Μαθηματική Επιθεώρηση, Τεύχος 74, 2010

Tετράγωνο από ίσα τετράγωνα

Στάμη Τσικοπούλου

Περίληψη Στο άρθρο αυτό παρουσιάζεται ο τρόπος διπλασιασμού του τετραγώνου

όπως αυτός αναφέρεται στο διάλογο του Πλάτωνα ''Μένων''. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο τρόπος σχηματισμού τετραγώνου από ίσα τετράγωνα, ό-πως αυτός αναφέρεται στο έργο ''Βιβλίο με ό,τι είναι απαραίτητο για τις γε-ωμετρικές κατασκευές των τεχνιτών'' του Al-Buzjani. Η γενίκευση του τρό-πο αυτού οδηγεί σε μια ακόμη απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος.

Διπλασιασμός του τετραγώνου

Ο όρος «διπλασιασμός του τετραγώνου» σημαίνει να κατασκευαστεί ένα τετράγωνο με εμβαδόν διπλάσιο από το εμβαδόν ενός δοσμένου τετρα-γώνου. Το πρόβλημα αυτό, που ήταν ένα από τα προβλήματα (αιτήματα) της εποχής του Πλάτωνα, παρουσιάζεται στο διάλογo του «Μένων».1 Στο διάλογο αυτό ο Σωκράτης ζητάει από τον πλούσιο Μένωνα να του παραχω-ρήσει ένα δούλο του, εντελώς αμόρφωτο, ο οποίος όμως να μιλάει ελληνι-κά. Ο Σωκράτης καταφέρνει με τις μεθόδους του, την μαιευτική και την ε-παγωγική σκέψη, ώστε ο δούλος με τις δικές του σκέψεις να λύσει το πρό-βλημα του διπλασιασμού του τετραγώνου. Σήμερα η λύση του προβλήμα-τος αυτού δεν παρουσιάζει καμιά δυσκολία γιατί για να υπολογίσουμε την πλευρά x τετραγώνου με εμβαδόν 2 αρκεί να λύσουμε την εξίσωσης x2 = 2. Δεν ήταν όμως το ίδιο για τους αρχαίους Έλληνες καθώς η εξίσωση x2 =2 δεν μπορούσε να λυθεί στο πεδίο των αριθμών (ακέραιοι), αλλά ούτε και στο πεδίο των λόγων αριθμών (ρητοί). Μπορούσε να λυθεί μόνο στο πεδίο των ευθυγράμμων τμημάτων: πράγματι η διαγώνιος του μοναδιαίου τετρα- 1 Αρχαία Ελληνική Γραμματεία «Οι Έλληνες». Πλάτων Μένων (ή περί αρετής), Εκδόσεις Κάκτος, 1993.

Μαθηματική Επιθεώρηση 81

γώνου είναι μία λύση2. Η γεωμετρική άλγεβρα είναι έγκυρη και για τα άρ-ρητα ευθύγραμμα τμήματα. Οι Βαβυλώνιοι όταν δεν μπορούσαν να προσ-διορίσουν μια τετραγωνική ρίζα κατέφευγαν σε μια προσέγγιση. Αλλά οι Έλληνες ενδιαφέρονταν για την ακριβή γνώση, για τη «διαγώνιο καθεαυ-τή», όπως λέει ο Πλάτων, όχι για μια προσέγγιση. Η λογική αναγκαιότητα και όχι απλώς η απλή απόλαυση του ορατού, εκείνη που υποχρέωσε τους Πυθαγορείους να μετατρέψουν την άλγεβρά τους σε γεωμετρική μορφή.

Στο διάλογο ''Μένων'' ο Πλάτων εξετάζει το πρόβλημα της αρετής και στηρίζει την θεωρία του «περί αναμνήσεως». Για το σκοπό αυτό χρησιμο-ποίησε τα μαθηματικά στην πράξη, προκειμένου να αποδείξει ότι ο δούλος δεν μπορούσε να είχε μάθει τον διπλασιασμό του τετραγώνου σε αυτή τη ζωή παρά σε κάποια άλλη. Σύμφωνα με την πυθαγόρεια-πλατωνική σκέψη οι αριθμοί δεν προέρχονται από την αντιληπτική ικανότητα των ανθρωπί-νων αισθήσεων, αλλά σχηματίζουν στη νόηση ένα ιδιαίτερο είδος Ιδέας. Η ουσία τέτοιων Ιδεών είναι αυτή που αποδίδει στη νόηση την ικανότητα να αποφανθεί πέραν του ορατού και του αισθητού. Πράγματι, ο διπλασιασμός του τετραγώνου, απαιτεί μία ανακάλυψη της οποίας η Ιδέα δεν εξάγεται με λογικό τρόπο από τα δεδομένα του προβλήματος. Η Ιδέα αυτή αποδίδεται στους πυθαγόρειους και μας λέει ότι : το μήκος της διαγωνίου ενός τετρα-γώνου δεν ανήκει στην ίδια τάξη μηκών που εξάγονται από πολλαπλασια-σμό ή διαίρεση της αρχικής πλευράς κατά ακέραια αναλογία. Η διαγώνιος και η πλευρά του τετραγώνου είναι επομένως μεγέθη ασύμμετρα.

Ας επανέλθουμε όμως στον πλατωνικό διάλογο Η κατασκευή απαιτεί το νέο τετράγωνο να έχει διπλάσια επιφάνεια από το αρχικό. Ο διπλασιασμός

Σχήμα 1

όμως της πλευράς του τετραγώνου οδηγεί σε τε-τραπλασιασμό του τετραγώνου και όχι σε διπλασι-ασμό, όπως είναι σε θέση να διαπιστώσει και ο μι-κρός δούλος. Ποιό επομένως μήκος οδηγεί στη δι-πλάσια επιφάνεια; Στον πλατωνικό διάλογο είναι ο Σωκράτης που οδηγεί τον μικρό δούλο στη λύση του προβλήματος. Διπλασιάζοντας την πλευρά του

τετραγώνου παίρνουμε ένα νέο τετράγωνο που αποτελείται από τέσσερα τε-τράγωνα ίδια με το αρχικό. Εάν ενώσουμε τις διαγώνιες των τετραγώνων αυτών, παίρνουμε ένα τετράγωνο διπλάσιο του αρχικού (Σχήμ 1).

2 Van der Waerden, B.L. Η αφύπνιση της επιστήμης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 2000, σελ 142.

82 Μαθηματική Επιθεώρηση

82

[….ΣΩΚΡ. Από αυτή που εκτείνεται από τη μια γωνία του τετράγωνου των τεσσάρων πόδων στην άλλη;

ΔΟΥΛΟΣ. Ναι. ΣΩΚΡ. Τη γραμμή αυτή την ονομάζουν οι ειδικοί διαγώνιο· αν λοιπόν

το όνομα της είναι διαγώνιος, από τη διαγώνιο, όπως εσύ υπο-στηρίζεις, δούλε του Μένωνα, μπορεί να σχηματιστεί το διπλά-σιο τετράγωνο…..]

Τριπλασιασμός τετραγώνου

Οι τεχνίτες που έχτιζαν τα μουσουλμανικά τεμένη τον μεσαίωνα, για διακοσμήσουν τους τοίχους τους χρησιμοποιούσαν μωσαϊκά με γεωμετρικά σχέδια μεγάλης αισθητικής αξίας. Ένα συνηθισμένο πρόβλημα που αντιμε-τώπιζαν οι κατασκευαστές αυτών των μωσαϊκών ήταν, να κόψουν και να αναδιατάξουν τα κομμάτια των κεραμικών πλακιδίων που χρησιμοποιού-σαν, ώστε να σχηματίσουν μεγαλύτερες γεωμετρικές συνθέσεις. Ένα τέτοιο πρόβλημα ήταν για παράδειγμα, να σχηματίσουν έναν τετράγωνο χρησιμο-ποιώντας τα κομμάτια τριών ίσων μικρότερων τετραγώνων με τον περιορι-σμό όμως να χρησιμοποιήσουν έναν ελάχιστο αριθμό κομματιών. Για να ε-πιτύχουν τα σχέδια αυτά οι τεχνίτες χρησιμοποιούσαν συχνά προσεγγίσεις οι οποίες ενώ ήταν ικανοποιητικές σε μωσαϊκά με σχέδια μικρής κλίμακας, στα πολύ μεγαλύτερα μωσαϊκά που κάλυπταν ολόκληρους τοίχους, τα λάθη που θα μπορούσαν να γίνουν προστιθέμενα, δεν τους άφηναν αδιάφορους. Στο σύνθετο κόσμο των αφηγημένων γεωμετρικών δημιουργιών των μωσα-ϊκών στο μεσαιωνικό Ισλάμ, ήταν ώριμες οι συνθήκες για την ανάπτυξη μι-ας συνεργασίας μεταξύ των τεχνιτών και των μαθηματικών3. Οι ακριβείς μέθοδοι κατασκευής των μωσαϊκών θα μπορούσαν όμως να προταθούν μό-νο από άριστους μαθηματικούς. Ένας τέτοιος μαθηματικός ήταν ο Al-Buzjani.

Ο Πέρσης μαθηματικός και αστρονόμος Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani (Μωχάμεντ Αμπούλ Ουάφα Αλ-Μπουζάνι, 940-997/8 μ.Χ)4 που έζησε στην Βαγδάτη, είναι γνωστός για την συμβολή του σε πολλούς τομείς των μαθηματικών. Βρήκε το θεώρημα της σφαιρικής τριγωνομετρίας για τα ημίτονα, κα-τάρτισε πίνακες ημίτονων όπου οι γωνίες αυξάνουν ανά 15'

3 Nielsen J. The Heart is a Dust Board: Abu’l Wafa Al-Buzjani, Dissection, Con-struction, and the Dialog Between Art and Mathematics in Medieval Islamic Cul-tur, Spring 2010. από τη διεύθυνση : www.homsigmaa.org/niel.

4 Struik D.J. Συνοπτική ιστορία μαθηματικών, Ζαχαρόπουλος, Αθήνα 1982, σελ 122.

Μαθηματική Επιθεώρηση 83

με σωστή προσέγγιση ως και την όγδοη δεκαδική θέση, εισήγαγε έννοιες ισοδύναμες μ' αυτές της τέμνουσας και της συντέμνουσας, ανακάλυψε σχέ-

σεις για το ημ(α +β) και τους τύπους 2ημ2 α2

=1-συνα, ημα=2ημ α2συν α

2.

Όπως και πολλοί άλλοι μαθηματικοί εκείνης της περιόδου ο Al-Buzjani, με-τέφρασε και σχολίασε τα έργα των Ευκλείδη, Διόφαντου και al-Khwarizmi και συνέχισε την ελληνική έρευνα πάνω στις εξισώσεις τρίτου και τέταρτου βαθμού (x4 = α και x4 + αx3 = β).

Η συμβολή του Al-Buzjani είναι εξίσου σημαντική και στη γεωμετρία. Το βιβλίο του, ''Kitab al-Hindusa'', περιέχει ένα μεγάλο αριθμό από κατα-σκευές με σταθερό άνοιγμα του διαβήτη, κατασκευή τετραγώνου από άλλα τετράγωνα, κατασκευή κανονικών πολυέδρων (βασισμένα στο έργο του Πάππου), κατασκευή κανονικού πενταγώνου, επταγώνου και δεκαγώνου, κατασκευή παραβολής από τα σημεία της και γεωμετρική λύση διαφόρων εξισώσεων5. Στον Abu'l Wafa Al-Buzjani απονεμήθηκε ο τίτλος του γεωμέ-τρη «mohandes», ένας τίτλος για τον πιο επιδέξιο και πεπειραμένο επαγ-γελματία γεωμέτρη της εποχής του. Σήμερα θεωρείται ως ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του ισλάμ του δέκατου αιώνα.

Στο βιβλίο του ''Kitab Fi Ma Yahtaju Al-Sani Min Al-a Mal Al-Handasiyya'' (Βιβλίο με ό,τι είναι απαραίτητο για τις γεωμετρικές κατα-σκευές των τεχνιτών)6 ο Al-Buzjani χρησιμοποίησε τη μέθοδο «κόβω και κολλώ» προκειμένου να επιτύχει την κατασκευή τετραγώνου από ίσα τε-τράγωνα. Σύμφωνα με τον Nielsen, ο Al-Buzjani, χρησιμοποίησε τη μέθοδο αυτή για δύο λόγους: για να αποδείξει την ακρίβεια ορισμένων κατασκευών με έναν συγκεκριμένο τρόπο που θα μπορούσε να γίνει εύκολα κατανοητός από τους τεχνίτες και για να παρουσιάσει τις κατασκευές κατά τέτοιο τρόπο ώστε τα σχέδια να μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δημιουργήσουν νέα διακοσμητικά σχέδια μερικά από τα οποία έγινε αρκετά δημοφιλή. Ο Al-Buzjani στο βιβλίο του αυτό γράφει ότι διάφοροι γεωμέτρες της εποχής του αλλά και τεχνίτες έχουν κάνει τα λάθη στο θέμα … των τετραγώνων και της συγκέντρωσής τους. «Οι γεωμέτρες έκαναν τα λάθη επειδή δεν έχουν εμπει-ρία στην εφαρμοσμένη κατασκευή και οι τεχνίτες επειδή στερούνται της γνώ-σης του συλλογισμού και της απόδειξης»7. 5 O'Connor J J and Robertson E F, Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani, Mac Tutor

History of Mathematics, November 1999, http://www-history.mcs. st-andrews.ac.uk/Biographies/Abu'l-Wafa.html. 6 Nielsen J.Όπ..ά. 7 Nielsen J. Όπ..ά.

84 Μαθηματική Επιθεώρηση

84

Ο Al-Buzjani συμμετείχε σε συναντήσεις μεταξύ μαθηματικών και τε-χνιτών και κλήθηκε να δώσει οδηγίες για τις γεωμετρικές κατασκευές δισ-διάστατων ή τρισδιάστατων διακοσμητικών σχεδίων και γενικότερα την εφαρμογή της γεωμετρίας στις αρχιτεκτονικές κατασκευές. Σε μια από αυ-τές τις συναντήσεις, ο Al-Buzjani εξήγησε γιατί μια γνωστή στην εποχή του μέθοδος ήταν ανακριβής (Σχήμ 2). «Μερικοί από τους τεχνίτες στην προ-σπάθειά τους να δημιουργήσουν ένα μεγαλύτερο τετράγωνο από τρία τετρά-γωνα, τοποθετούν ένα από αυτά τα [τρία] τετράγωνα στη μέση, διαιρούν το επόμενο φέρνοντας τη διαγώνιο του και διαιρούν το τρίτο τετράγωνο σε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο [φέρνοντας τις διαγωνίους του τετραγώνου] και δύο ίσα τραπέζια και τα συγκεντρώνουν μαζί όπως φαίνεται στο[παρακάτω] σχήμα»8.

Σχήμα 2. Λαθεμένη κατασκευή τετραγώνου από τρία ίσα τετράγωνα

Η «λύση» όπως σχεδιάζεται από τους τεχνίτες και την οποία παρουσιά-

ζει ο Al-Buzjani στο βιβλίο του, ενώ φαίνεται να είναι σωστή, είναι ανακρι-βής. Το σχήμα που προκύπτει από την επανένωση των κομματιών των τριών τετραγώνων έχει πράγματι τέσσερις ορθές γωνίες (αφού στις γωνίες του τοποθετούνται τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα) και κάθε πλευρά του είναι μια μονάδα συν το μισό των μονάδων της διαγωνίου του μικρού τετραγώ-νο,υ αλλά ο Al-Buzjani αμφισβητεί ότι έχει πράγματι κατασκευαστεί ένα τετράγωνο από τρία ίσα τετράγωνα γιατί όπως εξηγεί :

«ξέρουμε ότι κάθε μια από τις πλευρές αυτού του τετραγώνου είναι ίση με την πλευρά ενός από τα τετράγωνα [1 μονάδας] συν τη μισή διαγώνιό τους [αλλά] όμως δεν είναι δυνατό η πλευρά του τετραγώνου που συντίθεται από τα τρία τετράγωνα να έχει αυτό το μέγεθος …[γιατί τότε] η διαγώνιος του τε-τραγώνου θα είναι άρρητος αλλά η γραμμή αυτή [στο σχήμα 2]είναι ρητός

8 Nielsen J. Όπ..ά.

Μαθηματική Επιθεώρηση 85

δεδομένου ότι είναι ίση με την πλευρά του [μοναδιαίου]τετραγώνου συν τη μισή από αυτήν» 9.

Δεν είναι δυνατό ένας ρητός αριθμός να είναι ίσος με ένα άρρητο αριθ-μό, γι αυτό και η κατασκευή είναι «φανταστική» και «ξέρουμε ότι δεν είναι σωστή». Σύμφωνα με τον Nielsen, το λάθος γι αυτή την κατασκευή μπορεί να οφείλεται στην προσέγγιση που έπαιρναν οι τεχνίτες για τη διαγώνιο του μοναδιαίου τετραγώνου όπου 2 1.5≠ αν και 2 =1.4≈1.5 και έτσι είναι κατανοητό το λάθος στην κατασκευή.

Σχήμα 3α

Σχήμα 3β Πράγματι από το σχήμα 3α προκύπτει ότι η διαγώνιος ΒΔ είναι:

ΒΔ= ΒΕ +ΕΖ +ΖΔ= 12

+ 1+ 1= 1 522 2

+ =

Στο ίδιο σχήμα το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΒ είναι:

ΑΒ2+ΑΔ2 = 2 22 2(1 ) (1 )2 2

+ + + =1 11 2 1 2 = 3 2 22 2

+ + + + + +

Αν το σχήμα ήταν σωστό πρέπει ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα ΑΒ2 +

ΑΔ2 =ΒΔ2, 253 2 24

+ = ή 132 1,626

= = άτοπο

Με τον τρόπο που χώριζαν οι τεχνίτες τα τρία μικρά ίσα τετράγωνα (Σχήμα 2) όταν αναδιατάξουμε τα κομμάτια τους, το σχήμα που θα προκύ-ψει δεν μπορεί να είναι ένα μεγαλύτερο τετράγωνο αλλά ένα σχήμα όπως αυτό στο σχήμα 3β.

Η λύση που έδωσε ο Al-Buzjani αντιστοιχεί στο σχήμα 4α. Διχοτομού-με δύο από τα τρία αρχικά τετράγωνα φέρνοντας τις διαγώνιές τους. Στη συνέχεια τοποθετούμε στο κέντρο το τρίτο τετράγωνο και γύρω του τα τέσ-σερα μισά τετράγωνα (ίσα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα) ώστε το καθέ- 9 Nielsen J.Όπ..ά.

Ζ

Ε

Δ Γ

BA

86 Μαθηματική Επιθεώρηση

86

να από αυτά να έχει μια κοινή κορυφή με το τετράγωνο και μια κοινή πλευ-ρά, με τρόπο όπως δείχνει το σχήμα 4α.

Στη συνέχεια ενώνουμε με ευθύγραμμα τμήματα, τις διαδοχικές κορυ-φές των ορθογωνίων τριγώνων. Τότε σχηματίζονται τέσσερα ζευγάρια ίσων τριγώνων μέσα και έξω από τα ευθύγραμμα αυτά τμήματα (Σχήμα 4α). Τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία ίση10. Αν τα τρίγωνα που βρίσκονται έξω μεταφερθούν μέσα σχημα-τίζεται ένα τετράγωνο από τα κομμάτια των τριών ίσων τετραγώνων (Σχήμα 4β).

Σχήμα 4α. Λύση του Αl-Buzjani Σχήμα 4β

Σχηματισμός τετραγώνου από τετράγωνα

Ένα άλλο ενδιαφέρον πρόβλημα που έλυσε ο Al-Buzjani συναρ-μολογώντας ίσα τετράγωνα είναι το εξής : Να σχηματισθεί ένα τετράγω-νο από m2 + n2 τετράγωνα, όπου m≥n.

Εάν έχουμε (m2 + n2) τετράγωνα, όπου m≥n, όπως για παράδειγμα 5, 13 ή 20 τετράγωνα [5 =22 +12, 13 =32 +22, 20= 42+22 ] τότε μπορούμε να σχη-ματίσουμε δύο ίσα ορθογώνια, κάθε ένα από το τα οποία να έχει μήκος ίσο με m και πλάτος ίσο με n. Με τον τρόπο αυτό χρησιμοποιούμε τα 2mn των δοσμένων τετραγώνων. Αυτό είναι δυνατό επειδή n2 ≤ 2mn. Επιπλέον, τα αχρησιμοποίητα τετράγωνα μας κάνουν ένα τέλειο τετράγωνο το (m-n)2 καθώς [m2 + n2 - 2mn = (m-n)2].

Εάν χωρίσουμε τα δύο ίσα ορθογώνια που σχηματίσαμε φέρνοντας τη διαγώνιο τους και τοποθετήσουμε τα κομμάτια στα οποία χωρίζονται, δη-λαδή τα τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα, γύρω από το τετράγωνο με πλευ- 10 Nielsen J. Όπ..ά.

Μαθηματική Επιθεώρηση 87

ρά m–n, τότε σχηματίζουμε το επιθυμητό τετράγωνο, καθώς το μήκος των διαγωνίων των ορθογωνίων είναι ίσο με την πλευρά του αναζητούμενου τε-τραγώνου. Στην πραγματικότητα ο Al-Buzjani αναφέρει ότι το μήκος των διαγωνίων των δύο ορθογωνίων είναι ίσο με την πλευρά του επιθυμητού τε-τραγώνου και αυτό είναι ένας υπαινιγμός για το πώς πρέπει να τοποθετη-θούν τα κομμάτια γύρω από το τετράγωνο με πλευρά m–n.

Στα σχήματα 4α,β,γ παρουσιάζονται παραδείγματα σχηματισμού τετρα-γώνου από 5, 13 και 20 τετράγωνα αντίστοιχα.

m - n =1

n = 1

m = 2

Σχήμα 5α Σχηματισμός τετραγώνου από 5 ίσα τετράγωνα

m - n =1

n = 2

m = 3

Σχήμα 5β Σχηματισμός τετραγώνου από 13 ίσα τετράγωνα

m - n = 2

n = 2

m = 4

Σχήμα 5γ Σχηματισμός τετραγώνου από 20 ίσα τετράγωνα

88 Μαθηματική Επιθεώρηση

88

Παρατήρηση Σε πολλές σύγχρονες σπαζοκεφαλιές, ζητείται ο σχηματισμός ενός τετραγώνου από 5 ίσα τετράγωνα. Ένας απλός τρόπος που συνήθως προτείνεται για την κατασκευή του στηρίζεται στη μέθοδο του Al-Buzjani. Τοποθετούμε στο κέντρο ένα τετράγωνο και γύρω του τα υπόλοιπα τέσσερα τετράγωνα. Με τον τρόπο αυτό σχηματίζουμε έναν σταυρό από πέντε ίσα τετράγωνα. Στη συνέχεια ενώνουμε τις διαδοχικές κορυφές του σταυρού φέρνοντας ευθ. τμήματα όπως στο σχήμα 6α. Κόβοντας και επανασυγκολ-λώντας τα τέσσερα τρίγωνα αφού όμως τα μετατοπίσουμε κατάλληλα, σχη-ματίζεται ένα τετράγωνο με πενταπλάσιο εμβαδόν από το καθένα από τα αρχικά τετράγωνα (Σχήμα 6β).

Σχήμα 6α Σχήμα 6β

Σχηματισμός τετραγώνου από 9 ίσα τετράγωνα

Αν κόψουμε και αναδιατάξουμε τα κομμάτια ίσων τετραγώνων ώστε να σχηματιστεί ένα νέο τετράγωνο με τον τρόπο που το έκανε ο Πέρσης μαθη-ματικός Al-Buzjani, δημιουργούμε αρκετά ωραία σχέδια. Τα σχέδια αυτά αξιοποιήθηκαν πολύ από την ισλαμική τέχνη. Για παράδειγμα το «τετράγω-νο από εννιά τετράγωνα» (Σχήμα 7) μπορεί να το δει κανείς στην ξύλινη πόρτα του μουσουλμανικού τεμένους στη Μοσούλη που κτίστηκε το 1104 μ.Χ. αλλά και στους τοίχους του μουσουλμανικού τεμένους της Παρα-σκευής στην πόλη της σημερινής Περσίας Ισπαχάν (Σχήμα 8).

Μαθηματική Επιθεώρηση 89

Σχήμα 7. Σχηματισμός τετραγώνου από εννέα ίσα τετράγωνα

Ο σχηματισμός ενός τετραγώνου από εννέα ίσα τετράγωνα είναι ένα πολύ εύκολο πρόβλημα, αν όμως το σχηματίσουμε με τον τρόπο που προ-τείνει Al-Buzjani θα έχουμε ένα εντυπωσιακό αποτέλεσμα όπως όπως φαί-νονται στις παρακάτω φωτογραφίες.

Σχήμα 8. Τοίχοι από το τέμενος της Παρασκευής της περσικής πόλης Ισπαχάν με σχέδια εμπνευσμένα από την κατασκευή του Al-Buzjani

Μια ακόμη απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος

Το πρόβλημα του σχηματισμού ενός τετραγώνου από δύο ίσα τετράγω-να είναι μια ειδική περίπτωση της γενικής περίπτωσης «από δύο διαφορετι-κά τετράγωνα» που εξέτασε ο Al-Buzjani11. Η γενική αυτή περίπτωση δεν είναι άλλη από την απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος.

11 Sarhangi Reza, Jablan Slavik (2006). Elementary Constructions of Persian Mo-

saics, Math Horizons 12, September 2006, από τη διεύθυνση : http://pages.towson.edu/gsarhang/Math%20Horizons%202.pdf

90 Μαθηματική Επιθεώρηση

90

Σχήμα 9. Σχήματα για την απόδειξη του Π.Θ από τον Al-Buzjani

Για την απόδειξη αυτή ο Al-Buzjani τοποθετεί το μικρότερο τετράγωνο μέσα στο μεγαλύτερο έτσι ώστε να έχουν μια κοινή κορυφή (την κάτω αρι-στερά) και να συμπίπτουν οι δύο πλευρές τους (Σχήμα 9, μεσαίο σχήμα). Τότε σχηματίζεται (πάνω δεξιά) ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με τη διαφο-ρά των πλευρών των δύο αρχικών τετραγώνων. Στη συνέχεια φέρνει τις δι-αγωνίους των δύο ορθογωνίων, που έχουν κοινό το μικρότερο τετράγωνο (Σχήμα 9 και Σχήμα 10) και τα χωρίζει σε δύο ζευγάρια ίσων ορθογωνίων τριγώνων.

Σχήμα 9. Σχήματα για την απόδειξη του Π.Θ

Τοποθετώντας στο κέντρο το τετράγωνο με πλευρά τη διαφορά των πλευρών των δύο αρχικών τετραγώνων και γύρω του τα τέσσερα ίσα ορθο-γώνια τρίγωνα σχηματίζεται ένα μεγαλύτερο τετράγωνο(Σχήμα 10).

α-β

α-β

α

β

Σχήμα 10

Μαθηματική Επιθεώρηση 91

Bιβλιογραφία

Blanvillain Christian, J´anos Pach Square Trisection Dissection of a Square in Three Congruent Partitions. Ανακτήθηκε στις 19-2-2011 από τη διεύθυνση http://home.nordnet.fr/~ajuhel/Weyl/weyl_D4_R4.html.

Εves H. (1980) Great moments in Mathematics (Before 1650), The mathe-matical Association of America, Washington.

O'Connor J J and Robertson E F, Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani, Mac Tutor History of Mathematics, November 1999,

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Abu'l-Wafa.html. Nielsen J. The Heart is a Dust Board: Abu’l Wafa Al-Buzjani, Dissection,

Construction, and the Dialog Between Art and Mathematics in Medie-val Islamic Culture. Ανακτήθηκε στις 18-2-2011 από τη διεύθυνση www.homsigmaa.org/niel.

Reza Sarhangi, Slavik Jablan. Elementary Constructions of Persian Mosa-ics, Math Horizons 12, September 2006, από τη διεύθυνση :

http://pages.towson.edu/gsarhang/Math%20Horizons%202.pdf Struik D.J. Συνοπτική ιστορία μαθηματικών, Ζαχαρόπουλος, Αθήνα (1982). Van der Waerden B.L. Η αφύπνηση της επιστήμη, Πανεπιστημιακές Εκδό-

σεις Κρήτης, Ηράκλειο 2000, σελ 142. Τσικοπούλου Στάμη. Διπλασιασμός, τριπλασιασμός, πενταπλασιασμός …του

τετραγώνου, Περιοδικό Ευκλείδης Α΄ της ΕΜΕ, τεύχος 78, σελ σελ 44-47, Οκτ-Νοεμ-Δεκ 2010.