ỨNG DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

LƯỢNG GIÁC

Batigoal_mathscope.org

Email:Hoangquan9@gmail.com

1.Tóm tắt lí thuyết

Ta có công thức De Moivre (cos sin ) (cos n + i sin n )n n n nz r i rθ θ θ θ= + =

2.Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1 Giả sử α và β là các nghiệm của phương trình 2 2 2 0x x− + = và

cot 1yθ = + . Chứng minh rằng ( ) ( ) sin

sin

n n

n

y y nα β θα β θ

+ − + =−

Giải

Giải phương trình 2 2 2 0x x− + = ta ñược 2 nghiệm 1x i= ± . Lấy 1 iα = + và

1 iβ = −

Theo giả thiết cot 1yθ = + nên cot 1y θ= − .

Từ ñó ta có [ ]( ) (cot 1 ) (cot 1) (1 )nn ny iα θ α θ+ = − + = − + + =(cot )niθ + =

os( )sin

nci

θθ

+

=1

( os is )sin

nn

c inθ θθ

+ =1

( osn isin )sinn

c nθ θθ

+

Tương tự ( )ny β+ = 1( osn isin )

sinnc nθ θ

θ− .

Do ñó ( ) ( )n ny yα β+ − + = 2isin

sinn

nθθ

Mặt khác 1 (1 ) 2i i iα β− = + − − = . vậy ta có : ( ) ( ) sin

sin

n n

n

y y nα β θα β θ

+ − + =−

(ñiều phải

chứng minh).

Ví dụ 2

Giả sử cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ, chứng minh rằng

(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)

(ii) sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin (α + β + γ)

Giải

Đặt a = cos α , b = cos β , c = cos γ.

Ta có 0a b c+ + = nên ( )a b c= − + ⇔

3 3( )a b c = − + ⇔ 3 3 2 2 3 3 3 3( 3 3 ) 3 ( ) 3a b b c bc b a b c bc b c abc= − + + + ⇔ + + = − + = (1)

Áp dụng công thức De Moivre ta có :

( )3os isin os3 isin3c cα α α α+ = +

( )3os isin os3 isin3c cβ β β β+ = +

( )3os isin os3 isin3c cγ γ γ γ+ = +

Đem cộng vế với vế của 3 ñẳng thức trên ta có :

( ) ( ) ( )3 3 3os isin os isin os isinc c cα α β β γ γ+ + + + +

= cos 3α + cos 3β + cos 3γ + i(sin 3α + sin 3β + sin 3γ) (2)

Do giả thiết cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ nên áp dụng (1) ta có

( ) ( ) ( )3 3 3os isin os isin os isinc c cα α β β γ γ+ + + + +

=3( )( )( )os isin os isin os isinc c cα α β β γ γ+ + +

=3[cos (α + β + γ) + i sin (α + β + γ)] (3)

Từ (2) và (3) so sánh phần thực với phần thực , phần ảo với phần ảo ta có :

(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)

(ii) sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin (α + β + γ)

Nhận xét : Bài toán nếu không áp dụngsố phức ñể giải thì việc chứng minh sẽ rất

khó khăn.

Ví dụ 3

Chứng minh rằng

3 5 7 9 1os os os os os

11 11 11 11 11 2c c c c c

π π π π π+ + + + =

Giải

Đặt z= cos i sin 11 11

π π+ , ta có :

113 5 7 9

2 1

z zz z z z z

z

−+ + + + =−

(*) (Áp dụng tổng cấp số nhân , với số hạng ñầu là

1u z= , công bội 2q z= ).

Ta có z= cos i sin 11 11

π π+ nên 11 11z = (cos i sin ) os11 is 11 111 11

c inπ π π π+ = + = − .

Thay 11 1z = − vào biểu thức(*) ta có :

113 5 7 9

2

1 1 1

1 ( 1)( 1) 1 1

z z zz z z z z

z z z z z

− − − −+ + + + = = = =− − + − −

Hay

3 3 5 5 7 7( os isin ) ( os +isin ) ( os isin ) ( os isin )

11 11 11 11 11 11 11 11

1 os isin9 9 1 11 11( os isin )11 11 1 ( os isin ) 2 2 os

11 11 11

c c c c

cc

c c

π π π π π π π π

π ππ π

π π π

+ + + + + +

− ++ + = =

− + −

=i sin1 11

2 2 2cos11

π

π+−

(**)

So sánh phần thực với phần thực của (**) ta có:

3 5 7 9 1os os os os os

11 11 11 11 11 2c c c c c

π π π π π+ + + + = (ñiều phải chứng minh)

Ví dụ 4

Chứng minh rằng

2 4 6 1

os os os7 7 7 2

c c cπ π π −+ + =

Giải

Đặt z= cos i sin 7 7

π π+ , ta có

8 2 7 2 22 4 6

2 2 2

cos i sin . 7 71 1 1 1 1 (cos i sin )

7 7

z z z z z z z zz z z

z z z z

π π

π π

+− − − −+ + = = = = =− − − − − +

= os 1 sin sin17 7 7

22(1 os ) 2(1 os ) 2(1 os )7 7 7

ci i

c c c

π π π

π π π

− −+ = +− − −

(1)

Mặt khác ta có

2 4 6 2 2 4 4 6 6os isin os isin os isin

7 7 7 7 7 7z z z c c c

π π π π π π+ + = + + + + +

=2 4 6 2 4 6

os os os i(sin sin +sin )7 7 7 7 7 7

c c cπ π π π π π+ + + + + (2)

Từ (1) và (2), ta có 2 4 6 1

os os os7 7 7 2

c c cπ π π −+ + = (ñiều phải chứng minh)

Ví dụ 5 : Chứng minh công thức

3

3

,sin3 3sin 4sin

, os3 4cos 3cos

a

b c

α α αα α α

= −= −

Giải

Đặt z= cos i sin α α+ . Ta có:

3 3 3 2 2 2 3 3z = (cos i sin ) os 3 cos sin 3cos ( sin ) sinc i i iα α α α α α α α+ = + + +

= 3 2 2 3os 3 (1 sin )sin 3cos (1 os ) sinc i c iα α α α α α+ − − − −

= 3 34 os 3cos (3sin 4sin )c iα α α α− + − (1)

Mặt khác 3 3z = (cos i sin ) os3 isin3cα α α α+ = + (2)

Từ (1) và (2) ta có : 3

3

,sin3 3sin 4sin

, os3 4cos 3cos

a

b c

α α αα α α

= −= −

( ñiều phải chứng minh)

Bài tập tương tự

1.Giả sử α và β là nghiệm của phương trình 2 2 22 ( ) 0x px p q− + + = và

tanq

y pθ =

+.

Chứng minh rằng 1( ) ( ) sin.sin

n nn

n

y y nq

α β θα β θ

−+ − + =−

2. Giả sử α và β là nghiệm của phương trình 2 2 4 0x x− + = . Chứng minh rằng

1.2 sin3

n n n ni

πα β +− =

3.Nếu 1

2cosxx

θ+ = . Chứng minh rằng

a, 1

2cosnn

x nx

θ+ = b, 1

2 sinnn

x i nx

θ− =

4. Nếu 1

2cosxx

θ+ = và 1

2cosyy

ϕ+ = . Chứng minh rằng

a, 2cos( )m n

n m

x ym n

y xθ ϕ+ = − b, 2 sin( )

m n

n m

x yi m n

y xθ ϕ− = −