Tests de comparaison de...

Tests de comparaison de pourcentages

Docteur Alexandrine Lambert

>

Faculté

de Pharmacie

Comparer deux pourcentages

•

Pourcentage

–

Variable qualitative dichotomique(Présence/Absence, Malades/Non malades, Décès/Survie, …)

–

π

est

le

pourcentage

(inconnu)

d’individus

présentant

la caractéristique dans la population

–

π

est estimé

par le pourcentage p

observé

sur un échantillon de taille n dont k individus présentent la caractéristique

nk

p =


Comparaison

de

deux

pourcentages

dans

le

cas

des

grands échantillons.

•

Comparaison

d’un

pourcentage

observé

à

un

pourcentage théorique

• Comparaison de deux pourcentages observés

–

Échantillons indépendants

–

Échantillons appariés

Comparer un pourcentage à une valeur théorique

•

Problème

:

déterminer

si

un

pourcentage

observé

p

sur

un échantillon de taille n est différent d’une valeur théorique πth

Comparer π à πth

Populationπ

(inconnu)

Populationde référenceπth (connu)

Échantillonp


•

Formuler une hypothèse

–

Hypothèse nulle H0

•

π

=

πth

où

π

est

le

pourcentage

de

la

population

dont

est

issu l’échantillon

–

Hypothèses alternatives H1

•

Test bilatéral : π

≠

π

th

•

Test unilatéral à gauche ou à droite : π

< π

th

ou π

> π

th


•

Fixer le risque α

•

Choisir la statistique

–

Test du χ2

de conformité

(loi du X2)

–

Test z (loi normale)

•

Conditions d’application :

–

n. πth

≥

5 et

n.(1‐

πth

) ≥

5 (cas des grands échantillons)


Test du χ2 de conformité

•

Calculer la valeur χ2

prise par la statistique du test

–

Tableau

–

Conditions d’application : C1

≥

5 et C2

≥

5

–

–

Sous H0

la statistique suit une loi du X2

à 1 ddl2

222

1

2112

C)C(O

C)C(O

χ−

+−

=

Effectifs observés O1

= n.p O2

= n.(1‐p) n

Effectifs calculés C1

= n.πth C2

= n.(1‐πth

) n


Test du χ2 de conformité

•

Confronter à la valeur seuil

–

Lecture de la valeur seuil dans la table de la loi du χ2

–

Test bilatéral : on rejette H0

au risque α

si •

En pratique, si α

= 5%,

–

Si : rejet de H0

–

Si : non rejet de H0

2χ 21,αχ

21,α

2 χ χ ≥

3,84 χ2 <

3,84χ21,α =

3,84 χ2 ≥


•

Exemple 1

–

En

France,

7%

des

personnes

hospitalisées

contractent

une infection

nosocomiale

dans

l'établissement

où

elles

sont

soignées.

–

Sur

un

échantillon

de

250

personnes

soignées

à

l’hôpital

H, 28 ont contracté

une infection nosocomiale.

–

Le

pourcentage

observé

sur

l’échantillon

diffère‐t‐il

de

la référence nationale au risque α

= 5% ?


6,77232,5232,5)(222

17,517,5)(28

χ22

2 =−

+−

=

0,07π ; 0,11225028

p ; 250n th ====

Infection nosocomiale OUI NON Total

Effectifs observés O1 = 28 O2 = 222 250 Effectifs calculés C1 = 250x0,07 = 17,5 C2 = 250x0,93 = 232,5 250


Test du χ2 : exemple 1

•

Lecture

•

3,84

: rejet de H0

On montre, au risque 5%, une différence significative entre le

pourcentage de

personnes

hospitalisées

contractant

une

infection

nosocomiale

à

l’hôpital H et dans l’ensemble du pays (p < 0,01).

=≥= 25% 1,

2 χ 6,77χ


Test z

•

Calculer la valeur z prise par la statistique Z

n)π.(1π

πpz

thth

th

−−

= Équivalence entre χ2

et test z : χ2

= z2

χ2

à 1 ddl

est le carré

d’une loi normale centrée réduite

Équivalent à C1 et C2 ≥

5

–

–

Sous

H0

,

Z suit

une

loi normale centrée réduite

–

Conditions

d’application

: n.πth

≥

5 et n.(1‐

πth

) ≥

5


Test z

•

Confronter z à la valeur critique zα–


si |z|≥

zα–

Test unilatéral :•

si H1

s’écrit π

> πth

, on rejette H0

si z

≥

z2α•

si H1

s’écrit π

< πth

, on rejette H0

si z

≤ ‐z2α

Pour un même risque d’erreur, les valeurs seuil du χ2

sont donc

les carrés des valeurs seuil de z : χ21,α

=(zα

)2

(3,84 =1,962)


Test z : exemple 1•

Données :

•

Hypothèses : H0

: π

= 0,07 ; H1

: π

≠

0,07

•

Calcul

–

–

Conditions d’application vérifiées : 250 x 0,07 ≥

5 et 250 x 0,93 ≥

5

2,60

2500,93)0,07.(1

0,070,112z =

−−

=

0,07π ; 0,11225028

p ; 250n th ====


Test z : exemple 1

•

Lecture

•

z = 2,60 ≥

z0,05

=1,96

: rejet de H0

Degré

de signification lu dans la table : p < 0,01

(même conclusion que test précédent)


Comparaison

de

deux

pourcentages

dans

le

cas

des


•

Comparaison

d’un

pourcentage

observé

à

un



–


–


Comparer 2 pourcentages observés - Échantillons indépendants -

•

Problème

: comparer 2 proportions (p1

et p2

) dans 2 groupes indépendants de tailles n1

et n2Comparer π1 à π2

Populationπ1

Échantillonp1

Populationπ2

Échantillonp2


•


–

Hypothèse nulle H0

•

Les

2

échantillons

sont

issus

de

la

même

population

ayant

comme pourcentage π0

π1

=

π2

(=

π0

)

où

π1

et

π2

pourcentages

de

la

population

dont

sont

issus

les

échantillons 1 et 2

–


•

Test bilatéral : π1

≠

π2

•

Test unilatéral : π1

< π2

ou π1

> π2


•

Fixer le risque α

•

Choisir la statistique :

–

Test du χ2

(loi du χ2)

–


•

Conditions d’application :

–

n1

. π0

≥

5 et n1

.(1‐

π0

) ≥

5

–

n2

. π0

≥

5 et n1

.(1‐

π0

) ≥

5


Test du χ2

•

Calculer la valeur χ2

prise par la statistique–

Tableau de contingence (tableau à 4 cases)

–

Conditions d’application : Cij

≥

5

–

–

Sous HO

la statistique suit une loi du X2

à 1 ddl

∑−

=ji, ij

2ijij2

C

)C(Oχ

Effectifs calculés

sous H0

:

N

nn'C ji

ij =

Succès Échec Total Groupe 1 O11 (C11) O12 (C12) n1 Groupe 2 O21 (C21) O22 (C22) n2

Total n’1 n’2 N


Test du χ2 : Remarques

•

Dans

le

cas

des

tableaux

de

contingence

à 4

cases,

il

est possible

d’utiliser

la

correction

de

continuité,

surtout

lorsque

les valeurs attendues sont faibles (en pratique Cij

< 5)

•

Petits échantillons : test exact de Fisher (hors programme)

( )∑

−=

ji, ij

ijij2

C

0,5‐COχ

2


Test du χ2

•

Confronter à la valeur critique

–

Lecture de la valeur seuil dans la table

–

Test bilatéral :•

Si : rejet de H0

•


2χ 21,αχ

21,α

2 χχ ≥21,α

2 χχ <


•

Exemple 2

–

On désire comparer l’efficacité

de deux traitements T1 et T2 sur 100 patients atteints d’une maladie M.

–

On tire au sort 2 deux groupes de 50 patients, un groupe est soumis à T1, le second à T2.

–

Le pourcentage de guérison chez les patients soumis à T1 est de 30%, chez ceux soumis à T2 de 40%.

–

Le taux de guérison est‐il différent entre les 2 traitements ?


Test du χ2 : exemple 2•

Données :

•

Hypothèses : H0

: π1

= π2

; H1

: π1

≠

π2

•

Calcul

–

Conditions d’application vérifiées : Cij

≥

5

– 1,1032,532,5)(30

32,532,5)(35

17,517,5)‐(20

17,517,5)‐(15

χ2222

2 =−

+−

++=

0,4p ; 50n et 0,3p ;50n 2211 ====

Guéris Non guéris Total Groupe T1 15 (17,5) 35 (32,5) 50

Groupe T2 20 (17,5) 30 (32,5) 50 Total 35 65 100


Test du χ2 : exemple 2

•

Lecture

•

3,84

: H0

acceptable.On

ne

met

pas

en

évidence,

au

risque

5%,

de

différence

significative

entre

les taux de guérison avec les 2 traitements

=<= 25% 1,

2 χ 1,10χ


Test z

•


–

–

p0

est l'estimation de la proportion commune π0

–

Z suit une loi normale centrée réduite

–

Conditions d’application :•

n1

.

π0

≥

5 et n1

.(1‐ π0

) ≥

5 •

n2

.

π0

≥

5 et n2

.(1‐ π0

) ≥

5

2

00

1

00

21

n)p.(1p

n)p.(1p

ppz

−+

−−

= χ2

= (z)2

Cij

≥

5

Х2

à 1 ddl

est le carré d’une loi normale

centrée réduite

21

22110 nn

.pn.pnp

++

=avec


Test z

•



si |z|≥

zα–


si H1

s’écrit π1

> π

2

, on rejette H0

si z

≥

z2α•

si H1

s’écrit π

1

< π

2

, on rejette H0

si z

≤ ‐z2α


Test z : exemple 2•

Données :

•

Hypothèses : H0

: π1

= π2

; H1

: π1

≠

π2

•

Calcul

–

Conditions d’application vérifiées : 50 x 0,35 ≥

5 et 50 x 0,65 ≥

5

1,05

500,35x0,65

500,35x0,65

0,40,3z =

+

−=

0,4p ; 50n et 0,3p ;50n 2211 ====

0,35505050x0,450x0,3

p0 =++

=


Test z : exemple 2

•

Lecture

•

z = 1,05 < z0,05

= 1,96

: H0

acceptable(Même conclusion que le test précédent)


Comparaison

de

deux

pourcentages

dans

le

cas

des


•

Comparaison

d’un

pourcentage

observé

à

un



–


–


Comparer 2 pourcentages observés - Séries appariées -

•

Variable aléatoire qualitative dichotomique

•

Cas des grands échantillons

•

Individus de 2 échantillons liés–

Présence d’une caractéristique sur les mêmes sujets

–

Présence d’une caractéristique chez des sujets appariés

•

Problème

: on s’intéresse aux taux de guérison chez des sujets ayant reçus un traitement T1 et des sujets appariés

ayant reçus

un

traitement

T2

:

on

cherche

à comparer

p1

et

p2

les

taux

de guérison avec T1 et T2.


•


–

Hypothèse nulle H0

•

π1

= π

2

où

π1

et π2

pourcentages inconnus des 2 populations d’où

sont issus les échantillons

–


•

Test bilatéral : π1

≠ π2

•

Test unilatéral : π1

< π2

ou π1

> π2


•

Tableau des valeurs–

Pour

tenir

compte

de

l’appariement,

il

faut

faire apparaître

quels

sont

les

sujets

qui

appartiennent

aux

mêmes paires.

–

Pour

chaque

paire

d’individus, on

peut

observer,

selon

s’il

y

a

présence

(+)

ou

absence

(‐)

du caractère

étudié,

l’une

des

4

configurations possibles.

Échantillon 1 Échantillon 2Nombre

de paires

+ + a

+ ‐ b

‐ + c

‐ ‐ d


–

Les

paires

concordantes

n’apportent

pas

d’information

sur

la

liaison entre

le

traitement

et

la

guérison.

On

doit

donc

se

fonder

sur

la

répartition des paires discordantes.

–

Si l’hypothèse H0

est vraie, il doit y avoir autant de paires discordantes du type +‐

que de type ‐+

–

Tester H0

revient donc à tester si le pourcentage observé

de paires ‐+ est significativement différent de la valeur théorique 0,5.

Éch. 2

+ ‐ Total

Éch. 1+ a b a+b

‐ c d c+d

Total a+c b+d n


•

Fixer le risque α

•

Choisir la statistique

–

Test du χ2

de McNemar

(loi du X2)

–


–

Conditions d’application


cbc)(b

2cb2cb

‐c

2cb2cb

‐bχ

2

22

2

+−

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

+‐ ‐+Effectifs observés b c b+c

Effectifs calculés b c2

b c2 b+c

52cb

≥+


Test de McNemar (χ2) : remarques

•

Il

est

possible

d’utiliser

la

correction

de

continuité,

surtout lorsque les valeurs attendues sont faibles

( )cb

1cb

2cb

0,5‐2cb

‐c

2cb

0,5‐2cb

‐bχ

2

22

20 +

−−=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=


Test de McNemar (χ2)

•

Confronter à la valeur critique –

Lecture de la valeur seuil dans la table

–


si •

Si : rejet de H0

•


2χ 21,αχ

2α 1,

2 χχ ≥21,α

2 χχ <


Test z

•


–

–

Z suit une loi normale centrée réduite

–

Conditions d’application : b+c ≥

10

cb

cb

c).0,5.0,5(b2cb

bz

+−

=+

+−

= χ2

= (z)2

Х2

à 1 ddl

est le carré d’une loi normale

centrée réduite


Test z

•



si |z|≥

zα–


si H1

s’écrit π1

> π2

, on rejette H0

si z

≥

z2α•

si H1

s’écrit π1

< π2

, on rejette H0

si z

≤ ‐z2α


•

Exemple 3–

On

désire

comparer

l’efficacité

de

deux

traitements

T1

et

T2

chez

100 patients atteint d’une maladie M.

–

Les

deux

traitements

sont

administrés

aux

patients.

L’ordre d’administration

des

2

traitements

est

tiré

au

sort

en

ménageant

une

période dite de wash‐out

entre les 2 administrations.

–

Les résultats sont les suivants :

–

Le taux de guérison est‐il différent entre les deux traitements ?

T1 Succès Échec

T2Succès 24 16 Échec 6 54


Test de McNemar : exemple 3

•

On cherche à comparer les pourcentages observés :

•

Hypothèses : H0

: π1

= π2

; H1

: π1

≠ π2

•

Conditions

d’application

vérifiées

:

nombre

de

paires discordantes = 16 + 6 = 22 ≥

10

• 4,556)(166)‐(16

χ2

2 =+

=

30100

624,=

+=1p 40

1001624

,=+

=2p


Test de McNemar : exemple 3

•

Lecture

•

3,84

: H0

rejetéeOn

montre,

au

risque

5%,

une

différence

significative

entre

les

taux

de

guérison avec les 2 traitements (p<0,05).

=≥= 25% 1,

2 χ 4,55χ

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