Repetition Mekanik, grundkurs

Kraft är en vektor och beskrivs med storlek riktning och angreppspunkt

Kraften kan flytta längs sin verkninglinje

x x y y z zF F F= + +F e e e

Addera krafter

Moment i planet

oM Rd Pp Qq= = +

Kraftmoment-Kraftens vridande förmåga

0 = ×M r F

Kraftmoment i 3D

0M = r ×F

0( ) (( ) )λ ⋅ = ⋅M = M n n r ×F n n

Kraftmoment m a p en punkt

Kraftmoment m a p en axel

Kraftpar

I planet

I 3D

Resultant i planet

Resultant i 3D

Positiv kraftskruv negativ kraftskruv

ii

ii

=

=

∑

∑

R F

M M

JÄMVIKT

=

0i

=∑ iF

0ii

=∑M

Friläggning 1. Fatta beslut om vilken eller vilka delar som ska friläggas 2. Rita en figur av den frilagda kroppen. (Kroppen ska vara totalt isolerad från omgivningen) 3.Sätt ut alla yttre krafter som verkar på kroppen inklusive tyngdkraft och alla ev. andra fältkrafter. Gå igenom ytterkonturen och sätt ut krafter och moment i de punkter där kroppen skurits av från omgivningen. 4. Lägg in ett lämpligt koordinatsystem i figuren.

Jämvikt i 3D

I 2D kan man ställa upp högst 3 oberoende jämviktsekvationer

I 3D kan man ställa upp högst 6 oberoende jämviktsekvationer

Fackverk

Tvåkraftsystem

Tryck Drag

Knutpunktsmetoden Steg1 : Frilläg hela systemet och bestäm reaktionskrafterna Steg 2 : Gå systematiskt igenom alla knutpunkret och bestäm krafterna genom att ställa upp kraftekvationer i två riktningar Steg 3: Avgör om det är tryck eller drag i stängerna

knutpunkt A

knutpunkt B knutpunkt C

knutpunkt D knutpunkt E

knutpunkt F

Snittmetoden

Fackverk

Steg1 : Frilläg hela systemet och bestäm reaktionskrafterna Steg 2 : Välj ut ett en av systemet och gör ett snitt. Rita ut alla krafter i stängerna som snittades. Steg 3 : Bestäm krafterna genom att ställa upp kraft- och momentekvationer (högst 3 oberoende ekv.) Steg 3: Avgör om det är tryck eller drag i stängerna

Strukturer

Steg1 : Frilägg hela systemet. Om man har fler än tre obekanta går det inte att räkna ut alla krafter. Steg 2 : Frilägg varje del för sig och bestäm krafterna genom att ställa upp kraft- och momentekvationer.

Masscentrum

Masscentrum Exempel

Papus första regel - rotationsarea

Papus andra regel - rotationsvolym

Friktion

Torr (Coulomb )friktion Remfriktion

2 1 T e Tµβ=

sF Nµ≤

Exempel Frilägg

Partikelkinematik

•Läge (position) •Hastighet

•Medelhastighet

•Fart

•Acceleration

( )tr = r

d( ) ( )dt

t t =rv = r

( ) ( )tmedel

t t tt

∆ + ∆ −= =∆ ∆

r r rv

ddt

v =r= v

d d ds d( ) ( )dt ds dt ds

t t v= = = =v v va r

Kartesiska koordinater y zx y z+ +xr = e e e

y zx y z= + +xv r = e e e y zx y z= + +xa r = e e e

Kastparabel

0

0

0coscos

vv t

ββ

===

xxx

0

20

sin1 sin 2

ggt v

gt v t

β

β

= −= − +

= − +

yy

y

Bankurvan: eliminera t Kastvidd Stighöjd

2

0

0 0

20

220 0

sin 1( )2 cos cos

0 sin 2

0 sin sin2

vxy y x g xv v

vy xg

v vy t yg g

ββ β

β

β β

⇒ = = − +

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

( , , )x y ze e e

Naturliga koordinater Normal riktningen pekar mot Krökningskurvans centrum

Tangetial riktningen är tangenten till kurvans i rörelseriktningen

ts=v r = e 2

t nssρ

= +a r = e e

cirkelrörelse

s rθ=

s rθ=

s rθ=

t ts rθ=v = e e

2 2( )t n t n

s rs rr

+ = +a = e e e e θθ

ρ

( , , )t n be e e

Cylinderkoordinater

r zr r zθθ= + +v e e e

2( ) ( 2 )r zr r r r zθθ θ θ= − + + +a e e e

Cirkelrörelse med konstant fart

( , , )r ze e eθ

2

rvr

= −a e

Relativ rörelse

/A A A B= +r r r

/ / A B A B A B REL= + =v v v v v

/ / A B A B A B REL= + =a a a a a

Kraftekvationen m=F aKartesiska koordinater

Naturliga koordinater

Cylinder koordinater

x

y

z

F mxF myF mz

==

=

2

0

n n

t t

b

vF ma m

F ma mrF

ρθ

= =

= ==

2( )

( 2 )r r

z

F ma m r r

F ma m r rF mzθ θ

θ

θ θ

= = −

= = +=

Arbete och Energilagar

dU F dr= ⋅

t tdv dv ds dsF ma m m mvdt ds dt dt

= = = =

2 22 22 1

1 1

1 12 2

s s

ts s

F ds mvdv mv mv= = −∫ ∫

1 2 2 1U T T− = −

T - kinetisk energi

Tyngdkraftens arbete

22

1 21 1

( ) ( )y

x yy

U F dx F dy mgdy mg y y= + = − = −∫ ∫

Fjäderkraftens arbete

2 22 21 2

1 1

1 ( )2

x x

xx x

U F dx kxdx k x x= = − = −∫ ∫

Konservativa krafter - arbetet är oberoende av bankurvan och motsvaras av en potentialfunktion V

Tyngdkraftens potentialfunktion

Fjäderkraftens potentialfunktion

0

y

V mgdy mgy= − − =∫

2

0

12

x

V kxdx kx= − − =∫

V Fdr= −∫

0 0T V T V+ = +Mekaniska energilagen

Effekt dU dPdt dt

= = ⋅ = ⋅ = ⋅rF F r F v

Enhet: 1Watt =1Nm/s 1hp=745.6 Watt

Impulsekvationen Impuls-kraftens verkan under en viss tid

Newton andra lag ger: ( )d d dm m m mdt dt dt

= = ⋅ = ⋅ = = =v pF a v v p

2

1 0

0( ) ( )t

t

dt d t t= = −∫ ∫p

p

F p p p

Om inga yttre krafter verkar på systemet, dvs F=0 bevaras systemets rörelsemängd 0( ) ( )t t=p p

2

1

0( ) ( )t

t

t dt t+ =∫p F peller

m/s

m/s

0.05 0.5

t sm kg∆ ==

Exempel:

Bestäm kraften R som påverkar Bollen om slaget varar i 0.05 s

Impulsekvationen i x- och y-led

Sned central stöt Rörelsemängden för hela systemet bevaras i n-led

Rörelsemängden för vardera kroppen bevaras i t-led

1.

2.

3.

Studstalet e är definierad i n-led

4.

Rörelsemämngdsmoment 0 m= ×H r v

0 0parallela vektorerm m m

== × + × = ×H r v r v r v

Differentiera med avseende på tiden t:

Insättning av Newtons andra lag ger:

0 0m m= × = × = × =H r v r a r F M

00 0

ddt

= =HM H

Momentekvationen

0

0 0 0 0( ) ( )t

t

dt t t= −∫M H HIntegrering ger impulsmomentekvationen:

Rörelsemängdsmomentet bevaras om Inget impulsmoment verkar på systemet:

0 0 0( ) ( )t t=H H

Exempel: Bestäm bollens rörelsemängdsmoment kring O på fem olika sätt:

1. 0 m= ×H r v

4 3x y= +r e e

( 7cos30 7sin 30 )x y= − +v e e

20 ( ) 64.4 kg m/szm= × =H r v e

2. 0H mvd=

20 2 7 4.6 64.4 kg m/sH mvd= = ⋅ ⋅ =

moturs

0 3 4 12.12 3 7 4x yH mv mv= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

20 64.4 kg m/sH =

moturs

3.

4. 0 7 9.2y xH mv d= = ⋅

20 64.4 kg m/sH =

moturs

0 12.12 5.31x yH mv d= = ⋅

20 64.4 kg m/sH =

5.

moturs