Texto Didáctico de Trigonometr¡a

FERNANDO GAMARRA MORALES

TACNA - 2004

α

β

βsen

αtan

γβα senc

senb

sena ==

α

β

γ

a b

c

Profesor: Fernando Gamarra Morales.

2


3

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo se realiza para que el alumno tenga un material de fácil acceso y comprensión de los temas de trigonometría que se desarrollan en matemática; La matemática desarrolla en el estudiante el pensamiento lógico, la memoria, la capacidad de generalizar y aplicar sus conocimientos, en la resolución de problemas; también desarrolla la exactitud del pensamiento, la minuciosidad en el trabajo, la graficación y el razonamiento analítico.

En quinto año de secundaria, el aprendizaje de los diversos contenidos de la matemática prepara al estudiante para enfrentarse a la vida. El estudiante que egresa de la educación secundaria, debe tener la capacidad de resolver problemas matemáticos complejos para que su paso por los centros superiores, en cualquier carrera, sea comprensible al desarrollar hábitos de estudios y disciplinar la mente.

La matemática forma en el estudiante el sentido objetivo de las cosas, le

otorga mayor lucidez, rapidez de cálculo y graficación para interpretar y cambiar su realidad circundante.

Este trabajo se constituye de esta manera en un TEXTO DIDÁCTICO ya

que esta formado por diversos temas de trigonometría para que el alumno, con la ayuda del docente, pueda completar y a la vez comprender a cabalidad la parte teórica sustancial de los diferentes temas.

Cada tema está acompañado de suficientes ejemplos pertinentes, incompletos o sin resolver, muchos de ellos tomados en exámenes de admisión a diferentes universidades del país, desde los más sencillos hasta los más complejos para que puedan resolverse progresivamente, de esta manera el profesor al momento de completar la resolución en clase pueda asegurar en el alumno una mejor comprensión de los mismos y generar hábitos de rutina matemática que le permitirá resolver con éxito los numerosos ejercicios que se proponen.

La finalidad de este TEXTO DIDÁCTICO es proporcionar conocimientos básicos de trigonometría que requieren los alumnos para acceder a niveles superiores de estudio, contribuyendo al desarrollo de niveles más altos de la estructura del pensamiento; en tal sentido se ha dado preferencia al aspecto operativo sin dejar de considerar el rigor matemático en la formulación de conceptos fundamentales.


4

CONTENIDO

- RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS. - RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS NOTABLES. - RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. - ÁNGULOS ORIENTADOS. - RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN

POSICIÓN NORMAL. - CIRCUNFERENCIA UNITARIA. - REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE. - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES. - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO SUMA Y

DIFERENCIA. - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO DOBLE Y

MITAD. - TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS. - ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. - LEY DE SENOS.

- LEY DE COSENOS


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TEMA I:

RELACIONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS NOTA.- Sen A = Cos A =

Tan A = Cot A =

Sec A = Cosec A =

Sólo si A + B =

Sen A = Cos A = Tan A = Cot A = Sec A = Cosec A =

Sen A = Cos A = Tan A = Cot A = Sec A = Cosec A =

Sen B = Cos B = Tan B = Cot B = Sec B = Cosec B =


6

EN FORMA GENERAL: Si A + B = 90º Entonces Sen A = Cos A = Tan A =

Cot A = Sec A = Cosec A =

Ejemplo 1: Hallar la medida del ángulo A, sabiendo que tan 8A = cot 10A Ejemplo 2: Halla la medida del ángulo A, sabiendo que: sen (A + 25º) – cos (2A + 11º) = 0 Ejemplo 3: Hallar el valor de “x” si: ( ) ( )º852sen3cos 2 += xx

(Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4


7

Ejemplo 4: Si sen(33º) = x y cos(21º) = k, entonces el valor de sen(69º) +cos(57º) es: (Admisión UNJBG 99-I)

A) x B) k C) x + k D) x – k E) xk

Ejemplo 5: Si 3537

cos =Bec

Entonces hallar todas las relaciones trigonométricas del ∠ A. OBSERVACION:

=Asen =Acos =tanA

sen A = cos A = tan A = cot A = sec A = cosec A =


8

Ejemplo 1: Si 13

sec8

2cos =

+⋅

− ππ A

A

Entonces hallar en radianes la medida de A

Ejemplo 2: En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD con uno de sus vértices en el origen de coordenadas y cuyo lado tiene de longitud a unidades, si el segmento DM divide al cuadrado en un triángulo y en un trapecio cuyas áreas están en la relación de 1:4. Calcule la tangente del ángulo MDC. (Admisión UNI 99-II) A) ¼ B) 2/5 C) 1/3 D) ¾ E) 3/5

PRÁCTICA Nº 1

Tema: Funciones trigonométricas de ángulos agudos 1. Para qué ángulo “x” es: cos (60º - x) = sen (70º - 3x)

A) 5º B) 15º C) 25º D) 10º E) - 5º 2. Hallar los ángulos agudos α y β ,

tales que:

( ) ( )tan 3 35 90 0

2 15

α ββ α− ° − °− =

− = °cot

A) 11º y 10º B) 15º y 13º C) 20º y 17º30’ D) 35º y 25º E) 17º y 16º

3. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y el cateto AC forman un ángulo agudo x; luego tan x es igual a:

θ D C

B A

M

m

m x

d

A B

C

M


9

A) 2 tan C B) tan B + tan C C) 2 tan B D) tan C + cot C E) 2(tan C + tan B)

4. Dado: sen x =3

3, calcular 1 2+ sec x

A) 53

B) 52

C) 512

D) 12

E) 312

5. Dado: sen xp qp q

=−+

, calcular cot x

A) ( )2

2

pq

p q− B)

( )p q pqpq

+2

C) 2 pqp q+

D) ( )p q pq

pq−2

E) 2 pqp q−

6. En la figura calcular el valor de x, si se

cumple la siguiente condición: ( ) ( )tan 30 30 3 0°− − °+ =θ θcot

A) 10 2 m B) 10 m C) 5 3

D) 5 m E) 10 3m B

θ

x

θ A M C 20

7. El perímetro de un triángulo rectángulo

es de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor? A) 13 m B) 33,8 m C) 50 m B) 56,33 m E) 55 m

8. Los lados de un triángulo rectángulo

están en progresión aritmética. El coseno del mayor ángulo agudo de ese triángulo es:

A) 32

B) 34

C) 12

D) 35

E) 45

9. En un triángulo rectángulo la hipotenusa

mide 5 y los ángulos agudos B y C cumplen con la relación: sen B = 2sen C. Las longitudes de los catetos son:

A) 1 y 2 B) 3

2 y

172

C)32

y 32

D) 2 y 3

E) N.A. 10. En un triángulo rectángulo ABC, el

cuadrado de un cateto “c” es igual al producto de la hipotenusa “a” por el otro “b” por la expresión: A) 0 5 2, cos cotB B B) cos cotB B C) cos cot2 B B D) 0,5 cos B cot B E) 0 5 2, cos cotB B

11. La cotangente de un ángulo vale 1,5.

¿Cuánto vale la tangente de su complemento?

A)1,5 B) 0,5 C) 0,666…… D) 1,2 E) 0,333……..

12. En la figura el área del triángulo ACD

es igual al área del triángulo ABC. El valor de α será:

D

α m

A1 C

n A2 α A B

A) arc tan12

B) arccot12

C) arc tan12

D) arccot12

E) N.A. 13. En la figura mostrada son

conocidos:α , θ y h. Entonces los valores de x e y son dados por:


10

h

θ y α

A) xh

tan tan=

−

2

θ α ; y

h tantan tan

=−

2 αθ α

B) xh

tan tan=

−θ α ; y

h tantan tan

=−

αθ α

C) xh

tan tan=

−

2

2 2θ α;

yh tan

tan tan=

−

2 2

2 2

αθ α

D) ( )xh

tan tan=

−

2

2θ α;

( )yh tan

tan tan=

−

2 2

2

αθ α

E) N.A. 14. La figura muestra un cuadrado cuya

área es 64 m2 y tal que PC BP= . Hallar AM , si AP = 6m.

A) 12 5 m B) 125

3 m C)

165

3 m

D) 125

5 m E) 12 3 m

A B

6 m P’

O P

C D

15. En un triángulo rectángulo ABC (recto

en B) se cumple que: SbCecaAtanb ⋅=⋅+⋅ cos . Siendo

“S” el área del triángulo. Hallar el valor del cateto “c”.

(Concurso Escolar de Mat. 99 Moquegua) A) 1 B) 2 C) ½ D) 3

TEMA II:

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE TRIÁNGULOS NOTABLES • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º.-

sen 45º = cos 45º = tan 45º =

cot 45º = sec 45º = cosec 45º =


11

• FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º Y 60º.-

sen 30º = cos 30º = tan 30º = cot 30º = sec 30º = cosec 30º =


• FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 37º Y 53º.-




12

PRÁCTICA Nº 2

Tema: Funciones trigonométricas de ángulos notables 1. De las siguientes expresiones:

a) senπ6

32

= b) cosπ3

12

=

c) cosecπ3

2= d) cotπ3

33

=

e) tanπ4

2= , son verdaderas:

A) a y c B) b solamente C) a y d D) b y d E) c y e

2. ¿Cuál de los siguientes valores es el

mayor?

A) sen 30º B) tan 30º C) 12

sec 30º

D) cos 30º E) cot 30º - 1 3. Hallar el valor numérico de la siguiente

expresión:

3 30 60 6 45 30 2 45 4514

2cos sen cot sec cos° °− ° °+ ° °−tan

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 4. Hallar el valor de:

sen cos sec

cot sec

2 4 3

12

4 2

3012

60136

60

30 45 3 45

°+ °+ °

°+ °+ °

ec

tan

A) 1

12 B)

712

C) 5

12 D)

14

E) 17

5. Hallar el valor numérico de:

( )º60cosº4571

º301º45senº452 2

⋅⋅++⋅⋅

=tan

tantanT

(Concurso Escolar de Mat. 99 – Moquegua) A) 4/27 B) 5/27 C) 7/27 D) 8/27 6. Hallar el valor numérico de la siguiente

expresión:

sen sec4 3 23 214

x tan x x+ − −

para x = 45º.

A) -3 B) -2 C) -1 D) 1 E) 3

7. Dado sen (x) = ½. Calcular sen (2x) (Admisión UNJBG 2000-fase 0)

A) 3 B) 3

2 C)

3

2− D)

21

E) 23

8. Calcular:

1

º60º45º30cosº60sen

−

+−=

tantany

(Admisión UNJBG 2000-fase 0) A) 0 B) 1 C) 2 D) –1 E) -2 9. Si ( ) ( )BAAB +=− cossen . Hallar el

valor de la siguiente expresión: ( ) ( )BBecBBtanX cotcossec −⋅+=

(Concurso Escolar de Mat. 99 – Moquegua) A) –1 B) 1 C) 2 D) ½ 10. En un triángulo rectángulo ABC de

hipotenusa BC, la bisectriz AM mide igual que el cateto AB. Determinar el valor de ( )Ctan ∠2 .

(Concurso Escolar de Mat. 99 – Moquegua) A) 1 B) ¾ C) 4/3 D)3 11. ¿Cuál es el valor de x, tal que:

x sen 30º - cosec 30º = x tan 60º

A) ( )−+

411

2 3 1 B)

( )−−

310

1 2

C) ( )−+

47

2 1 D)

( )−−

310

1 3

E) 2 3

7

12. El producto de cinco razones

trigonométricas de un mismo ángulo agudo es 1. ¿Qué ángulo es?


13

A) π4

B) 53º C) 60º D) π3

E)

π6

13. Considerando π = 3.1416. ¿Cuál es el

valor de la secante de un arco de 1,04720 rad. A) 1,1547 B) 2,0000 C) 1,4142 D) 1,7071 E) 1,7321

14. En un triángulo isósceles ABC el lado

desigual tiene el doble de longitud que la altura relativa a dicho lado. Calcular:

sen sen cotα α

β β2 2

+ + −tan

Donde α es el ángulo desigual y β el ángulo igual.

A) 2

2 B) 2 C)

− 22

D) 2 2 E) 0 15. Una semi circunferencia de radio

( )1 3+ cm se divide en 30 arcos

iguales. Calcular la proyección del arco comprendido entre la quinta y décima división sobre el diámetro horizontal en centímetros.

A) 14

B) 18

C) 1 D) 54

E)

2

16. En la figura BCAB = , y además AN

y BM son bisectrices de los ángulos BAC y ABC respectivamente. Si

( ) 3=+ βαtan , entonces el valor de x es: (Admisión UNMSM 99)

A) 150º B) 120º C) 135º D) 105º E) 127º

TEMA III:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS • EJEMPLO 1: Resolver el triángulo rectángulo cuya hipotenusa AB mide 25,5 cm y su

ángulo A es de 20º30’.

β

A

B

C

N

M

α

x


14

• EJEMPLO 2: Los catetos de un triángulo rectángulo miden FG = 15 y GM = 42,7. Hallar los demás elementos:

• EJEMPLO 3: En un triángulo rectángulo ABC recto en B, el ángulo A es de 46º20’ y el

cateto adyacente es de 8 cm. ⇒ ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN.- • EJEMPLO 1: Desde un punto A situado a 300 m de la base de una torre un hombre de 1,70

m de altura, observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 30º. Calcula la altura de la torre.

HORIZONTAL

A

HORIZONTAL

B


15

• EJEMPLO 2: Desde lo alto de un acantilado de 45 m de altura, los ángulos de depresión de dos botes que están en el mar y en una misma dirección del observador miden 60º y 45º. ¿Qué distancia hay entre los botes?

• EJEMPLO 3: Una tarde un hombre de 22,392 pies de estatura, quería saber la hora pero

lamentablemente no tenía reloj, el hombre sabía que ese día salía el sol a las 6:00 a.m. y estaría sobre su cabeza al medio día. Un amigo midió la sombra la sombra del hombre y era de 6 pies de longitud aproximadamente que hora era?

• EJEMPLO 4: Un avión que está por aterrizar observa en su misma trayectoria la pista de

aterrizaje de extensión igual al doble de la altura a que se encuentra. Si ve el extremo más alejado con un ángulo de depresión de 22º30’. Calcular con que ángulo observa el otro extremo.


16

• EJEMPLO 5: Una torre de 15 m de altura está en el borde de un acantilado, desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del acantilado, las elevaciones angulares de la parte superior e inferior son α y φ respectivamente. Siendo 26,1=αtan y tanφ =1,185. Hallar la altura del acantilado.

• EJEMPLO 6: Una persona colocada a la orilla de un río ve un árbol plantado sobre la ribera

opuesta bajo un ángulo de 60º, se aleja 40 metros y éste ángulo mide 30º. ¿Cuál es la altura del árbol? (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua)

A) 2 3 B) 15 3 C) 20 3 D) 5 3 • EJEMPLO 7: Don Pablito observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 30º,

camina 20 pies en dirección al árbol y nuevamente observa la copa con un ángulo de elevación de 45º. ¿Cuánto mide la altura del árbol?

(Admisión UNSA 99)

A) ( )

pies3

22310 − B) 2,4 pies C)

( )pies

333310 −

D) ( )

pies3

32310 + E)

( )pies

333310 +


17

PRÁCTICA Nº 3

Tema: Problemas de Resolución de triángulos rectángulos.

1. En un triángulo no rectángulo EFG, el lado EG mide 17 cm. Conociendo que cot E = 0,29 y tan G = 2,4 , el perímetro del triángulo es:

A) 72 cm B) 68 cm C) 57 cm D) 83 cm 2. Un poste proyecta una sombra de 22 m,

y en ese instante el ángulo de elevación es de 35º. La altura del poste es de: A) 14,6 m B) 13,8 m C) 15,4 m D) 12,5 m

3. Un terreno es de forma rectangular. La

diagonal del terreno es de 120 m y forma con un lado del terreno un ángulo de 18º30’. El área del terreno, en m2 es: A) 4332 B) 5308 C) 6428 D) 3864

4. Un pentágono regular está inscrito en

una circunferencia de 9,8 cm de radio. La longitud de cada lado del pentágono es: A) 11,5 cm B) 13,5 cm C) 10,5 cm D) 9,5 cm

5. Las longitudes de un rectángulo son:

largo 54 cm, ancho 24 cm. El ángulo mayor formado por sus diagonales mide: A) 128,6º B) 132,6º C) 108,6º D) 112,6º

6. Desde un punto P a 1,50 m del piso se

observa el punto más alto de una torre con un ángulo de elevación de 42º. Si la base del punto de observación está a 25 m de la base de la torre, entonces la altura de ésta es de: A) 24 m B) 26 m C) 23 m D) 22 m

7. Desde un punto distante98 m de la base

de un edificio, el ángulo de elevación hacia el punto más alto del edificio es de 28º. La altura del edificio es de: A) 45,5 m B) 48,2 m C) 47,4 m D) 52,1 m

8. Desde un avión que vuela a 823 m sobre

el nivel del mar, se divisa dos barcos ubicados en línea recta, uno bajo un

ángulo de depresión de 27º y el otro bajo un ángulo de depresión de 19º. Entonces la distancia entre los barcos es de: A) 824 m B) 634 m C) 774 m D) 934 m

9. La distancia entre dos torres es de 22,5

m. Desde el punto más alto de la torre más pequeña el ángulo de depresión a la base de la otra es de 42º y el ángulo de elevación hacia el punto más alto de ésta es de 23º. Entonces la altura de la torre más alta es: A) 49 m B) 30 m C) 52 m D) 48 m

10. Se desea construir un túnel por debajo

de una montaña, en línea recta desde A hasta B. Se elige un punto C tal que desde él sean visibles los puntos A y B, y a la vez sea el vértice de un ángulo de 90º. Si C está a 3,6 km de A y a 4,5 km de B, entonces la dirección que los excavadores deben seguir desde A en dirección de B es: A) 46,8º B) 57,2º C) 51,3º D) 38º

B C

A

11. Se lanza un proyectil de tal manera que

recorre en línea recta AB con velocidad de 90 km/min. Si después de 40 segundos de habérsele lanzado se encuentra a 28,5 km sobre el punto C, entonces el ángulo de lanzamiento (elevación) es de:

A) 31,5º B) 43,5º C) 28,3º D) 36,5º

B

28,5

A C


18

12. Una persona colocada a la orilla de un

río vé un arbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de 60º, se aleja 40 m y este ángulo mide 30º, ¿cuál es la altura del arbol? A) 43,60 m B) 30,6 m C) 34,6 m D) 36,4 m E) 38,4 m

13. En un triángulo C= 45º, B = 75º y CB =

15 m ¿Cuál es su área?

A) 615 m B) 95,18 m2 C) 91,28 m2

D) 75 m2 E) 88,68m2

14. En un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos cuyas longitudes son

3 y 1. ¿Cuál es la altura del campanario?

A) 239

B) 21

27+

C)

1335+

D) 13

39−

E) 13

39+

15. El reflector situado al ras del suelo,

ilumina un monumento bajo un ángulo de 30º. Si trasladamos el reflector a 2 m más cerca del monumento, este se ve bajo un ángulo de 45º. ¿Cuál es la altura (y) del monumento y cuál es su distancia (x) al segundo lugar de iluminación?

A) 33

32+

=y ; 33

32−

=x

B) 33

32−

=y ; 33

32+

=x

C) 33

32−

=y ; 33

32−

=x

D) 33

32+

=y ; 33

32+

=x

TEMA IV:

ÁNGULOS ORIENTADOS • ÁNGULOS COTERMINALES.-

-35º

35º


19

Si α y β son ángulos coterminales Entonces Ejemplo: 1. ¿Son coterminales los ángulos α =8º y β = 1088º? 2. ¿Son coterminales los ángulos α =320º y β = -40º?

NOTA.- Un ángulo de 5π radianes es coterminal con:

20º

-50º


20

• DETERMINACIÓN DEL CUADRANTE DE UN ÁNGULO.- ¿A qué cuadrante pertenece 758º?

¿A qué cuadrante pertenece 4

13π radianes?


181π radianes?

¿A qué cuadrante pertenece –1914º radianes? ¿A qué cuadrante pertenece –2345º ?


21


109π− radianes?

¿A qué cuadrante pertenece 524π−

radianes

TEMA V:

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

sen α = cos α = tan α =

cot α = sec α = cosec α =

X X’

Y’

Y


22

sen cos tan cot Sec csc

I

II

III

IV

Ejemplo 1: Hallar el signo de cada producto. I) º290cosº190sen ⋅ II) º200secº160 ⋅tan III) º390secº120cos ⋅

(Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) (-) (+) (+) B) (-) (-) (+) C) (+) (+) (+) D) (-) (+) (-) • ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL.- ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... Ejemplo1: Un punto del lado terminal del ángulo α es P (-4, -3). Determinar las funciones trigonométricas del ángulo α .

Y

Y’

X’ X 0

X X’

Y’

Y


23

Ejemplo 2: Conociendo que sen β =32

y que 90º < β < 180º. Hallar las demás funciones

trigonométricas de β . Ejemplo 3: Se sabe que cosec γ = -3,5. Hallar las demás funciones trigonométricas de γ , conociendo que γ está en el IV cuadrante. Ejemplo 4: P(4,-2) es un punto del lado terminal del ángulo en posición normal X. Hallar el

valor numérico de: ( )

xecxtanxx

2

22

coscos3sen5

⋅−

.


24

Ejemplo 5: Sean α y β ángulos en posición normal β >α , cuyos lados terminales pasan por

los puntos de intersección de las curvas xy 22 = e x = 2. Entonces secα - cosec β es: (Admisión UNMSM 98)

A) 3 2 B) 2 C) 2 2 D) 2 3 E) 3

PRÁCTICA Nº 4

Tema: Funciones Trigonométricas de un ángulo en posición normal. 1. Determinar el signo de: sen sec tg3 5 4Q Q c Q

A) - ; si Q pertenece al I c. B) +; si Q pertenece al II c. C) +; si Q pertenece al III c. D) +; si Q pertenece al IV c. E) N.A.

2. Los cuadrantes en los que el coseno y tangente tienen el mismo signo son: A) 1º y 2º B) 1º y 3º C) 2º y 3º D) 2º y 4º E) 1º y 4º

3. En que cuadrante se cumple que:

1

0−

<cos

cos

a

b ; π π< <b 2

A) II y III B) II C) I y III D)III E) II y IV

4. El ánguloα está en el I cuadrante.

Si Bn

A+

=αcos y n + B > 0

Entonces se verifica que: A) B > A y n < A-B. B) A > 0 y n < A-B. C) n > B y n < A-B. D) n > 0 y n > B-A. E) A >0 y n > A-B

5. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrante y es tal que 0 2< ≤x π , entonces hallar el signo de las siguientes expresiones trigonométricas.

( )

( ) ( )tan x

x ec x4

2 4sen cos;

( ) ( )( )

cot sec

cos

x x

x3

34

5

( ) ( )

( )sen

sec

x tan x

x3

23

34

A) (+) (+)(+) B) (-)(-)(-) C) (+)(+)(-) D) (-)(+)(-) E) (-)(-)(+)

6. Tomando 5 = 2,236 y sabiendo que: cotan x = -0,5 y que x ∈ IV c. ¿Cuál es el valor de cosec x? A) -2,236 B) 2,236 C) -0,4472 D) 1,118 E) -1,118

7. Sabiendo que: cos Q = ¼ ; 270º < Q < 360º. Calcular el valor de la expresión:

sec cos

cotQ ecQ

anQ−

−1

A) 0,25 B) 0,50 C) 2,50 D) 4,00 E) 4,50

8. Dado cos xp qp q

= −−+

2 2

2 2 p > q > 0

Calcular tan x, con x en el segundo cuadrante.

β α

(2 , -2)

(2 , 2) y2= 2x

y

x


25

A) −−

22 2

pqq p

B) 22 2

pqq p−

C) −+

22 2

pqq p

D) 2

2 2

pqp q+

E) q pq p

2 2

2 2

−+

9. Si α ∈ II c. y:

( )sen sencos243 α α

α=

−

Calcular: tanα - senα

A) −1112

143 B) 9

12143

C) 1312

143 D) 1112

143

E) −1312

143

10. Siα es un ángulo del tercer

cuadrante, tal que: 8cot1 2 =+ α ,

calcular ( )8 3secα

A) 8 633 B) −863

3

C) 863

3

D) −8

3 63

3

E) −8

63 63

6

11. El lado terminal de un ángulo α pasa por (-15, 8).

Si αα

αα2

22

tancoscos16tan25

⋅+= ec

M

entonces 2857192M−

es:

A) 85/2 B) 85/3 C) 85/4 D) 85/5 12. Los lados terminales de los ángulos en

posición normal α y β pasan por los

puntos ( )3,6− y

−

52

,5

1

respectivamente. Si

45

sec2 32 +⋅= αα tanS ,

( ) 5cotcos40 32 −−= ββC , entonces C/S es: A) 6 B) 8 C) 9 D) 7

13. ω y θ son ángulos en posición normal. El lado terminal de ω pasa por

( )7,2 − y el ángulo θ por

−−2

2,

22

. Se sabe que

θθωω

22

22

cottansec

−+=

senR

ωθωθ

tantansecsec

⋅+=S , entonces R+S2 es:

A) –112/8 B) –115/8 C) –114/7 D) –111/7 E) N.A.

14. A y B son ángulos en posición normal. A está en el III c. y B en el II c. Si

815

cot =A , 1312=senB , y si

BsenAE tan+= , ABF tancos13 ⋅= , entonces 85E+6F

es: A) –260 B) –280 C) –270 D) –290 E) N.A.

15. E y F son ángulos en posición normal

tales que 1384

tan =E y 0cos <ecE ;

1tan −=F y F está en el II c. Si ( )( )senFF

senEEK

−−=

cos71cos17

entonces

2512 −K es:

A) –2/50 B) –3/50 C) –4/50 D) –1/50 16. β y θ son ángulos en posición normal

tales que 6111

cos−=β , 0tan >β ; y

15113

cos =θec , 0cot >θ . Sabiendo

que 22

157

cot6059

cos

−+

−= θβecA

33

115

sec112

1sec

−−

−= βθB ,

el valor de ( )34AB − es: A) 125 B) 64 C) 216 D) 343


26

17. A está en el IV c. y 32

tan−=A . B

está en el II cuadrante y 117=senB .

Se sabe que ( )

13

cos26 AsenAE

−= y

( ) ( )ββ sectan28442 +⋅−−=F . Entonces la raíz de la ecuación

024 =−+ FxEx es: A) –8 B) –4 C) –12 D) –6

18. Si 73

tan =A ,; A está en el IIIc.,

534

sec −=B ; B está en el II c. Si

23cos29 += AP y

( )21tan25 += BQ , entonces una raíz

de la ecuación 02

1522 =++ xQxP

es: A) –1 B) –3 C) –9 D) –6

TEMA VI:

CÍRCUNFERENCIA UNITARIA

Sen α = Cos α = Tan α =

cot α = sec α = cosec α =

• ÁNGULO CUADRANTALES.- ........................................................................................................................................................ .........................................................................................................................................................

X X’

Y’

Y


27

• Ejemplo 1: Hallar el valor numérico de S + C, sabiendo que:

( )( )º2340sec3

º1530senº2610cos5−

−−=

ecS y

211

sen2

223

cos48

π

π

−

−=

ecC


28

• Ejemplo 2: Simplificar el valor de ( ) ( ) ( )º90senº630cosº540senº720cos 2222 −⋅−+⋅+⋅+⋅+= bababaV

(Concurso Escolar de Matemática 99 - Moquegua) A) 4ab B) a2 C) b2 D) ab • Ejemplo 3: Si x = 0, efectuar E = cos x – sen x

(Admisión UNJBG 99) A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 • Ejemplo 4: Si cos (2x) = -1, hallar E = cos x.

(Admisión UNJBG 99) A) –1 B) 1 C) 2 D) –2 E) 0


29

TEMA VII:

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE • ÁNGULO DE REFERENCIA.- .......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... • CUANDO 90º < α < 360: EN GENERAL: Si , entonces su ángulo de referencia es: Si , entonces su ángulo de referencia es: Si , entonces su ángulo de referencia es:

0 X

Y

Y’

X’

0 X

Y

Y’

X’ 0 X

Y

Y’

X’


30

Si ∈α II c. Entonces sen α = cos α = tan α = cot α = sec α = cosec α =

Si ∈α III c. Entonces sen α = cos α = tan α = cot α = sec α = cosec α =

Si ∈α IV c. Entonces sen α = cos α = tan α = cot α = sec α = cosec α =

Ejemplo: Halla el valor de: a) sec 135º b) tan 3

4π c) sen 355º15’


31

• CUANDO -360º < α < 0: EN GENERAL: Si , entonces su ángulo de referencia es: Si , entonces su ángulo de referencia es: Si , entonces su ángulo de referencia es: Si , entonces su ángulo de referencia es:

0 X

Y

Y’

X’ 0 X

Y

Y’

X’

0 X

Y

Y’

X’ 0 X

Y

Y’

X’


32

Ejemplo: Hallar el valor numérico de: ( ) ( ) ( ) 6215cos821027135cos8 2 +°−−°+°−= tanA

• CUANDO α PASA UNA VUELTA POSITIVA:

Hallar a) tan 510º b) cos 4

25π c) sen 910º40’


33

• CUANDO α PASA UNA VUELTA NEGATIVA:

Hallar a) tan (-420º) b) sen (-850º) c) sec947π−

• ¿Cuál es el valor del ángulo A? 2

3cos

−=A


34

Ejemplo: El valor numérico de: ( )

º510cosº240sen −

es:

(Admisión UNJBG 99-I)

A) 3 B) 32 C) 3

3− D) 1 E) –1

Ejemplo: Dado el triángulo ABC (ver fig.), ABED // y los ángulos α =70º, β =130º. Hallar cos 2γ (Admisión U del Callao 98-I)

γ β

α

A

B

C

D

E


35

PRACTICA Nº 5

Tema: Reducción de ángulos al primer cuadrante. 1. Indicar los signos de las siguientes

expresiones en el orden F, G, H

{ }

{ }Fsen

ec=

° ° °

° °

sec tan

cos cot

285 138 210

215 338

2 3

3

{ }

{ }Gsen

ec=

° ° °

° °

3 3260 115 116

195 336

cot cos

cos tan

{ }

Hsen ec

= ° ° °° °

195 340 128

135 298 3

cot cos

tan sec

A) - , + , - B) - , - , + C) - , - , - D) + , - , - E) + , + , + 2. Hallar el signo de las expresiones

trigonométricas, en el orden dado

sen52

325

3π π

cos ; sen32

522

3π π

cot ;

sen−205

37310

π πcot

A) (+) , (+) , (-) B) (-) , (+) , (-) C) (-) , (+) , (+) D) (-) , (-) , (+) E) (+) , (-) , ( +) 3. Si ∠ ∈ +X R y ∠ ∈X IV c. Entonces hallar el signo de las siguientes expresiones trigonométricas.

tan

cos

X

senX

ecX

4

2 4

cot sec

cos

X X

X3

34

5

sen

X X

X3

23

34

tan

sec

A) (+) , (+) , (+) B) (-) , (-) , (-) C) (+) , (+) , (-) D) (-) , (+) , (-) E) (-) , (-) , (+)

4. Si ( )[ ]R = − °2 20402

tan

S sen= °2 705

Entonces S R+ +3

4 es:

A) 25/3 B) 25/6 C) 25/2 D) 25/7 5. Si K = tan 435º ;

( )E K= − −3 6 18 3 2

Entonces E 2 es: A) 54 B) 36 C) 46 D) 58 E) N.A. 6. Si A = sec(-413º) ; B= sen(-127º)

Entonces 6 5 12A B+ + es:

A) 2 3 B) 3 2 C) 4 2 D) 4 2

7. Si P = −

sec263

π; Q sen= −

736

π

Entonces la menor de las raíces de Px Qx2 0+ = ,es: A) -1/4 B) -1/2 C) -1/3 D) -1/6

8. Si ( )A sen= °4 1035 ; B sen=

2 416π

Entonces el número “y”, tal que

Ax By

x y

+ = −+ = −

12 10

es:

A) -4 B) -6 C) -5 D) -3 E) N.A. 9. El número K en la

ecuación

317

35

274

74556

6 3

4 2tan sec

cos

π π

π

+ −

−

=K

es:

A) -1/16 B) -1/18 C) -1/14 D) -1/15 10. Si sen 20º = m

Entonces ( )sen ec

sen200 340

220°− °

− °cos

es:


36

A) 1 2

2

+ mm

B) 1 2− m

m

C) 1 2

2

− mm

D) 1 2+ m

m

(Recuerda que cosecAsenA

= 1)

11. Si cos 35º = a

Entonces ( )º145cosº55senº575cos

−−

es:

A) 2 B) 2a C) a D) 1 E) N.A. (Recuerda que: sen A = cos (90º-A) 12. Si tan 40º = X ,

K = °− °° °+

tan tantan tan

140 130140 130 1

Entonces (2X)K es: A) 1 2+ x B) x2 1− C) − −1 2x

D) 1 2− x E) N.A.

13. Si A arcsen= 12

; B = −

arccos

22

π2

< A <π ; π < B < 32π

.

Entonces 6A + 2B es:

A)13

2π

B) 92π

C) 15

2π

D) 72π

14. Si M = arc tan3

1 , π < M <

23π

( )N ec= −arccos 2 ,32π

< N < 2π

Entonces 2M - N es:

A) 2π

B) 4π

C) 3π

D) 5π

E) N.A.

TEMA VIII:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS A) IDENTIDADES PITAGÓRICAS.-

1. sen A = ba

sen2 A =

cos A =


37

2. tan A =

sec A =

3. cot A =

cosec A =

B) IDENTIDADES POR COCIENTE.-

1. sen A =

cos A =

2. cos A =

sen A =


38

C) IDENTIDADES RECÍPROCAS.-

1. sen A =

cosec A =

2. cos A =

sec A =

3. tan A =

cot A =

• RESUMEN: 1) sen2 A + cos2 A = 1

2) tan2 A + 1 = sec2 A

3) cot2 A + 1 = cosec2 A

4) tan A =

5) cot A =

6) 1cossen =⋅ ecAA

7) 1seccos =⋅ AA

8) 1cot =⋅ AAtan


39

Ejemplo 1.- Demostrar que: xcosecxsecxcotxtan ⋅=+ es una identidad.

Ejemplo 2.- Demostrar que: x

xx

xxx

sen1cos

cot1sen

cossen−

+−

=+ es una identidad.

Ejemplo 3.- Demostrar que: xecx

xx

xcos2

cos1sen

sen1cos −

−=−

es una identidad.


40

Ejemplo 4.- Demostrar que: α

αα

ααcos1

sensen

cos1cos2

+++=ec es una identidad.

Ejemplo 5.- Demostrar que: BecBB

Bcoscot

cos1sen =−−

es una identidad.

Ejemplo 6.- Simplificar: ( )xxtanxE cotsen 2 += .


41

Ejemplo 7.- Simplificar: AAAA

Fcoscos2

sen2sen3

3

−−=

Ejemplo 8: Simplificar la expresión: ( )BBecBBY 2sen21coscoscot −−⋅=

(Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) tan B B) cos B C) sen B D) sec B

Ejemplo 9: Hallar el valor de “x” en la expresión: xA

AA

A 2sen1

cossen1

cos =−

++

(Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 2 cos A B) cos A C) cos2A D) sen A


42

Ejemplo 10: Al simplificar tanAAAAAtan

P+−

+=cossec

sec se obtiene:

(Admisión UNFV 99) A) 1 B) sen A C) cosec A D) tan A E) cot A

Ejemplo 11: Simplificar: xxec

xxy

sencoscossec−

−=

(Admisión UNJBG 2000-fase 0)

A) tan2x B) tan3x C) xtan 2

1 D)

xtan3

1 E) tan x

Ejemplo 12: Reducir: ( ) xxx 422 sensen1cos ++

(Admisión UNJBG 2000-fase 0) A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 E) -2


43

Ejemplo 13: La expresión θθ

θcotcos

sen−ec

es equivalente a:

(Admisión UNSA 99) A) 1 - tanθ B) 1 - cosθ C) 1 + cosθ D) sen2θ E) 1 + tanθ Ejemplo 14: Si a = sen x +cos x, hallar a2- 1

(Admisión UNJBG 99) A) (sen x)2 B) sen x C) cos x D) 2 sen x cos x E) sen x cos x Ejemplo 15: Si n=+ θθ 44 cossen , calcular θθ 22 cossec ec+

(Admisión U. del Callao 99-II)

A) n+1

2 B)

n−11

C) n+1

1 D)

n−12

E) n1


44

Ejemplo 16: Si 7cos 33 =− xecxsen , calcular ( )233 cos xecxsen + (Admisión UNJBG 2000-II)

A) 51 B) 49 C) 47 D) 53 E) N.A.

Ejemplo 17: Simplificar: αα

αα

αα

cottan

seccos

cos++=

ecsen

R

(Admisión UNJBG 2000-II)

A) α2sec B) α2sen C) αcos

1 D) α2tan E) N.A.

Ejemplo 18: Al simplificar la expresión senxecx

xxY

−−=

coscossec

resulta:

(Admisión UNSA 2000) A) xtan B) x3tan C) x2tan D) xcot E) x3cot

PRÁCTICA Nº 6 Tema: Identidades Trigonométricas

1. cos x + sen x tan x = 1,2. ¿Cuánto vale

sec x? 1,2 B) 2,4 C) 1,8

D) 1,44 E) -1,44

2. ¿Qué función trigonométrica deberá escribirse en vez de M para que la ecuación tg tg secα α α+ =c M se transforme en una identidad?


45

A) senα B) - senα C) cosecα D) tgα E) ctgα

3. ¿Cuál de las expresiones siguientes

equivale a: sec coscsc sen

x xx x

−−

?

A) tan x B) tg2 x C) tg3 x

C) cot x E) c xtg2

4. ¿Qué función trigonométrica hay que colocar en lugar de x para que la ecuación sec A - cos A = x sen A, se transforme en una identidad? A) ctg A B) sen A C) cos A D) sec A E) tg A

5. La expresión equivalente a:

costgtg

φφθ

= −12

2 es:

A) sensensen

22

2

12

θθφ

−

B) 12

2

12

+

sensen

φθ

C) 12

2

12

−

sensen

θφ

D) 12

2

12

−

sensen

φθ

E) 12

2

12

+

sensen

θφ

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones

equivale a: 2 cosec x?

A) sen

coscos

senx

xx

x11

−+

+

B) cos

coscos

senx

xx

x11

++

−

C) sen

coscos

senx

xx

x11

++

+

D) tgcos

costg

xx

xx1

1+

+−

E) c x

xx

c xtgcos

costg1

1+

+−

7. La expresión:

cos tg sen tg

csc secx c x x x

x x−

−

Es el primer miembro de una identidad, el segundo miembro es: A) 1 + sen x cos x B) sec x + sen x C) csc x + cos x D) 1 + sec x csc x E) 1 - sen x cos x

8. Simplificar la expresión: E = (tg x + tg y)(1 - ctg x ctg y) + (ctg X + ctg y)(1 - tg x tg y)

A) ctg x B) - ctg y C) tg x D) 0 E) tg y

9. Calcular: E = − −sec tg tg4 4 22α α α

A) 1 B) 2 C) 0 D) 0,5 E) -1 10. Si: x = sen a + cos a y = sen a - cos a

Hallar la relación entre x e y independiente de a.

A) x y2 2 4+ = B) x y2 2 2− =

C) xy

=43

D) xy

=34

E) xy = 1

11. Reducir: Wx x

ec x x=

−−

sec coscos sen

3

A) cot an x

2 B) sec x C) cosec x

D) tan x E) sen x 12. Eliminarα , partiendo de:

tan an x

ec y

α αα α

+ =+ =

cotsec cos

A) y x2 2 2= + B) y x x2 2 2= −

C) y x x2 22= + D) y x x2 22 2+ = +

E) y x x2 22= − 13. En el siguiente sistema: y sen x = a y cos x = b El valor de y es:

A) y a b= ± −2 2 B) y a b= ± +2 2

C) y a b= −2 2 D) y a b= +2 2

E) y b a= ± −2 2


46

14. Si sen x = a y tan x = b

Calcular: ( )( )E a b= − +1 12 2 A) 2 B) 0 C) -1 D) 1 E) N.A.

15. Si: tan x x

x ec xAB

+ ++ +

=sec

cot cos11

;

B A B≠ ≠0 ; Hallar:

EA x B x

x x=

−−

sen cossen cos

A) A-B B) A B−

2 C) AB 2

D) A + B E) A B+

2

16. Si: sen cosa eca+ =52

Hallar: Z = cot a + cos a

A) 3 3 B) 2 3

3 C) 2 3

D) 3 3

2 E) 3

17. Si: A K≠ +22

ππ

, la expresión

equivalente de: 1

12 2

+−

sensec

AA

es:

A) 1

1− sen A B)

−−

11 sen A

C) −

+1

1 sen A D)

−−

11 cos A

E) −

+1

1 sen A

18. Simplificar la expresión:

Kxx

xx

=−−

+++

11

11

cossen

cossen

Si: ππ

< <x32

A) − 2 B) − 2 sec x

C) 2 sec x D) 2 cos x

E) − 2 cos x 19. Si:

a bsenab

a bcos4 4θ θ+ =

+

b ≠ 0 ; a ≠ 0 . Calcular: tqθ

A) ab

B) ba

C) ±ab

D) ±ba

E) ±ab

20. Transformar:

( )

( )sen sen

tg

θ θ θθ θ θ

+ −+ − −

cossec cos

11 1

A) senθ θ+ cos B) senθ θ− cos C) cosθ θ− sen D) senθ θ+ +cos 1 E) senθ θ− +cos 1 21. Si:

1 2 2

1 2 2

+ =

+ =

tgx y

tgy x

sec

sec

Calcular: E= sec x + sec y

A) 2

2 B) 2 1− C)

3 22

D) 2

3 E) 2 1+

22. Hallar el valor de: E sen sen sen sen= °+ °+ °+ + °2 2 2 21 2 3 90.......... A) 22,5 B) 30 C) 45 D) 45,5 E) 60 23. Simplificar:

( )

( )sec

csc cos

4 4 2

4 4 2

1 2

1 2

α α α

α α α

− −

− −

sen tg

ctg

A) 1 B) 2 C) 4 D) 92

E) 5


47

TEMA IX:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUMA Y DIFERENCIA • IDENTIDAD FUNDAMENTAL:

* cos (-B ) = cos (0º - B)

* cos (90º - B) = * Si B = 90º - A

Entonces ( )[ ] ( )senº90cos =− * Si B = -A

Entonces ( )( ) ( )senº90cos =−

( ) BABABA sensencoscoscos ⋅+⋅=−

cos (-B) =

cos (90º-B) =

sen (90º-A) =

sen (-A) =


48

* ( ) ( )[ ]BABA −−=+ coscos * ( )[ ]BABA +−=+ º90cossen * ( ) ( )[ ]BABA −+=− sensen

cos (A+B) =

sen (A+B) =

sen (A-B) =


49

• RESUMEN: I) DE SUMA Y DIFERENCIA: sen (A+B) = sen (A – B) = cos (A + B) = cos (A – B) =

( )tanBtanA

BtanAtanBAtan

⋅−+=+

1

( )tanBtanA

BtanAtanBAtan

⋅+−=−

1

( )AB

BABA

cotcot1cotcot

cot+

−⋅=+

( )AB

BABA

cotcot1cotcot

cot−

+⋅=−

II) DE ÁNGULOS NEGATIVOS: sen (-A) = cos (-A) = tan (-A) = - tan A cot (-A) = - cot A sec (-A) = sec A cosec (-A) = - cosec A III) DE COFUNCIONES:

sen (90º- A) = cos (90º- A) = tan (90º- A) = cot A cot (90º- A) = tan A sec (90º- A) = cosec A cosec (90º- A) = sec A

Ejemplo 1: Si α y θ son ángulos del I c. y 53

sen =α , 135

sen =θ

Entonces calcular sen (α + θ ) y cos (α - θ )


50

Ejemplo 2: Si φ ∈II c. y θ ∈I c. y 178

sen =φ y 53

cos =θ

Entonces calcular sen (φ - θ ) y cos (φ + θ )

Ejemplo 3: Si β ∈III c. y α ∈IV c. y 2120

cot =β y 941

cos−=αec

Entonces calcular cos (α + β ) y tan (α - β )

Ejemplo 4: Si 3πθα =−

Entonces calcular el valor de: ( ) ( )22 sensencoscos θαθα +++=R


51

Ejemplo 5: Demostrar que: ( ) βα

βαβα

tan−=⋅

+cot

cossencos

y ( ) βα

βαβα

tan+=⋅

−cot

cossencos

Ejemplo 6: Simplificar: cos (A + B) + cos (A – B)

Ejemplo 7: Reducir xx

xxx

xxx

xL

2cos6cos4sen

6cos3cos3sen

3coscos2sen −

⋅+

⋅=


52

Ejemplo 8: ¿Cuánto vale el coseno de 75º?

Ejemplo 9: Si 4π=− yx y ( ) ( )22 coscossensen yxyxK +++=

Entonces K – 2 es: Ejemplo 10: Si ( ) 82 =+ batan y ( ) 22 =+ batan , entonces ( )batan − es

(Admisión UNMSM 99) A) 12/17 B) 4/17 C) 6 D) 6/17 E) 10


53

Ejemplo 11: Resolver º40

º1023

º10cosº30

sen

sensenE

⋅+⋅=

(Admisión UNJBG 2000-II) A) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) -2

PRÁCTICA Nº 7 Tema: Identidades para ángulo suma y ángulo diferencia

1. ¿Cuánto vale el coseno de 75º?

A) ( )0 25 3 2, − B) ( )0 25 6 3, −

C) ( )0 25 6 2, + D) ( )0 25 6 2, −

E) ( )0 25 6 3, +

2. Calcular: sen 75º + cos 75º

A)6

2 B)

2 33

C) 6 2

2−

D) 6

3 E)

6 22+

3. Calcular tan 105º

A) 2 3+ B) ( )− +2 3

C) 2 3

2+

D) 1 3+

E) 2 3− 4. Calcular el valor natural muy

aproximado del sen 23º

A) 4 3 3

10+

B) 4 3 3

10−

C) 3 2 4

10−

D) 3 2 4

10+

E) 3

27−

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es

equivalente a: ( )8 45sen x + ° A) 2(sen x +cos x) B) 2(sen x - cos x) C) 2(sen x - sec x) D) 2(senx - 0,5) E) 2(1 - cosx) 6. Al dividir sen(A + B) entre cosAcosB se

obtiene: A) ctg A + ctg B B) tg A - ctg B C) ctg A - tg B D) tg A - tg B E) tg A + tg B 7. Simplificar: E = cos(180º- x) sen(90º+ y) + sen(180º- x) cos(90º+ y) A) sen(x + y) B) -sen(x-y) C) -cos(x+y) D) cos(y - x) E) -cos(x - y) 8. Simplificar:


54

( )

( )P

tgctg

tgctg

=+

−

−−

θφ θθ

φ θ

1

1

A) tg tgθ φ− B) tg tgθ φ+ C) ctgφ D) tgφ E) ctgθ

9. Si: a b− = π3

; calcular:

( ) ( )E a b sena senb= + + +cos cos 2 2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 10. Si: tg (x + y) = 33 y tg y = 3 Encontrar el valor de tg x A) -3 B) -0,3 C) 0,3 D) 3 E) 30 11. Si A + B = 45º. Hallar:

ytgA tgB ctgA ctgB

=+

−+

1 1

A) -1 B) 1 C) 12

D) 2

2 E) − 2

2

12. Si: a + b = 225º, calcular el valor de:

( )( )Rctga ctgbctga ctgb

= ⋅+ +1 1

A) -2 B) − 12

C) 2 D) 12

E) no existe

13. Si: cos(x + y) = 0,8 cos y - 0,6 sen y Encontrar: tg x

A) 12

B) 25

C) 34

D) 35

E) 1

14. Reducir la siguiente expresión a otra en la que no figure más que: tgα y tgφ

( ) ( )F sen sen= + − ⋅α φ α φ α φsec sec2 2

A) tg tg2 2φ α− B) tg tg2 2α φ− C) tg tgα φ+ D) tg tgα φ− E) tg tgφ α− 15. El valor de la expresión: (tg 80º - tg 10º) ctg 70º es: A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 0

16. Si: ( )tg x ya ba b

− = −+

; tg (y - z) = 1

Entonces: tg(x - z) es igual a:

A) ab

B) ba

C) a ba b

−+

D) a ba b

+−

E) a b

a+

17. Si: ( )tg x ya ba b

− = −+

; tg (y-z) = 1

Calcular: ctg (x- z)

A) ab

B) − ab

C) ba

D) ab E) -ab

18. Hallar el valor de V ctg ctg= −β α ;

en términos de K, si:

( )

( ) ( )2 2sen

Kα β

α β α β−

− − +=

cos cos

A) −K2 B) -K C) K D) K E) K2

19. Si ( )tg a b c+ + =35

y tg b = 3

Calcular: tg (a-b+c)

A) −67

B) 217

C) 2711

D) −2917

E) −1127

20. A partir de la figura: hallar “x”

A) 3 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7 21. En la siguiente figura la medida del lado

x es:

α

α β

4

6

2

X

30º

7

X

32


55

A) 4 6 B) 4 23 C) 4 13

D) 3 17 E) 3 6 22. Si nos situamos a una distancia de 500

metros de un edificio de 100 m de altura, que tiene 25 pisos idénticos. Hallar el valor de la tangente del ángulo mostrado.

A) 5

3143 B)

3143500

C) 1

274

D) 25

3143 E) N.A.

23. Si: ( )sen y t+ =245

; senyx=5

π π2

2< + <y t

Expresar x en términos de sen 2t y cos 2t solamente:

A) x = 4 cos 2t + 3 sen 2t B) x = 3 cos 2t - 4 sen 2t C) x = cos 2t - sen 2t D) x = 2 sen 2t - 3 cos 2t E) Ninguna de las anteriores.

TEMA X:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DOBLE Y MITAD

* ( ) BABABA sencoscossensen ⋅+⋅=+

sen (A + A) =

* ( ) BABABA sensencoscoscos ⋅−⋅=+

*

−=

−==+

AA

AAA

22

2222

sen1cos

cos1sen1cossen

cos 2A = ( ) – sen2A cos 2A = cos2A – ( )

sen 2A =

cos 2A =

cos 2A =

cos 2A =

α

500

10º piso

9º piso


56

* * cos 2A = 1 – 2 sen2A

=A2sen sen A = ±

Si 2α=A entonces

* cos 2A = 2 cos2A – 1

=A2cos cos A = ±

Si 2α=A entonces

* Ejemplo 1: Demostrar: ααα 44 sen2coscos +=

AtanAtan

Atan21

222

−= *

AA

Acot2

1cot2cot

2 −=

±=2

senα

±=2

cosα

ααα

cos1cos1

2 +−±=tan *

ααα

cos1cos1

2cot

−+±=


57

Ejemplo 2: Simplificar xxxx

xxxx

sencossencos

sencossencos

+−−

−+

Ejemplo 3: Simplificar: A

Acos1

sen+

Ejemplo 4: Expresar cos 3x en términos de cos x


58

Ejemplo 5: Expresar sen 3x en términos de sen x.

Ejemplo 6: Si 53

2sen =x , calcular: xx 44 sencos −

(Admisión U. del Callao 98-I)

A) –1 B) 54

C) 53−

D) 1 E) 53

Ejemplo 7: Sean α y β ángulos mayores que 2π y menores que 2π , tales que: 5

4sen =α

y 21cos =β . Hallar el valor de: ( ) ( )βαβα −−+ 22cos .

(Admisión U. del Callao 98-I)

A) 25

3− B)

25324

C) 25

324− D) 0 E)

253


59

Ejemplo 8: Reducir en un triángulo rectángulo ABC (recto en C)

+

+

12

cot

12

cot

Bb

Aa

(Admisión UNJBG 2000-II) A) 0 B) 1 C) ½ D) 2 E) 3

PRÁCTICA Nº 8 Tema: Identidades Trigonométricas para ángulo doble y mitad

1. Si cosecx = 3 y x I c∈ Entonces ¿cuánto vale 8 2cosec x ?

A) 48 B) 24 C) 3 2 D) 9 2 E) 12 2. Si cotan x = -0,5; el valor de 20 cotan 2x es: A) 40 B) -40 C) -15 D) 15 E) 20 3. La expresión que da cos 3x en términos

de cos x es: A) 3 4 3cos cosx x+ B) 4 33cos cosx x+ C) 3 4 3cos cosx x− D) 4 33cos cosx x− E) 3 43cos cosx x−

4. Si: x = π3

,el valor de tgx4

.Es igual a:

A) 2 3+ B) 2 3− C) 2 3

2+

D) 2 3

2−

E) 2 3

6+

5. Determinar el valor de la expresión: sen 3a cosec a - cos 3a sec a

A) 13

B) 3 C) 12

D) 4 E) 2

6. Si tg x2 3= , calcular tg x4

A) 2 B) 3 C) 3 D) 2 3 E) − 3

7. Si tgx = 111

. Calcular: tg x3

A) 3,07 B) 0,27...C) 3,27 D) 32 E) 0,21

8. Se da sena = 13

, senb = 12

; siendo a y

b menores de 90º. Encontrar sen 2(a+b)

A) 3 2

6+

B) 4 2 7 3

18+

C) 3 2

6−

D) 4 2 7 3

18−

E) N.A.

9. Calcular cos 75º

A) 2 2

2−

B) 3 2

2−

C) 3 2

3−

D) 2 13−

E) 2 3

2−

10. ¿Qué función trigonométrica es

equivalente a la expresión:

( )12

tg ctgα α+

A) sec2α B) ctgα C) cosecα

D) 1 2+ cosec α E) cosec2α 11. Simplificar:

( )tg A

tg A

45 1

2

°− −

A) sen A B) cos A C) tan A D) tan A - 1 E) tan A + 1

12. La expresión senA

A1+ cos es igual a:


60

A) sen 2A B) cos 2A C) tgA2

D) ctgA2

E) tg 2A

13. Siendo: tgAmn

= . Hallar el valor de:

y = n cos 2A + m sen 2A A) m n2 2+ B) m n2 2− C) m + n D) n E) m

14. Si tana

m2

= . Hallar cos a

A) 2

12

mm −

B) 2

12

mm +

C) 11

2

2

+−

mm

D) 11

2

2

−+

mm

E) mm

2

2

11

−+

15. Sabiendo que ctgα = +1 2 . Calcular

el ángulo α A) 15º30’ B) 30º30’ C) 45º D) 22º30’ E) 75º30’ 16. La expresión:

cos

cos

xsen

x

xsen

x2 2

2 2

+

−

Es equivalente a:

A) sec x + cosec x B) tg x + ctg x2

C) sec x + cos x D) cosec x + cos x E) sec x + tg x 17. Si se tiene un triángulo rectángulo

ABC, recto en B con A ángulo menor, la relación de catetos es 5/7.

Se tiene la relación: E = 7 cos 2A + 5 sen 2A Determinar el valor de E A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 18. ¿Cuál es el valor de la expresión?

110

310sen °

−°cos

A) 32

B) − 14

C) 2 D)4 E) 12

19. Si: senα α− =cos15

, el valor de

sen2α es:

A) − 25

B) 425

C) 2425

D) − 2425

E) 1725

20. El valor de:

sensen

3 3αα

αα

− coscos

es:

A) sen2 2α α− cos B) sen2 2α C) cos2 2α D) 2 E) 2α 21. El valor de :

secsec

2 12 1

xx

−+

es:

A) cos 2x B) 2cos x C) 3cos 2x D) 2tan x E) tan x 22. Si: sen 2x = (1,5 + sen x) senx cos x y

x ≠ 0 . Entonces el valor absoluto de tan 2x con error menor de una milésima es:

A) 1,414 B) 1,449 C) 2,414 D) 1,732 E) 2,449 23. Hallar la expresión equivalente a:

tg x

x4

4 1sec −

A) sen 2x B) tg 2x C) ctg 2x D) cos 2x E) sec 2x

24. Sabiendo que cos x - sen x = 12

. Hallar

sen 2x

A) 12

B) 38

C) 34

D) 14

E) 23

25. El valor de la expresión:

sen asena

aa

3 3− coscos

es:

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

26. Si: tgx = 52

. Determinar cos32α

A) ± 12

56

B) 12

23

C) ± 13

56

D) ± 55


61

27. Simplificar la expresión:

Eec

sen= −coscos sec

3 3θθ

θθ

A) sen4

4θ

B) 4 4sen θ C) sen4θ

D) sen2θ E) 0

28. Si: sen A23

2= . Calcular: sen A - cos

A

A) ( )15

5 1− B) ( )− +13

3 1

C) ( )± −12

3 1 D) ( )15

3 2−

E) ( )− −17

5 1

29. El valor de:

( ) ( )cos cosa b sena senb− + −2 2

en función de sena b−

2

es:

A) 22

sena b−

B) 42

2sena b−

C) sena b−

2

D) sena b2

2−

E) 22

2sena b−

30. Si: A, B y C son los ángulos internos de

un triángulo y

( ) ( )sen A B A B+ + = −cos12

.

¿Cuánto vale: 1 + tan C?

A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) 12

31. Si: cosα = − 45

y 180 270°< < °α .

Hallar: tgα2

A) 3 B) 45

C) -3 D) − 54

E) 1

32. Al simplificar la expresión:

tg

tg2

1 2θ

θθ

+−

sec , θ π≠

4

Se obtiene: A) tanθ B) 1+ tgθ C) 0 D) senθ E) cosθ 33. Los catetos de un triángulo rectángulo

miden (1+cos 20º) y sen 20º. Calcular los ángulos agudos.

A) 20º y 70º B) 30º y 60º C) 25º y 65º D) 10º y 80º E) 15º y 75º

34. Si: senx ≠ 0 , entonces ctgx tgx+2

es

igual a:

A) cosec x B) tgx ctgx+2

C) sec x

D) cos32x

E) cosx

ctgx2

35. Calcular el valor de:

( )

sen sen sen

sen

3 32 2

2

θ θ θ θ θ θθ θ

cos cos cos

cos

−

A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 12

36.

U AA

senA

senA

N senAA

senA

senA

I AAK

senAK

senAK

K

= +

−

= +

−

= +

−

>

sec cos

cos

cos cos ;

2 2

4 4 2

2 21

2

2

2

Simplificar la expresión:

U N IA

− + − 1cos

A) sen A - cos A B) senAK

AK

+ cos

C) 1+ senAK

D) cos A - sen A

E) senAK

AK

− cos


62

36. Sabiendo que: tg 25º = a , el valor de la expresión:

Ftg tg

tg tgtg tgtg tg

= °− °+ ° °

× °− °°+ °

155 1151 155 115

205 115245 335

es:

A) 0 B) a

a

2 12

−

C) 1 2+ a D) a

a

2 12

+ E)N.A.

37. El valor de:

E =

°+

°+ +

°cos cos .... cos2 2 21

222

1802

A) 0 B) 90 C) 45 D) 89,5 E) 91

TEMA XI:

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS * Simplificar sen (A + B) + sen (A - B) I) sen (A + B) + sen (A – B) = II) sen (A + B) - sen (A – B) = III) cos (A + B) + cos (A – B) = IV) cos (A + B) - cos (A – B) =

Si

=−=+

yBA

xBA

V) sen x + sen y = VI) sen x - sen y = VII) cos x + cos y = VIII) cos x - cos y =


63

Ejemplo 1: Transformar en producto la expresión cos 6x + cos 2x Ejemplo 2: Transformar en producto sen 70º + sen 10º Ejemplo 3: Expresar como suma o diferencia el producto º20senº65sen ⋅

Ejemplo 4: Demostrar que: AtanAAAA

32cos4cos2sen4sen

=++


64

Ejemplo 5: Simplificar: BBBB

2sen12sen12cos2cos

+−

Ejemplo 6: ¿Para qué valor de “k” se cumple la siguiente igualdad

kAAAA

AAAcot

sen43sen35sencos43cos5cos −=

+−++

(Admisión UNMSM 99)

PRÁCTICA Nº 9

Tema: Transformaciones trigonométricas

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones equivale a: 2 cos 6x sen x A) sen 7x + cos x B) sen 7x - sen 5x C) cos 7x + sen 5x D) cos 7x - sen 5x

E) cos 7x + sen x 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones

equivale a: 2 cos 4x cos x A) cos 5x + cos 3x B) cos 5x - cos 3x C) sen 5x - sen 3x D) sen 3x - sen 5x E) cos 3x - cos 5x

3. Dada la expresión 22

2sen cosx

x

.

Indicar si es igual a:

A) sen sen52

32

x x

+

B) sen sen54

34

x x

+

C) sen sen52

32

x x

−


65

D) sen sen54

34

x x

−

E) cos cos54

34

x x

+

4. La expresión: sen sencos cos

x yx y

++

es igual a:

A) tanx y+

2

B) senx y+

2

C) cosx y+

2

D) cotx y+

2

E) ( )( )

sen

cos

x y

x y

++

5. La expresión:sen sencos cos

x xx x++

32 4

es igual a:

A) sensen

46

xx

B) 1 C) cossen

23

xx

D) sensen

23

xx

E) N.A.

6. Transformar en producto la expresión: E = sen A + sen 2A + sen 3A

A) 432 2

sen cos cosA A

A

B) sen cosAA32

C) 232 2

cos sen senA

AA

D) 432 2

cos sen senA

AA

E) 332

2cos cos cosA

A A

7. La expresión:

sen sen sen senx x x x+ + +3 5 7 es igual a: A) sen 4x + sen 12x B) sen 16x C) 4 sen x sen 2x cos 4x D) sen 4x E) 4 cos x cos 2x sen 4x

8. Transformar en producto la siguiente

expresión: cos cos sen4 8 2 4 2x x x+ + −

A) cos cos2 3x x B) 4 2 32cos senx x C) 2 2 22cos senx x

D) 4 2 32cos cosx x

E) 4 4 22cos cosx x 9. La expresión:

sensen

cos sensen

cos sen

422

xx

x xx

x tan x x

++

+ es igual a:

A) tan x B) cos 2x cos 3x C) 2 sen x cos 3x D) sen 2x sen 3x

E) 2 sen 3x cos x 10. La función trigonométrica:

( )f xtan x tan x

x x=

++

22cos cos

es equivalente a:

A) ( )( )

sen sen

cos cos cos cos

x x

x x x x

2

2 2+

B) sen

cos cos

32

2

x

x x

C) sen

cos cos cos

32

22

x

x xx

D) cos cos cos

sen

22

32

x xx

x

E) ( )sen cos

cos cos

2

2

x x

x x+

11. Calcular el valor (verdadero valor) de:

Ex

x x=

−sen

sen sen3

2 ; si: 3x -π = 0

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

12. sen sencos cos

α βα β

+ =+ =

a

b ( )a b2 2 0+ =

Calcular ( )cos α β+

A) 22 2

aba b+

B) 22 2

aba b−

C) a ba b

2 2

2 2

3−+

D) b ab a

2 2

2 2

−+


66

E) b a

ab

2 2

2−

13. Hallar el verdadero valor de la

expresión siguiente, para a = 45º

coscos cos

245

aa − °

A) 2 2 B) 2 3 C) 1 2 2+

D) 1 2 2− E) 2 3 1+

TEMA XII:

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS * tan x = 3 tan x NO ES IDENT. TRIGONOMETRICA porque sólo se cumple para algunos valores de X Si x = 60º entonces tan 60º = 3 cot 60º Si x = 45º entonces tan 45º = 3 cot 45º

EJEMPLO 1: Dada la ecuación 13sen2 =x A) Hallar todas sus raíces B) Hallar sus raíces tales que º360º0 ≤≤ x SOLUCIÓN:

Si 13sen2 =x , entonces =x3sen


67

EJEMPLO 2: Resolver la ecuación 34

cos2 −=x

A) Hallar todas sus raíces B) Hallar sus raíces tales que º360º360 ≤≤− x SOLUCIÓN:

Si 34

cos2 −=x, entonces =

4cos

x

EJEMPLO 3: Resolver la ecuación xxx 2cos3cot2cos =⋅ . Indicando: A) todas sus raíces B) todas sus raíces tales que º360º180 ≤≤− x SOLUCIÓN:


68

EJEMPLO 4: Resolver la ecuación ( ) 012coscoscot =++ xxecx SOLUCIÓN:

EJEMPLO 5: Resolver la ecuación 34

cos2 −=x

A) Hallar todas sus raíces B) Hallar sus raíces tales que º360º360 ≤≤− x SOLUCIÓN:

Si 34

cos2 −=x, entonces =

4cos

x


69

EJEMPLO 6: Hallar el menor ángulo positivo “x” que satisfaga la igualdad: 41

sen 2 = .

(Admisión UNJBG 99-I) A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º

EJEMPLO 7: Si ( )21

sen =− yx y ( )21

cos =+ yx . Hallar yx

(Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

EJEMPLO 8: Sea la expresión ( ) xxx cos3 5 12 secsec −= . Si “x” pertenece al segundo cuadrante. Calcular R = tan x + sec x.

(Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) –1 B) –2 C) –3 D) – ½


70

PRÁCTICA Nº 10 Tema: Ecuaciones Trigonométricas

1. Hallar el valor del ángulo positivo más

pequeño x, diferente de cero que satisface la ecuación: cos2 4 1x =

A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 72º

2. Sabiendo que: cos612

x = − . Hallar un

valor de cos 3x

A) 14

B) 13

C) 12

D) 18

E) 23

3. Hallar un arco del primer cuadrante, tal

que el doble de su seno sea igual a su tangente

A) 30º B) 45º C) 60º D) 135º E) 270º 4. La solución de la ecuación

2 1senx ecx− =cos , para 0 2≤ ≤x π

A) π2

, 76π

B) 76π

, 11

6π

C) π2

, 11

6π

D) π2

, 76π

, 11

6π

E) N.A. 5. Al resolver la ecuación 3 12tg α = ,

donde 0 2≤ ≤α π , la suma de todas sus soluciones es:

A) 2π B) 3π C) 4π D) 5π E) 6π 6. ¿Cuál es el ángulo menor de 90º, tal que

el triple de su tangente es igual al doble de su coseno?

A) 45º B) 60º C) 75º D) 15º E) 30º 7. Calcular el valor del seno de un ángulo

para el cual se verifica que su secante es igual a la suma de su seno y coseno.

A) 3

2; 0 B)

12

; 1 C) 2

2;0

D) − 12

; 12

E) 12

; 0

8. Sea la ecuación: tgxtgx

+ =34 un valor

de x en el primer cuadrante es:

A) 23º B) 22º C) 22º30’ D) 45º E) 75º 9. Los valores de x que satisfacen la

ecuación cos 24

12

x +

=π

son:

A) − +π π24

n , 724 2π π

− n

B) π π6

+ n , − +76π πn

C) π π24

+ n , − +724π πn

D) π π32

2+ n , − +712

2π πn

E) 724 2π π

+ n ,

712

12π π− n

10. Al resolver el sistema:

2 3 4 3

6 2 3

senx tgy

senx tgy

+ =

− =

Se obtiene que la solución en el primer cuadrante es:

A) x = 45º , y = 45º B) x = 60º , y = 30º C) x = 30º , y = 60º D) x = 60º , y = 45º E) x = 60º , y = 60º 11. Hallar sen x + sen y si:

sec coscos cos

x y

ecy x

==

43

cuando x e y son agudos.

A) 45

11512

+ B) 34

11612

+

C) 35

11712

+ D) 45

11812

+

E) 45

11912

+

12. Dado el sistema:

senx y

senxseny

sec =

=

114


71

hallar un valor de: sen (x - y) sabiendo

que: x y, ,∈

02π

A) 1 B) 3

2 C) 0 D) -1 E)

22

13. Si x e y son ángulos entre 0 y π2

que

satisfacen las siguientes ecuaciones:

2 1

2senxseny

ctgx ctgy=

+ =

el producto xy es:

A) π 2

4 B)

π 2

9 C)

π 2

12

D) π 2

16 E)

π 2

25

14. Hay dos valores de x entre 0º y 360º

que satisfacen la ecuación: cos sec sec2 1 0x x x+ + = La suma de estos valores es: A) 360º B) 90º C) 1440º D) 720º E) 900º 15. Al resolver la ecuación:

3 1cosx senx= + ; donde: 0 2≤ ≤x π . La suma de todas

sus soluciones es:

A) 54π

B) 53π

C) π D) 52π

E) 5π

16. Hallar el arco positivo x más pequeño

de modo que se cumpla: 3 2 22tg x x= cos A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 15º 17. Resolver la ecuación; indicar las

soluciones: cos 2x cosec x + cot x + cosec x = 0

A) 90º , 270º , 120º , 240º B) 60º , 180º , 90º , 45º C) 90º , 270º , 45º , 120º D) 90º , 270º , 120º , 180º E) 60º , 45º , 90º , 120º

18. Los ángulos agudos que satisfacen la ecuación:

sen x senx2 1 22

24

0− +

+ = , son:

A) 30º solamente B) 75º y 30º C) 60º y 15º D) 30º y 45º E) N.A. 19. Determinar todas las soluciones de la

ecuación: ( )2 2 3 1 22− − − =cos θ θsen

A) π π3 2

+ K ;

π π6 2

+ K ;

π π2 2

+ K

B) π π6

+ K ; 56π π+ K ;

π π2

+ K

C) π π6

2+ K ; 56π π+ K ;

π π2 2

+ K

D) π π6

2+ K ; 56

2π π+ K ;

π π2

2+ K

E) π6

; 56π

; π6

20. Si: sen2 2 12

α α− =cos

Entonces: tan cotα α+ es:

A) 103

B) 4 3

3 C)

13 102

D) 3 3

4 E)

2 1013

21. Un valor de α para que se cumpla que

sensen2 2 2 1

42

0α α α+ + + =cos es:

A) π2

B) π4

C) π3

D) π6

E) N.A.

22. Hallar la suma de las soluciones de la

ecuación: 3 1cosx senx= + ; donde: 0 2≤ ≤x π la suma de todas sus soluciones es:

A) 54π

B) 53π

C) π D) 52π

E) 5π

23. Diga que ángulo α satisface la

ecuación:sen

senα

αα

α11

4+

+ + =cos

cos


72

A) π4

B) π5

C) π6

D) π3

E) π7

24. Dada la ecuación: cos x + cos 2x + cos 3x = 0

Hallar la suma de todas las soluciones de dicha ecuación, si estas soluciones estan comprendidas entre 0 y 2π (radianes)

A) π B) 2π C) 4π D) 3π E) 6π 25. Al resolver la ecuación: sen x x x ecx2 2= ⋅ ⋅cos tan cos Calcular la diferencia entre dos de dichas

soluciones:

A) 23π

B) π6

C) π12

D) 215π

E) 34π

26. Resolver la siguiente ecuación: oxxxx =+−−⋅ 1sen2cos22cossen2

A) π2

, π12

, π8

B) π2

, π6

, π4

C) π2

, π6

, π12

D) π2

, π6

, 56π

E) π12

, π12

, 512π

27. La solución del sistema de ecuaciones:

( )rsenx

r senx

== +

3

4 1

para r > 0 y 0 2≤ ≤x π es:

A) x arcsen= −

32

, r = 2 ;

x =π6

, r = 6

B) x =π6

, r = 6

C) x =56π

, r = 6

D) x =π6

, r =32

E) x =π6

, r = 6 ; x =56π

, r = 6

28. Resolver: cos 2x = cos x + 1

A) Arc cos2 15

4+

B) Arc cos1 17

4+

C) Arc cos2 15

4−

D) Arc cos1 17

4−

E) N.A.

29. ¿Cuál es el menor valor de sen x que

satisface la ecuación:

cosx senx− =17

1

A) -0,14 B) -0,28 C) -0,57 D) -0,7 E) -0,56


73

TEMA XIII:

LEY DE SENOS

bh

A =sen

ah

B =sen

.......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................ Si h es la altura desde B , entonces NOTA.- La ley de senos se utiliza para resolver triángulos, cuando se conoce: 1º. ángulos y lado. 2º. lados y ángulo

h

A B

C

a

c

b h

A B

C

a

c

b


74

Ejemplo 1: Resolver el triángulo ABC, sabiendo que A=135º, b=16 cm y B=30º. Ejemplo 2: Resolver el triángulo ABC, conociendo ∠ A=72º20’, c=22,4 cm y ∠ C=43º40’. Hallar su área.


75

Ejemplo 3: Resolver el triángulo ABC, cuando ∠ A=35º, a=18 m y b=28 m. Ejemplo 4: Resolver el triángulo ABC, conociendo que a=16 cm, b=25 cm y ∠ A=42º. Ejemplo 5: En un triángulo un lado mide 10 m y los ángulos adyacentes 37º y 16º. Calcular el perímetro del triángulo. (sen 16º = 0,28)

(Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 21 m B) 20 m C) 22 m D) 23 m


76

Ejemplo 6: Se tiene un triángulo ABC, donde A=30º y que 2a=c. El ángulo C vale: (Admisión UNJBG 2000-fase 0)

A) 120º B) 90º C) 60º D) 45º E) 20º Ejemplo 7: Hallar el valor de F para que el sistema mostrado en la figura se encuentre en equilibrio en la posición mostrada. Considere que las superficies de contacto son lisas y que el peso de A es 12 N. (Admisión U. del Callao 98-II) A) 4,8 N B) 25 N C) 9 N D) 12 N E) 16 N

Ejemplo 8: En un triángulo ABC, donde AB = AC, se tiene que 2012

cos =A , el valor de Bcot

es: (Admisión UNSA 2000)

A) –1/2 B) 4 C) 2 D) 1 E) 0,5

B A

53º

F


77

PRÁCTICA Nº 11 Tema: Ley de senos

1. En un triángulo cualquiera de ángulos

A, B, C; lados a, b, c y altura h relativa al lado a cuál de las expresiones es verdadera:

A) ha B C

A=

sen cossen

B) ha B C

A=

cos cossen

C) ha B C

A=

sen sensen

D) ha B C

A=

sen sencos

E) ha B C

A=

cos coscos

2. Una torre está al pie de una colina cuya

inclinación con respecto al plano horizontal es de 15º, una persona se encuentra en la colina a 12 m de la base de la torre y observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 45º. ¿Cuál es la altura de la torre?

A) 4 6 m B) 6 6 m C) 15 m

D) 14 m E) 5 6 m

3. Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor, la relación del lado mayor al lado menor es: A) 2cos α B) cos 2α C) cos α D) 2 senα E) 5 3

4. Resolver el triángulo: a = 21 m, b = 32

m y A = 115º. A) c = 40 m, B = 30º, C = 35º. B) c = 35 m, B = 25º, C = 35º. C) Faltan datos. D) c = 2 m, B = 35º, C = 30º. E) No hay solución es imposible.

5. Un avión recorre 150 millas con rumbo

S60ºO y luego cambia su dirección, volando con rumbo S70ºE hasta un punto situado al Sur de su punto de partida. ¿Cuál de las expresiones que sigue da la distancia en millas desde su

punto de partida hasta su punto de llegada? A) 150 sen 20º B) 150 sen 50º cos 70º C) 150 sen 50º D) 150 sen 50º sen 70º E) 150 sen 50º csc 70º

6. Hallar el ángulo “B” del triángulo ABC

B 2 3 30º 30º

A) Arc sen 3 3 B) Arc tan 3

C) Arc tan 3 D) Arc sec 3 3

E) Arc tan 3 3 7. En el siguiente triángulo se cumple que

sen cos4 4 78

x x+ = , 04

< <xπ

;

entonces el área del triángulo es:

10 m 2x x

A) 25( )1 3 2+ m B) 25( )1 3 2− m

C) 20( )1 3 2+ m D) 20( )1 3 2− m

E) 20( )1 5 2+ m 8. Para el triángulo CMS de la figura,

determinar el ángulo β sabiendo que: α =30º, CM = 100 m y CS = 2,4 m.


78

M C α

β S

A) 30º03’ B) 29º30’ C) 29º58’ D) 30º12’ E) 29º48’

TEMA XIV:

LEY DE COSENOS

NOTA.- Se utiliza la Ley de cosenos, cuando se conoce: 1º. lados y ángulo 2º. lados del triángulo Ejemplo 1: Resolver el triángulo ABC en el que: ∠ B=110º, a=24 m y c=30 m Ejemplo 2: Resolver el triángulo ABC en el que a=22 cm, b=15 cm y ∠ C=27º.

Abccba cos2222 −+=

Baccab cos2222 −+=

Cabbac cos2222 −+=

A B

C

a b

c


79

Ejemplo 3: Resolver el triángulo ABC donde: a=18 m, b=12m y c=8 m Ejemplo 4: Una partícula P es sometida a 2 fuerzas según el siguiente diagrama: Hallar la magnitud de la fuerza resultante.

(Admisión PUCP 99-II)

A) 6 19 N B) 5 19 N C) 19 N D) 8 19 N E) 3 19 N

18 N 12 N

60º 60º

P


80

Ejemplo 5: F1 y F2 tienen magnitudes iguales a 6; la magnitud de F3 es F1 + F2. Hallar F1 + F2 + F3. (Admisión PUCP 98-II)

A) 2 6 B) 3 6 C) 6 6 D) 9 6 E) 12 6

PRÁCTICA Nº 12

Tema: Ley de cosenos. 1. En un triángulo cualquiera ABC, de

lados a, b, c el valor de cosA2

es:

(siendo p el semiperímetro)

A) ( )( )p b p c

bc

− − B)

( )p p abc

−

C) ( )( )p a p c

ac

− − D)

( )p p cab

−

E) ( )( )

( )p b p c

p p a

− −−

2. Los lados de un triángulo ABC tienen

longitudes BC = 5; AC = 3 y AB = 6. El coseno del ángulo del vértice A es:

A) 59

B) 2

2 C)

35

D) 34

E) 32

3. Los lados de un triángulo tienen

longitudes x, ax, 2ax. El valor de a necesario para que el ángulo opuesto al lado de longitud x sea de 60º, es:

A) 3

3 B)

22

C) 12

D) 3 E) 2

4. En un triángulo ABC, los lados están

representados por tres números enteros

consecutivos; si el ángulo mayor es el doble del menor. Calcular los lados del triángulo. A) 5, 6, 7 B) 4, 5, 6 C) 2, 3, 4 D) 7, 8, 9 E) 6, 7, 8

5. El producto (sen 2B)(sen 2C) del

triángulo ABC es igual a: C

10 15

A B 20

A) −105256

B) 1518

C) 86125

B) 105256

E) −86125

6. Los lados de un triángulo de 4,5 cm, 12

cm, 13,5 cm. La altura correspondiente al ángulo de menor medida es de: A) 10,3 B) 9,8 C) 11,1 D) 11,8 (Sug. 1º Halla un ángulo adyacente al lado menor aplicando la ley de cosenos 2º Halla h aplicando la ley de senos).

60º 60º

F1

F2 F3


81

7. La base de un triángulo isósceles mide

60 cm. Su área es de 300 3 cm2. El ángulo opuesto a la base mide: A) 100º B) 110º C) 135º D) 120º

(Sug. 1º Dibuja un triángulo isósceles ABC de base AC. Traza la altura BH; 2º Halla la altura utilizando la fórmula del área de un triángulo; 3º En el triángulo AHB halla AB y luego aplica la ley de los senos para que halles sen A, ….)

8. Dos lados y la diagonal de un

paralelogramo miden 35 m, 42 m y 75 m, respectivamente. La diagonal menor mide: A) 24,2 B) 15 C) 19,2 D) 17,5

(Sug. 1º Dibuja un paralelogramo EFGH en el que la diagonal mayor sea EG y la menor FH. 2º En el triángulo EGH halla ∠ H. 3º En el triángulo EFG halla ∠ E (2 veces ∠ E + 2 veces ∠ H es 360º). 4º …..)

9. Dos puntos A y B de un mismo lado de

un río distan 12 m. Un punto C al otro lado del río está situado de tal manera que el ángulo CAB mide 70º y el ángulo ABC mide 80º. La distancia de B a C es: A) 31,5 B) 22,5 C) 28,5 D) 38,5

(Sug. 1º Halla el ∠ C; 2º Aplica la ley de los senos).


82

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA SUPERIOR. Frank Ayres. Libros Mc Graw-Hills. MATEMÁTICA MODERNA ESTRUCTURADA. Dario Wills. Editorial Norma. MATEMÁTICAS MODERNAS PARA ESCUELAS SECUNDARIAS. Dolciani. Publicaciones Cultural. TRIGONOMETRÍA. Exámenes de Admisión UNI. 20 últimos años. Colección KANO. TRIGONOMETRIA MODERNA. Nichols-Garland. Ed. C.E.C.S.A. México.

Texto Didáctico de Trigonometr¡a

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