STEREO

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώµατος435

Ασκήσεις για λύση:

1.89. Η ράβδος (ΑΒ) είναι οµογενής µε βάρος µέτρου w1 = 100N και µή-

κος (ΑΒ) = 12m.

∆ίνονται w2 = 400 N και (ΑΓ) = 12 m και το σύστηµα ισορροπεί. Να

βρεθούν οι τάσεις των νηµάτων ΒΓ, Β∆ και η δύναµη στην άρθρωση Α.

Απ. 450 Ν, 400Ν, 477 Ν, φ = 39,1ο

1.90. Η ράβδος ΑΓ είναι οµογενής µε βάρος w = 30 N και ισορροπεί όπως

στο σχήµα:

Να υπολογισθούν η τάση του νήµατος Γ∆ και η δύναµη στην άρθρωση.

Απ. 26 Ν, 15 Ν, φ = 30ο

1.91. Η ράβδος ΑΓ είναι οµογενής µε βάρος w1 = 300 N και µήκος (Α∆) = 2m.

Αν το όριο για να κοπεί το νήµα Γ∆ είναι 1000 Ν, να βρεθεί η µέγι-

στη δυνατή απόσταση x που σ' αυτή µπορούµε να κρεµάσουµε σώµα

βάρους w2 = 500 N χωρίς να κοπεί το νήµα Γ∆.

Απ. x = 1,4 m


1.92. Το οµογενές δοκάρι ΑΓ έχει βάρος w1= 1000 Ν και ισορροπεί δεµένο

µε σκοινί ΑΚ στο µέσον του Κ όπως στο σχήµα:

Αν w2 = 2000N, να βρεθούν οι τάσεις των νηµάτων και η αντίδραση

στην άρθρωση.

Απ. 2000Ν, 3535Ν, 2550Ν, εφθ = 0,2

1.93. Η δοκός ΓΖ και οι ράβδοι ΓΕ και Ε∆ είναι αβαρείς όπως και το σύρ-

µα ΑΓ.

∆ίνονται (ΓΕ) = (Γ∆) = 1m (ΓΖ) = 10m, w = 1000 N. To σύστηµα

ισορροπεί.

Να υπολογισθεί η δύναµη στο σύρµα και στην ράβδο ΓΕ

Απ. 200 Ν, 1000 2 Ν


1.94. Είναι (ΑΓ) = (ΓΜ) = (Μ∆) = (∆Ε) = 2m . Η ράβδος AE είναι οµογενής µε

βάρος µέτρου w1= 100 Ν. ∆ίνεται w2 = 50N

Πόσο βάρος w πρέπει να κρεµάσουµε στο Α ώστε να ανατραπεί η

ράβδος;

Απ. 250 Ν

1.95. Η δοκός ΑΓ είναι οµογενής µε βάρος w1 = 100Ν και µήκος (ΑΓ) = 0,8 m.

Το σχοινί είναι οριζόντιο και αβαρές.

Η σφαίρα έχει ακτίνα R = 0,1 m και βάρος w2 = 80Ν. Τριβές αµελη-

τέες και το σύστηµα ισορροπεί. Να βρείτε:

α. Την τάση του νήµατος,

β. Την αντίδραση της άρθρωσης.

Απ. α. 126,5 Ν, β. 196,7, εφθ=2,26

1.96. Η κορυφή του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού εκκλησίας µετατοπίζεται κατά

s 15,7cm∆ = σε χρόνο t 1min= . Να υπολογίσετε:

α. το µήκος του λεπτοδείκτη

β. την γραµµική ταχύτητα του µέσου του.

Απ: α. 1,5 m, β. 3 m1,3 10

s

−⋅

1.97. Ένα αγωνιστικό αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα σταθερού µέτρου σε κυκλικό

στίβο ακτίνας R = 96 m και διαγράφει έναν κύκλο σε 20 s . Αν η διάµετρος των

τροχών του είναι d = 60 cm να βρεθεί η συχνότητα περιστροφής τους.

Απ: 16 Hz


1.98. Ένα αυτοκίνητο επιταχύνεται οµαλά από 0 έως Km80h

σε 6 s. Το

αυτοκίνητο έχει τροχούς ακτίνας 30 cm. Πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση

των τροχών;

Απ: 2

rad12,3

s

1.99. Η λάµα ενός κυκλικού πριονιού που έχει διάµετρο 20 cm, επιταχύνεται

οµαλά από την ηρεµία έως τις 7000 στροφές / min σε 1,2 s.

α. Πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση;

β. Να κάνετε την γραφική παράσταση ω ( t ). Τι δείχνει η κλίση της και τι το

εµβαδόν της;

γ. Πόσες στροφές θα έχει κάνει η λάµα ως την στιγµή που έφθασε αυτή την

συχνότητα;

Απ: α. 2

rad610,86

s, γ. 70

1.100. Όταν σβήνετε το µοτέρ, ένας δίσκος πικάπ που αρχικά περιστρεφόταν µε

33,33min

στρ, εκτελεί 25 περιστροφές µέχρι να σταµατήσει. Υπολογίστε την

γωνιακή επιβράδυνση του δίσκου, θεωρώντας ότι είναι σταθερή.

Απ: 2

rad0,039

s

1.101. Υποθέστε ότι το µόριο του βρωµιούχου καλίου (KBr) περιστρέφεται ως στερεό

σώµα περί το κέντρο µάζας του. Να υπολογίσετε την ροπή αδράνειάς του ως

προς το κέντρο µάζας του αν οι µάζες του Br και του Καλίου είναι αντίστοιχα

1m 79,9u= και 2

m 39,1u= ενώ οι αποστάσεις τους από το κέντρο µάζας του

µορίου είναι αντίστοιχα:

10 10

1 2R 0,93 10 m και R 1,89 10 m− −= ⋅ = ⋅ .

∆ίνεται 271u 1,66 10 Kg−= ⋅ .

Απ: 45 25,3 10 Kg m−⋅ ⋅


1.102. Στις κορυφές Α, Β, Γ ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α = 2 m υπάρχουν τρεις

ίσες σηµειακές µάζες m = 1 Kg για κάθε µια. Να βρεθεί η ροπή αδράνειας

του συστήµατος, ως προς άξονα:

α. κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου που περνά από το Α

β. κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου που περνά από το περίκεντρο

γ. που ταυτίζεται µε το ύψος του τριγώνου, το οποίο φέρεται από το Α προς

την πλευρά ΒΓ.

Απ: α. 8 Kg m2, β. 4 Kg m2, γ. 2 Kg m2

1.103. Ένας τροχός διαµέτρου 1 m περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό οριζόντιο

άξονα χωρίς τριβή. Η ροπή αδράνειας του ως προς τον άξονα αυτόν είναι

5Kgm2. Μια σταθερή τάση 20 Ν δηµιουργείται µε ένα σχοινί, που είναι

τυλιγµένο γύρω από την περίµετρο του τροχού, έτσι ώστε αυτός να

επιταχύνεται. Αν ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται όταν t = 0, να υπολογίσετε:

α. την γωνιακή επιτάχυνση του τροχού,

β. την γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγµή t = 3 s

γ. το µήκος του σχοινιού που ξετυλίχθηκε στα πρώτα 3 s.

Απ: α. 2

rad2

s, β.

rad6

s, γ. 4,5 m

1.104. Ένα βάρος 50 Ν είναι δεµένο στο ελεύθερο άκρο ενός ελαφρού νήµατος

τυλιγµένου σε µια τροχαλία ακτίνας 0,25 m και µάζας 3 Kg. Η τροχαλία

είναι ελεύθερη να περιστρέφεται σε ένα κατακόρυφο επίπεδο ως προς ένα

οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Το βάρος αφήνεται ελεύθερο

6 m πάνω από το έδαφος.

α. Προσδιορίστε την τάση του νήµατος,

β. την επιτάχυνση του σώµατος,

γ. την ταχύτητα που έχει το σώµα όταν φθάνει στο έδαφος. ∆ίνεται για την

τροχαλία:

2

cm 2

1 mMR ,g 10

2 sΙ = = .

Απ: α. 11,54 Ν, β. 7,69 2

m

s, γ. 9,6

m

s


1.105. Ράβδο µάζας m και µήκους L τη διπλώνουµε στη µέση έτσι, ώστε τα δύο

τµήµατα να σχηµατίζουν γωνία φ.

Υπολογίστε την ροπή αδράνειας ως προς άξονα, ο οποίος είναι κάθετος στο

επίπεδο ΑΟΓ και διέρχεται από το Ο. Πως αυτή εξαρτάται από τη γωνία φ;

Απ: 21

M12

� , δεν εξαρτάται.

1.106. Κυλινδρικός δίσκος ακτίνας R και µάζας m είναι τυλιγµένος µε λεπτό,

αβαρές µη εκτατό νήµα, η άλλη άκρη του οποίου στερεώνεται σε ακλόνητο

σηµείο. Αφήνουµε το δίσκο ελεύθερο και αυτός αρχίζει να κατεβαίνει. Να

γραφούν οι εξισώσεις κίνησης του δίσκου ( ) ( ) ( ) ( )x t , t , t , tυ ϑ ω . ∆ίνεται για

το δίσκο: 2

cm

1MR

2Ι = , το g γνωστό.

Απ: 2 2gt 2gt gt 2gt

x , , ,3 3 3R 3R

= υ = ϑ = ω =

1.107. Συµπαγής σφαίρα m = 2 Kg, ακτίνας R = 10 cm, αφήνεται να κυλίεται χωρίς

να ολισθαίνει από ύψος h = 2 m, πάνω σε κεκλιµένο δάπεδο, γωνίας κλίσης

φ=300 . Για την σφαίρα δίνεται 2

cm

2MR

5Ι = ενώ

2

mg 10

s= . Να βρείτε:

α. την επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας και τον ρυθµό µεταβολής

της γωνιακής ταχύτητας

β. την ταχύτητα της σφαίρας τη στιγµή που φθάνει στη βάση του κεκλιµένου

δαπέδου, και τον αντίστοιχο χρόνο

γ. τον αριθµό των περιστροφών µέχρι να φθάσει στη βάση του δαπέδου

δ. τον ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας και της ορµής του κέντρου µάζας

ε. το έργο της στατικής τριβής και του βάρους µέχρι την βάση

στ. τις γραφικές παραστάσεις ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cm cmt , t , t , t , p tα α υ ω .

Απ: α. 2 2

25 m 250 rad,

7 7s s, β.

2 m10

7 s

2, 14s5

, γ. 20

π

στροφές,

δ. 2

25 m 50, N

7 7s, ε. 0 J, 40 J


1.108. Οι δύο κυλινδρικοί δίσκοι του διπλανού σχήµατος, έχουν µάζα m, ακτίνα R

και ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο µάζας τους 2

cm

1mR

2Ι = . Ο επάνω

δίσκος µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που

περνά από το κέντρο του. Ένα λεπτό, αβαρές, µη εκτατό νήµα είναι τυλιγµένο

και στους δύο δίσκους. Υπολογίστε:

α. την επιτάχυνση του Κ.Μ. του κάτω δίσκου

β. την τάση του νήµατος,

γ. την γωνιακή επιτάχυνση κάθε δίσκου. Είναι γνωστό το g.

Απ: α. 4

g5

, β. mgT

5= , γ. 1 2

2 g

5 Rα = α =

1.109. ∆ύο σώµατα µε µάζες m1 = 15 Kg, και m2 = 20 Kg συνδέονται µε αβαρές, µη

εκτατό νήµα που περνά από µια τροχαλία ακτίνας R = 0,25 m και ροπή

αδράνειας Ι. Το σώµα m1 κινείται προς τα πάνω µε σταθερή επιτάχυνση 2 2

m

s.

Υπολογίστε:

α. τις τάσεις Τ1 και Τ2 στα δύο τµήµατα του νήµατος,

β. βρείτε την ροπή αδράνειας της τροχαλίας.

∆ίνεται 2

mg 10 , 0,6

s= ηµφ = . Το κεκλιµένο δάπεδο είναι λείο.

Απ: α. 120 Ν, 160 Ν, β. 1,25 2Kg m⋅

1.110. Το σύστηµα των συµπαγών οµοκέντρων κυλίνδρων αποτελείται από δύο

κυλίνδρους µε µάζες Μ και 4Μ και αντίστοιχες ακτίνες R και 3R, µπορεί δε

να στραφεί γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα x x΄ που διέρχεται από τους

άξονες των κυλίνδρων χωρίς τριβές. Στις περιφέρειες κάθε κυλίνδρου είναι

στερεωµένα αβαρή µη εκτατά νήµατα που είναι τυλιγµένα µε αντίθετη φορά

και στις άκρες τους είναι στερεωµένα δύο σώµατα ίσης µάζας m, το καθένα.

Όταν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώµατος

m που κρέµεται από τον µεγάλης ακτίνας κύλινδρο. ∆ίνεται το g και η ροπή

αδράνειας του στερεού 2

cm

37MR

2Ι = .

Απ: 1

12mg

20m 37Mα =

+


1.111. Κύλινδρος συµπαγής µάζας Μ βρίσκεται σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης

φ = 300 .Νήµα είναι τυλιγµένο στην περιφέρεια του κυλίνδρου, στο άκρο του

ασκείται σταθερή δύναµη µέτρου F = 0,5 Mg παράλληλη στο κεκλιµένο δάπεδο

και ο κύλινδρος ανέρχεται µε επιτάχυνση. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του

κέντρου µάζας του κυλίνδρου.

∆ίνεται η g και η ροπή αδράνειας του 2

cm

1MR

2Ι = .

Απ: g

3

1.112. Οριζόντιος κυκλικός δίσκος µάζας M 100kg= και ακτίνας R 2m= µπορεί

να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντροτου. Ένα παιδί µάζας m 50kg= που κινείται εφαπτοµενικά του δίσκου µε

ταχύτητα µέτρου υ 4m / s= κάποια στιγµή ανεβαίνει πάνω σ’ αυτόν:

α. Να βρεθεί το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας µε την οποία περιστρέφεται

το σύστηµα δίσκος - παιδί.

β. Να υπολογιστεί το µέτρο της σταθερής ροπής που πρέπει να ασκηθεί στο

δίσκο ώστε να διπλασιαστεί η γωνιακή του ταχύτητα σε χρόνο t 4s= .

γ. Να βρεθεί ο αριθµός των στροφών που θα εκτελέσει ο δίσκος στο χρονικό

διάστηµα της προηγούµενης ερώτησης.

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του

21I MR

2=

Απ. α. 0ω 1rad / s= , β. τ 100Νm= , γ. 3

Ν στρ.π

=

1.113. Ο κύλινδρος του διπλανού σχήµατος έχει µάζα m 2kg= και ακτίνα R 1m= .

Μέσω του αβαρούς νήµατος ασκούµε οριζόντια δύναµη F�

στον αρχικά

ακίνητο κύλινδρο.

α. Αν η δύναµη είναι σταθερή και το µέτρο της είναι F 4 N= , να βρείτε

το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου καθώς επίσης το µέτρο

της στροφορµής του, όταν η δύναµη έχει µετατοπίσει το σηµείο εφαρµογής

της κατά x 2m= .


β. Αν το µέτρο της δύναµης δίνεται από τη σχέση F 4 3t= + (S.I.) να βρεθεί

ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του κυλίνδρου τη χρονική στιγµή

t 2s= .

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου 21

I mR2

= .

Απ. α. 2α 4 rad / s= ,

2mL 4kg

s= , β.

2dL m10kg

dt s=

1.114. Ο κύλινδρος του διπλανού σχήµατος έχει µάζα m 2kg= και ακτίνα R 1m= .

Μέσω του αβαρούς νήµατος ασκούµε οριζόντια σταθερή δύναµη µέτρου

F 6 N= . Αν η αρχική γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου είναι 0ω 4rad / s= .

α. Να βρεθεί το µέτρο της στροφορµής του µετά από χρόνο t 2s= .

β. Να γίνει το διάγραµµα L - t και να υπολογιστεί η κλίση της γραφικής

παράστασης. Τι εκφράζει η κλίση στο διάγραµµα αυτό.

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου 21I mR

2= .

Απ. α. τελ 2

mL 16 kg

s= , β. ∆L

εφφ 6 Νm∆t

= =

1.115. Στον κύλινδρο του σχήµατος µε ακτίνα R 1m= ασκείται εφαπτοµενικά

δύναµη F της οποίας το µέτρο δίνεται από το διάγραµµα.

α. Να υπολογιστεί η µεταβολή της στροφορµής την χρονική στιγµή t 3s= .

β. Εαν τη χρονική στιγµή t 3s= η γωνιακή ταχύτητα είναι ω 10rad / s=

να βρείτε τη µάζα M του κυλίνδρου.

γ. Ποια η γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγµή t 6s= ;

Απ. α. 2m

∆L 15kgs

= , β. M 3kg= , γ. ω 23,3rad / s=


1.116. ∆ίσκος µε µάζα Μ και ακτίνα R και κυκλική στεφάνη, µε µάζα m και ακτίνα

R µπορούν να στρέφονται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από

το κέντρο µάζας κάθε σώµατος. Ασκούµε σταθερή δύναµη µέτρου F

εφαπτοµενικά σε κάθε σώµα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα.

α. Να βρεθούν τα µέτρα των στροφορµών των δύο σωµάτων µετά από

χρόνο t.

β. Η κυκλική στεφάνη αφήνεται να έρθει σε επαφή και προσκολλάται στο

δίσκο. Να βρεθεί η στροφορµή του συστήµατος των δύο σωµάτων.

Για το δίσκο δίνεται 21I mR

2= . Τα σώµατα αρχικά είναι ακίνητα.

Απ. α. L1 = L

2= FRt, β. L

ολ= 0

1.117. Ράβδος µάζας m 3kg= και µήκους 2m=� στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο

µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω 10rad / s= γύρω από κατακόρυφο άξονα που

διέρχεται από το κέντρο µάζας m. Σφαίρα µάζας 1m 1kg= είναι στερεωµένη

στο άκρο Κ της ράβδου.

α. Να υπολογίσετε το µέτρο της στροφορµής του συστήµατος.

β. Σφαίρα µάζας 2m 2kg= αφήνεται από µικρό ύψος και προσκολλάται στο

άκρο Λ της ράβδου. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του στερεού που

προκύπτει.

∆ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το

κέντρο µάζας της 2

cm

1I m

12= � .

Απ. α. 2m

L 20kgs

= , β. 'ω 5rad / s=

1.118. Ένας δίσκος µε µάζα Μ και ακτίνα R περιστρέφεται περί κατακόρυφο άξονα

Οz που είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου και διέρχεται από το κέντρο

του Ο. Ο δίσκος φέρει διαµετρικό αυλάκι ΗΘ µέσα στο οποίο ταλαντώνεται

µια µάζα m . Όταν η µάζα απέχει από το κέντρο Ο απόσταση ίση µε R

2, που

είναι και το πλάτος της ταλάντωσης της µάζας, η γωνιακή ταχύτητα του

δίσκου είναι ω1. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου όταν η µάζα m


περνάει από το Ο. ∆ίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα

Οz 21MR

2Ι = . Το σύστηµα είναι ελεύθερο δυνάµεων και ροπών .

Απ . 2 1

m

2Μ+

ω = ωΜ

1.119. Μια µάζα m αφήνεται από ύψος h και κινείται κατά µήκος µιας λείας

κατηφορικής επιφάνειας. Στο τέλος της διαδροµής της κτυπά στο άκρο

ράβδου µάζας Μ και µήκους l και κολλά σε αυτή. Η ράβδος είναι αρχικά

ακίνητη και στερεωµένη από τον άξονα Ρ που περνά από το πάνω άκρο

της. Υπολογίστε την ταχύτητα της µάζας m αµέσως µετά την πλαστική

κρούση. ∆ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά

από το κέντρο µάζας της 21

12Ι = Μ� .

Απ. 3m 2gh

3m Mυ =

+

1.120. Ο δίσκος του σχήµατος έχει µάζα Μ και ακτίνα R. Βλήµα µάζας m M<<

σφηνώνεται στον δίσκο σε ύψος R από το δάπεδο. Να βρεθεί η ελάχιστη

ταχύτητα υβ του βλήµατος ώστε ο δίσκος µόλις να µπορέσει να ανέλθει στο

επίπεδο ∆Ε µε R

2Γ∆ = . Το σηµείο ∆ παραµένει ακίνητο κατά την κρούση.

(Ο χρόνος διείσδυσης του βλήµατος στον δίσκο είναι αµελητέος και το

σηµείο διείσδυσης θεωρείται στην επιφάνεια του δίσκου).

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου 2

cm

1I MR

2= .

Απ. 6gRm

β

Μυ =

1.121. Η ράβδος ΟΑ του σχήµατος µπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από το

σταθερό σηµείο Ο. Αρχικά η ράβδος είναι κατακόρυφη και ακίνητη. Υλικό

σηµείο µάζας m προσκρούει στην ράβδο µε οριζόντια ταχύτητα υ0, και βγαίνει


απ’ αυτή µε οριζόντια ταχύτητα υ1. Το σηµείο πρόσκρουσης απέχει από το

Ο απόσταση ίση µε h. Να βρεθεί το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας µε

την οποία αρχίζει να κινείται η ράβδος και το µέτρο της ταχύτητας του

άκρου Α της ράβδου την στιγµή αυτή. Ποιά θα ήταν η απάντηση αν το

σωµατίδιο σφηνώνεται στη ράβδο. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς

τον άξονα περιστροφής της είναι 2I M3

=�� , µε Μ τη µάζα της ράβδου και l

το µήκος της.

Απ. ( )0 1

2

3mh υ υω

Μ

−=

� ,

( )0 1

Α

3mh υ υυ

Μ

−=

� ,

' 0

0

2 2

mυ hω

1mh M

3

=+ �

,' 0

Α2 2

mυ hυ

1mh M

2

=+

�

�

1.122. Μια οριζόντια κυκλική εξέδρα µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές περί

σταθερό κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο της Ο. Η εξέδρα έχει

µάζα Μ, ακτίνα R και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της.

∆υο άνθρωποι µάζας m ο καθένας βρίσκονται σε αντιδιαµετρικά σηµεία της

εξέδρας η οποία επίσης είναι ακίνητη. Ξαφνικά αρχίζουν να περπατούν

ταυτόχρονα στην περιφέρεια της εξέδρας µε ταχύτητα ίδιου µέτρου υ ως

προς την εξέδρα και αντίθετης φοράς. Να υπολογισθεί η γωνία που έχει

διαγράψει ο καθένας ως προς ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος όταν περνά

για πρώτη φορά από το σηµείο που ξεκίνησε.

Απ. 2πΜ

4m M+

1.123. Μεταλλική σφαίρα µάζας m και ακτίνας R στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα

µέτρου ω1 γύρω από κατακόρυφο άξονα περιστροφής, που διέρχεται από το

κέντρο µάζας της. Η σφαίρα θερµαίνεται και η ακτίνα της αυξάνεται κατά

25%. Να υπολογιστεί η επί τοις εκατό µεταβολή του µέτρου της γωνιακής

της ταχύτητας.

∆ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής

22I mR

5=

Απ. -36%


1.124. Ένα πουλί µάζας m 2kg= κάθεται στο πτερύγιο ενός ανεµόµυλου µάζας

M 9kg= , µήκους 5m=� και το οποίο εκείνη τη στιγµή είναι ακίνητο

σχηµατίζοντας γωνία φ = 30ο µε την οριζόντια διεύθυνση, όπως φαίνεται

στο σχήµα. Τα πτερύγια του ανεµόµυλου αρχίζουν να περιστρέφονται. Τη

στιγµή που το πτερύγιο στο οποίο κάθεται το πουλί περνά από την οριζόντια

διεύθυνση, το πουλί πετά προς τα πάνω µε ταχύτητα µέτρου 5 5 m / sυ = .

Να υπολογίσετε:

α. την κινητική ενέργεια του συστήµατος τη στιγµή που το πτερύγιο µε το

πουλί βρίσκονται στην οριζόντια θέση.

β. τη γωνιακή ταχύτητα των πτερυγίων αµέσως µετά το πέταγµα του πουλιού.

Να θεωρήσετε τα πτερύγια ως λεπτές ράβδους (το πανί είναι αµελητέας

µάζας και δε φυσάει) και αµελητέες τις τριβές.

∆ίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας 2g 10 m / s= και η ροπή αδράνειας

λεπτής ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο µάζας της:

2

cm

1I M

12= ⋅� .

Απ. 50 J , 5rad / s

3

1.125. Τροχός ποδηλάτου µάζας Μ (η οποία θεωρείται συγκεντρωµένη στην

επιφάνειά του) και ακτίνας R µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβή γύρω

από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο. Μια σαίτα µάζας

m ρίχνεται µε ταχύτητα υ0 όπως φαίνεται στο σχήµα και κολλάει στο

λάστιχο. Αν αρχικά ο τροχός ήταν ακίνητος, να βρεθεί η ελάχιστη ταχύτητα

της σαίτας υ0 ώστε ο τροχός να κάνει πλήρη περιστροφή.

Απ. 0,min

M4gR 1

m

υ = +


1.126. Η µεταλλική µπάρα στην είσοδο ενός parking, µάζας M 12kg= και µήκους

3m=� , στο κέντρο της οποίας υπάρχει και η πινακίδα µε το σήµα STOP

µάζας m 4kg= , ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση (ο µηχανισµός που την

ανεβοκατεβάζει αυτόµατα είναι χαλασµένος). Από απροσεξία ένας

υπάλληλος του parking ασκεί µία ελαφρά ώθηση στην µπάρα η οποία αρχίζει

να περιστρέφεται γύρω από άξονα ο οποίος περνά από το ένα άκρο της. Να

υπολογίσετε για τη χρονική στιγµή που η µπάρα ακουµπά στη βάση της

(όταν δηλαδή βρεθεί σε οριζόντια θέση):

α. τη γωνιακή επιτάχυνση

β. την κινητική ενέργεια

γ. τη γωνιακή ταχύτητα της µπάρας και

δ. τη γραµµική ταχύτητα του άκρου από το οποίο δε διέρχεται ο άξονας

περιστροφής.

Να θεωρήσετε τη µπάρα ως λεπτή ράβδο, την πινακίδα πολύ µικρών

διαστάσεων και αµελητέες τις τριβές.


λεπτής ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο µάζας της:

2

cm

1I M

12= ⋅� .

Απ. 216rad / s

3, 240 J , 4 6

rad / s3

, 4 6 m / s

1.127. Κρεµάµε ένα σώµα µάζας M 1,5kg= από αβαρές σκοινί το οποίο είναιτυλιγµένο σε τροχαλία µάζας m 0,5kg= και ακτίνας R 0,1m= , πουβρίσκεται σε ύψος h 5m= από το έδαφος. Η τροχαλία µπορεί να

περιστρέφεται γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο της.

Να υπολογίσετε:

α. την ταχύτητα του σώµατος φτάνοντας στο έδαφος.

β. τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας τη στιγµή που το σώµα

φτάνει στο έδαφος.


Η τροχαλία να θεωρηθεί ως κυλινδρικός φλοιός και οι τριβές είναι αµελητέες.


της τροχαλίας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο µάζας της: 2

cmI m R= ⋅ .

Απ. 5 3 m / s, 50 3 rad / s

1.128. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος ακτίνας R και µάζας Μ και συµπαγήςσφαίρα ίδιας ακτίνας και µάζας αφήνονται ταυτόχρονα από ύψος h 2m=πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ. Ο κύλινδρος και η σφαίρα

κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.

α. Να αποδείξετε ότι η σφαίρα θα φτάσει γρηγορότερα στη βάση του

κεκλιµένου επιπέδου.

β. Να υπολογίσετε:

1. το λόγο της κινητικής ενέργειας της σφαίρας στη βάση του κεκλιµένου

επιπέδου προς εκείνη του κυλίνδρου στην ίδια θέση Kσφ

κυλ

Κ

.

2. το λόγο της κινητικής ενέργειας της σφαίρας λόγω περιστροφής στη

βάση του κεκλιµένου επιπέδου προς εκείνη του κυλίνδρου στην ίδια

θέση ( )

( )

στρ σφ

στρ κυλ

Κ Κ

.

∆ίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας 2g 10m / s= , η ροπή αδράνειας του

κυλίνδρου ως προς τον άξονά του 2

cm

1MR

2Ι = και η ροπή αδράνειας της

σφαίρας ως προς άξονα που περνά από µία διάµετρό της 2

cm

2MR

5Ι = .

Απ. 1, 6

7


1.129. Ένας τροχός γυαλίσµατος µάζας m 100g= και ακτίνας R 5cm= είναι

προσαρµοσµένος στον άξονα ενός ηλεκτρικού κινητήρα. Ο κινητήρας ασκεί

σταθερή ροπή µέτρου 325 10 m−τ = ⋅ Ν ⋅ στον τροχό. Να υπολογίσετε:

α. τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού και

β. την ισχύ του κινητήρα τη χρονική στιγµή 1t 2s= .

γ. το έργο του κινητήρα από τη στιγµή που τέθηκε σε λειτουργία µέχρι τηχρονική στιγµή

2t 5s= . Θεωρήστε αµελητέες τις τριβές.

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που περνά από το

κέντρο του 2

cm

1I M R

2= ⋅ .

Απ. 400rad / s , 10 Watt , 62,5 J

1.130. Ακίνητος οµογενής κύλινδρος µάζας m1 και ροπής αδράνειας Ι

1, περιστρέφεται

µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω1 γύρω από τον άξονά του. ∆εύτερος οµογενής

κύλινδρος µάζας m2 και ροπής αδράνειας Ι

2 που περιστρέφεται γύρω από τον

ίδιο άξονα µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω2 και κινείται µε γραµµική

ταχύτητα υ2 πέφτει πάνω στον πρώτο κύλινδρο. Επειδή οι επιφάνειες είναι

τραχιές, οι δύο κύλινδροι αποκτούν τελικά την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και

γραµµική ταχύτητα υ. Εάν ω1 > ω

2, να υπολογιστούν:

α. οι ταχύτητες υ και ω

β. η απώλεια ενέργειας

Απ. α. 2 2

1 2

m

m m

υυ =

+ , 1 1 2 2

1 2

Ι ω − Ι ωω =

Ι + Ι, β.

( )

( )

( )

221 2 1 21 2 2

1 2 1 2

I Im m

2 m m 2

ω +ωυ∆Κ = +

+ Ι + Ι

STEREO

Documents

Transcript of STEREO