Uvjetna Vjerojatnost Formula Potpune Vj(2)
24
Mr. sc. Tatjana Stanivuk Pomorski fakultet u Splitu
Transcript of Uvjetna Vjerojatnost Formula Potpune Vj(2)
Mr. sc. Tatjana Stanivuk Pomorski fakultet u Splitu
Uvjetna vjerojatnost Definicija: Neka je Ω, A, P zadani prostor vjerojatnosti i neka je BϵA takav
da je P(B) > 0.
Vjerojatnost zadana formulom P(A/B)= naziva se uvjetna
vjerojatnost događaja A ako se dogodio događaj B.
Iz vjerojatnosti slijedi da je:
P(A/B) - vjerojatnost događaja A ako se dogodio događaj B
- vjerojatnost presjeka događaja A i B
P(B) - vjerojatnost događaja B
)()(
BPBAP
( )P A B
Nije teško pokazati da ovako zadana funkcija vjerojatnosti zadovoljava sva 3
aksioma:
A1. Aksiom nenegativnosti P(A/B)=
A2. Aksiom normiranosti P(Ω/B)=
A3. Aksiom aditivnosti→ako su A i C disjunktni događaji tj.
tada su i, disjunktni događaji, pa je
0)(
)(
BP
BAP
1)()(
)()(
BPBP
BPBP
CA
)( BCBA )/( BCAP
)()(
BPBCAP
)()()(
BPBCPBAP )/()/(
)()(
)()( BCPBAP
BPBCP
BPBAP
Događaji A i B su nezavisni onda i samo onda ako je P(A/B)= P(A)
Dokaz: Pretpostavimo da su događaji nezavisni, tj. da je
pa je P(A/B)=
Dokazuje se da vrijedi obrat, tj. ako je P(A/B)=P(A), tada je
Ako događaji A i B nisu nezavisni, tada je
Primjer 1. U kutiji imamo 10 kuglica žute boje i 5 kuglica bijele boje. Izvlačimo
kuglicu po kuglicu bez vraćanja. Kolika je vjerojatnost da ćemo u drugom
izvlačenju izvući žutu kuglicu, ako je prva izvučena kuglica bijela?
)()( BPAPBAP
)()(
)()()(
)( APBP
BPAPBP
BAP
)()()( BPAPBAP
)/()()( BAPBPBAP
Rj.
B-prva izvučena bijela kuglica
A-druga izvučena žuta kuglica
Trebamo odrediti P(A/B)!
31
155)( BP
1410
155155
1410
)()()/(
BPBAPBAP %7171.0
Formula potpune vjerojatnosti Ako su H1, H2,..., Hn međusobno disjunktni događaji, i ako je
tada kažemo da događaji H1, H2 tvore potpun sustav događaja.
H1, H2,...itd. često nazivamo hipoteze.
Iz disjunktnosti događaja i aksioma normiranosti proizlazi da je
P(H1)+P(H2)+...+P(Hn)=1.
Neka je A, događaj koji se može ostvariti kada se jedna od gore navedenih
hipoteza ostvari.
nHHH ...21
Tada je,
Iz disjunknosti za , a iz
formule da je
Dobivena formula naziva se potpuna vjerojatnost događaja A.
)()( APAP nHHHAP ...21
n
n
HAPHAPHAP
HAHAHAP
...
...
21
21
ji HH ji HAHAji
)/()( iii HAPHPHAP
)/()(...)/()()/()( 2211 nn HAPHPHAPHPHAPHP
n
i
ii HAPHPAP1
)/()()(
Primjer 1. Jedna trgovina nabavlja videorekordere od 2 proizvođača P1 i
P2. Prvi proizvođač doprema 400 komada i tvrdi da u pošiljci ima
maksimalno 5% komada s greškom. Drugi proizvođač dostavlja 600
komada i tvrdi da postoji najviše 2% komada s greškom. Slučajno je
odabran jedan videorekorder. Odredite vjerojatnost da je taj videorekorder s
greškom!
A-slučajno odabrani video je s greškom
H1-slučajno odabrani video je od proizvođača P1
H2-slučajno odabrani video je od proizvođača P2
Rj. P(H1)= P(H2)= P(A/H1)= P(A/H2)= pa je,
4.0600400
400
6.0600400
600
05.0100
5 02.0
1002
032.0012.002.002.06.005.04.0)/()()/()()( 2211 HAPHPHAPHPAP
Primjer 2. U kutiji imamo 6 novih i 4 rabljena proizvoda. Na slučajan način
biramo 2 proizvoda i izvjesno vrijeme ih koristimo. Nakon toga vraćamo ih
u kutiju i dobro ih izmiješamo, zatim biramo jedan proizvod. Odredite
vjerojatnost da je izabrani proizvod novi!
NN RR N R
6N 4R
5N 5R
4N 6R
6N 4R
Uredimo događaje:
A-naknadno odabrani proizvod je novi
H1-u prvom izvlačenju oba su nova
H2-u prvom izvlačenju 1N i 1R
H3-u prvom izvlačenju oba su rabljena
Tražimo P(A)!
P(H 1) P(H2) P(H3)
21026
21910
2156
4515
4524
210
14
16
456
21024
Iz donjih kutija biramo 1 novi proizvod: P(A/H1) P(A/H2) P(A/H3)
104
11014
105
11015
106
11016
)/()()/()()/()()( 332211 HAPHPHAPHPHAPHPAP
106
456
105
4524
104
4515
48.01045
3612060
Bayesova formula
Ako pretpostavimo da će se ostvariti događaj A i tražimo vjerojatnost da se
ostvarila recimo hipoteza (Hk), tada je P(Hk/A)= .
Formula P(Hk/A)= naziva se Bayesova formula.
n
i
ii
kk
HAPHP
HAPHP
1
k
)/()(
)/()(P(A)
A)P(H
)()/()(
APHAPHP kk
Primjer 1. Jedan tip proizvoda izrađuje se na 4 stroja. Na stroju S1 izrađuje
se 40% i od toga je 0.1% škarta. Na S2-30% i od toga je 0.2% škarta. Na S3-
20% sa 0.25% škarta i na S4-10% sa 0.5% škarta. Kolika je vjerojatnost da
slučajno izabrani proizvod koji nije škart je izrađen nastroju S1?
A- slučajno odabrani proizvod nije škart
H1-slučajno odabrani proizvod je izrađen na stroju S1
H2-slučajno odabrani proizvod je izrađen na stroju S2
H3-slučajno odabrani proizvod je izrađen na stroju S3
H4-slučajno odabrani proizvod je izrađen na stroju S4
Traži se !
)(
/)/( 211
APHAPHPAHP
4.010040)( 1 HP
3.010030)( 2 HP
2.010020)( 3 HP
1.010010)( 4 HP
1)( iHP
999.0100
1.01)/( 1 HAP
998.0100
2.01)/( 2 HAP
9975.0100
25.01)/( 3 HAP
995.0100
5.01)/( 4 HAP
)/()()/()()/()()/()()( 44332211 HAPHPHAPHPHAPHPHAPHPAP
998.0995.01.09975.02.0998.03.0999.04.0)( AP
4004.0998.0
999.04.0)(
)/()()/( 111
APHAPHPAHP
Primjer 2. Na određeni objekt bit će ispaljena 3 projektila. Vjerojatnost
pogotka svakog od projektila je ista i iznosi 0.6. Objekt će biti sigurno
uništen ako su ga pogodila sva 3 projektila. Vjerojatnost uništenja objekta,
ako je pogođen s jednim projektilom iznosi 0.2, a ako je pogođen sa dva
0.7. Odredite vjerojatnost da je objekt pogođen s 2 projektila ako
pretpostavimo da će biti uništen!
A-objekt je uništen
Hk-objekt je pogođen s k-projektila, k=0,1,2,3
Traži se P(H2/A)=?
Iz formulacije zadatka imamo da je:
P(A/H0)=0
P(A/H1)=0.2
P(A/H2)=0.7
P(A/H3)=1
Budući da je vjerojatnost pogotka svakog projektila ista i da iznosi 0.6, to se
vjerojatnost hipoteza određuje po formuli:
P(Hk)=
kk
k
36.016.03
P(H0)=
P(H1)=
P(H2)=
P(H3)=
)/()()/()()/()()/()()( 33221100 HAPHPHAPHPHAPHPHAPHPAP
1216.07.0432.02.0288.00064.0)( AP
576.0)( AP
064.06.016.016.003 330
288.04.06.036.016.013 221
432.06.036.016.023 212
216.06.06.016.033 303
P(H2/A)=
P(H2/A)=
P(H2/A)=0.525 vjerojatnost da je objekt uništen s 2 projektila
)()/()( 22
APHAPHP
576.07.0432.0
Zadaci za vježbu Zadatak 1. U grupi od 20 strijelaca 4 su odlična, 10 je dobrih, a 6 je slabih.
Vjerojatnost pogotka u cilj pri jednom gađanju iznosi za odličnog strijelca 0.9,
za dobrog 0.7, a za slabog 0.5. Ako slučajno izaberemo jednog strijelca, kolika
je vjerojatnost da on promaši?
Rj: P(A)=0.32
Zadatak 2. 4 tvornice proizvode istu robu, i to T1-10%, T2-40%, a T3 i T4 po
25%. Kupac vraća robu s greškom, i to tvornici T1-2%, T2-3%, T3-4% i T4-
2.5%. Ako slučajno kupimo 1 proizvod iz ukupne produkcije tih tvornica, kolika
je vjerojatnost da je on bez greške?
Rj: P(A)=0.969
Zadatak 3. U kutiji K1 su 2 bijele i 1 crna kuglica, a u drugoj 1 bijela i 5
crnih kuglica. Iz K1 u K2 prebačena je 1 kuglica, a zatim je slučajno iz K2
izvučena bijela kuglica. Kolika je vjerojatnost da je iz K1 u K2 prebačena
crna kuglica?
Rj: ;
Zadatak 4. U kutiji sa 5 kuglica nepoznate boje stavljene su 2 crvene
kuglice.(Sve pretpostavke o prethodnom broju crvenih kuglica jednako su
vjerojatne.)
Kolika je vjerojatnost da će 2 slučajno izabrane kuglice iz te kutije biti
crvene boje?
215)( AP 2.0
51)/( 2 AHP
Ako su 2 slučajno izabrane kuglice crvene boje, kolika je vjerojatnost da
su u kutiji prije bile 2crvene kuglice?
a) Rj: b)Rj:
Zadatak 5. Na stroju S1 proizvodi se 2 puta više nego na stroju S2, a na
stroju S3 proizvodi se 3 puta više nego na stroju S2. Utvrđeno je da je na
stroju S1 proizvedeno 70% proizvoda I. kvalitete, na stroju S2-80%, a na
stroju S3-60% proizvoda I. kvalitete. Svi proizvodi stavljeni su na istu policu
i izmiješani su. Slučajno je odabrano 10 proizvoda. Odredite vjerojatnost da
su barem 3 proizvoda I. kvalitete!
Rj: ;
444.094)( AP 107.0
283)/( 3 AHP
6.032)( AP 9966.0)3( 10 SP
HVALA NA
PAŽNJI
