dx

Was bedeutet es?

Es bedeutet nicht dass wenn wir x wieder und wieder messen, der Mittelwert derErgebnisse

∫x|Ψ|2dx ist.

Nein: Messung andert Ψ (macht δ-Funktion)< x > ist Ensemblemittelung, d.h. wir haben viele Teilchen, die gleiche Ψ habenund messen die Koordinaten von allen.Wie andert sich < x > mit der Zeit?

d < x >

dt=

∫ ∞

−∞x

∂

∂t|Ψ|2

︸ ︷︷ ︸

schon berechnet!

dx

=ih

2m

∫ ∞

−∞x∂

∂x(Ψ∗∂Ψ

∂x− ∂Ψ∗

∂xΨ)dx

Wir integrieren partiell:

d < x >

dt= − ih

2m

∫ ∞

−∞(Ψ∗ ∂Ψ

∂x− ∂Ψ∗

∂xΨ)dx+

ih

2mx(Ψ∗∂Ψ

∂x− ∂Ψ∗

∂xΨ)

︸ ︷︷ ︸

=0

∣∣∣

∞

−∞

(weil Ψ → 0, x→ ±∞ )

d < x >

dt= − ih

2m

∫

Ψ∗∂Ψ

∂xdx+

ih

2m

∫

Ψ∂Ψ∗

∂xdx

︸ ︷︷ ︸

↓

ih2m

−

∫∞−∞

∂Ψ

∂xΨ∗dx+ΨΨ∗

∣∣∣

∞

−∞︸ ︷︷ ︸

=0

d < x >

dt= − ih

m

∫ ∞

−∞Ψ∗∂Ψ

∂xdx

10

Es ist nicht die Geschwindigkeit des Teilchens, es ist ”die Geschwindigkeit”des

Mittelwertes.

Postulat: (Beweis spater) Mittelwert der Geschwindigkeit

< v >=d < x >

dt

=⇒ Impuls < p >= m < v >= −ih∫(Ψ∗ ∂Ψ

∂x)dx

Wir schreiben < x > und < p > um:

< x > =

∫

Ψ∗ · x ·Ψdx

< p > =

∫

Ψ∗ · (−ih ∂

∂x) ·Ψdx

x = x (Ortoperator)

p = −ih ∂∂x

(Impulsoperator)

Um den Mittelwert zu berechen machen wir ein “Sandwich”:∫

Ψ∗ · (Operator) ·Ψdx

Alle klassischen Grossen kann man durch Impulsen und Koordinaten darstellen.

z.B.: Energie: T = mv2

2 = p2

2m

Drehimpuls: ~L = ~r × ~p (Naturlich nicht in einer Dimension)

Dann, fur alle Grossen Q(x, p):

< Q(x, p) >=∫Ψ∗ · Q(x,−ih ∂

∂x) ·Ψdx Beweis spater !

Z.B.:

< T > =

∫

Ψ∗[ 1

2m· (−ih)2 ∂

2

∂x2

]

Ψdx

= − h2

2m

∫

Ψ∗∂2Ψ

∂x2dx

Zeitliche Ableitung des Impulses

11

< p >= −ih∫

(Ψ∗∂Ψ

∂x)dx

d < p >

dt= −ih

∫∂

∂t(Ψ∗ ∂Ψ

∂x)dx

∂

∂t(Ψ∗ ∂Ψ

∂x) =

∂Ψ∗

∂t

∂Ψ

∂x+Ψ∗ ∂

∂t(∂Ψ

∂x) =

∂Ψ∗

∂t

∂Ψ

∂x+Ψ∗ ∂

∂x(∂Ψ

∂t)

=

[

− ih

2m

∂2Ψ∗

∂x2+i

hVΨ∗

]

∂Ψ

∂x+Ψ∗ ∂

∂x

[

ih

2m

∂2Ψ

∂x2− i

hVΨ

]

=ih

2m

[

Ψ∗∂3Ψ

∂x3− ∂2Ψ∗

∂x2∂Ψ

∂x

]

+i

h

[

VΨ∗∂Ψ

∂x−Ψ∗ ∂

∂x(VΨ)

]

Erste [·] verschwindet bei der Integration:∫

[

Ψ∗∂3Ψ

∂x3

]

dx−∫

[

∂2Ψ∗

∂x2∂Ψ

∂x

]

dx = Ψ∗∂2Ψ

∂x2

∣∣∣∣∣

∞

−∞

−∫∂Ψ∗

∂x

∂2Ψ

∂x2dx

− ∂Ψ∗

∂x

∂Ψ

∂x

∣∣∣∣

∞

−∞+

∫∂Ψ∗

∂x

∂2Ψ

∂x2dx = 0

Berechnen wir zweite [·]:

VΨ∗∂Ψ

∂x−Ψ∗V

∂Ψ

∂x−Ψ∗∂V

∂xΨ = −Ψ∗∂V

∂xΨ

⇒ d < p >

dt= −ih i

h

∫

−Ψ∗∂V

∂xΨdx = −

⟨∂V

∂x

⟩

Ehrenfestsches Theorem (zur Zeit ohne Beweis):

Mittelwerte erfullen klassische Gesetze.

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