Walter Rudin - Αρχεσ Μαθηματικησ Αναλυσεωσ

8/12/2019 Walter Rudin -

1/543

2

:

LEADER BOOKS A.E.


2/543

1 Rotman Joseph: Galois, xii, 185 , fi 2000


3/543

Walter Rudin

fi :

K.


4/543

: Principles

of Mathematical Analysis

: Walter Rudin

: Third Edition 1976,

McGrawHill

Book Co.Singapore

Copyright 1964, 1976: McGrawHill, Inc.

Copyright 2000 : Leader Books A.E. fi : .

fi

: .

:

:

1 : 2000

ISBN 9607901169

fi

LEADER BOOKS A.E.

. 17, fi,

115 21

T. : 64.52.825-64.50.048, Fax.: 64.49.924

http://www.leaderbooks.com, e-mail:[email protected]

fi

fi .


5/543

POOO TOY

METAPATH

A ,

Leader Books, -

Principles of Mathematical Analysis Walter Rudin,

Wisconsin.

O Rudin A,

fi fi fi -

. Efi fi fi , Rudin

fi , Real and Complex

Analysis Functional Analysis. T

M. T

, fi

M A.

fi -

fi (fi ' )

fi fi

fi, - .

M-

vii


6/543

, fi , fi

( ). fi , fi

fi, M , fi,

fi

.

T fi

:

BELL, E. T.: O , Efi K (2fi), H 1992, 1993.

BOYER, C. B. MERZBACH, U.C.:H M,Efi . A. ( ), A 1997.

DAVIS, P. J. HERSH, R.: H , EfiT, A.

PIER, J. P.: Development of Mathematics 1900-1950, Birkhuserpublications, Basel, Switzerland 1994.

LORIA, G.: I M, Efi , A1971.

SMITH, D. E.: History of Mathematics, Dover publications (2 fi),New York.

E , fi The MacTutor

History of Mathematics archive, -

http:// www-history.mcs.st-and.ac.uk / history, M-

St. Andrews .

fi fi

fi,

fi . fi fi fi .

fi

viii


7/543

. E fi fi -

fi fi fi fi ,

. fi

fi ,

-

[email protected] . ,

fi .

A -

I Nfi M

, -

I fi fi

I fi fi-

, I

I

N fi fi -

. ,

I M M -

K Jesper Ltzen

fi Johannes Mollerup.

, Leader Books

fi , fi

.

HMOENH K. TAIH

I 2000

ix


8/543


9/543

POOO TOY

YPAEA

T fi fi -

fi A

M

E.

H 1 ,

,

. fi -

fi fi fi .

H fi (

fi) fi -

fi . , fi

fi

. fi fi,

fi

,

. ' fi , 1 . . M.: H , 1976, fi

fi McGraw-Hill.

xi


10/543


11/543

fi

TOY METAPATH vii

TOY YPAEA xi

1

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

. . . . . . . . . . . . . . . 12

fi 16

. . . . . . . . . . . . . . . . 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 37

, . . . . 37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 AKOOYIE KAI EIPE 75

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

xiii


12/543

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

. . . . . . . . . . . . . . 90

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

fie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

fi. . . . . . . . . . . . . . . 102

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110fi fi . . . . . . . . . . . . 111

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4 YNEXEIA 129

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

fi fi . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5 IAOPIH 159

. . . . . . . . . . . . 159

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

fi L' Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

. . . . . . . . . . . 171

xiv


13/543

6 TO KATA RIEMANN-STIELTJES OOKHPMA 189

fi . . . . . . . . . . . . 1 90fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

. . . . . . . . . . . 2 11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7 AKOOYIE KAI EIPE YNAPTHEN 223

. . . . . . . . . . . . . . . 224

fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

fi . . . . . . . . . . . . . . . 231

fi . . . . . . . . . . . . . 235fi . . . . . . . . . . . . . 236

. . . . . . . . . . . . . . 240

Stone Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 246

8 OPIMENE EIIKOY TYOY YNAPTHEI 267

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

. . . . . . . . . . . . 276

. . . . . . . . . . . . . . . . . 2 82

fi 285 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

9 YNAPTHEI ON METABHTN 319

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

. . . . . . . . . . . . . 344

. . . . . . . . . . . . . 347

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

xv


14/543

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

10 OOKHPH IAOPIKN MOPN 381

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

11 H EPIA TOY LEBESGUE 463

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

H Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 467

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

Riemann . . . . . . . . . . . 495

. . . . . . . . . . . . . . 498

L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

515

xvi


15/543

K 1

A (fi , , fi )

. , fi


16/543

2

fi ( m/n, fim, n

n= 0). fi -

fi, . ( fi

fi 1.6 1.12). , fi

fi p p2 = 2. ( fi fi ). fi ,

fi fi .

,

1, 1, 4, 1, 414, 1, 4142, . . .

2. , fi fi

fi

2 , : fi

;

fi

fi fi .

1.1. fi

p2 = 2 (1)

fi fi fi p. E fi

p, fi p= m/n, fi m, n fi 2. fi, (1)

fi

m2 = 2n2. (2)

Afi fi m2, m, . (E m

fi, fi m 2 fi). , m 2 fi 4. fi fi fi (2) fi 4,

n2 . fi fi fi n .


17/543

3

fi (1) fi

m, n , fi m, n., (1) , fi fi p.

, .

p p2 2. fi

fi fi fi fi fi

B fi fi fi fi fi

.

, p

q p < q p

q q < p.

fi, fi fi p >0 fi

q= p p2 2

p + 2 =2p + 2p + 2 . (3)

Tfi,

q2 2 = 2(p2 2)

(p + 2)2 . (4)

E p , fi p2 2 < 0, (3) fi q > p (4) fi q 2 0, (3) fi 0 < q < p (4) fi q 2 >2. , q B.

1.2. H fi

fi -

, fi fi fi

: r


18/543

4

, ,

fi .

-

fi .

Ofi 1.3. E (

), fi x A fi x ( ) .

x / A fi x .

fi . fi fi

.

E , fi

fi fi ,

fi fi A B A. E, fi, , fi, fi fi, A

. fi A A .

A=

B fi A

B

A.

= B.

Ofi 1.4. fi 1,

Q.

E

Ofi 1.5. S . S ,


19/543

5

.

(ii) Ex,y ,z S x< y y x x < y.

fi x y fix < yx= y, fi . ,

x y x > y.

Ofi 1.6. S

.

fi Q, fi r, s Qr


20/543

6

T , infimum, fi

fi fi: fi

= infE

fi

> .

1.9.

() 1.1

fi Q. . -

, . fi ,

Q.

, :

fi fi fi

rr 0. fi A , Q.

() E =sup E, fi fi fi . , E1 r r


21/543

7

1.9() fi Q fi

. fi -

fi

fi fi

.

1.11. fi S

fi fi B S, fi fi . L

. fi,

= supL

S fi = infB . , infB S.

Afi. fi B , L fi. L

fi fi y S fiy x, x B, x B L . , L . , L supremum S,

.E S < , fi ( fi 1.8)

L , fi fi / B. , x x B. , L .

E S < , fi / L , fi L .

A fi L L fi S > . , B, , fi > . Afi

fi= infB .


22/543

8

Ofi 1.12. F ,

fi fi, fi (A), (), (D):

()

(A1) Ex,y F, fi x+y F.(A2) fi : x+y= y +x x,y F.(A3) fi : (x+ y)+z= x+ (y+ z) x,y ,z F.(A4) To F 0, 0 + x= x x F.(A5) x F x F

x+ (x) = 0.

()

(M1) Ex,y F, fi fi x y F.(M2) fi fi: x y= yx x,y F.(M3) fi fi: (x y)z= x(yz) -x,y ,z F.(M4) To F 1 1= 0 1x= x

x F.(M5) x F x=0 1/x F

x(1/x) = 1.(D) fi fi

x,y ,z F fi

x(y + z) = x y + x z.

1.13.

()

xy , xy

, x+y + z, x yz , x2, x3, 2x, 3x, . . .


23/543


24/543

10

fi 1.15.

fi , x,y,z F:() E x= 0 x y= x z, fi y= z .() E x= 0 x y= x, fi y= 1.() E x= 0 x y= 1, fi y= 1/x.() E x= 0, fi 1/(1/x) = x.

fi fi 1.14

.

fi 1.16. fi -

, x,y,z

F.

() 0x= 0.() E x= 0 y= 0, fi x y= 0.() (x)y= (x y) = x(y).() (x)(y) = x y.

Afi. 0x+ 0x= (0 + 0)x= 0x. , 1.14() fi fi 0x= 0 fi ().

E , fi x= 0, y= 0, x y= 0. Tfi, () fi

1 =

1y

1x

x y=

1y

1x

0 = 0,

fi . , ().

fi () fi

(x)y + x y= (x+ x)y= 0y= 0,

fi 1.14(). fi

fi.

,

(x)(y) = [x(y)] = [(x y)] = x y, () 1.14().


25/543

11

Ofi 1.17. F,

, :(i) Ex,y,z F y 0 y >0, fi x y >0.O x fi fi x > 0. O x

fi fi x 0 fi x 0 y 0.() E 0< x < y, fi 0 < 1/y 0, fi 0= x+ x >x+ 0 x yy= 0, x(zy) >0

x z= x(z y ) + x y >0 + x y= x y.

() fi (), () 1.16() fi

[x(z y )] = (x)(z y ) >0,

fi fi x(z y )


26/543

12

() Ex >0, fi (ii) 1.17 fi x2 >0.

E x < 0, fix > 0, (x)2

> 0. , fi x2

= (x)2

, fi 1.16(). fi 12 = 1, fi 1 > 0.

() E y >0 v 0, fi yv 0. , fi y (1/y)= 1 >0, fi 1/y > 0. , 1/x > 0. E

fi x < y fi (1/x) (1/y), fi 1/y


27/543

13

() E x,y R x > 0, fi fi

fi n nx > y.

() E x,y R x < y, fi p Q x < p < y. () fi R.

() fiQ fiR :

fi fi.

Afi.

() nx,fi n

fi . E () , fi

y . , R.

=sup A. Efi x >0, x < x . , x 0 , fi (), fi fin

n(y x) >1.

Efi (), m 1, m2m 1 >n x m 2 > nx. Tfi,

m2


28/543

14

n-

. fi fi R (fi

2).

1.21. fi fi fi x fi

fi n fi fi fi

fi y yn = x.

fi fi n

x x1/n .

Afi. fi y , fi y1,y2 -

0 < y1 < y2, fi yn1 < yn2 . t tn < x.

Et= x/(1 +x), fi 0< t x, t / E. , 1 + x . , 1.19

y= supE.

fi yn = x fi fi fiyn < x yn > x .

Afi fibn an = (b a)(bn1 + bn2a + + ban2 + an1) fi

bn an < (b a)nbn1,

fia, b 0 < a


29/543

15

, (y+ h)n < x y+ h E. E fi y+ h > y, fi

fi fi y . fi yn >x.

k= yn x

ny n1 .

Tfi, 0< k< y. t y k, fi fi

yn tn yn (y k)n x t / E. Afi fi fi y k . y

k< y, fi fi y

.

, fi yn = x fi .

fi. E a, b n

fi fi , fi

(ab)1/n = a1/n b1/n.

Afi. =

a1/n,=

b1/n . Tfi,

ab= n n = ()n ,

fi fi fi. ( (M2) fi

1.12). fi fi 1.21 fi

(ab)1/n = = a1/nb1/n .

1.22 . fi -

. fi fi x > 0. n0

fi n0 x. ( fi n0


30/543

16

fi R). n0, n1, . . . , nk1,

n k fi n0 +

n1

10+ + nk

10k x.

n0 +n1

10+ + nk

10k (k= 0, 1, 2, . . . ) . (5)

fi,x= supE. fi x

n0, n1n2n3 . (6)

fi, fi (6),

(5) (6) fi supE.

fi fi

, .

Ofi 1.23. fi

fi R

+ . R

< x < +, x R.

fi + fi

fi .

E , fi

, , fi fi fi sup E= +.

fi .


31/543

17

fi -

, fi fi :

() E x fi fi, fi

x+ = +, x = , x+ =x

= 0.

() E x>0, fi x (+) = +, x () = .() E x


32/543


33/543

19

(D)

x(y + z) = (a, b)(c + e, d+ f)= (ac + ae bd b f, ad+ a f+ bc + be)= (ac bd, ad+ bc) + (ae b f, a f+ be)= x y + x z.

H fi .

1.26. a, b

fi

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). fi fi.

1.26 fi (a, 0)

fi

a. , (a, 0) a.

fi

.

fi

1. fi fi (a, b) fia + bi .

Ofi 1.27. i= (0, 1).

1.28. I fi i 2 = 1.

Afi. i 2 = (0, 1)(0, 1) = (1, 0) = 1.

1.29. E a, b , fi (a, b) = a +bi .Afi. a + bi= (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b).


34/543

20

Ofi 1.30. E a, b z= a+ bi , fi

fi fiz= a bi o z . a b fi fi

z .

K

a= Re(z), b= Im(z).

1.31. E z, w , fi

() z + w=z + w,() zw

=z

w,

() z + z= 2Re(z),z z= 2iIm(z),() o zz fi fi . I, fi , fi

z= 0.

Afi. fi (), (), () fi

fi. (), z = a+ bi , fi a, b , fi z z= a2 + b2.

Ofi 1.32. fi |z|fi z z z. , |z| = (zz)1/2.

( fi) |z| fi 1.21 () 1.31.

fi x fi fi, fi x= x |x| =

x2. , |x| = xx 0 |x| = xx 0, fi z= 0, |0| = 0.()|z| = |z|.

()|zw| = |z||w|.()|Re(z)| |z|.()|z + w| |z| + |w|.


35/543

21

Afi. fi () () fi.

z= a + bi ,w= c + di , fia, b, c, d . fi,|zw|2 = (ac bd)2 + (ad+ bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) = |z|2|w|2,

|zw|2 = (|z||w|)2. T, () fi fi fi, 1.21.

fi (), fi a 2 a2 + b2

|a| =

a2

a2 + b2.

fi (), fi z w z w

z w + zw= 2Re(zw). ,

|z + w|2 = (z + w)(z + w)= zz + zw + wz + ww= |z|2 + 2Re(zw) + |w|2

|z|2 + 2|zw| + |w|2

= |z|2 + 2|z||w| + |w|2

= (|z| + |w|)2.

, () .

fi 1.34. Ex1, . . . ,xn , fi 1

nj=1

xj= x1 + x2 + + xn .

H fi fi fi,

fi Schwarz2.

1 . . M.: fi fi fi : x1, . . . ,xn , fi

nj=1xj= x1 x2 . . . xn.2 . . M.: Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921). fi fi. T

A .

T 1860 Schwarz B X.


36/543

22

1.35. E a1, . . . , an b1, . . . , bn ,

fi n

j=1aj bj

2

n

j=1|aj |2

nj=1

|bj |2.

Afi. A= nj=1 |aj |2, B= nj=1 |bj |2, C= nj=1aj bj . EB = 0, fi b1 = = bn = 0 . fi B >0. 1.31

nj=1

|Ba j C bj |2 =n

j=1(Ba j C bj )(Ba j Cbj )

= B2

nj=1 |aj |

2

B Cn

j=1 aj bj BC

nj=1 a

j bj+ |C|2

nj=1 |bj |

2

= B2A B |C|2

= B(A B |C|2).

fi fi fi, -

fi

B(A B |C|2) 0.Efi B > 0, fi A B |C|2 0. , fi.

EYKEIEIOI

fi fi Karl Weierstrass (1815-1897) Ernst

Eduard Kummer (1810-1893), M. O Schwarz

fi Kummer fi fi .

fi 1864. T 1866 Schwarz

. K 1867 Halle

. T 1869 Schwarz

fi Z. K 1875,

Gttingen. T 1892 Schwarz Weierstrass B, fi 1917.

O Schwarz fi M. E

fi .


37/543

23

Ofi 1.36. fi fik

Rk

fi k-

x = (x1, . . . ,xk),

fix1, . . . ,xk , -

x. T Rk ,

fi k>1. . E y=(y1, . . . ,yk) a fi fi, fi

x + y = (x1 +y1, . . . ,xk+yk),ax

=(ax1, . . . , axk).

, x + y Rk ax Rk. M fi fi fi fi

fi (fi ). -

fi, fi fi ( fi

, -

) Rk fi

. fi Rk (

fi ) 0,

fi 0.

, fifi fi( fi

fi) xy

x y =k

i=1xiyi

x

|x| = (x x)1/2 =

ni=1

x2i

1/2.

H o ( fi Rk

fi fi ) E

k-.


38/543

24

1.37. Y fi x, y, z Rk fi a -

fi fi . fi:() |x| 0.()|x| = 0 fi x = 0.()|ax| = |a||x|.()|x y| |x||y|.()|x + y| |x| + |y|.()|x z| |x y| + |y z|.

Afi. (), () () ()

fi Schwarz. Afi () fi

|x + y|2 = (x + y) (x + y)= x x + 2x y + y y |x|2 + 2|x||y| + |y|2

= (|x| + |y|)2,

' fi fi (). , () fi

() x x y y y z.

1.38. (), () () 1.37 - Rk fi (

2).

R1 ( ) -

. , R2 fi

( 1.24 1.36). -

, fi

.

AP


39/543

25

fi 1.19,

Rfi Q. .

1. R Q,

. , ,

Q fi:

() To fi = Q.

(I) E p ,q Q q < p, fiq .

(II) E p , fi p < r r .

p, q, r, . . . , , , . . . .

fi (III) fi .

T (II) fi,

:

E p q / , fi p < q .Er / r


40/543

26

, R .

B 3. R fi

.

fi , fi

A R. fi A.

fi A. M , fi p fi p A. fi R fi= sup A.

Efi A fi, 0 A. To 0 fi.fi0 , fi. Kfi, (fi , A) = Q. , fi (). fi (II) (III), p . fi, p 1 1 A. E q < p, fi q 1 q . Afi (II). E r 1 r > p, fir (fi1 ). Afi (III).

, R.fi fi , A. fi < . fi, s s / . Efi s ,

fi s A. , <

.fi = supA.

4. E , R, fi + r+ s, fi r s .

0 .

fi fi .

R( fi 1.12), 0

0.

(A1) fi

+ . fi

+ fi. r / , s / . Tfi, r s , fi r+ s > r+ s. , r+ s / + . , + fi ().


41/543

27

p + . Tfi, p= r+ s r s . E q < p,

fi q s < r q s . , q= (q s) + s + ., (II). t t > r. Tfi, p < t+ st+ s + . M fi (III).

(A2) + r+ s, fir s . , + s + r, fis r . fir+ s= s + r, r, s Q, fi + = + .

(A3) , fi fi

fi Q.

(A4) E r

s

0, fi r+

s < r, r+

s

. ,

+ 0 . fi p .A r r > p. fi, p r 0 p= r+ (p r) + 0. , + 0. K' fi fi + 0 = .

(A5) R. A p fi fi:

fi fi r >0 p r / ., fi fi, fi p, o

.

fi

R

+

=0.

E s / p= s 1, fip 1 / p ., fi. E q , fi q / = Q., ().

p r >0, p r / . E q < p,fi q r > p r, q r / . ,q (II). t= p+ (r/2). Tfi, t > p t (r/2)= p r / .E,t . K , (III).

fi R.E r s , fis / r


42/543

28

fin n w (n+ 1)w / . ( fi fi

fi Q.) p= (n+ 2)w. fi, p ,fi p w / . E

v= nw + p + .

, 0 + . fi fi + = 0., , fi , .

5. fi fi, fi

4, () 1.12, fi fi

1.14 R fi 1.17:

E , , R < , fi + < + ., fi fi R fi +

+ . E + = + , fi fi (fi 1.14) fi= , fi .

, fi >0 fi 0.

E , R+, fi fi p p r s, r r >0 s s >0.

1 q q 0 >0, fi >0.

7. fi


43/543

29

0 = 0= 0

=

()() 0. fi, = (+ )+() (fi fi fi fi R+)

= (+ ) + ().

, () = (). ,

+

=(

+ ).

fi fi .

fi fi R

fi .

B 8. r Q r p p


44/543

30

fi, p (r+ s). fi, p < r+ s. t

2t= r+ sp. r= r t, s= s t.

fi,r r, s s p= r + s. , p r + s.fi (). () .

E r


45/543

31

Knopp fi

R fi Q. fi Hewitt Stromberg

, fi fi fi

Cauchy fi . (

3).

R

Dedekind3. H Rfi Q Cauchy

o Cantor.

1872.

3 . . M.: Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916). fi

fi. E A. M , fi

fi , Dedekind, fi

. E,

, fi.

fi fi fi .

, Dedekind , Braunschweich. K 1848

K Caroline,

M. E Gttingen, 1850, fi

fi Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Wilhelm Eduard Weber (1804-1891) Moritz

Abraham Stern (1807-1894). O Dedekind fi fi Gauss,

A, 1852. Gttingen 1855

fi fi Z,

. O Dedekind 1862 Braunschweich

, fi

.

O Dedekind fi fi

fi fi fi . Xfi

fi fi fi M

Dedekind 4 1899. O

fi fi fi fi fi Georg Cantor(1845-1918). O Dedekind, fi

, fi

Cantor. O Dedekind fi Bernhard Riemann (1826-1866).


46/543

32

AKHEI

fi fi, fi

fi .

1. E r fi fi (r= 0) x fi (x= 0), fi fi r+ xr x .

2. fi fi fi

12.

3. fi 1.15.

4. E fi fi fi.

fi E E.

fi .

5. A A fi

. A x, fi x A.A fi

infA=

sup(

A).

6. b > 1.

() E m, n,p, q n >0, q >0

r= m/n= p/q, fi fi

(bm )1/n = (bp)1/q .

M fi, fi fibr = (bm )1/n .() fibr+s = brbs , fi r, s .() E x fi fi, fi B(x)

bt,fi t fi fi t x. fi

br = supB(r),


47/543

33

r fi fi. , fi fi

bx = supB(x),

fi fi x.

() fi bx+y = bxby , -x,y .

7. b > 1,y > 0. fi -

fi fi x bx = y, fi. (x y b.)

() fi fi n fibn

1 n(b 1).() fi fi b 1 n(b1/n 1).() E t >1 n > (b 1)/(t 1), fib1/n y, fi bw(1/n) > y,

fi fin .

() w bw < y. fi

x

=supA, fibx

=y.

() o fi fi fi x fi.

8. A fi

.

Yfi:T 1 .

9. fi z= a+ bi, w= c + di . z < w fi a < c a= c b < d. A fi . (

, fi. fi fi

;


48/543

34

10. fi z= a + bi, w= u + vi fi

a= |w| + u

2

1/2, b=

|w| u2

1/2.

fiz 2 = wv 0 fi(z)2 = wv 0. fi fi fi ( !)

.

11. E z fi fi, fi fi

r0 fi fi w |w| =1 z= rw. r, w fi z ;

12. Ez 1, . . . ,zn , fi fi

|z1 + + zn| |z1| + + |zn|.

13. Ex,y , fi fi

||x| |y| | |xy |.

14. Ez fi fi |z| =1, z z=1, fi

|1

+z

|2

+ |1

z

|2.

15. fi fi fi

Schwarz;

16. fik 3, fix, y Rk |x y| = d>0 fir >0. fi:

() E 2r >d, fi z Rk

|z x| = |z y| = r.

() E 2r

=d, fi z fi .

() E 2r


49/543

35

17. A fi

|x + y|2 + |x y|2 = 2|x|2 + 2|y|2,

x, y Rk. fi fi , fi fi.

18. E k 2 x Rk, fi fi y Rk y = 0 x y = 0. fi k= 1;

19. fia, b Rk. c Rk r >0

|x a| = 2|x b|

fi |x c| = r.(:3c = 4b a, 3r= 2|b a|.)

20. , fi fi (III)

. -

. fi

fi fi fi

(A1) (A4) ( fi fi!), fi (A5).


50/543


51/543

K 2

, -

fi -

.

Ofi 2.1. , , fi x ,

fi, , f(x).


52/543

38

fi, f fi (

fi ). f( fi f ). f(x),

fi x A, f fi f f.

Ofi 2.2. , f fi .

E E A, fi f(E) f(x) x E. O fi fi f. , f(A) f.

fi f(A)

B. H f fi

fi f(A) = B. (M fi, f fi f .

E E B, fi f1(E) x A f(x) E. fi fi f. E y , fi f1(y) x A f(x)= y. H f 1-1 (--)fi fi f1(y)

. : f 1-1

fi fi f(x1) = f(x2) x1,x2 A x1=x2.

( fix1= x2 fi x1,x2 . ,x1= x2.)

Ofi 2.3. fi 1-1

fi fi fi fi, ,

fi 1-1 fi 1. fi

fi A B. fi: : A.

1

. . M.: M ffi A B fi 1-1 B .

gfi B A , f1, fig(f(x)) = xx A f(g(y)) = y y B. H g fi f.


53/543

39

: E B, fi B A.

: E A B B C, fi A C.K fi .

Ofi 2.4. fi fi n Jn

1, 2, . . . , n. , -

J fi . E

, fi :

() fi Jn, fi fin ( fi ).

() fi .

() fi A J.() Y fi

.

() fi -

.

.

fi A B fi fi . ,

, ,

1-1 .

2.5. fi . fi,

. fi

fi J:

A: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .J : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .

fi

f, 1-1 :

f(n) =

n2 n fi,

n 12 n fi fi.


54/543

40

2.6.

fi . , fi fi , fi 2.5, fi J

A.

fi, fi2.4()

fi fi: fi

fi .

Ofi 2.7. fi f,

J . E f(n)= xn , n J, fi f {xn}(n= 1, 2, 3, . . . ) {xn}, x1,x2,x3, . . . . f , xn n J, fi . E xn A n J, fi {xn} (n=1, 2, 3, . . . ) .

fi fi x1,x2,x3, . . . -

.

Efi 1-1

J, -

fi.

B fi, fi fi

fi .

fi J

fi fi ,

0 1.

2.8. fi fi

.

Afi. fi A. -

{xn} (n= 1, 2, 3, . . . ) - . {nk}(k= 1, 2, 3, . . . ) :


55/543

41

n1 fi fi fi n1 xn1 E.

n1, . . . , nk1, nk fi fi fi fi

nk1 xnk E. fi f fi J E f(k)= xnk (k=

1, 2, 3, . . . ), 1-1 J.

fi fi,

fi fi :

fi.

Ofi 2.9. fi

,

E.

E, fi A, {E}( A) {E}. A fi fi fi fi

fi.

{E}( A) S o fi: x

S fi x

E

A.

fi

S=A

E. (1)

E fi 1, 2, . . . , n, fi -

S=n

m=1Em , (2)

S= E1 E2 En . (3)


56/543

42

E , fi

S=

m=1Em, (4)

(4) fi - fi + fi 1.23.

{E} ( A) P o : x P fi x E A. fi

P=A

E, (5)

P=n

m=1Em= E1 E2 En , (6)

P=

m=1Em , (7)

fi .

A,B fi fi A fi. , ,

.

2.10.

() fi 1 fi 1, 2, 3

2fi 2, 3, 4. fi, E1 E2 fi 1, 2, 3, 4 E1

E2fi 2, 3.

() x 0 < x 1. x A, Ex y 0< y < x. fi,


57/543

43

(i) x Ez fi 0 < x z 1.

(ii)

xA Ex= E1.(iii) To

xA Ex fi.

(i) (ii) . fi (iii) fi

fi fi y y > 0 fi y / Ex x < y. ,y / xA Ex. 2.11. fi

. -

fi, fi

fi fi

.

fi fi fi -

:

A B= BA, A B= BA. (8)

A (B C) = (A B ) C, A (B C) = (A B ) C. (9)

fi fi (3) (6).

fi fi:

A (B C) = (A B ) (A C). (10)

fi, E

(10) F .

fix E. fi,x A x B C, x B x C( ). ,x A B x A C, x F. ,E F.

, fix F. Tfi,x A B x A C. ,x A x B C. , x E. , F E.

fi fi E= F.


58/543

44

fi ,

.

A B , (11)

A B A. (12)

E 0 fi , fi

A 0 = A, A 0 = 0. (13)

E A B, fi

A B= B, A B= A. (14)

2.12. Y fi{En} (n= 1, 2, 3, . . .) - fi.

S=

n=1En. (15)

Tfi, S .

Afi. n {xnk} (k=1, 2, 3, . . . )

x11 x12 x13 x14 . . .

x21 x22 x23 x24 . . .

x31 x32 x33 x34 . . .

x41 x42 x43 x44 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(16)

En n.

fi S.

x11: x21,x12: x31,x22,x13: x41,x32,x23,x14: . . . (17)


59/543

45

E fi n ,

fi (17). , fi S T, fi fi S ( 2.8). fi

E1 S 1 , fi S .

fi. fi

A B . fi,

T=A

B

.

fi fi fi

(15).

2.13. Bn

n- (a1, . . . , an ) ak A (k= 1, 2, . . . , n). (T a1, . . . , an .) fi, Bn

.

Afi. fi 1 . fi

Bn1(n= 2, 3, 4, . . . ) . Bn

(b, a) (b Bn1, a A). (18)

b n1, (b, a)

. , Bn

fi. fi 2.12

fi Bn .

.

fi. .

Afi. fi 2.13 n= 2, fi fi fi r b/a, fi a, b .


60/543

46

(a, b),

b/a, .

fi, fi

( 2).

, fi fi fi ,

.

2.14. Y fi

fi 0 1. fi, .

fi 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, . . . .

Afi. . fi

fi s1, s2, s3, . . . .

s : n fi sn 1, fi

n fi s 0 fi . fi, s

fi . , s / E. s A, .

, fi

. , (

.)

fi fi

Cantor 2 Cantor:

2 . . M.: Georg Cantor (1845-1918). E fi fi ,

P. O Cantor fi.

O Cantor M,

Z, 1862, M, B,

1863. E Ernst Kummer (1810-

1893), Karl Weierstrass (1815-1897) fi

( fi fi ) Leopold Kronecker (1823-1891).

B 1867. T A. E, fi

Weierstrass, T .

O Cantor Halle 1869, fi


61/543

47

s1, s2, s3, . . . fi (16), fi

.

( 2 fi 10)

fi 2.14 fi

. fi

fi 2.43 fi fi.

Ofi 2.15. X, ,

fi fi (p, q)

X fi fi d(p, q),

fi pfi q , p, q, r X :()d(p, q) >0, p= q . ,d(p,p) = 0.()d(p, q) = d(q,p).()d(p, q) d(p, r) + d(r, q). fi -

.

2.16.

fi Rk, R1 (

1913.

B, fi , fi fi Kronecker

, fi fi,

, Cantor.

O Cantor 1874 fi fi,

fi

M.

O Cantor . fi fi , fi fi

fi fi . T fi

Halle, fi .


62/543

48

) R2 ( fi ). fi d Rk

d(x, y) = |x y| (x, y Rk). (19)

1.37, 2.15 -

fi (19).

fi fi Yfi

fi .

fi fi () () 2.15

p, q, r X, fi p, q, r ., fi E fi .

C(K) L2(),

7 11 .

Ofi 2.17. fi fi (a, b)

x a < x 0, fi () x r

y

Rk |y

x|


63/543

49

fix, y E R1 0 < 0 R1 |y x| < r,|z x| < r 0<


64/543

50

() E fi

fi fi Mq Xd(p, q) < M, p E.() E fi fi

X fi E E( ).

fi R 1

R2 .

2.19. X fi .

Afi. E= Nr(p)(p X, r >0). q . fi, fi fih

d(p, q) = r h.

s d(q, s)


65/543

51

fi.

.

2.21. fi R2:

() z |z|


66/543

52

fi. fi,

A

E

c

=A

Ec. (20)

Afi. A B (20). E x A,fi x / A E x / E A., x Ec A, x

AE

c.

, A B.fi, x B, fi x Ec A,

x / E A. , x

A E

c.

, B

A.

, A= B.

2.23. E fi fi

fi.

Afi. , fi Ec fi. x E.fi,x / Ec, x fi Ec. , Nx Ec N fi. fi fiN E. , x fi E. K , Efi.

fi, fi E fi. x fi

Ec. Tfi, x Ec, fi

fi x fi E. fi E

fi, fi x Ec. , Ec fi.

fi. F fi fi -

fi.

2.24.

()

{G

} (

A) fi, AG fi.

() {F} ( A) fi,

AF fi.


67/543

53

() G1, . . . , Gn fi,

n

i=1G i fi.() F1, . . . ,Fn fi,

n

i=1 Fi fi.

Afi. G= AG . E x G, fi x G, . fi x fi G, fi

G . G fi. fi ().

fi 2.22, fiA

F

c= A

Fc (21)

Fc fi , 2.23.

, () fi (21) fi, AF fi.

, = ni=1G i . x H Nix ri Ni G i , i= 1, 2, . . . , n.

r= min{r1, . . . , rn}

N x r. fi, N Gi i=

1, 2, . . . , n. , N

H H fi.

, () fi (): n

i=1Fi

c=

ni=1

Fci .

2.25. () () ,

. -

fi, G n fi 1n

, 1n (n=

1, 2, 3, . . . ).

Tfi, Gn fi R1 n=1, 2, 3, . . . . , G= i=1G i fi fi ( 0) fi R1.


68/543

54

, fi -

fi . , fi fi .

Ofi 2.26. X fi E X. E E , fi (

(fi) ) E= EE.

2.27. E X fi E X, fi() E fi.

() E=

E fi fi.

() E F fi F X E F.

fi () () fi E fifi

.

Afi.

() E p X p / E, fi p E fi E. , p E. ,

E fi, E fi.

() E E

=E, fi () fi E fi. E E

fi, fi E E( 2.18() 2.26) E= E.

() E F fi E F, fi F F, E F. , E F.

2.28. Y fi fi

. E y= supE, fi y E. (y E, fi).

fi fi 1.9.

Afi. E y E, fi y E. fi fi y / E. fi fih h >0 x E y h < x < y,


69/543

55

y h . , y fi

, fi fi y E. 2.29. fiE Y X, fi Xfi . fi E fi X fi

p E fi fi r q Xd(p, q)


70/543

56

Ofi 2.31. fi fi fiE fi

X {G}( A) fi E AG .Ofi 2.32. Kfi

fi K .

, : {G} ( A) K, fi 1, . . . , n

K G 1 Gn .

fi A, -

( 4).

fi . fi

2.41

fi Rk.

fi 2.29 fi E Y X, fi fi fi

. , fi fi fi

. .

, fi ,

fi . ,

fi 2.32.

2.33. fi K Y X. fi, fi .

fi ,

, .

, fi ( fi fi fi ),

fi .


71/543

57

Afi. fi K .

{V} ( A) Yfi AV. 2.30, fi{G}( A), , V= Y G A. Efi K , fi

K G 1 Gn (22)

1, . . . , n . fi K Y, (22) fi

K V1 Vn . (23)

Afi fi .fi, fi .

{G} ( A) X fi AG . V= Y G A.fi, (23) 1, . . . , n . fi V G A, (23) (22).

fi fi.

2.34. K fi

fi.

Afi. Y fi K fi -

X. fi fi

X.

p X p / K. E q K, fi Vq p Wq q fi fi

12 d(p, q)(

fi 2.18()). fi K , q1, . . . , qn K

K Wq1 Wqn= W.

E V= Vq1 Vqn , fi V p W. ,V Kc, p fi Kc.M fi .


72/543

58

2.35. K fi fi fi

fi .

Afi. fi F K X, fi F fi ( ) K . {V} ( A) F. E Fc {V}( A), fi K. fi ,

K, F.

E Fc , fi fi

F. , fi

{V} ( A) F.

fi. E F fi , fi F K .

Afi. 2.24() 2.34 fi F K fi. fiF K K, 2.35 fi F K.

2.36. E

{K

} (

A) -

fi fi X fi fi

{K} ( A) , fi A K fi.

Afi. K1{K}( A) G= Kc( A). fi K1 K. Tfi, {G} ( A) K1.fi K1 , 1, . . . , n

K1 G 1 Gn . fi fi

K1 K1 Kn

fi, fi fi .


73/543

59

fi. E {Kn} (n = 1, 2, 3, . . .)

fi fi Kn+1 Kn (n =1, 2, 3, . . .), fi

n=1Kn fi.

2.37. E E fi

fi K, fi E fi K.

Afi. E K fi E, fi

q K Vq E( q, q E). fi {Vq}(q K) E K, fiE

K. fi fi fi K.

2.38. E {In} (n= 1, 2, 3, . . .) R1 In+1 In (n=1, 2, 3, . . .), fi

n=1 In

fi.

Afi. fi In= [an , bn] n= 1, 2, 3, . . . . E an , fi n= 1, 2, 3, . . . . Tfi, E fi (fi b1). A x= sup E. E m, n , fi

an am+n bm+n bm,

x bm fi fi m. fi am x, fi fi m, fi x Im , m= 1, 2, 3, . . . .

2.39. Y fi k fi fi .

E{In} (n= 1, 2, 3, . . .) k- In+1 In(n= 1, 2, 3, . . .), fi

n=1 In fi.

Afi. fi In fi x = (x1, . . . ,xk)

an,j xj bn,j (1 j k, n= 1, 2, 3, . . . )


74/543

60

In,j = [an,j , bn,j ]. j , {n,j}

(n= 1, 2, 3, . . . ) 2.38. -, xj (1 j k),

an,j xj bn,j (1 j k, n= 1, 2, 3, . . . ) .

x = (x1, . . . ,xk) fi x In n =1, 2, 3, . . . . M fi .

2.40. k- .

Afi. k- I, fi x=(x1, . . . ,xk) aj xj bj (1 j k).

=

kj=1

(bj aj )21/2

.

Tfi, |x y| x, y I., , fi

{G} ( A) I I. cj= (aj +bj )/2 (1 j k). fi, [aj , cj ] [cj , bj ] 2k k-Qi (i

=1, 2, . . . 2k),

. fi ,

I1, fi

{G} ( A) ( ). A, I1 fi

. fi, k-{In} (n =1, 2, 3, . . . ) fi fi:

() I3 I2 I1 I.() To In fi {G}

(

A).

() Ex, y In, fi |x y| 2n (n= 1, 2, 3, . . . ). () 2.39, x

In. A x G. fi


75/543

61

G fi, r >0 |y x| < r, fiyG.

E fi fi n 2n < r (fi n fi , fi

2n /r fi fi n, fi fi R1), fi () fi In G, ().

fi fi.

() ()

Heine3 Borel4.

2.41. E E Rk fi -

fi , fi fi :

3 . . M.: Eduard Heine (1821-1881). fi fi,

A. Y Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Gustav Peter Lejeune Dirichlet (1805-1859).4 . . M.: Felix douard Justin mile Borel (1871-1956). fi

A M (

1898). H , Henri Lon Lebesgue (1875-1941) Ren

Louis Baire (1874-1932), fi A

M. E,

. Efi , fi

.

O Borel Charles Hermite (1822-1901). K

cole Normale Suprieure , 1896. K

1909,

fi, fi. T 1918, Borel

fi ,

.

Efi fi , Borel -

fi. K , B

A, fi 1924 1936, Yfi N, fi

1925 1940. T 1940 Borel fi fi fi

(fi) Vichy fi fi . K

A N. T 1945 M A 1950 M fi T.

fi , Borel 1955 Xfi M E

K E (CNRS) .


76/543

62

() E fi .

() E .() E fi .

Afi. E (), fi E I k- I () fi 2.40 2.35. 2.37 fi

() (). fi () fi

().

E E , fi E xn (n =1, 2, 3, . . . )

|xn| >n (n= 1, 2, 3, . . . ) .

fi fi

Rk . K , () fi

.

E E fi, fi x0 Rk fi E E. n= 1, 2, 3, . . . , xn E |xn x0|


77/543

63

fi () () -

fi ( 26). , () - () (). 16. ,

L2,

11.

2.42 (Weierstrass5).

5 . . M.: Karl Wilhelm Theodor Weierstrass (1815-1897). K fi

fi. E A .

H M.

O Weierstrass fi , fi fi . O

fi Weierstrass fi , , Weierstrass fi N

Bfi 1834. M N, Weierstrass -

fi , fi fi ,

M,

N. K fi , Weierstrass

A Mnster

. Mnster, Weierstrass fi fi Christoph

Gudermann (1798-1851), fi fi Weierstrass.

O Weierstrass 1841, ,

, fi M. O Gudermann , fi

, Weierstrass . O Weierstrass

.

fi fi . T -

Knigsberg, , Weierstrass

1855. O Weierstrass 1856

M B B .

, Weierstrass M

B A E B-

. Afi fi , Weierstrass fi fi fi

fi, fi fi .

O Weierstrass B

fi . Y . M

Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), Gsta Magnus Mittag-Leffler(1846-1927), Sonja Kowalewski (1850-1891) ( ), Immanuel

Lazarus Fuchs (1833-1902), Georg Ferdinand Frobenius (1849-1917), Carl David Runge (1856-

1927), Wilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923) Hans von Mangoldt (1824-1868).


78/543

64

Rk fi Rk.

Afi. E Rk.

, fi k- I Rk. 2.40, I E fi

I, 2.37.

2.43. P fi Rk.

fi, P .

Afi. fi P , .

fi P . P

x1, x2, x3, . . . . {Vn} (n =1, 2, 3, . . . ) :

V1 x1. E V1 r > 0, fi

V1 V1 y Rk |y x1| r. fi fi fi n Vn -

Vn P fi. fi

P fi P, Vn+1 (i)Vn+1 Vn , (ii) xn / Vn+1, (iii) Vn+1P fi. (iii), Vn+1 fi .

fi fi n Kn= Vn P . fi Vn fi , . fi xn / Kn+1, P

n=1Kn . fi Kn P , fi

n=1 Kn fi. , Kn fi, (iii),

Kn+1 Kn (n= 1, 2, 3 . . . ), (i). fi fi 2.36.

fi. [a, b] (a < b) . -

, .


79/543

65

2.44 Cantor. To fi

fi R1

.

A E0 [0, 1]. A fi fi

13 ,

23

.

A E1 0,

1

3

,

2

3, 1

.

A fi . A

E2

0,

1

9

,2

9 ,3

9

,6

9 ,7

9

,8

9 , 1

.

fi fi, -

fi En(n= 1, 2, 3, . . . ) fi:() E3 E2 E1.() T En 2n , 3n .

T

P=

n=1En

Cantor. , P

2.36 fi fi.

E fi 3k+ 1

3m ,

3k+ 13m

(24)

P , fik, m . E

3m R.Afi. an= cnzn (n= 0, 1, 2, . . . ) fi :

limsupn

n

|an| = |z| limsupn

n

|cn| =|z|R

.

: R

n=0cnzn.

3.40.

() H

n=1nnzn R= 0.

() H

n=1zn

n! R= +. ( fi fi.)

() H

n=0zn R= 1. E|z| = 1, fi

, fi {zn} (n= 0, 1, 2, . . . ) 0n .

() H

n=1zn

n R= 1. A z= 1. fi fiz |z| = 1 . (O fi 3.44.)

() H n=1 znn2 R=1.

fi fi z|z| =1, , fi|zn /n2| = 1/n2 n .


122/543

108

APOIH KATA MEPH

3.41. {an}, {bn} (n= 0, 1, 2, . . .),

An=n

k=0ak,

fi n 0 A1= 0. E 0 p q, fi fi

qn=p

anbn=q1n=p

An (bn bn+1) + Aq bq Ap1bp. (20)

Afi. E

qn=p

an bn=q

n=p(AnAn1)bn=

qn=p

An bnq1

n=p1An bn+1

(20).

O (20), fi ,

n=1an bn ,

fi {bn} (n= 1, 2, 3, . . . ) fi. .

3.42. Y fi:

() T An (n= 1, 2, 3, . . .)

n=1an -

.

() b1 b2 b3 .() limnbn= 0.Tfi, n=1an bn .

Afi. E fi M |An| M n. > 0, fi N bN (/2M).


123/543

AKOOYIE KAI EIPE 109

p, q N p q

qn=p

an bn

=

q1n=p

An(bn bn+1) + Aq bq Ap1bp

M

q1n=p

(bn bn+1) + bq+ bp

= 2Mbp 2MbN .

T, fi Cauchy.

fi fi fi fi

bn

bn

+1

0 n .

3.43. Y fi:

()|c1| |c2| |c3| .() c2m1 0, c2m 0 (m= 1, 2, 3, . . .).() limncn= 0.Tfi,

n=1cn .

O () fi

. T fi fi Leibniz2.

2 . . M.: Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). fi . Efi

M, , ,

, N, , I, E, .

fi .

A. M Isaac Newton (1642-1727)

A . E,

A. E fi fi

fi M. Mfi

fi fi Leibniz fi

Alfred North Whitehead (1861-1947) Bertrand Russell (1872-1970),

George Boole (1815-1864).

fi Leibniz E, -. E 1661 fi

N, fi fi .

1663. T fi , fi N


124/543

110

Afi. Efi 3.42 an = (1)n+1, bn = |cn|

(n= 1, 2, 3, . . . ).

3.44. Y fi

n=0cnzn 1 fi c0 c1 c2 , limncn = 0. Tfi,

n=0cnzn z |z| =1, fi fi z= 1.

Afi. an= zn, bn= cn (n= 1, 2, 3, . . . ). O 3.42 , fi

|An| = n

m=0zm

= 1 zn

+1

1 z 2|1 z| (n= 1, 2, 3, . . . )

|z| = 1 z= 1.

AOYTH YKIH

H

n=1an fi fi

n=1 |an| . . T 1666, . O Leibniz , , fi

Altdorf. E, N, .

O Leibniz

Mainz 1672. T fi fi fi

1676. , Leibniz M

fi Christiaan Huygens (1629-1695). T 1673,

Leibniz B E .

O Leibniz 1676 fi

Braunschweich-Lneberg. , ,

Braunschweich-Lneberg. E fi Braunschweich-Lneberg

.O Leibniz A E B 1700

fifi . T Leibniz A E

.


125/543


3.45. E

n=1an , fi

n=1an

.

Afi. T fi fim

k=nak

m

k=n|ak| (m n)

Cauchy.

3.46. fi, fi

.

fi n=1an fi n=1an n=1 |an| . E ,

n=1

(1)nn

( 3.43).

T , fi fi -

fi

. H -

. I,

fi .

, fi -

fi .

M fi fi

. , ,

fi fi

fi .

POEH KAI OAAIAMO EIPN

3.47. E

n=1an= A

n=1bn= B, fi

n=1(an+bn) = A + B

n=1can= c A, fi fi fi c.


126/543

112

Afi. A

An=n

k=1ak, Bn=

nk=1

bk (n= 1, 2, 3, . . . ) .

Tfi,

An+Bn=n

k=1(ak+ bk) (n= 1, 2, 3, . . . ) .

Efi limn An= A limnBn= B, fi

limn

(An+Bn ) = A + B .

H fi fi .

, fi

fi

. H fi fi

. A, fi. Afi

fi. fi Cauchy fi.

Ofi 3.48.

n=0an

n=0bn ,

cn=n

k=0

akbnk (n= 0, 1, 2, . . . )

n=0cn fi .

O fi fi : -

n=0anzn

n=0bnz

n , fi fi

fi z , fi

n=0

anzn

n=0

bnzn = (a0 + a1z + a2z2 + )(b0 + b1z + b2z2 + )

= a0b0

+(a0b1

+a1b0)z

+(a0b2

+a1b1

+a2b0)z

2

+ = c0 + c1z + c2z2 + .

z= 1, fi.


127/543


3.49. E

An=n

k=0ak, Bn=

nk=0

bk, Cn=n

k=0ck (n= 0, 1, 2, . . . )

An A, Bn B n , fi fi {Cn} (n=0, 1, 2, . . . ) A B, fi (-) fi Cn= AnBn fi fi n. H {Cn}(n= 0, 1, 2, . . . ) fi {An} (n= 0, 1, 2, . . . ) {Bn} (n= 0, 1, 2, . . . ) ( fi 3.50).

fi fi .

H

n=0

(1)nn + 1

= 1 12+ 1

3 1

4+

( 3.43). fi

fi

n=0

cn = 1

12+ 1

2

+

1

3+ 1

2

2+ 1

3

14+ 1

3

2+ 1

2

3+ 1

4

+

,

cn= (1)nn

k=0

1(n k+ 1)(k+ 1) (n= 0, 1, 2, . . . ) .

Efi

(n k+ 1)(k+ 1) =n

2+ 1

2

n2 k

2

n2+ 1

2,

fi

|cn

|

n

k=0

2

n + 2=

2(n + 1)

n + 2 (n

=0, 1, 2, . . . ) ,

cn0 n ,

n=0cn , .


128/543

114

fi ,

Mertens3

, fi - .

3.50. Y fi:

() H

n=0an .

()

n=0an= A.()

n=0bn= B.

() cn=n

k=0akbnk (n= 0, 1, 2, . . .).Tfi,

n=0 cn= A B.

, fi ,

, fi .

Afi.

An=n

k=0ak, Bn=

nk=0

bk, Cn=n

k=0ck, n= Bn B (n= 0, 1, 2, . . . ) .

Tfi, n= 0, 1, 2, . . . fiCn = a0b0 + (a0b1 + a1b0) + + (a0bn+ a1bn1 + + anb0)

= a0Bn+ a1Bn1 + + anB0= a0(B+ n ) + a1(B+ n1) + + an (B+ 0)= AnB+ a0n+ a1n1 + + an 0.

n

=a0n

+a1n

1

+ +an0 (n

=0, 1, 2, . . . ) .

3 . . M.: Franz Mertens (1840-1927). fi

A . E Leopold Kronecker (1823-1891)

Ernst Kummer (1810-1893).


129/543


E fi Cn A Bn . Efi AnB A B

n , filim

nn= 0. (21)

=

n=0|an|.

(E ().) A >0.

(), n 0 n . , fi N n N, fi|n| . , n N

|n| |0an+ + NanN| + |N+1anN1 + + n a0| |0an+ + NanN| + .

Nfi n fi

lim supn

|n| ,

fi ak 0 k . Efi fi fi, (21).

n=0cn

A B fi . O Abel4 fi

.4 . . M.: Niels Henrik Abel (1802-1829). Nfi fi,

fi .

Kfi fi , Abel fi fi

, fi o ,

fi .

T 1821 Abel X (fi Oslo), fi fi

1822. fifi

fi . , , Bernt

Michael Holmbo (1795-1850), Abel fifi .

1824, fi


130/543

116

3.51. E

n=0an ,

n=0bn ,

n=0cn

A, B, C cn= a0bn + +an b0 (n= 0, 1, 2, . . .),fi C= A B.

fi fi

. fi (

) fi 8.2.

ANAIATAEI

fi Carl Friedrich Gauss (1777-

1855). fi

, fi fi fi

, fi Gauss, ,

fi Abel. O Gauss, fi

fi ,

Abel, . , Abel 1826

A E .

Adrien Marie Legendre (1752-1833)

Augustin Louis Cauchy (1789-1857). O Abel. ,

fi fi . Z

fi Abel , fi .

fi , Abel 1827 X

fi fi

. T X

fi .

1828 Abel Florand, , fi

.

Abel, o August Leopold Crelle (1780-1856),

Journal fr die Reine und Angewandte Mathematik,

M ,

fi B

M.

Charles Hermite (1822-1901), Abel fi -

fi .


131/543


Ofi 3.52. A {kn} (n = 1, 2, 3, . . . )

, fi fi fi ( {kn} 1-1 fi J J, Ofi 2.2).

an= akn (n= 1, 2, 3, . . . ) ,

n=1an

n=1an.

E{sn}, {sn} (n = 1, 2, 3, . . . )

n=1an

n=1a

n, fi

fi, , fi

. , fi fi

.

3.53.

1 12+ 1

3 1

4+ 1

5 1

6+ (22)

1 + 13 1

2+ 1

5+ 1

7 1

4+ 1

9+ 1

11 1

6+ , (23)

fi fi fi fi. E s (22), fi

s 0

k1, fi s 3


132/543

118

T fi fi fi

, Riemann5

.

3.54.

n=1an

5 . . M: Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). fi

fi. E A, M . Afi

Riemann Albert Einstein (1879-1955)

fi. O Riemann fi fi

fi , .

O Riemann fi fi . O

. Afi fi

M, .

, X, Riemann Gttingen 1846 fi

. fi , Riemann

M, . B,

fi fi fi Gustav Peter Lejeune Dirichlet (1805-1859),

Jacob Steiner (1796-1863), Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) Ferdinand Gotthold

Max Eisenstein (1823-1852). O Riemann Gttingen 1849

. T 1851

Riemann Carl Friedrich Gauss (1777-

1855), , fi fi. T , Riemann

Gttingen, fi fi

Gauss.

Gauss 1855, Dirichlet

Gttingen Riemann. H ,

, 1856 Riemann . T

fi Riemann Gttingen fi

Dirichlet , fi

.

T 1862 Riemann fi fi .

, I. E fi I

. T Pisa,

. E ,

I 1863, fi fi . fi

I , I, fi 1866. T Riemann, I

: fi

fi.


133/543


. Y fi

+.

Tfi,

n=1an -

sn (n= 1, 2, 3, . . .)

liminfn

sn= , limsupn

s n= . (24)

Afi.

pn=|an| + an

2 , qn=

|an| an2

(n= 1, 2, 3, . . . ) .

Tfi, pn qn= an, pn+ qn= |an|, pn 0, qn 0, n. O

n=1 pn

n=1qn .

E , fi

n=1

(pn+ qn ) =

n=1|an|

, fi fi. Efi

N

n=1an=

N

n=1(pn qn ) =

N

n=1pn

N

n=1qn (N= 1, 2, 3, . . . ) ,

fi

n=1 pn

n=1qn ( fi) -

fi

n=1an , fi fi.

A P1,P2,P3, . . . fi

n=1an ,

, Q1,Q 2,Q 3, . . . fi

fi

n=1an , .O

n=1 Pn,

n=1 Q n fi

n=1 pn ,

n=1qnfi fi .

{mn},{kn}(n

=1, 2, 3, . . . )

P1 + +Pm1Q 1 Q k1++Pm1+1 + +Pm2Q k1+1 Q k2+ ,

(25)


134/543


135/543


fip 1, 2, . . . ,N

k1, k2, . . . , kp ( fi O- 3.52). Tfi, n > p, a1, . . . , aN

sn sn |sn sn| , fi (26). , {sn}(n= 1, 2, 3, . . . ) {sn} (n= 1, 2, 3, . . . ) n .

AKHEI

1. A fi {sn} (n=1, 2, 3, . . . )

{|sn|} (n= 1, 2, 3, . . . ). A ;

2. Y limn(

n2 + n n).

3. Es1=

2

sn+1=

2 + sn (n= 1, 2, 3, . . . ) ,

fi fi {sn} (n= 1, 2, 3, . . . ) fi sn < 2 n= 1, 2, 3, . . . .

4. Y fi {sn}(n= 1, 2, 3, . . . ), fi

s1= 0, s2m=s2m1

2 , s2m+1=

1

2+ s2m (m= 1, 2, 3, . . . ) .

5. {an},{bn} (n= 1, 2, 3, . . . ) fi

limsupn

(an+

bn

)

lim supn

an+

limsupn

bn

,

fi .


136/543

122

6. fi

n=1an,

()an=

n + 1 n,()an=

n + 1 n

n ,

()an= ( n

n 1)n ,()an= 11 + zn , fiz fi fi

.

7. A fi

n=1an

n=1

an

n

fian 0 n .

8. E

n=1an {bn} (n = 1, 2, 3, . . . ) , fi

n=1an bn .

9. Y fi

:

() n=0n3zn .()

n=0

2nn!z

n .

()

n=12n

n2zn .

()

n=0n3

3nzn .

10. Y fi

n=0anz

n

, fi

fi 0. A fi

1.


137/543


11. Y fi an >0 sn= a1+ . . . + an

n fi n=1an.

() A fi

n=1an

1 + an .() A fi

aN+1sN+1

+ + aN+ksN+k

1 sNsN+k

N k

fi

n=1ansn

.

() A fian

s2n 1

sn

1 1

sn

n fi

n=1ans2n

.

() T

n=1

an

1 + nan

n=1

an

1 + n2an;

12. Y fi an > 0 (n= 1, 2, 3, . . . ) fi

n=1an.

rn= m=n

am (n= 1, 2, 3, . . . ) .

() A fi

am

rm+ + an

rn>1 rn

rm,

m, n m < n fi

n=1anrn

.

() A fian

rn


138/543

124

13. A fi Cauchy fi -

.

14. E {sn} (n= 0, 1, 2, . . . ) fi,fi fi ,n(n= 0, 1, 2, . . . ), fi

n=s0 + s1 + + sn

n + 1 , (n= 0, 1, 2, . . . ) .

() E limnsn= s, fi fi limn n= s.() K {sn} (n=0, 1, 2, . . . )

limn n= 0.

() E fi sn >0 n limsupnsn= , fi fi limn n= 0;

() an= sn sn1 n= 1, 2, 3, . . . . fi

sn n=1

n + 1n

k=1kak

n. Y fi limn(nan ) = 0 fi {n}(n=0, 1, 2, . . . ) . A fi {sn}(n=0, 1, 2, . . . ) .(Afi (), fi fi fi

nan

0 n

.)

() A -

fi: Y fi M fi fi

|nan| M n, fi limn n = . , fi limnsn= , fifi :

Em


139/543


> 0 fi n

fim

m n 1 +

x2,x3,x4, . . .

xn+

1

=

1

2xn+

xn (n= 1, 2, 3, . . . ) .

() A fi {xn} (n = 1, 2, 3, . . . ) filimnxn=

.

() n= xn

(n= 1, 2, 3, . . . ). A fi

n+1=2n

2xn x5 > .() A fi x2


141/543


21. A fi 3.10(): E

{En} (n= 1, 2, 3, . . . ) fi fi X, En+1 En n

limn

diamEn= 0,

fi

n=1En fi .

22. Y fi X fi fi

{Gn} (n= 1, 2, 3, . . . ) -fi X. A Baire fi

n=1G n

fi. ( fi, fi X.)Yfi:B {En} (n=

1, 2, 3, . . . ) En Gn n fi (21).

23. Y fi{pn},{qn} (n= 1, 2, 3, . . . ) Cauchy fi X. fi {d(pn , qn )} (n=1, 2, 3, . . . ) .

Yfi: n , m fi

d(pn, qn ) d(pn ,pm ) + d(pm , qm) + d(qm , qn ).

Afi fi fi fi

|d(pn, qn ) d(pm , qm )|

, fi n, m .

24. A X fi .

() O Cauchy

{pn

},

{qn

}(n

=1, 2, 3, . . . )

X fi

limn

d(pn , qn ) = 0.


142/543

128

A fi .

() A X

6

. E P X, Q X {pn} P , {qn} Q, fi

(P,Q) = limn

d(pn , qn ).

23, fi . A fi fi

(P,Q) {pn},{qn}(n= 1, 2, 3, . . . ) - fi fi

X.

() A fi fi X .

() p X Cauchy, fi fi p. Y fi Pp X

. A fi

(Pp,Pq ) = d(p, q)

p, q X. M , fi (p)= Pp (p X) ( fi ) fi X X.

() A fi (X) fi X fi (X)= X

X . (), (X) X Xfi X.

O X X.

25. A X fi ,

d(x,y )= |x y|(x,y X). ;( 24.)

6 . . M.: A Ex E. T Cxfi y E y x x( ).


143/543

K 4

YNEXEIA

H fi

O 2.1 2.2. A fi

(

-

), (

Rk) fi

fi fi . T

fi fi , -

, . Afi, fi fi fi

fi .


144/543

130

T

, .

OPIA YNAPTHEN

Ofi 4.1. X, Y. Y fi EX, fi f E Y fi p fi

E. f(x) qx p

limxp

f(x) = q (1)

fi q Y fi fi: >0 >0

dY(f(x), q) < (2)

x E

0< dX(x,p) < . (3)

(E, dX, dY X, Y.)

, q fi f p.

E X / Y , fi

E Rk, fi dX, dY

( Efi 2.16).

fi fi p X, p E. E, fi

p E, f(p) = limxp f(x).

M fi

:

4.2. Y fi X, Y,E, f p fi

fi Ofi 4.1. Tfi,

limxp

f(x) = q (4)


145/543

YNEXEIA 131

fi

limn

f(pn ) = q (5)

{pn} (n= 1, 2, 3, . . .) E

pn= p (n= 1, 2, 3, . . . ) , limn

pn= p. (6)

Afi. Y fi (4). {pn} (n=1, 2, 3, . . . ) E, (6). A >0. Tfi,

>0 dY(f(x), q) < x E 0 < dX(x,p) < . E, fiN n > N, fi 0< dX(pn ,p ) < .

, n n > N fi dY(f(pn), q) < , fi

fi (5).

Afi, fi (4) . Tfi,

> 0 > 0 x E ( o fi ), fi dY(f(x), q) 0 < dX(x,p) < . n= 1/n (n= 1, 2, 3, . . . ), E (6) fi (5).

fi. E f fi p, fi fi fi.

Afi fi 3.2() 4.2.

Ofi 4.3. Y fi f, g, - E. f+ g x E fi f(x) + g(x). M fi fi f g, fi f g f/g ,fi fi fi fi x E

g(x)=0. H f fi x E fi c. f= c. E f, g ,fi f g fi f(x) g (x) x E.

, f

,g

E Rk

, fi f + g f g

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x) (x E).


146/543

132

E fi fi, fi f

(f)(x) = f(x)(x E).

4.4. Y fi X fi , fi EX, fi p fi E, fi f, g

E fi

limxp

f(x) = A, limxp

g(x) = B.

Tfi:

() limx

p(f

+g)(x)

= A

+B.

() limxp(f g)(x) = A B.() limxp

fg

(x) = A

B B= 0.

Afi. B 4.2, fi

fi ( 3.3).

.E f, g E Rk, fi ()

()

(') limxp(f g)(x) = A B.( 3.4.)

YNEXEI YNAPTHEI

Ofi 4.5. A X, Y , E X, p E f EY. H f p

fi >0 >0

dY(f(x), f(p)) <

x EdX(x,p) < .H f E fi

E.


147/543


148/543

134

Afi. A > 0. Efi g f(p),

>0 dZ(g(y), g(f(p))) < y f(E) dY(y, f(p)) < .

Efi f p, >0

dY(f(x), f(p)) < x E dX(x,p) < .

Afi fi

dZ(h(x), h(p)) = dZ(g(f(x)), g(f(p))) <

x

E dX(x,p) < . , .

4.8. M fi f fi X

fi Y X fi f1(V)

fi X fi V Y.

(O fi Ofi 2.2.) T

fi .

Afi. Y fi f X fi V fi

Y. fi f

1(V)

fi f1(V). , p X f(p)V. Efi V fi, > 0 y V dY(f(p),y) < . Efi f p, > 0

dY(f(x), f(p) ) < dX(x,p ) < . , x f1(V) dX(x,p) < .

Afi, fi f1(V) fi

X fi V Y. p X > 0. A V y Y dY(y, f(p)) < . Tfi, V fi., f1(V) fi. K , >0

x f1(V) dX(p,x) < . , x f1(V), fi f(x) V dY(f(x), f(p)) < .

Afi fi.


149/543

YNEXEIA 135

fi. M fi f fi X fi

Y X fi f1

(C) fi X, fi C Y.

Afi fi , fi

fi fi fi fi

f1(Ec) = [f1(E)]c EY.Efi

Rk.

4.9. A f, g

fi X. Tfi, f+ g, f g f/g X.

, fi g(x)=0, x X.

Afi. o fi fi -

. fi fi 4.4

4.6.

4.10.

() A f1, . . . , fk ,

fi X. Y fi f fi X Rk

fi fi

f(x) = (f1(x), . . . , fk(x)) (x X). (7)

Tfi, f fi fi -

f1, . . . , fk .

() E f, g X Rk, fi

f + g, f g X.

O f1, . . . , fk f. - fi f + g R k, f g .


150/543

136

Afi. T () fi fi

|fj (x) fj (y)| |f(x) f(y)| =

ki=1

|fi (x) fi (y)|2

12

j= 1, . . . , k x X. T () fi () 4.9.

4.11. E x1, . . . ,xk fi x

Rk, fi i (i= 1, . . . k) fi

i (x) =xi (i= 1, . . . k, x Rk) (8)

Rk, fi fi

|i (x) i (y)| |x y| (i= 1, . . . k, x, y Rk)

fi = Ofi 4.5. O i (i= 1, . . . k) .

M 4.9 fi

xn11 x

n22 xnkk , (9)

fi n1, . . . , nk , -

Rk. T (9),

fi . E,

P , fi

P(x) =

cn1nkxn11 xnkk (x Rk), (10)

R k. E, cn1nk

, n1, . . . , nk (10)

fi.

E, x1, . . . ,xk, (10), R k,

fi 0.


151/543

YNEXEIA 137

Afi fi fi

||x| |y|| |x y| (x, y Rk). (11)

, fix |x|(x Rk) - Rk.

E f fi fi fi X

Rk, fi fi fi fi (p) = |f(p)| (p X), fi 4.7, X.

4.12. H f

Efi X.

, X fi fi fi

( fi fi ).

E,

f. Afi fi

fi ,

. Afi

fi .

4.8 4.10

fi fi.

YNEXEIA KAI YMAEIA

Ofi 4.13. M fi f fi fi E Rk

fi fi fi

|f(x)| M x E.

4.14. Y fi f fi fi

X fi Y. Tfi, f(X)

.

Afi. A {Va}(a A) f(X). Efi f , 4.8 fi fi


152/543

138

f1(Va) (a A) fi. Efi X ,

1, . . . , n

X f1(V1 ) f1(Vn ). (12)

Efi f(f1(E)) E E Y, (12) fi

f(X) V1 Vn . (13)

Afi fi.

: f(f1(E)) E,

E Y. E E X, fi E f1

(f(E)). fi.

E , 4.14.

4.15. E f fi fi

X Rk, fi f(X) fi .

, f .

To fi 2.41. T fi

fi fi f :

4.16. Y fi f -

, fi X.

M= suppX

f(p), m= infpX

f(p). (14)

Tfi, p, q X f(p) = M f(q) = m.

O fi (14) fi M

fi f(p), fi p X, m fi.

T : - p, q f(q) f(x) f(p) x X. , f ( p) ( q ).


153/543

YNEXEIA 139

Afi. 4.15, f(X) fi -

. , f(X)

M= sup f(X) m= inf f(X),

2.28.

4.17. Y fi f 1-1 fi

fi X fi Y. Tfi,

fi f1, Y fi

f

1(f(x))=

x (x

X),

fi Y X.

Afi. Efi 4.8 f1

fi fi f(V) fi

Y fi V X. fi fi

V X.

T Vc V fi, ( 2.35).

K , f(Vc) Y( 4.14)

fi. Efi f 1-1, f(V)

f(Vc). , f(V) fi.

Ofi 4.18. Y fi f fi fi

X fi Y. H f fi X

fi >0 >0

dY(f(p), f(q)) < (15)

p, q XdX(p, q) < .

A fi . E , fi fi

,


154/543

140

. Ofi . Kfi,

f X, fi >0 p X >0 fi Ofi 4.5.

, fi p. E fi f fi

, fi > 0 fi > 0

fi X.

K fi, fi

. T fi

.

4.19. Y fi f fi fi

X fi Y. Tfi, f fi .

Afi. >0. Efi f ,

p X fi fi (p)

q X, dX(p, q) < (p), fi dY(f(p), f(q)) 0, f fi

E.

H f fi

g(x) = 11 + (x x0)2

(x E) (22)

E , fi 0 < g(x) < 1 x E.E fi

supxE g(x) = 1,

g (x)


157/543

YNEXEIA 143

1, fi fi

f(t) = (cos t, sin t) (0 t


158/543

144

, fi f(a) > f(b). M fi

, fi fi .

Afi. 2.47, [a, b] fi. ,

4.22 fi f([a, b]) fi

R1 fi

2.47.

4.24. E fi, fi 4.23

. x1,x2 x1 < x2

fi fi c f(x1), f(x2) x

(x1,x2) f(x) = c, fi f . T 4.27() fi fi .

EIH AYNEXEIN

Ex f, fi f

x fi x fi

f x. E f , fi

.

fi , fi f x,

f(x+) f(x).

Ofi 4.25. Y fi f (a, b). -

xa x


159/543

YNEXEIA 145

f x f(x) a < x b, fi {tn}

(n= 1, 2, 3, . . . ) (a,x).E fi x (a, b) :

limtx f(t) fi

f(x+) = f(x) =limtx

f(t).

Ofi 4.26. Y fi f (a, b). H f

fi x

x f(x+), f(x). ( fi fi f(x+), f(x)

), .Y f -

: f(x+)= f(x) (fi f(x) fi) f(x+) = f(x) = f(x).

4.27.

() O f

f(x) =

1 x fi fi,

0 x fi.

Tfi, f xfi

f(x+) f(x).() O f

f(x) =

x x fi fi,

0 x fi.

Tfi, f x=0 .

() O f

f(x) =

x+ 2 3< x < 2,x 2 2 x


160/543

146

Tfi f x= 0

(3, 1).() O f

f(x) =

sin1x x= 0,0 x= 0.

Efi f(0+) f(0) , f x= 0. fi fi sin . E fi , fi 4.7

fi f x x= 0.

MONOTONE YNAPTHEI

.

Ofi 4.28. A f (a, b). H f

(a, b) fi

x,y a < x < y < b fi f(x) f(y). H f

(a, b) fi fi . M fi fi

.

4.29. A f (a, b). Tfi,

f(x+), f(x) x (a, b). , fi

supa


161/543

YNEXEIA 147

A, -

.

Afi. fi , f(t)

a < t < x fi fi f(x)

, A. ,

A f(x). fi A= f(x). > 0. Afi fi A >0

a < x < x

A < f(x ) A. (27)

Efi f , fi

f(x ) f(t) A (x


162/543

148

T fi fi fi fi -

. A fi , fi

17, fi fi fi

.

4.30. A f (a, b). Tfi,

f

.

Afi. Y fi f ( fi

fi ). A E

f. x E fi fi r(x)

f(x)


163/543

YNEXEIA 149

, :

n fi xn < x. E , fi 0. Efi (31) ,

fi .

O :

() H f (a, b).

() H f E. , fi

f(xn+) f(xn) = cn (n= 1, 2, 3 . . . ) .

() H f (a, b).

E, fi f(x

)=

f(x)

x (a, b). M fi

. E (31) n

xn x, fi fi f(x+)= f(x) x (a, b). , .

fi

fi. 6.16.

AEIPA OPIA KAI OPIA TO AEIPO

-

, Ofi 4.1

.

fi fi x x

(x ,x+ ), fi >0.

Ofi 4.32. T x x > c, fi c

fi fi, +. fi (c,

+). ,

x x < c fi

(, c).


164/543

150

Ofi 4.33. A f ,

E.

f(t) A t x,

fiA x ,

fi U A V x

V E fi f(t)U t V Et= x. , fi Afi f x.

fi fi Ofi

4.1 fi A x .

T 4.4 , fi

. fi, :

4.34. Y fi f, g ,

E. Y fi

f(t) A, g(t) B t x,

fi A,B x

. Tfi:

() E f(t) A t x, fi A , fi A= A.

() (f+ g)(t) A +B t x.() (f g)(t) A B t x.() (f/g)(t) A/B t x.B, fi (), ()

() .

fi , 0, / 0/0 ( Ofi 1.23).

AKHEI


165/543

YNEXEIA 151

1. Y fi f ,

R1

, fi

limh0

[f(x+ h) f(x h)] = 0

x R1. E f ;

2. E f fi fi X

fi Y, fi fi

f(E) f(E)

E X. (M E E.)

fi f(E)

f(E).

3. Y fi f

fi X. Z(f)(

f) p X f(p)= 0.A fi Z(f) fi.

4. Y fi f, g fi

X fi Y fi E fi

X. A fi f(E) fi f(X). Eg (p)= f(p) p E, fi fi g(p)= f(p) p X. (M , fi fi

fi .)

5. E f ,

fi E R1, fi fi

g, R1, g(x)= f(x) x E.(M fi f

fi E R 1.) fi


166/543

152

fi. E fi

.Yfi: fi 1 g

fi E

( 29 K 2). T

R1 fi fi , fi

fi fi .

6. E f E, fi

f (x, f(x)) x E. I, E f , fi

.Y fi E fi f

, E. E E ,

fi fi f fi

.

7. EE X f X, fifi f E g , E,

fi g(p) = f(p) p E.

O f, g R2

: f(0, 0)=g(0, 0) = 0 f(x,y) = x y2/(x2+y4), g(x,y) = x y2/(x2+y6) (x,y ) = 0.A fi f R2, fi g

(0, 0) fi f (0, 0).

' fi , f,g R2

!

8. Y fi f fi

, E R1. A fi

f E.

fi fifi E .

1 . . M.: fi fi .


167/543

YNEXEIA 153

9. fi fi fi

: >0 >0 diamf(E) < E X diamE < .

10. fi

4.19: E f fi ,

fi > 0 {pn},{qn} (n= 1, 2, 3, . . . ) dX(pn , qn ) 0 n dY(f(pn ), f(qn)) > n. X 2.37

.

11. Y fi f fi fifi X fi Y. A fi {f(xn )}(n=1, 2, 3, . . . ) Cauchy Y Cauchy{xn} (n= 1, 2, 3, . . . ) X. X fi fi

13.

12. M fi fi

fi .

.

13. A E fi fi X

f fi ,

E. A fi f fi E X

( 5 ). (H fi

fi 4.)

Yfi: p X fi fi n, Vn (p) q E d(p, q) < 1/n. X 9 fi fi

f(V1(p)), f(V2(p) ) , . . . fi fi g(p)

R1. A fi g f X.M R1 fi Rk; Afi fi

; Afi fi ;


168/543

154

14. A I= [0, 1]. Y fi f

I I. A fi ( ) x I f(x) = x.

15. O fi ffi X

fi Y fi f(V) fi

fi V X.

A fi fi R1 R1

fi.

16. fi fi x [x] - fi fi x, [x]

fi fi x 1 < [x] x. A (x)=x [x], fi x. [x] (x);

17. Y fi f ,

(a, b). A fi fi f

.

Yfi:A E x f(x) < f(x+). x E (p, q, r)

fi:

() f(x) < p < f(x+).() Ea


169/543

YNEXEIA 155

n >0. x= 0, fi n=1. f

R1

fi fi

f(x) =

0 x fi,

1/n x= m/n, fi .A fi f fi fi f

fi fi.

19. Y fi f ,

R1, fi : a, b, c

f(a) r > f(x0) fi fi r n, fi n tn

x0 xn f(tn)= r. ,tn x0n . K . (N. J. Fine,Amer. Math. Monthly, vol. 73, 1966, p.782.)

20. E E fi fi X,fi fi x Xfi E fi

E(x) = infzE

d(x,z).

() A fiE(x) = 0 fi x E.() A fi E fi X

fi

|E(x) E(y)| d(x,y) x,y X.

Yfi: x,y,z X fi E(x)d(x,z)d(x,y ) + d(y,z)

E(x) d(x,y ) + E(y).


170/543

156

21. Y fi K F

fi X, fi K fi F fi.A fi >0 d(p, q) > p K,q F.

Yfi:H F K.

fi

.

22. Y fi A, B -

fi X. O f

f(p)

=A(p)

A(p) + B (p)(p

X).

A fi f X fi-

fi [0, 1], fi f(p) = 0 fi p A fi f(p) = 1 fi p B.

T A 13: K fi

A X Z(f)

f X.

V= f1([0, 1/2)), W= f1((1/2, 1]),

fi V,W fi AV,B W. (, fi , fi

fi. H fi fi2 .)

2 . . M.: O fi fi normality. ,

T, fi

fi regular normal

fi, fi , fi. normality ,

fi , fi fi. -

, fi fi fi fi , fi fi .

, fi normal vector, fi normal fi. K

T normal spaces.


171/543

YNEXEIA 157

23. M f, (a, b),

fi

f(x+ (1 )y) f(x) + (1 )f(y)

x,y(a, b) fi fi 0<


172/543

158

26. Y fi X,Y, Z fi Y

. A f fi X Y g 1-1fi Y Z. fi h h(x)= g(f(x)) x X.

A fi f fi h fi

.

Yfi: H g1 g(Y) f(x) =g1(h(x)).

A fi f h .

( 4.21

fi ) fi Y -

fi fi, fi X Z .


173/543

K 5

IAOPIH

fi (fi fi fi)

, .

Afi fi , ' fi -

fi fi -

. H fi E

K 9.

H APAO PAMATIKH YNAPTHE


174/543

160

Ofi 5.1. A f , [a, b], .

x [a, b] (t) = f(t) f(x)

t x (a


175/543

IAOPIH 161

Afi. 4.4, t x fi

f(t) f(x) = f(t) f(x)t x (t x) f

(x) 0 = 0.

T . E

-

. K 7

o R1 !

5.3. Y fi f, g -

[a, b] fi x [a, b]. Tfi, f+ g, f g, f/g x :

() (f+ g)(x) = f(x) + g(x).

() (f g)(x) = f(x)g(x) + f(x)g(x)

()

fg

(x) = g(x)f

(x) g(x)f(x)g2(x)

. E

fi g(x) = 0.

Afi. T () , 4.4.

A h= f g. Tfi, t [a, b] t= x,

h(t) h(x) = f(t)[g(t) g(x)] + g(x)[f(t) f(x)].

E fi t x fif(t) f(x) t x ( 5.2), fi (). E, h= f/g. Tfi, t [a, b] t= x,

h(t) h(x)

t x =

1

g(t)g(x)g(x) f(t) f(x)

t x f(x)

g(t) g(x)

t x . t x fi 4.4 5.2, ().


176/543

162

5.4. H -

0. E f f(x)= x x , fi f(x)=1. M - () () 5.3 fi xn

nxn1 fi fi

n ( n < 0, fi x= 0). , fi , fi fi

.

T fi fi fi

. E fi

fi . K 9 fi .

5.5. Y fi f [a, b],

fi x [a, b] f(x), fi g I f

fi f(x). E

h(t) = g (f(t)) (a t b),

fi h x fi

h(x) = g (f(x))f(x). (3)Afi. A y= f(x). fi , u ,v

f(t) f(x) = (t x)[f(x) + u(t)], (4)

g(s) g(y) = (sy )[g(y) + v(s)], (5)

fit [a, b],s Iu (t) 0 t x,v(s) 0 s y. As= f(t). X (5) (4), fi

h(t) h(x) = g(f(t)) g(f(x))= [f(t) f(x)] [g(y) + v(s)]= (t x) [f(x) + u(t)] [g(y) + v(s)],


177/543

IAOPIH 163

, fit= x,

h(t) h(x)t x = [g

(y) + v(s)] [f(x) + u(t)]. (6)

t x, fi s y, fi f, (6) g(y)f(x),

(3).

5.6.

() O f

f(x) = xsin1x x= 0,0 x= 0. (7)

fi fi sin cos (

K 8),

fi 5.3 5.5 x= 0 fi

f(x) = sin1x

1x

cos1

x(x= 0). (8)

x=0 fi fi 1/x . K fi: t

=0

f(t) f(0)t 0 = sin

1

t.

T fi, t 0, f 0.

() O f

f(x) =

x2 sin1x x= 0,0 x= 0.

(9)

, fi

f(x) = 2xsin1x

cos1x

(x= 0). (10)


178/543

164

x= 0, fi fi f(t) f(0)t 0

=tsin1t

|t| (t= 0).t 0, fi

f(0) = 0. (11)

, f x, f

fi fi cos(1/x) (10) x 0.

EPHMATA MEH TIMH

Ofi 5.7. A f ,

fi X. H f fi fi p X fi >0 f(q) f(p), q X d(p, q) < .

T fi.

T fi -

.

5.8. A f ,

[a, b]. E f fi x (a, b) f(x), fi f(x) = 0.

, fi .

Afi. E >0 fi Ofi 5.7

a < x < x< x+


179/543

IAOPIH 165

Ex h (a) t (a, b), fi x [a, b] h ( 4.16). (12), x (a, b) 5.8 fi h(x)= 0. E h(t) < h(a) t (a, b), fi fi x [a, b] h .

T . H fi

:


180/543

166

5.10. A f , -

[a, b] (a, b). Tfi, x (a, b)

f(b) f(a) = (b a)f(x).

Afi. g (x) = x(x [a, b]) 5.9.

5.11. Y fi f ,

(a, b).

() E f(x) 0 x (a, b), fi f .() E f(x) = 0 x (a, b), fi f .() E f(x) 0 x (a, b), fi f .

Afi. H fi -

fi

f(x2) f(x1) = (x2 x1)f(x),

x1,x2 (a, b)x x1,x2.

YNEXEIA TN APAN

( 5.6()) fi f

f

, . ,

. I,

Walter Rudin - Αρχεσ Μαθηματικησ Αναλυσεωσ

Documents

Transcript of Walter Rudin - Αρχεσ Μαθηματικησ Αναλυσεωσ