R-ev euclidien orienté de dimension 2

6

Click here to load reader

description

www.touscours.net, Groupes,Permutations,Anneaux,Arithmétique dans Z,Corps commutatif,Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K,Fonctions polynomiales,racines,Espaces vectoriels,K-algèbres,Espaces vectoriels de type fini,Matrices,Déterminants,Fractions rationnelles,Produit scalaire sur un R-ev,Espace vectoriel euclidien,R-ev euclidien orienté de dimension 2,R-ev euclidien orienté de dimension 3,Espaces affines,Géométrie dans un espace affine euclidien

Transcript of R-ev euclidien orienté de dimension 2

Page 1: R-ev euclidien orienté de dimension 2

���������� �������������������������������

������� ��������

������������������ ������������������������������������������!

"#��������

� ����������������������������������$��!

� �� ���� $�� ���� �� ���������� �������� ����� �� �� ��������� ����������� ��������

��������� �%����&����� ����� ���� ��$����� �� ���� ��������� ' ( � ��� ��� ���� �����������

�������!

����� ���� ���� += %%% ���� += ��� ���� =+= �� '% �(%%% �������� =+=⋅

������������� ��������������

����������)�������������

*� ' ( ����

=� ������������� ���������������$������ +� =+ ��� �����!

,� ������� ��

�� ����������� ' ( �− ���� � ������ ( '(-��� ��

= ' �� ��

��

����������� ' ( � ��������������&!( '(-��� ��=⊥ '

���� � ∈� ������ '( ��

�����.��������������� �

���!

��

��

'( ��

����� ��

� �

��

����

�'(

⋅−= �

� � � �

����� ⋅

=−= '(' (

��������������������$������ +� =+ ��� ������������������������������

�� ���

����

+

+

� �

����� �������

++' (

��� �

+

+=�

����������� ������������������������������������

����������� ��/��������

*����� � ��

���#������������������!

��������#����������θ ���$��& π� ���� ���$���

%!������

� ��

θθ += �0 % �

������������������� ���$�� ��

��

�%

��

���� �������

���������������������!

1���������$��θ ���������������2������������ '3 ( � ��

!1����� [ ]πθ �'3 ( =� ��

!

���� ������� ������������ ����� �������

���� �����

touscours.net

Page 2: R-ev euclidien orienté de dimension 2

���������� �������������������������������������� ���������

����$���

,2������������ '3 ( � ��

��/= �2��������������������

��

��

��

+=∈= %!������

� ��

θθθ �

�������/������������������������������������������ '3 ( � ��∈θ !

�����������������������������

��� �� ����� ! 4� �#���� ���� �� ���$�� % �

��� $�� ��

��

�%

��

���� ��� ����

������������������!

% �

��

��

��

����������5���� ���

����

βα

����������������������������� ��

��

�= %

��

� !

����� �� =+ βα

"� �������� �∈θ ��

==

⇔+=βθαθ

θθ���

���%!������

� ��

�����������

[ ] [ ] [ ]

[ ]ππ

ππππ

��

%

�'3 ('3 (5�'3 (5�+'3 (

+≡���

��

−≡≡−≡

� �

��

��������

� ��

�� ⋅=θ��� (���

��

��

⋅+⋅=⋅ %!������ θθ '

� ��

��' ���(

��� =θ

"��//���

1������ ��

��

�= %

��

� ����������������������!������

��

��

�+=��

��

�%!������ ��� ���

��

θθ��

*���� ( )( ) ��� ���� ��

��

�� ��� ��

�����

����

��

θθ

θθ

���������+

���

% ������ ������ ���

===

=��

��

�+���

��

�=

���

� �

����� �����/������������$���

==�����

����

�������

���' ���( θ� � ������������������������������������#���#��������!

��

touscours.net

Page 3: R-ev euclidien orienté de dimension 2

���������� �������������������������������

������� ����6����

������������ �!���������'"����

*��� ���∈ � ���

����

��

� ����

��

=+=+=+

'�������(

#'����������(+���� ���

���

'+

+(����$�� ++ ��

����

�≠��

����

����

����

�=��

����

�−∈∃⇔=

−⇔=+

��

���� λλ �

������

=−=��

��

λλ

�� ������ '( λλ =+=+ ��� !���� ±=λ

���� ���

����

� −=

�� �����������������)������������� ��� ( ��� =� '

1� ���

����

−=

�� �����������������)������������� �� 7 ��� ( ��� −=� '

(��������������#��� �� =+ � '

�����������

,������������ ��� ������� ���

����

� −�

� ���� �∈� �� �� =+ � !

,������������ �� 7 ��� ������� ���

����

− �

� ���� �∈� �� �� =+ � !

8'"��������(�'�����!

,�� �������� �� ��� ���� �#�������� ��� �������� �� �)�� ���

����

� −θθθθ

������

������

�∈θ (����������2���������������'!

1�� �������� �∈% θθ �

���

����

+++−+

=���

����

� −×���

����

� −'%���('%���(

'%���('%���(

%���%���

%���%���

������

������

θθθθθθθθ

θθθθ

θθθθ

!

������

��� ��� �2�������� ��� ���

����

� −θθθθ

������

������ �∈θ �� ' ( � ×�� ��� �� ������

���������/!

9�����������/��������

*��� '(���� ∈ !��������#����������θ ���$��& π� ���� ���$�������������

� ���� ����� ���� ����������� ������� ���� ���

����

� −θθθθ

������

������! 1� ��� ����� $�� � ��� ��

��������(�����������'�2�����θ !

��������������

*����������������������������� ���� ' (��� ��� = !

touscours.net

Page 4: R-ev euclidien orienté de dimension 2

���������� �������������������������������

������� ����:����

����� '(���� ∈ ������$�2����� ����∈ !4��#�������� �∈θ ���$��& π�

���� ��� $�� ���

����

� −=

θθθθ

������

������� ! *��� �2 ��� ����� ���� ����������� �������! *���

����� � �� ������� �� ������� �� � & �2! ����� ����� ����∈ (�� ��� ���

���������/'� �������� === −− '% (��� � !

���� �∈θ ������ θρ �����������2�����θ !

������������

,2�����������

θρθ�'(���→� ��� �� ��������� ���.����/ �� ������ ' ( +� ����

'' (( ���� ����������)����� �π�

"��//���

�4�+ =• ρ

%% % θθθθ ρρρθθ �=∈∀• +� (���������������������������������'!

• *��.�����������������������������������

• ;�)��� �πθθθθθ

ρθ �+

+

������

������4� ∈⇔��

����

�=��

����

� −⇔= �

����������������

�4�5'( −==• −−

πθθ ρρρ

• "�������������#�������� � ��

��������� �∈θ ����2�$����������

[ ]��

≡=

⇔=πθ

ρθ�'3 (

'(�

� � ��

����

"��//���

� *� � �� ='(θρ ����� �

�� = ��� θρ ����������������������������!

;����� % �

������������$�� ��

��

�%

��

�����������������������������!

���������������� θρ ���������������� ���

����

� −θθθθ

������

������!

����� %!������

��

θθρθ +=���

��

�!

���� %!������

� ��

θθρθ +=���

��

�= !���� [ ]πθ �'3 ( ≡�

��

� 4���������� �� � �� = �� [ ]πθ �'3 ( ≡�

�� ������

%!������

� ��

θθ += �0 % �

��� ��� $�� ��

��

�%

��

���� ��� ���� �����������

�������! ���� ��

��

�=

��

θρ (���

������� �� �� ������� �� θρ ���� ��

��

�%

��

�����������'

���� ( ) �

� ���

θρ= ���� � �� ='(θρ !

touscours.net

Page 5: R-ev euclidien orienté de dimension 2

���������� �������������������������������

������� ����<����

�'"�������(�'7��(�'����7���!

• *��� '(7'( ������ ∈ ' (��� ��� = �0��������������������������!

����� �� 7 ����∈ !

���� ���

����

−=

�� �0 �� =+ � !

1������$����.&$�� ��� = !

1� ���∈ ���� ����� = ! ���� �

� �� = ���� �� 4�� = ! ����� � ��� ���

�)�����������������!

=��� '(��� ∈ ������������)�����������������(��� ����� =∈∀ '( ' ��

������)�������������������&����������

,��)����������������&�����2�������� �����������������& { }+ ��� �4�− ��

������#���������������� '(��� (������������'!

����� ���������/��#���!

• 4���������� �����/��#������������������������� '(7'( ����� !

����������� '(7'( ����� ����2�������������/��#����!

��������������������2��� ��/��#��������������������������������������

�����������!

,���������2�����/��#�������������� ���

����

−+

+�����������������������

��������������������������!

�' ����� ��������������/���������������������(�'����$������>�

������������2������

�������������

;����� =������

+

�������

�2�����θ ���

���(������

π� '

���

����

� −θθθθ

������

������������������������������

�������

� �4� (��������

�2��������' ���

����

+

+�������������

�/��#�����

������

���

����

−+

+�����������������������������!

���)�� ���

����

− �

�������������������������

�������!

����$���

,���������� θρ ���������������������������������� ���

����

−−−−−

'���('���(

'���('���(

θθθθ

(��� ����� ������������ ���������� �2��� ����������� ���� ��� ����� ������������

�����������2����������������'

touscours.net

Page 6: R-ev euclidien orienté de dimension 2

���������� �������������������������������

������� ���������

"'�������������/��#����

9��������

9��� ������� �� '(��� ��� ������� �� ���# ��/��#���� �2��� ������� ?���

�������$������$��!

��������������

*��� '(���∈ρ '(7'( ������∈

����� '(���∈�ρ �� '���('���('���( −=×= �� ρρ � !

���� '(7'( ������∈�ρ !���� ��ρ ��������/��#��� %� !

���� ������ ����� %'('( === ρρρ

���?�� %%�� =ρ� �0 '(7'(%% ������ ∈ !���� %%�� �=ρ

�����������,����/��#�������������� '(��

�"�������������#��������$��������� ������

• ����������������� { }+7 ��� ∈���

[ ]π�'3 ('3 ('3 ( ��� � ������ +≡

��������������

�����$�������/���$�� %% θθθθ ρρρ �=+ !

• �����������������#�������������!

% �

*����� 2 ���# ������� �� �������� ���������� %

��! ����� '%3 (

�� ������ π ��

���������������#�� �

�� % �

!1������������ '%3 (

(*� [ ]πλλ �'%3 ('%3 ( + ���� ≡> �� [ ]ππ �'%3 ('%3 (

���� +≡− '

• =α ������������ '%3 ( �

α �

'( ��

''((% ��

����� �������� � %� �����/��#������������� % ��� αρ�% = �� � !

touscours.net