ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Επιμέλεια Καρράς Ιωάννης

Μαθηματικός

οὐκ οἴεται θεοὺς εἶναι ὁ ἄθεος

ὁ δὲ δεισιδαίμων οὐ βούλεται πιστεύει δ᾿ ἄκων

φοβεῖται γὰρ ἀπιστεῖν

gxkarrasgmailcom

2 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

1 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

3x2 minus 1 x lt 23x+ 1 x ge 2

ΛΥΣΗ

Η f(x) είναι συνεχής στο (minusinfin 2) ως πολυωνυμική Επίσηςγια τον ίδιο λόγο είναι συνεχής στο (2+infin) Αρκεί λοιπόν ναμελετηθεί ως προς τη συνέχεια στο σημείο x0 = 2 Υπολογί-ζουμε τα πλευρικά όρια στο σημείο αυτό

limxrarr2minus

f(x) = limxrarr2minus

(3x2 minus 1) = 11

limxrarr2+

f(x) = limxrarr2+

(3x+ 1) = 2

Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα οπότε η f(x)δεν είναι συνεχής στο x0 = 2

2 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

x2minus1xminus1 x lt 1

3 x = 13xminus 2 x gt 1

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής (ως λόγος συνεχών συναρτήσεων) στο(minusinfin 1) Επίσης είναι συνεχής στο (1+infin) ως πολυωνυμικήΑρκεί λοιπόν να μελετήσουμε τη συνέχειά της στο x0 = 1

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 3

Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια

limxrarr1+

f(x) = 3minus 2 = 1

Παρατηρούμε ότι

limxrarr1+

f(x) = 1 6= 3 = f(1)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 1

3 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

ημxx minus 1 x lt 0συνx x ge 0

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής στο (minusinfin 0) ως λόγος συνεχών συναρτή-σεων Επίσης η f είναι συνεχής στο (0+infin) (γνωστό απότη θεωρία)Αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε την f ως προς τη

συνέχεια στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

συνx = συν 0 = 1

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0minus

(ημx

xminus 1)= 1minus 1 = 0

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0+

f(x) 6= limxrarr0minus

f(x)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

4 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

4 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

x3 middot ημ 1

x2 x lt 00 x = 0εφ2xx minus 2 x gt 0

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής στο (minusinfin 0) ως γινόμενο συνεχούς επί σύν-θεση συνεχών συναρτήσεων Επίσης η f είναι συνεχής στο(0+infin) ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Αρκεί λοιπόν ναμελετήσουμε τη συνέχεια της f στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε πλευρικά όρια

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0minus

(x3 middot ημ 1

x2

)= 0

(γινόμενο φραγμένης επί μηδενική)

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

(εφ 2x

xminus 2

)=

= limxrarr0+

(2ημ 2x

2xmiddot 1

συν 2xminus 2

)= 0

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0+

f(x) = f(0)

άρα η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και συνεπώς σε όλοτο πεδίο ορισμού της

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 5

5 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

ημ |x|x x 6= 0

1 x = 0

ΛΥΣΗ

Γράφουμε την f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής

f(x) =

ημ (minusx)

x x lt 01 x = 0ημxx x gt 0

hArr f(x) =

minusημxx x lt 01 x = 0ημxx x gt 0

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 0) και(0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκεί λοιπόν ναμελετήσουμε ως προς την συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε πλευρικά όρια

limxrarr0minus

= minus limxrarr0minus

ημx

x= minus1

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

ημx

x= 1

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0minus

f(x) 6= limxrarr0+

f(x)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

6 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) = eσυνx

6 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ex

και συνx

7 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

(aminus1)ημx

x x 6= 02 x = 0

ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα

(minusinfin 0) και (0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκείνα μελετήσουμε ως προς τη συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Επειδή

limxrarr0

f(x) = limxrarr0

(aminus 1)ημx

x= (aminus 1) lim

xrarr0

ημx

x= aminus 1

Αν a minus 1 = 2 hArr a = 3 τότε η f είναι συνεχής στο πεδίοορισμού της

Αν a 6= 3 η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

8 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

λ2xminus 2 x lt 23xminus 5minus λ 2 le x lt 3 λ isin R2λ2x+ 4λxminus 15 x ge 3

ΛΥΣΗ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 7

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 2)(2 3) και (3+infin) Θα μελετήσουμε τη συνέχεια στα σημείαx0 = 2 και x1 = 3

Για το σημείο x0 = 2

limxrarr2minus

f(x) = limxrarr2minus

(λ2xminus 2) = 2(λ2 minus 1)

limxrarr2+

f(x) = limxrarr2+

(3xminus 5minus λ) = 1minus λ

f(2) = 1minus λ

Για να είναι η f συνεχής στο x0 = 2 πρέπει

2(λ2 minus 1) = 1minus λhArr 2λ2 + λminus 3 = 0hArr

hArr λ =minus1plusmn

radic1 + 24

4=minus1plusmn 5

4

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x0 = 2 όταν λ = 1 ή όταν minus32

Για το σημείο x1 = 3

limxrarr3minus

f(x) = limxrarr3minus

(3xminus λminus 5) = 4minus λ

limxrarr3+

f(x) = limxrarr3+

(2λ2x+4λxminus15) = 6λ2+12λminus15 = f(3)

Για να είναι η f συνεχής στο x1 = 3 θα πρέπει

6λ2 + 12λminus 15 = 4minus λhArr 6λ2 + 13λminus 19 = 0hArr

hArr λ =minus13plusmn

radic169 + 456

12=minus13plusmn 25

12

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x1 = 3 όταν λ = 1 ή λ = minus196

Συνεπώς η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της όταν λ = 1

8 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

9 Να προσδιορίσετε το f(0) αν η f είναι συνεχής στο σημείομηδέν και για κάθε αντιστρέψιμο x isin R ισχύει η σχέση

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2x

ΛΥΣΗ

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2xhArr

hArr minusx3 + 2ημx

xle f(x) le x3 + 2x

xhArr

hArr minusx2 + 2ημx

xle f(x) le x2 + 2rArr

rArr limxrarr0

(minusx2 + 2

ημx

x

)le lim

xrarr0f(x) le lim

xrarr0(x2 + 2)rArr

rArr 0+2 le limxrarr0

f(x) le 0+2rArr 2 le limxrarr0

f(x) le 2rArr limxrarr0

f(x) = 2

Επειδή η f είναι συνεχής

f(0) = limxrarr0

f(x) = 0

10 Να δείξετε πως η f είναι συνεχής στο σημείο x0 αν ισχύει

limhrarr0

f(x0 + h)minus f(x0)h

= a isin R

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(h) =f(x0 + h)minus f(x0)

h

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9

οπότε

f(x0 + h) = hg(h) + f(x0)

΄Εχουμε

limhrarr0

f(x0 + h) = limxrarrx0

f(x) = 0 middot a+ f(x0) = f(x0)

δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0

11 Αποδείξτε πως η εξίσωση x3 + 1 = 3x έχει τρείς πραγματι-κές λύσεις στο διάστημα (minus2 2) από τις οποίες η μία είναιμεγαλύτερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = x3 minus 3x+ 1

η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [minus2 2] ΄Εχουμε

f(minus2) = minus8 + 6 + 1 = minus1

f(0) = 1

f(1) = minus1f(2) = 8minus 6 + 1 = 3

Επειδή f(minus2)f(0) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία ) ρίζα στο(minus2 0)Επειδή f(0)f(1) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο(0 1) Επειδή f(1)f(2) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζαστο (1 2)

12 Αν η f [0 1] rarr [0 1] είναι συνεχής να δείξετε πως υπάρχειx0 isin [0 1] τέτοιο ώστε f(x0) = xν0 ν isin N

10 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x)minus xν

Επειδή

g(0) = f(0) ge 0

και

g(1) = f(1)minus 1 le 0

Αν g(0) = 0 τότε f(0) = 0 = 0ν

Αν g(1) = 0 τότε f(1) = 1 = 1ν

Αν g(0)g(1) 6= 0 τότε g(0)g(1) lt 0 και επομένως υπάρχειx0 isin (0 1) τέτοιο ώστε

g(x0) = 0hArr f(x0)minus xν0 = 0hArr f(x0) = xν0

13 Αποδείξτε πως η εξίσωση lnx + ex = 0 έχει τουλάχιστον μιαρίζα μικρότερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = ln x+ ex

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Είναι

f(1) = e gt 0

και επειδή

limxrarr0

f(x) = minusinfin

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

2 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

1 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

3x2 minus 1 x lt 23x+ 1 x ge 2

ΛΥΣΗ

Η f(x) είναι συνεχής στο (minusinfin 2) ως πολυωνυμική Επίσηςγια τον ίδιο λόγο είναι συνεχής στο (2+infin) Αρκεί λοιπόν ναμελετηθεί ως προς τη συνέχεια στο σημείο x0 = 2 Υπολογί-ζουμε τα πλευρικά όρια στο σημείο αυτό

limxrarr2minus

f(x) = limxrarr2minus

(3x2 minus 1) = 11

limxrarr2+

f(x) = limxrarr2+

(3x+ 1) = 2

Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα οπότε η f(x)δεν είναι συνεχής στο x0 = 2

2 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

x2minus1xminus1 x lt 1

3 x = 13xminus 2 x gt 1

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής (ως λόγος συνεχών συναρτήσεων) στο(minusinfin 1) Επίσης είναι συνεχής στο (1+infin) ως πολυωνυμικήΑρκεί λοιπόν να μελετήσουμε τη συνέχειά της στο x0 = 1

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 3

Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια

limxrarr1+

f(x) = 3minus 2 = 1

Παρατηρούμε ότι

limxrarr1+

f(x) = 1 6= 3 = f(1)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 1

3 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

ημxx minus 1 x lt 0συνx x ge 0

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής στο (minusinfin 0) ως λόγος συνεχών συναρτή-σεων Επίσης η f είναι συνεχής στο (0+infin) (γνωστό απότη θεωρία)Αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε την f ως προς τη

συνέχεια στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

συνx = συν 0 = 1

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0minus

(ημx

xminus 1)= 1minus 1 = 0

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0+

f(x) 6= limxrarr0minus

f(x)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

4 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

4 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

x3 middot ημ 1

x2 x lt 00 x = 0εφ2xx minus 2 x gt 0

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής στο (minusinfin 0) ως γινόμενο συνεχούς επί σύν-θεση συνεχών συναρτήσεων Επίσης η f είναι συνεχής στο(0+infin) ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Αρκεί λοιπόν ναμελετήσουμε τη συνέχεια της f στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε πλευρικά όρια

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0minus

(x3 middot ημ 1

x2

)= 0

(γινόμενο φραγμένης επί μηδενική)

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

(εφ 2x

xminus 2

)=

= limxrarr0+

(2ημ 2x

2xmiddot 1

συν 2xminus 2

)= 0

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0+

f(x) = f(0)

άρα η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και συνεπώς σε όλοτο πεδίο ορισμού της

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 5

5 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

ημ |x|x x 6= 0

1 x = 0

ΛΥΣΗ

Γράφουμε την f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής

f(x) =

ημ (minusx)

x x lt 01 x = 0ημxx x gt 0

hArr f(x) =

minusημxx x lt 01 x = 0ημxx x gt 0

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 0) και(0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκεί λοιπόν ναμελετήσουμε ως προς την συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε πλευρικά όρια

limxrarr0minus

= minus limxrarr0minus

ημx

x= minus1

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

ημx

x= 1

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0minus

f(x) 6= limxrarr0+

f(x)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

6 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) = eσυνx

6 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ex

και συνx

7 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

(aminus1)ημx

x x 6= 02 x = 0

ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα

(minusinfin 0) και (0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκείνα μελετήσουμε ως προς τη συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Επειδή

limxrarr0

f(x) = limxrarr0

(aminus 1)ημx

x= (aminus 1) lim

xrarr0

ημx

x= aminus 1

Αν a minus 1 = 2 hArr a = 3 τότε η f είναι συνεχής στο πεδίοορισμού της

Αν a 6= 3 η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

8 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

λ2xminus 2 x lt 23xminus 5minus λ 2 le x lt 3 λ isin R2λ2x+ 4λxminus 15 x ge 3

ΛΥΣΗ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 7

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 2)(2 3) και (3+infin) Θα μελετήσουμε τη συνέχεια στα σημείαx0 = 2 και x1 = 3

Για το σημείο x0 = 2

limxrarr2minus

f(x) = limxrarr2minus

(λ2xminus 2) = 2(λ2 minus 1)

limxrarr2+

f(x) = limxrarr2+

(3xminus 5minus λ) = 1minus λ

f(2) = 1minus λ

Για να είναι η f συνεχής στο x0 = 2 πρέπει

2(λ2 minus 1) = 1minus λhArr 2λ2 + λminus 3 = 0hArr

hArr λ =minus1plusmn

radic1 + 24

4=minus1plusmn 5

4

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x0 = 2 όταν λ = 1 ή όταν minus32

Για το σημείο x1 = 3

limxrarr3minus

f(x) = limxrarr3minus

(3xminus λminus 5) = 4minus λ

limxrarr3+

f(x) = limxrarr3+

(2λ2x+4λxminus15) = 6λ2+12λminus15 = f(3)

Για να είναι η f συνεχής στο x1 = 3 θα πρέπει

6λ2 + 12λminus 15 = 4minus λhArr 6λ2 + 13λminus 19 = 0hArr

hArr λ =minus13plusmn

radic169 + 456

12=minus13plusmn 25

12

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x1 = 3 όταν λ = 1 ή λ = minus196

Συνεπώς η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της όταν λ = 1

8 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

9 Να προσδιορίσετε το f(0) αν η f είναι συνεχής στο σημείομηδέν και για κάθε αντιστρέψιμο x isin R ισχύει η σχέση

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2x

ΛΥΣΗ

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2xhArr

hArr minusx3 + 2ημx

xle f(x) le x3 + 2x

xhArr

hArr minusx2 + 2ημx

xle f(x) le x2 + 2rArr

rArr limxrarr0

(minusx2 + 2

ημx

x

)le lim

xrarr0f(x) le lim

xrarr0(x2 + 2)rArr

rArr 0+2 le limxrarr0

f(x) le 0+2rArr 2 le limxrarr0

f(x) le 2rArr limxrarr0

f(x) = 2

Επειδή η f είναι συνεχής

f(0) = limxrarr0

f(x) = 0

10 Να δείξετε πως η f είναι συνεχής στο σημείο x0 αν ισχύει

limhrarr0

f(x0 + h)minus f(x0)h

= a isin R

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(h) =f(x0 + h)minus f(x0)

h

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9

οπότε

f(x0 + h) = hg(h) + f(x0)

΄Εχουμε

limhrarr0

f(x0 + h) = limxrarrx0

f(x) = 0 middot a+ f(x0) = f(x0)

δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0

11 Αποδείξτε πως η εξίσωση x3 + 1 = 3x έχει τρείς πραγματι-κές λύσεις στο διάστημα (minus2 2) από τις οποίες η μία είναιμεγαλύτερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = x3 minus 3x+ 1

η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [minus2 2] ΄Εχουμε

f(minus2) = minus8 + 6 + 1 = minus1

f(0) = 1

f(1) = minus1f(2) = 8minus 6 + 1 = 3

Επειδή f(minus2)f(0) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία ) ρίζα στο(minus2 0)Επειδή f(0)f(1) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο(0 1) Επειδή f(1)f(2) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζαστο (1 2)

12 Αν η f [0 1] rarr [0 1] είναι συνεχής να δείξετε πως υπάρχειx0 isin [0 1] τέτοιο ώστε f(x0) = xν0 ν isin N

10 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x)minus xν

Επειδή

g(0) = f(0) ge 0

και

g(1) = f(1)minus 1 le 0

Αν g(0) = 0 τότε f(0) = 0 = 0ν

Αν g(1) = 0 τότε f(1) = 1 = 1ν

Αν g(0)g(1) 6= 0 τότε g(0)g(1) lt 0 και επομένως υπάρχειx0 isin (0 1) τέτοιο ώστε

g(x0) = 0hArr f(x0)minus xν0 = 0hArr f(x0) = xν0

13 Αποδείξτε πως η εξίσωση lnx + ex = 0 έχει τουλάχιστον μιαρίζα μικρότερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = ln x+ ex

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Είναι

f(1) = e gt 0

και επειδή

limxrarr0

f(x) = minusinfin

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 3

Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια

limxrarr1+

f(x) = 3minus 2 = 1

Παρατηρούμε ότι

limxrarr1+

f(x) = 1 6= 3 = f(1)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 1

3 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

ημxx minus 1 x lt 0συνx x ge 0

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής στο (minusinfin 0) ως λόγος συνεχών συναρτή-σεων Επίσης η f είναι συνεχής στο (0+infin) (γνωστό απότη θεωρία)Αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε την f ως προς τη

συνέχεια στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

συνx = συν 0 = 1

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0minus

(ημx

xminus 1)= 1minus 1 = 0

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0+

f(x) 6= limxrarr0minus

f(x)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

4 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

4 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

x3 middot ημ 1

x2 x lt 00 x = 0εφ2xx minus 2 x gt 0

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής στο (minusinfin 0) ως γινόμενο συνεχούς επί σύν-θεση συνεχών συναρτήσεων Επίσης η f είναι συνεχής στο(0+infin) ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Αρκεί λοιπόν ναμελετήσουμε τη συνέχεια της f στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε πλευρικά όρια

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0minus

(x3 middot ημ 1

x2

)= 0

(γινόμενο φραγμένης επί μηδενική)

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

(εφ 2x

xminus 2

)=

= limxrarr0+

(2ημ 2x

2xmiddot 1

συν 2xminus 2

)= 0

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0+

f(x) = f(0)

άρα η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και συνεπώς σε όλοτο πεδίο ορισμού της

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 5

5 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

ημ |x|x x 6= 0

1 x = 0

ΛΥΣΗ

Γράφουμε την f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής

f(x) =

ημ (minusx)

x x lt 01 x = 0ημxx x gt 0

hArr f(x) =

minusημxx x lt 01 x = 0ημxx x gt 0

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 0) και(0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκεί λοιπόν ναμελετήσουμε ως προς την συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε πλευρικά όρια

limxrarr0minus

= minus limxrarr0minus

ημx

x= minus1

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

ημx

x= 1

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0minus

f(x) 6= limxrarr0+

f(x)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

6 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) = eσυνx

6 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ex

και συνx

7 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

(aminus1)ημx

x x 6= 02 x = 0

ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα

(minusinfin 0) και (0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκείνα μελετήσουμε ως προς τη συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Επειδή

limxrarr0

f(x) = limxrarr0

(aminus 1)ημx

x= (aminus 1) lim

xrarr0

ημx

x= aminus 1

Αν a minus 1 = 2 hArr a = 3 τότε η f είναι συνεχής στο πεδίοορισμού της

Αν a 6= 3 η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

8 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

λ2xminus 2 x lt 23xminus 5minus λ 2 le x lt 3 λ isin R2λ2x+ 4λxminus 15 x ge 3

ΛΥΣΗ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 7

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 2)(2 3) και (3+infin) Θα μελετήσουμε τη συνέχεια στα σημείαx0 = 2 και x1 = 3

Για το σημείο x0 = 2

limxrarr2minus

f(x) = limxrarr2minus

(λ2xminus 2) = 2(λ2 minus 1)

limxrarr2+

f(x) = limxrarr2+

(3xminus 5minus λ) = 1minus λ

f(2) = 1minus λ

Για να είναι η f συνεχής στο x0 = 2 πρέπει

2(λ2 minus 1) = 1minus λhArr 2λ2 + λminus 3 = 0hArr

hArr λ =minus1plusmn

radic1 + 24

4=minus1plusmn 5

4

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x0 = 2 όταν λ = 1 ή όταν minus32

Για το σημείο x1 = 3

limxrarr3minus

f(x) = limxrarr3minus

(3xminus λminus 5) = 4minus λ

limxrarr3+

f(x) = limxrarr3+

(2λ2x+4λxminus15) = 6λ2+12λminus15 = f(3)

Για να είναι η f συνεχής στο x1 = 3 θα πρέπει

6λ2 + 12λminus 15 = 4minus λhArr 6λ2 + 13λminus 19 = 0hArr

hArr λ =minus13plusmn

radic169 + 456

12=minus13plusmn 25

12

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x1 = 3 όταν λ = 1 ή λ = minus196

Συνεπώς η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της όταν λ = 1

8 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

9 Να προσδιορίσετε το f(0) αν η f είναι συνεχής στο σημείομηδέν και για κάθε αντιστρέψιμο x isin R ισχύει η σχέση

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2x

ΛΥΣΗ

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2xhArr

hArr minusx3 + 2ημx

xle f(x) le x3 + 2x

xhArr

hArr minusx2 + 2ημx

xle f(x) le x2 + 2rArr

rArr limxrarr0

(minusx2 + 2

ημx

x

)le lim

xrarr0f(x) le lim

xrarr0(x2 + 2)rArr

rArr 0+2 le limxrarr0

f(x) le 0+2rArr 2 le limxrarr0

f(x) le 2rArr limxrarr0

f(x) = 2

Επειδή η f είναι συνεχής

f(0) = limxrarr0

f(x) = 0

10 Να δείξετε πως η f είναι συνεχής στο σημείο x0 αν ισχύει

limhrarr0

f(x0 + h)minus f(x0)h

= a isin R

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(h) =f(x0 + h)minus f(x0)

h

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9

οπότε

f(x0 + h) = hg(h) + f(x0)

΄Εχουμε

limhrarr0

f(x0 + h) = limxrarrx0

f(x) = 0 middot a+ f(x0) = f(x0)

δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0

11 Αποδείξτε πως η εξίσωση x3 + 1 = 3x έχει τρείς πραγματι-κές λύσεις στο διάστημα (minus2 2) από τις οποίες η μία είναιμεγαλύτερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = x3 minus 3x+ 1

η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [minus2 2] ΄Εχουμε

f(minus2) = minus8 + 6 + 1 = minus1

f(0) = 1

f(1) = minus1f(2) = 8minus 6 + 1 = 3

Επειδή f(minus2)f(0) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία ) ρίζα στο(minus2 0)Επειδή f(0)f(1) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο(0 1) Επειδή f(1)f(2) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζαστο (1 2)

12 Αν η f [0 1] rarr [0 1] είναι συνεχής να δείξετε πως υπάρχειx0 isin [0 1] τέτοιο ώστε f(x0) = xν0 ν isin N

10 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x)minus xν

Επειδή

g(0) = f(0) ge 0

και

g(1) = f(1)minus 1 le 0

Αν g(0) = 0 τότε f(0) = 0 = 0ν

Αν g(1) = 0 τότε f(1) = 1 = 1ν

Αν g(0)g(1) 6= 0 τότε g(0)g(1) lt 0 και επομένως υπάρχειx0 isin (0 1) τέτοιο ώστε

g(x0) = 0hArr f(x0)minus xν0 = 0hArr f(x0) = xν0

13 Αποδείξτε πως η εξίσωση lnx + ex = 0 έχει τουλάχιστον μιαρίζα μικρότερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = ln x+ ex

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Είναι

f(1) = e gt 0

και επειδή

limxrarr0

f(x) = minusinfin

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

4 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

4 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

x3 middot ημ 1

x2 x lt 00 x = 0εφ2xx minus 2 x gt 0

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής στο (minusinfin 0) ως γινόμενο συνεχούς επί σύν-θεση συνεχών συναρτήσεων Επίσης η f είναι συνεχής στο(0+infin) ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Αρκεί λοιπόν ναμελετήσουμε τη συνέχεια της f στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε πλευρικά όρια

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0minus

(x3 middot ημ 1

x2

)= 0

(γινόμενο φραγμένης επί μηδενική)

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

(εφ 2x

xminus 2

)=

= limxrarr0+

(2ημ 2x

2xmiddot 1

συν 2xminus 2

)= 0

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0minus

f(x) = limxrarr0+

f(x) = f(0)

άρα η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και συνεπώς σε όλοτο πεδίο ορισμού της

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 5

5 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

ημ |x|x x 6= 0

1 x = 0

ΛΥΣΗ

Γράφουμε την f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής

f(x) =

ημ (minusx)

x x lt 01 x = 0ημxx x gt 0

hArr f(x) =

minusημxx x lt 01 x = 0ημxx x gt 0

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 0) και(0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκεί λοιπόν ναμελετήσουμε ως προς την συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε πλευρικά όρια

limxrarr0minus

= minus limxrarr0minus

ημx

x= minus1

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

ημx

x= 1

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0minus

f(x) 6= limxrarr0+

f(x)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

6 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) = eσυνx

6 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ex

και συνx

7 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

(aminus1)ημx

x x 6= 02 x = 0

ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα

(minusinfin 0) και (0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκείνα μελετήσουμε ως προς τη συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Επειδή

limxrarr0

f(x) = limxrarr0

(aminus 1)ημx

x= (aminus 1) lim

xrarr0

ημx

x= aminus 1

Αν a minus 1 = 2 hArr a = 3 τότε η f είναι συνεχής στο πεδίοορισμού της

Αν a 6= 3 η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

8 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

λ2xminus 2 x lt 23xminus 5minus λ 2 le x lt 3 λ isin R2λ2x+ 4λxminus 15 x ge 3

ΛΥΣΗ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 7

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 2)(2 3) και (3+infin) Θα μελετήσουμε τη συνέχεια στα σημείαx0 = 2 και x1 = 3

Για το σημείο x0 = 2

limxrarr2minus

f(x) = limxrarr2minus

(λ2xminus 2) = 2(λ2 minus 1)

limxrarr2+

f(x) = limxrarr2+

(3xminus 5minus λ) = 1minus λ

f(2) = 1minus λ

Για να είναι η f συνεχής στο x0 = 2 πρέπει

2(λ2 minus 1) = 1minus λhArr 2λ2 + λminus 3 = 0hArr

hArr λ =minus1plusmn

radic1 + 24

4=minus1plusmn 5

4

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x0 = 2 όταν λ = 1 ή όταν minus32

Για το σημείο x1 = 3

limxrarr3minus

f(x) = limxrarr3minus

(3xminus λminus 5) = 4minus λ

limxrarr3+

f(x) = limxrarr3+

(2λ2x+4λxminus15) = 6λ2+12λminus15 = f(3)

Για να είναι η f συνεχής στο x1 = 3 θα πρέπει

6λ2 + 12λminus 15 = 4minus λhArr 6λ2 + 13λminus 19 = 0hArr

hArr λ =minus13plusmn

radic169 + 456

12=minus13plusmn 25

12

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x1 = 3 όταν λ = 1 ή λ = minus196

Συνεπώς η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της όταν λ = 1

8 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

9 Να προσδιορίσετε το f(0) αν η f είναι συνεχής στο σημείομηδέν και για κάθε αντιστρέψιμο x isin R ισχύει η σχέση

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2x

ΛΥΣΗ

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2xhArr

hArr minusx3 + 2ημx

xle f(x) le x3 + 2x

xhArr

hArr minusx2 + 2ημx

xle f(x) le x2 + 2rArr

rArr limxrarr0

(minusx2 + 2

ημx

x

)le lim

xrarr0f(x) le lim

xrarr0(x2 + 2)rArr

rArr 0+2 le limxrarr0

f(x) le 0+2rArr 2 le limxrarr0

f(x) le 2rArr limxrarr0

f(x) = 2

Επειδή η f είναι συνεχής

f(0) = limxrarr0

f(x) = 0

10 Να δείξετε πως η f είναι συνεχής στο σημείο x0 αν ισχύει

limhrarr0

f(x0 + h)minus f(x0)h

= a isin R

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(h) =f(x0 + h)minus f(x0)

h

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9

οπότε

f(x0 + h) = hg(h) + f(x0)

΄Εχουμε

limhrarr0

f(x0 + h) = limxrarrx0

f(x) = 0 middot a+ f(x0) = f(x0)

δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0

11 Αποδείξτε πως η εξίσωση x3 + 1 = 3x έχει τρείς πραγματι-κές λύσεις στο διάστημα (minus2 2) από τις οποίες η μία είναιμεγαλύτερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = x3 minus 3x+ 1

η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [minus2 2] ΄Εχουμε

f(minus2) = minus8 + 6 + 1 = minus1

f(0) = 1

f(1) = minus1f(2) = 8minus 6 + 1 = 3

Επειδή f(minus2)f(0) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία ) ρίζα στο(minus2 0)Επειδή f(0)f(1) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο(0 1) Επειδή f(1)f(2) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζαστο (1 2)

12 Αν η f [0 1] rarr [0 1] είναι συνεχής να δείξετε πως υπάρχειx0 isin [0 1] τέτοιο ώστε f(x0) = xν0 ν isin N

10 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x)minus xν

Επειδή

g(0) = f(0) ge 0

και

g(1) = f(1)minus 1 le 0

Αν g(0) = 0 τότε f(0) = 0 = 0ν

Αν g(1) = 0 τότε f(1) = 1 = 1ν

Αν g(0)g(1) 6= 0 τότε g(0)g(1) lt 0 και επομένως υπάρχειx0 isin (0 1) τέτοιο ώστε

g(x0) = 0hArr f(x0)minus xν0 = 0hArr f(x0) = xν0

13 Αποδείξτε πως η εξίσωση lnx + ex = 0 έχει τουλάχιστον μιαρίζα μικρότερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = ln x+ ex

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Είναι

f(1) = e gt 0

και επειδή

limxrarr0

f(x) = minusinfin

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 5

5 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

ημ |x|x x 6= 0

1 x = 0

ΛΥΣΗ

Γράφουμε την f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής

f(x) =

ημ (minusx)

x x lt 01 x = 0ημxx x gt 0

hArr f(x) =

minusημxx x lt 01 x = 0ημxx x gt 0

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 0) και(0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκεί λοιπόν ναμελετήσουμε ως προς την συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Υπολογίζουμε πλευρικά όρια

limxrarr0minus

= minus limxrarr0minus

ημx

x= minus1

limxrarr0+

f(x) = limxrarr0+

ημx

x= 1

Παρατηρούμε ότι

limxrarr0minus

f(x) 6= limxrarr0+

f(x)

οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

6 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) = eσυνx

6 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ex

και συνx

7 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

(aminus1)ημx

x x 6= 02 x = 0

ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα

(minusinfin 0) και (0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκείνα μελετήσουμε ως προς τη συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Επειδή

limxrarr0

f(x) = limxrarr0

(aminus 1)ημx

x= (aminus 1) lim

xrarr0

ημx

x= aminus 1

Αν a minus 1 = 2 hArr a = 3 τότε η f είναι συνεχής στο πεδίοορισμού της

Αν a 6= 3 η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

8 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

λ2xminus 2 x lt 23xminus 5minus λ 2 le x lt 3 λ isin R2λ2x+ 4λxminus 15 x ge 3

ΛΥΣΗ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 7

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 2)(2 3) και (3+infin) Θα μελετήσουμε τη συνέχεια στα σημείαx0 = 2 και x1 = 3

Για το σημείο x0 = 2

limxrarr2minus

f(x) = limxrarr2minus

(λ2xminus 2) = 2(λ2 minus 1)

limxrarr2+

f(x) = limxrarr2+

(3xminus 5minus λ) = 1minus λ

f(2) = 1minus λ

Για να είναι η f συνεχής στο x0 = 2 πρέπει

2(λ2 minus 1) = 1minus λhArr 2λ2 + λminus 3 = 0hArr

hArr λ =minus1plusmn

radic1 + 24

4=minus1plusmn 5

4

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x0 = 2 όταν λ = 1 ή όταν minus32

Για το σημείο x1 = 3

limxrarr3minus

f(x) = limxrarr3minus

(3xminus λminus 5) = 4minus λ

limxrarr3+

f(x) = limxrarr3+

(2λ2x+4λxminus15) = 6λ2+12λminus15 = f(3)

Για να είναι η f συνεχής στο x1 = 3 θα πρέπει

6λ2 + 12λminus 15 = 4minus λhArr 6λ2 + 13λminus 19 = 0hArr

hArr λ =minus13plusmn

radic169 + 456

12=minus13plusmn 25

12

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x1 = 3 όταν λ = 1 ή λ = minus196

Συνεπώς η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της όταν λ = 1

8 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

9 Να προσδιορίσετε το f(0) αν η f είναι συνεχής στο σημείομηδέν και για κάθε αντιστρέψιμο x isin R ισχύει η σχέση

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2x

ΛΥΣΗ

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2xhArr

hArr minusx3 + 2ημx

xle f(x) le x3 + 2x

xhArr

hArr minusx2 + 2ημx

xle f(x) le x2 + 2rArr

rArr limxrarr0

(minusx2 + 2

ημx

x

)le lim

xrarr0f(x) le lim

xrarr0(x2 + 2)rArr

rArr 0+2 le limxrarr0

f(x) le 0+2rArr 2 le limxrarr0

f(x) le 2rArr limxrarr0

f(x) = 2

Επειδή η f είναι συνεχής

f(0) = limxrarr0

f(x) = 0

10 Να δείξετε πως η f είναι συνεχής στο σημείο x0 αν ισχύει

limhrarr0

f(x0 + h)minus f(x0)h

= a isin R

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(h) =f(x0 + h)minus f(x0)

h

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9

οπότε

f(x0 + h) = hg(h) + f(x0)

΄Εχουμε

limhrarr0

f(x0 + h) = limxrarrx0

f(x) = 0 middot a+ f(x0) = f(x0)

δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0

11 Αποδείξτε πως η εξίσωση x3 + 1 = 3x έχει τρείς πραγματι-κές λύσεις στο διάστημα (minus2 2) από τις οποίες η μία είναιμεγαλύτερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = x3 minus 3x+ 1

η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [minus2 2] ΄Εχουμε

f(minus2) = minus8 + 6 + 1 = minus1

f(0) = 1

f(1) = minus1f(2) = 8minus 6 + 1 = 3

Επειδή f(minus2)f(0) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία ) ρίζα στο(minus2 0)Επειδή f(0)f(1) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο(0 1) Επειδή f(1)f(2) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζαστο (1 2)

12 Αν η f [0 1] rarr [0 1] είναι συνεχής να δείξετε πως υπάρχειx0 isin [0 1] τέτοιο ώστε f(x0) = xν0 ν isin N

10 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x)minus xν

Επειδή

g(0) = f(0) ge 0

και

g(1) = f(1)minus 1 le 0

Αν g(0) = 0 τότε f(0) = 0 = 0ν

Αν g(1) = 0 τότε f(1) = 1 = 1ν

Αν g(0)g(1) 6= 0 τότε g(0)g(1) lt 0 και επομένως υπάρχειx0 isin (0 1) τέτοιο ώστε

g(x0) = 0hArr f(x0)minus xν0 = 0hArr f(x0) = xν0

13 Αποδείξτε πως η εξίσωση lnx + ex = 0 έχει τουλάχιστον μιαρίζα μικρότερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = ln x+ ex

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Είναι

f(1) = e gt 0

και επειδή

limxrarr0

f(x) = minusinfin

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

6 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΛΥΣΗ

Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ex

και συνx

7 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

(aminus1)ημx

x x 6= 02 x = 0

ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα

(minusinfin 0) και (0+infin) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων Αρκείνα μελετήσουμε ως προς τη συνέχεια την f στο σημείο x0 = 0

Επειδή

limxrarr0

f(x) = limxrarr0

(aminus 1)ημx

x= (aminus 1) lim

xrarr0

ημx

x= aminus 1

Αν a minus 1 = 2 hArr a = 3 τότε η f είναι συνεχής στο πεδίοορισμού της

Αν a 6= 3 η f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

8 Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

f(x) =

λ2xminus 2 x lt 23xminus 5minus λ 2 le x lt 3 λ isin R2λ2x+ 4λxminus 15 x ge 3

ΛΥΣΗ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 7

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 2)(2 3) και (3+infin) Θα μελετήσουμε τη συνέχεια στα σημείαx0 = 2 και x1 = 3

Για το σημείο x0 = 2

limxrarr2minus

f(x) = limxrarr2minus

(λ2xminus 2) = 2(λ2 minus 1)

limxrarr2+

f(x) = limxrarr2+

(3xminus 5minus λ) = 1minus λ

f(2) = 1minus λ

Για να είναι η f συνεχής στο x0 = 2 πρέπει

2(λ2 minus 1) = 1minus λhArr 2λ2 + λminus 3 = 0hArr

hArr λ =minus1plusmn

radic1 + 24

4=minus1plusmn 5

4

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x0 = 2 όταν λ = 1 ή όταν minus32

Για το σημείο x1 = 3

limxrarr3minus

f(x) = limxrarr3minus

(3xminus λminus 5) = 4minus λ

limxrarr3+

f(x) = limxrarr3+

(2λ2x+4λxminus15) = 6λ2+12λminus15 = f(3)

Για να είναι η f συνεχής στο x1 = 3 θα πρέπει

6λ2 + 12λminus 15 = 4minus λhArr 6λ2 + 13λminus 19 = 0hArr

hArr λ =minus13plusmn

radic169 + 456

12=minus13plusmn 25

12

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x1 = 3 όταν λ = 1 ή λ = minus196

Συνεπώς η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της όταν λ = 1

8 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

9 Να προσδιορίσετε το f(0) αν η f είναι συνεχής στο σημείομηδέν και για κάθε αντιστρέψιμο x isin R ισχύει η σχέση

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2x

ΛΥΣΗ

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2xhArr

hArr minusx3 + 2ημx

xle f(x) le x3 + 2x

xhArr

hArr minusx2 + 2ημx

xle f(x) le x2 + 2rArr

rArr limxrarr0

(minusx2 + 2

ημx

x

)le lim

xrarr0f(x) le lim

xrarr0(x2 + 2)rArr

rArr 0+2 le limxrarr0

f(x) le 0+2rArr 2 le limxrarr0

f(x) le 2rArr limxrarr0

f(x) = 2

Επειδή η f είναι συνεχής

f(0) = limxrarr0

f(x) = 0

10 Να δείξετε πως η f είναι συνεχής στο σημείο x0 αν ισχύει

limhrarr0

f(x0 + h)minus f(x0)h

= a isin R

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(h) =f(x0 + h)minus f(x0)

h

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9

οπότε

f(x0 + h) = hg(h) + f(x0)

΄Εχουμε

limhrarr0

f(x0 + h) = limxrarrx0

f(x) = 0 middot a+ f(x0) = f(x0)

δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0

11 Αποδείξτε πως η εξίσωση x3 + 1 = 3x έχει τρείς πραγματι-κές λύσεις στο διάστημα (minus2 2) από τις οποίες η μία είναιμεγαλύτερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = x3 minus 3x+ 1

η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [minus2 2] ΄Εχουμε

f(minus2) = minus8 + 6 + 1 = minus1

f(0) = 1

f(1) = minus1f(2) = 8minus 6 + 1 = 3

Επειδή f(minus2)f(0) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία ) ρίζα στο(minus2 0)Επειδή f(0)f(1) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο(0 1) Επειδή f(1)f(2) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζαστο (1 2)

12 Αν η f [0 1] rarr [0 1] είναι συνεχής να δείξετε πως υπάρχειx0 isin [0 1] τέτοιο ώστε f(x0) = xν0 ν isin N

10 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x)minus xν

Επειδή

g(0) = f(0) ge 0

και

g(1) = f(1)minus 1 le 0

Αν g(0) = 0 τότε f(0) = 0 = 0ν

Αν g(1) = 0 τότε f(1) = 1 = 1ν

Αν g(0)g(1) 6= 0 τότε g(0)g(1) lt 0 και επομένως υπάρχειx0 isin (0 1) τέτοιο ώστε

g(x0) = 0hArr f(x0)minus xν0 = 0hArr f(x0) = xν0

13 Αποδείξτε πως η εξίσωση lnx + ex = 0 έχει τουλάχιστον μιαρίζα μικρότερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = ln x+ ex

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Είναι

f(1) = e gt 0

και επειδή

limxrarr0

f(x) = minusinfin

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 7

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (minusinfin 2)(2 3) και (3+infin) Θα μελετήσουμε τη συνέχεια στα σημείαx0 = 2 και x1 = 3

Για το σημείο x0 = 2

limxrarr2minus

f(x) = limxrarr2minus

(λ2xminus 2) = 2(λ2 minus 1)

limxrarr2+

f(x) = limxrarr2+

(3xminus 5minus λ) = 1minus λ

f(2) = 1minus λ

Για να είναι η f συνεχής στο x0 = 2 πρέπει

2(λ2 minus 1) = 1minus λhArr 2λ2 + λminus 3 = 0hArr

hArr λ =minus1plusmn

radic1 + 24

4=minus1plusmn 5

4

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x0 = 2 όταν λ = 1 ή όταν minus32

Για το σημείο x1 = 3

limxrarr3minus

f(x) = limxrarr3minus

(3xminus λminus 5) = 4minus λ

limxrarr3+

f(x) = limxrarr3+

(2λ2x+4λxminus15) = 6λ2+12λminus15 = f(3)

Για να είναι η f συνεχής στο x1 = 3 θα πρέπει

6λ2 + 12λminus 15 = 4minus λhArr 6λ2 + 13λminus 19 = 0hArr

hArr λ =minus13plusmn

radic169 + 456

12=minus13plusmn 25

12

΄Αρα η f είναι συνεχής στο x1 = 3 όταν λ = 1 ή λ = minus196

Συνεπώς η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της όταν λ = 1

8 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

9 Να προσδιορίσετε το f(0) αν η f είναι συνεχής στο σημείομηδέν και για κάθε αντιστρέψιμο x isin R ισχύει η σχέση

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2x

ΛΥΣΗ

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2xhArr

hArr minusx3 + 2ημx

xle f(x) le x3 + 2x

xhArr

hArr minusx2 + 2ημx

xle f(x) le x2 + 2rArr

rArr limxrarr0

(minusx2 + 2

ημx

x

)le lim

xrarr0f(x) le lim

xrarr0(x2 + 2)rArr

rArr 0+2 le limxrarr0

f(x) le 0+2rArr 2 le limxrarr0

f(x) le 2rArr limxrarr0

f(x) = 2

Επειδή η f είναι συνεχής

f(0) = limxrarr0

f(x) = 0

10 Να δείξετε πως η f είναι συνεχής στο σημείο x0 αν ισχύει

limhrarr0

f(x0 + h)minus f(x0)h

= a isin R

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(h) =f(x0 + h)minus f(x0)

h

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9

οπότε

f(x0 + h) = hg(h) + f(x0)

΄Εχουμε

limhrarr0

f(x0 + h) = limxrarrx0

f(x) = 0 middot a+ f(x0) = f(x0)

δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0

11 Αποδείξτε πως η εξίσωση x3 + 1 = 3x έχει τρείς πραγματι-κές λύσεις στο διάστημα (minus2 2) από τις οποίες η μία είναιμεγαλύτερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = x3 minus 3x+ 1

η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [minus2 2] ΄Εχουμε

f(minus2) = minus8 + 6 + 1 = minus1

f(0) = 1

f(1) = minus1f(2) = 8minus 6 + 1 = 3

Επειδή f(minus2)f(0) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία ) ρίζα στο(minus2 0)Επειδή f(0)f(1) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο(0 1) Επειδή f(1)f(2) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζαστο (1 2)

12 Αν η f [0 1] rarr [0 1] είναι συνεχής να δείξετε πως υπάρχειx0 isin [0 1] τέτοιο ώστε f(x0) = xν0 ν isin N

10 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x)minus xν

Επειδή

g(0) = f(0) ge 0

και

g(1) = f(1)minus 1 le 0

Αν g(0) = 0 τότε f(0) = 0 = 0ν

Αν g(1) = 0 τότε f(1) = 1 = 1ν

Αν g(0)g(1) 6= 0 τότε g(0)g(1) lt 0 και επομένως υπάρχειx0 isin (0 1) τέτοιο ώστε

g(x0) = 0hArr f(x0)minus xν0 = 0hArr f(x0) = xν0

13 Αποδείξτε πως η εξίσωση lnx + ex = 0 έχει τουλάχιστον μιαρίζα μικρότερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = ln x+ ex

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Είναι

f(1) = e gt 0

και επειδή

limxrarr0

f(x) = minusinfin

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

8 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

9 Να προσδιορίσετε το f(0) αν η f είναι συνεχής στο σημείομηδέν και για κάθε αντιστρέψιμο x isin R ισχύει η σχέση

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2x

ΛΥΣΗ

minusx3 + 2ημx le x middot f(x) le x3 + 2xhArr

hArr minusx3 + 2ημx

xle f(x) le x3 + 2x

xhArr

hArr minusx2 + 2ημx

xle f(x) le x2 + 2rArr

rArr limxrarr0

(minusx2 + 2

ημx

x

)le lim

xrarr0f(x) le lim

xrarr0(x2 + 2)rArr

rArr 0+2 le limxrarr0

f(x) le 0+2rArr 2 le limxrarr0

f(x) le 2rArr limxrarr0

f(x) = 2

Επειδή η f είναι συνεχής

f(0) = limxrarr0

f(x) = 0

10 Να δείξετε πως η f είναι συνεχής στο σημείο x0 αν ισχύει

limhrarr0

f(x0 + h)minus f(x0)h

= a isin R

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(h) =f(x0 + h)minus f(x0)

h

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9

οπότε

f(x0 + h) = hg(h) + f(x0)

΄Εχουμε

limhrarr0

f(x0 + h) = limxrarrx0

f(x) = 0 middot a+ f(x0) = f(x0)

δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0

11 Αποδείξτε πως η εξίσωση x3 + 1 = 3x έχει τρείς πραγματι-κές λύσεις στο διάστημα (minus2 2) από τις οποίες η μία είναιμεγαλύτερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = x3 minus 3x+ 1

η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [minus2 2] ΄Εχουμε

f(minus2) = minus8 + 6 + 1 = minus1

f(0) = 1

f(1) = minus1f(2) = 8minus 6 + 1 = 3

Επειδή f(minus2)f(0) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία ) ρίζα στο(minus2 0)Επειδή f(0)f(1) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο(0 1) Επειδή f(1)f(2) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζαστο (1 2)

12 Αν η f [0 1] rarr [0 1] είναι συνεχής να δείξετε πως υπάρχειx0 isin [0 1] τέτοιο ώστε f(x0) = xν0 ν isin N

10 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x)minus xν

Επειδή

g(0) = f(0) ge 0

και

g(1) = f(1)minus 1 le 0

Αν g(0) = 0 τότε f(0) = 0 = 0ν

Αν g(1) = 0 τότε f(1) = 1 = 1ν

Αν g(0)g(1) 6= 0 τότε g(0)g(1) lt 0 και επομένως υπάρχειx0 isin (0 1) τέτοιο ώστε

g(x0) = 0hArr f(x0)minus xν0 = 0hArr f(x0) = xν0

13 Αποδείξτε πως η εξίσωση lnx + ex = 0 έχει τουλάχιστον μιαρίζα μικρότερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = ln x+ ex

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Είναι

f(1) = e gt 0

και επειδή

limxrarr0

f(x) = minusinfin

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9

οπότε

f(x0 + h) = hg(h) + f(x0)

΄Εχουμε

limhrarr0

f(x0 + h) = limxrarrx0

f(x) = 0 middot a+ f(x0) = f(x0)

δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0

11 Αποδείξτε πως η εξίσωση x3 + 1 = 3x έχει τρείς πραγματι-κές λύσεις στο διάστημα (minus2 2) από τις οποίες η μία είναιμεγαλύτερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = x3 minus 3x+ 1

η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [minus2 2] ΄Εχουμε

f(minus2) = minus8 + 6 + 1 = minus1

f(0) = 1

f(1) = minus1f(2) = 8minus 6 + 1 = 3

Επειδή f(minus2)f(0) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία ) ρίζα στο(minus2 0)Επειδή f(0)f(1) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο(0 1) Επειδή f(1)f(2) lt 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζαστο (1 2)

12 Αν η f [0 1] rarr [0 1] είναι συνεχής να δείξετε πως υπάρχειx0 isin [0 1] τέτοιο ώστε f(x0) = xν0 ν isin N

10 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x)minus xν

Επειδή

g(0) = f(0) ge 0

και

g(1) = f(1)minus 1 le 0

Αν g(0) = 0 τότε f(0) = 0 = 0ν

Αν g(1) = 0 τότε f(1) = 1 = 1ν

Αν g(0)g(1) 6= 0 τότε g(0)g(1) lt 0 και επομένως υπάρχειx0 isin (0 1) τέτοιο ώστε

g(x0) = 0hArr f(x0)minus xν0 = 0hArr f(x0) = xν0

13 Αποδείξτε πως η εξίσωση lnx + ex = 0 έχει τουλάχιστον μιαρίζα μικρότερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = ln x+ ex

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Είναι

f(1) = e gt 0

και επειδή

limxrarr0

f(x) = minusinfin

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

10 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x)minus xν

Επειδή

g(0) = f(0) ge 0

και

g(1) = f(1)minus 1 le 0

Αν g(0) = 0 τότε f(0) = 0 = 0ν

Αν g(1) = 0 τότε f(1) = 1 = 1ν

Αν g(0)g(1) 6= 0 τότε g(0)g(1) lt 0 και επομένως υπάρχειx0 isin (0 1) τέτοιο ώστε

g(x0) = 0hArr f(x0)minus xν0 = 0hArr f(x0) = xν0

13 Αποδείξτε πως η εξίσωση lnx + ex = 0 έχει τουλάχιστον μιαρίζα μικρότερη της μονάδας

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) = ln x+ ex

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών Είναι

f(1) = e gt 0

και επειδή

limxrarr0

f(x) = minusinfin

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11

υπάρχει x0 isin (0 1) με την ιδιότητα f(x0) lt 0

΄Αρα

f(1)f(x0) lt 0

οπότε υπάρχει ξ isin (x0 1) τέτοιο ώστε

f(ξ) = 0hArr ln ξ + eξ = 0

14 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 lt f(x) lt 2 forallx isin Rνα δείξετε ότι η εξίσωση 2x + (f(x))2 minus 2f(x) = 0 έχει του-λάχιστον μια ρίζα στο (0 2)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε

g(x) = 2x+ (f(x))2 minus 2f(x)

η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών ΄Εχουμε

g(0) = (f(0))2 minus 2f(0) = f(0)(f(0)minus 2) lt 0

(διότι f(0) gt 0 και f(0) lt 2hArr f(0)minus 2 lt 0)

Επίσης

g(2) = 4 + (f(2))2 minus 2f(2) = 4 + f(2)(f(2)minus 2) =

= 4minus f(2)(2minus f(2)) gt 4minus 2f(2) gt 0

Επειδή g(0)g(2) lt 0 υπάρχει ξ isin (0 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή

2ξ + (f(ξ))2 minus 2f(ξ) = 0

15 Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a β] καιf(a) 6= f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 isin (a β) με τηνιδιότητα

f(x0) =f(a) + f(β)

2

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση

12 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a β] και δεν είναισταθερή επομένως f([a β]) = [γ δ] γ lt δ

΄Αρα

γ le f(a) le δ

γ le f(β) le δ

2γ le f(a) + f(β) le 2δ hArr γ le f(a) + f(β)

2le δ

Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο

16 Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g καιg f όταν

f(x) = x2 minus 4x+ 5 και g(x) =

minus1 x lt 00 x = 01 x gt 0

ΛΥΣΗ

Είναι

(f g)(x) = g(g(x)) =

f(minus1) = 10 x lt 0f(0) = 5 x = 0f(1) = 2 x gt 0

Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0Είναι

f(x) = x2 minus 4x+ 5 = x2 minus 4x+ 4 + 1 = (xminus 2)2 + 1 gt 0

Συνεπώς

(g f)(x) = 1

οπότε η g f είναι συνεχής ως σταθερή συνάρτηση