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SECOND DEGRÉ
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SECOND DEGRÉ
4COMMENTMETTREUNTRINÔME
SOUSFORMECANONIQUE?
» Méthode
Onappelleformecanoniqued'uneparabole,l'expression:
f (x)=a x−α( )
2+ β
À partir de la forme y=ax2 +bx+c , on obtient la forme canonique en
mettant tout d'abord en facteur a (coefficient dex2 ) (même si cela fait
apparaîtredesfractions).
Oninterprèteensuitelaforme x2 ±kx obtenueprécédemment,commele
débutd'uneidentitéremarquable.
x2 ±kx estledébutducarréde
x ± k
2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
letermemanquantest
k2
4.
Onmontreainsique: α=−
b2a
et β=−
b2−4ac4a
.
Exemple: g(x)= 4x2−7x+3
g(x)= 4x2−7x+3= 4 x2−74x+
34
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= 4 x−7
8
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
−4964
+34
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
g(x)= 4 x−78
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
−4964
+4864
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= 4 x−7
8
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
−164
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Soit g x( )= 4 x−7
8
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
−116
Ainsi: α=
78
et β=−
116
! Ilyatoujoursunsignemoinsdevantleterme
k2
4(cetermeestmanquant).
! Pour faire apparaître la forme canonique définitive, ne pas oublier dedistribuer le termea sur lagrandeparenthèse (attentionauxsignes, siaestnégatif).
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TOP CHRONO C’est l’interro !
TOPCHRONOC’estl’interro!
Exercice4.1 (10points) 15minEn utilisant le début du développement d’une identité remarquable, mettresousformecanoniquelestrinômessuivants:
1. f x( )=2x2 +8x−7
2. g x( )=−3x2 +9x−5
3. h x( )= 4x2 +6x−7
4. k x( )=−5x2 +8x−3
Exercice4.2 (10points) 15min
Enutilisant lesformules α=−
b2a
et β=−
b2−4ac4a
,mettresousformecano-
niquelesexpressionssuivantes:
1. f x( )= x2 +7x−5
2. g x( )=−2x2 +6x+1
3. h x( )=5x2 + x−8
4. k x( )=−3x2 +6x−10
5COMMENTRÉSOUDREUNEÉQUATION
DUSECONDDEGRÉ?
Uneéquationduseconddegréestuneéquationdelaforme: ax2 +bx+c=0
aveca,betcréelset a≠0 .
» Méthodederésolution
1. Calculdudiscriminant: Δ=b2−4ac 2. Si Δ<0 ,l’équationn’apasdesolution.
Si Δ=0 ,l’équationadmetunesolutionunique x=−
b2a
.
Si Δ>0 ,l’équationadmetdeuxsolutions:
x1 =−b+ Δ
2aet
x2 =−b− Δ
2a
Exemple: 3x2−14x+8=0
Ona: a=3 b=−14 et c=8 Lediscriminantdecetteéquationest:
Δ= −14( )2−4×3×8=196−96=100=102
Cediscriminantestpositif,l’équationadmetdoncdeuxsolutions:
x1 =
14+106
= 4 et x2 =
14−106
=23
L’ensemblesolutionestdonc S=
23,4
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪.
! Attentionàbiencomptabiliserlesignedea,betc.
! Quandbestnégatif,lesignemoinsdisparaîtdanslecalculdudiscriminant.
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TOP CHRONO C’est l’interro !
TOPCHRONOC’estl’interro!
Exercice5.1 (6points) 10minRésoudreleséquationssuivantes:
1. 17x2−21x−26=0
2. 9x2−24x+16=0
3. 4x2−5x+12=0
Exercice5.2 (7points) 10minAprèsavoirdéterminélesvaleurs interditesetréduitaumêmedénominateur,résoudreleséquationssuivantesseramenantàunseconddegré.
1. x−1
x=−
56
2.
1x−1
+2
x−2=3
Exercice5.3 (7points) 15min
Équationsbicarrées:aprèsavoirposé X = x2 ,résoudreleséquationssuivantes:
1. x4−7x2 +12=0
2. 4x4−11x2−3=0
6 COMMENTRÉSOUDREUNSYSTÈMESOMME-PRODUIT?
» Méthode
Unsystèmesomme-produitestunsystèmedelaforme:
x+y= Sxy=P
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
Lessolutionsx etydecesystèmesontégalementsolutionsde l’équation
duseconddegré: X2−SX+P=0 .
Quandlediscriminantestpositif,lesystèmeadoncdeuxcouplessolutions.
Exemple:
x+y=29xy=210
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
xetysontsolutionsdel’équationduseconddegré: X2−29X+210=0
Lediscriminantest: Δ=292−4×210=1
Lesracinessontdonc: X1 =
29+12
=15 et X2 =
29−12
=14
L’ensemblesolutiondusystèmeestdonc: S= 15;14( ); 14;15( ){ }
! Encore une fois, faire bien attention aux signes, siS est négatif, le coef-ficientdeXdansl’équationdevientpositif.
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TOP CHRONO C’est l’interro !
TOPCHRONOC’estl’interro!
Exercice6.1 (10points) 20minRésoudrelessystèmessomme-produitsuivants:
1.
x+y=5xy=6
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
2.
x+y=−26xy=165
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
3.
x+y=3135
xy=635
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
Exercice6.2 (10points) 20minEnvousramenantàunsystèmesomme-produit,déterminertouslescouplesde
réels x,y( ) solutionsdessystèmes:
1.
x+y=32x
+2y
=−13
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
2.
x+y=8
x2 +y2 =34
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
7COMMENTFACTORISERUNTRINÔME
DUSECONDDEGRÉ?
» Méthode
Onappelletrinômeduseconddegré,touteexpressiondelaforme:
ax2 +bx+c .
Lesracinesdutrinômesontlessolutionsdel’équation: ax2 +bx+c=0 .
1ercas:si Δ<0 letrinômen’estpasfactorisable.
2ecas:si Δ=0 onaalors ax2 +bx+c=a x+
b2a
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
.
3ecas:si Δ>0 onaalors:
ax2 +bx+c=a x+
b− Δ2a
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟x+
b+ Δ2a
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟=a x−x1( ) x−x2( ) .
Exemple:Factorisationde f x( )=3x2−5x−2
Lediscriminantdutrinômeest Δ=25−4×3× −2( )=25+24= 49=72
Lesracinessont x1 =
5+76
=2 et x2 =
5−76
=−13
Lafactorisationestdonc: f x( )=3 x−2( ) x+
13
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ soit
f x( )= x−2( ) 3x+1( )
! Attentionànepasoublier le«a»devant lesparenthèsesdans lesdeuxdernierscas.
! Commedans l’exemple, on peut «rentrer»a dans une des parenthèsespourfairedisparaîtrelesfractions.
