R-ev euclidien orienté de dimension 2
Click here to load reader
-
Upload
achraf-ourti -
Category
Education
-
view
101 -
download
2
description
Transcript of R-ev euclidien orienté de dimension 2
���������� �������������������������������
������� ��������
������������������ ������������������������������������������!
"#��������
� ����������������������������������$��!
� �� ���� $�� ���� �� ���������� �������� ����� �� �� ��������� ����������� ��������
��������� �%����&����� ����� ���� ��$����� �� ���� ��������� ' ( � ��� ��� ���� �����������
�������!
����� ���� ���� += %%% ���� += ��� ���� =+= �� '% �(%%% �������� =+=⋅
������������� ��������������
����������)�������������
*� ' ( ����
=� ������������� ���������������$������ +� =+ ��� �����!
,� ������� ��
�� ����������� ' ( �− ���� � ������ ( '(-��� ��
= ' �� ��
��
����������� ' ( � ��������������&!( '(-��� ��=⊥ '
���� � ∈� ������ '( ��
�����.��������������� �
���!
��
��
�
'( ��
����� ��
� �
��
����
�'(
⋅−= �
� � � �
����� ⋅
=−= '(' (
��������������������$������ +� =+ ��� ������������������������������
�� ���
����
�
+
+
�
� �
����� �������
++' (
�
��� �
+
+=�
����������� ������������������������������������
����������� ��/��������
*����� � ��
���#������������������!
��������#����������θ ���$��& π� ���� ���$���
%!������
�
� ��
�
�
�
θθ += �0 % �
������������������� ���$�� ��
�
�
��
�
�%
��
�
���� �������
���������������������!
1���������$��θ ���������������2������������ '3 ( � ��
!1����� [ ]πθ �'3 ( =� ��
!
���� ������� ������������ ����� �������
���� �����
touscours.net
���������� �������������������������������������� ���������
����$���
,2������������ '3 ( � ��
��/= �2��������������������
��
�
��
��
+=∈= %!������
�
� ��
�
�
�
θθθ �
�������/������������������������������������������ '3 ( � ��∈θ !
�����������������������������
�
�
��� �� ����� ! 4� �#���� ���� �� ���$�� % �
��� $�� ��
�
�
��
�
�%
��
�
���� ��� ����
������������������!
% �
�
��
�
�
�
��
�
�
��
�
����������5���� ���
����
�
βα
����������������������������� ��
�
�
��
�
�= %
��
�
� !
����� �� =+ βα
"� �������� �∈θ ��
==
⇔+=βθαθ
θθ���
���%!������
�
� ��
�
�
�
�����������
[ ] [ ] [ ]
[ ]ππ
ππππ
��
%
�'3 ('3 (5�'3 (5�+'3 (
+≡���
�
��
�
�
−≡≡−≡
� �
��
�
��������
�
� ��
�� ⋅=θ��� (���
�
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅+⋅=⋅ %!������ θθ '
�
� ��
��' ���(
��� =θ
"��//���
1������ ��
�
�
��
�
�= %
��
�
� ����������������������!������
��
�
�
��
�
�+=��
�
�
��
�
�%!������ ��� ���
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
θθ��
*���� ( )( ) ��� ���� ��
��
�
�� ��� ��
�
�
�
�
�����
����
��
θθ
θθ
���������+
���
% ������ ������ ���
===
=��
�
�
��
�
�+���
�
��
�
�=
�
���
�
�
� �
����� �����/������������$���
==�����
����
�������
���' ���( θ� � ������������������������������������#���#��������!
��
�
touscours.net
���������� �������������������������������
������� ����6����
������������ �!���������'"����
*��� ���∈ � ���
����
�
��
� ����
��
=+=+=+
'�������(
#'����������(+���� ���
���
'+
+(����$�� ++ ��
�
����
�≠��
�
����
����
����
�=��
�
����
�−∈∃⇔=
−⇔=+
�
�
�
�
��
���� λλ �
������
=−=��
��
λλ
�� ������ '( λλ =+=+ ��� !���� ±=λ
���� ���
����
� −=
�
�� �����������������)������������� ��� ( ��� =� '
1� ���
����
�
−=
�
�� �����������������)������������� �� 7 ��� ( ��� −=� '
(��������������#��� �� =+ � '
�����������
,������������ ��� ������� ���
����
� −�
� ���� �∈� �� �� =+ � !
,������������ �� 7 ��� ������� ���
����
�
− �
� ���� �∈� �� �� =+ � !
8'"��������(�'�����!
,�� �������� �� ��� ���� �#�������� ��� �������� �� �)�� ���
����
� −θθθθ
������
������
�∈θ (����������2���������������'!
1�� �������� �∈% θθ �
���
����
�
+++−+
=���
����
� −×���
����
� −'%���('%���(
'%���('%���(
%���%���
%���%���
������
������
θθθθθθθθ
θθθθ
θθθθ
!
������
��� ��� �2�������� ��� ���
����
� −θθθθ
������
������ �∈θ �� ' ( � ×�� ��� �� ������
���������/!
9�����������/��������
*��� '(���� ∈ !��������#����������θ ���$��& π� ���� ���$�������������
� ���� ����� ���� ����������� ������� ���� ���
����
� −θθθθ
������
������! 1� ��� ����� $�� � ��� ��
��������(�����������'�2�����θ !
��������������
*����������������������������� ���� ' (��� ��� = !
touscours.net
���������� �������������������������������
������� ����:����
����� '(���� ∈ ������$�2����� ����∈ !4��#�������� �∈θ ���$��& π�
���� ��� $�� ���
����
� −=
θθθθ
������
������� ! *��� �2 ��� ����� ���� ����������� �������! *���
����� � �� ������� �� ������� �� � & �2! ����� ����� ����∈ (�� ��� ���
���������/'� �������� === −− '% (��� � !
���� �∈θ ������ θρ �����������2�����θ !
������������
,2�����������
θρθ�'(���→� ��� �� ��������� ���.����/ �� ������ ' ( +� ����
'' (( ���� ����������)����� �π�
"��//���
�4�+ =• ρ
%% % θθθθ ρρρθθ �=∈∀• +� (���������������������������������'!
• *��.�����������������������������������
• ;�)��� �πθθθθθ
ρθ �+
+
������
������4� ∈⇔��
�
����
�=��
�
����
� −⇔= �
����������������
�4�5'( −==• −−
πθθ ρρρ
• "�������������#�������� � ��
��������� �∈θ ����2�$����������
[ ]��
≡=
⇔=πθ
ρθ�'3 (
'(�
� � ��
����
"��//���
� *� � �� ='(θρ ����� �
�� = ��� θρ ����������������������������!
;����� % �
������������$�� ��
�
�
��
�
�%
��
�
�����������������������������!
���������������� θρ ���������������� ���
����
� −θθθθ
������
������!
����� %!������
��
�
�
�
θθρθ +=���
�
��
�
�!
���� %!������
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
θθρθ +=���
�
��
�
�= !���� [ ]πθ �'3 ( ≡�
��
� 4���������� �� � �� = �� [ ]πθ �'3 ( ≡�
�� ������
%!������
�
� ��
�
�
�
θθ += �0 % �
��� ��� $�� ��
�
�
��
�
�%
��
�
���� ��� ���� �����������
�������! ���� ��
�
�
��
�
�=
�
��
�
�
�
θρ (���
������� �� �� ������� �� θρ ���� ��
�
�
��
�
�%
��
�
�����������'
���� ( ) �
� ���
�
θρ= ���� � �� ='(θρ !
touscours.net
���������� �������������������������������
������� ����<����
�'"�������(�'7��(�'����7���!
• *��� '(7'( ������ ∈ ' (��� ��� = �0��������������������������!
����� �� 7 ����∈ !
���� ���
����
�
−=
�
�� �0 �� =+ � !
1������$����.&$�� ��� = !
1� ���∈ ���� ����� = ! ���� �
� �� = ���� �� 4�� = ! ����� � ��� ���
�)�����������������!
=��� '(��� ∈ ������������)�����������������(��� ����� =∈∀ '( ' ��
������)�������������������&����������
,��)����������������&�����2�������� �����������������& { }+ ��� �4�− ��
������#���������������� '(��� (������������'!
����� ���������/��#���!
• 4���������� �����/��#������������������������� '(7'( ����� !
����������� '(7'( ����� ����2�������������/��#����!
��������������������2��� ��/��#��������������������������������������
�����������!
,���������2�����/��#�������������� ���
����
�
−+
+�����������������������
��������������������������!
�' ����� ��������������/���������������������(�'����$������>�
������������2������
�������������
;����� =������
+
�������
�2�����θ ���
���(������
π� '
���
����
� −θθθθ
������
������������������������������
�������
� �4� (��������
�2��������' ���
����
�
+
+�������������
�/��#�����
������
���
����
�
−+
+�����������������������������!
���)�� ���
����
�
− �
�������������������������
�������!
����$���
,���������� θρ ���������������������������������� ���
����
�
−−−−−
'���('���(
'���('���(
θθθθ
(��� ����� ������������ ���������� �2��� ����������� ���� ��� ����� ������������
�����������2����������������'
touscours.net
���������� �������������������������������
������� ���������
"'�������������/��#����
9��������
9��� ������� �� '(��� ��� ������� �� ���# ��/��#���� �2��� ������� ?���
�������$������$��!
��������������
*��� '(���∈ρ '(7'( ������∈
����� '(���∈�ρ �� '���('���('���( −=×= �� ρρ � !
���� '(7'( ������∈�ρ !���� ��ρ ��������/��#��� %� !
���� ������ ����� %'('( === ρρρ
���?�� %%�� =ρ� �0 '(7'(%% ������ ∈ !���� %%�� �=ρ
�����������,����/��#�������������� '(��
�"�������������#��������$��������� ������
• ����������������� { }+7 ��� ∈���
[ ]π�'3 ('3 ('3 ( ��� � ������ +≡
��������������
�����$�������/���$�� %% θθθθ ρρρ �=+ !
• �����������������#�������������!
�
% �
*����� 2 ���# ������� �� �������� ���������� %
��! ����� '%3 (
�� ������ π ��
���������������#�� �
�� % �
!1������������ '%3 (
(*� [ ]πλλ �'%3 ('%3 ( + ���� ≡> �� [ ]ππ �'%3 ('%3 (
���� +≡− '
• =α ������������ '%3 ( �
α �
'( ��
''((% ��
�
����� �������� � %� �����/��#������������� % ��� αρ�% = �� � !
touscours.net