Quasi Monte-Carlo Methoden - uni-muenster.delemm/seminarSS08/horstman… · Einleitung / Motivation...

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  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Quasi Monte-Carlo Methoden

    Marcel Horstmann

    26.06.2008

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Einleitung / MotivationBeispiel: Bestimmung von

    mit der Monte-Carlo Methodemit der Quasi Monte-Carlo Methode

    Fehlerabschtzung fr QMC-IntegrationMa fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Quasi-Zufallsgeneratorenintuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    Bestimmung von mit Monte-Carlo

    Ermittlung von ber dasVerhltnis von Kreisflche Ak zuQuadratflche AQ AQ = r2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.20.40.60.8 1

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    Bestimmung von mit Monte-Carlo

    Ermittlung von ber dasVerhltnis von Kreisflche Ak zuQuadratflche AQ AQ = r2

    Viertelkreis: Ak = 14r2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.20.40.60.8 1

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    Bestimmung von mit Monte-Carlo

    Ermittlung von ber dasVerhltnis von Kreisflche Ak zuQuadratflche AQ AQ = r2

    Viertelkreis: Ak = 14r2

    = 4 AkAQ = 4 AnzahlTrefferAnzahlWuerfe

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.20.40.60.8 1

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    Bestimmung von mit Monte-Carlo

    Ermittlung von ber dasVerhltnis von Kreisflche Ak zuQuadratflche AQ AQ = r2

    Viertelkreis: Ak = 14r2

    = 4 AkAQ = 4 AnzahlTrefferAnzahlWuerfe

    nebenstehendes Beispiel:8 Wrfe, 7 Treffer

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.20.40.60.8 1

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    Bestimmung von mit Monte-Carlo

    Ermittlung von ber dasVerhltnis von Kreisflche Ak zuQuadratflche AQ AQ = r2

    Viertelkreis: Ak = 14r2

    = 4 AkAQ = 4 AnzahlTrefferAnzahlWuerfe

    nebenstehendes Beispiel:8 Wrfe, 7 Treffer

    = 4 78 = 3, 5 00.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.20.40.60.8 1

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 2 = 0

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 4 = 2

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 8 = 2

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 16 = 2.75

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 32 = 3

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 64 = 2.75

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 128 = 3.062

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 256 = 3.031

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

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    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 512 = 3.055

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 1024 = 3.086

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 2048 = 3.158

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 4096 = 3.126

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 8192 = 3.121

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0.0001

    0.001

    0.01

    0.1

    1

    1 10 100 1000100001000001e+061e+071e+08

    rela

    tive

    Gen

    auig

    keit

    Anzahl Punkte N

    MC1n

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  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    Monte-Carlo Methoden

    f d V 1N

    N1

    i=0

    f(xi) V

    Var(f)N

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    Monte-Carlo Methoden

    f d V 1N

    N1

    i=0

    f(xi) V

    Var(f)N

    1N

    - Konvergenz bedeutet:

    eine Grenordnung mehr Genauigkeit-> zwei Grenordnungen mehr Rechenaufwand!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

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    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    Monte-Carlo Methoden

    f d V 1N

    N1

    i=0

    f(xi) V

    Var(f)N

    1N

    - Konvergenz bedeutet:

    eine Grenordnung mehr Genauigkeit-> zwei Grenordnungen mehr Rechenaufwand!

    Das dieser Wurzelterm so vertraut ist bedeutet aber nicht,das es nicht auch besser geht!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

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    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    Monte-Carlo Methoden

    f d V 1N

    N1

    i=0

    f(xi) V

    Var(f)N

    1N

    - Konvergenz bedeutet:

    eine Grenordnung mehr Genauigkeit-> zwei Grenordnungen mehr Rechenaufwand!

    Das dieser Wurzelterm so vertraut ist bedeutet aber nicht,das es nicht auch besser geht!

    Eine bessere Konvergenz lsst sich durch gleichmigerePunktwahl erreichen

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

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    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    Monte-Carlo Methoden

    f d V 1N

    N1

    i=0

    f(xi) V

    Var(f)N

    1N

    - Konvergenz bedeutet:

    eine Grenordnung mehr Genauigkeit-> zwei Grenordnungen mehr Rechenaufwand!

    Das dieser Wurzelterm so vertraut ist bedeutet aber nicht,das es nicht auch besser geht!

    Eine bessere Konvergenz lsst sich durch gleichmigerePunktwahl erreichen

    Quasi Monte-Carlo Methoden!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 2 = 4

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

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    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 4 = 4

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 8 = 3.5

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 16 = 3.25

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 32 = 3.125

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 64 = 3.125

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 128 = 3.188

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 256 = 3.188

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 512 = 3.164

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 1024 = 3.16

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 2048 = 3.146

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 4096 = 3.146

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 8192 = 3.144

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 8192 = 3.121

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • 1e-06

    1e-05

    0.0001

    0.001

    0.01

    0.1

    1

    1 10 100 1000 100001000001e+061e+07

    rela

    tive

    Gen

    auig

    keit

    Anzahl Punkte N

    MC1N

    QMCN0.73

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Wie gro ist der Fehler bei QMC-Integration?

    [0,1)df(x)dx 1

    n

    n

    i=1

    f(xi) (1)

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Wie gro ist der Fehler bei QMC-Integration?

    [0,1)df(x)dx 1

    n

    n

    i=1

    f(xi) (1)

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Wie gro ist der Fehler bei QMC-Integration?

    [0,1)df(x)dx 1

    n

    n

    i=1

    f(xi) (1)

    Fehler hngt offensichtlich von Anzahl der Punkte undderen Gleichmigkeit ab

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Wie gro ist der Fehler bei QMC-Integration?

    [0,1)df(x)dx 1

    n

    n

    i=1

    f(xi) (1)

    Fehler hngt offensichtlich von Anzahl der Punkte undderen Gleichmigkeit ab

    Um konkretere Aussagen machen zu knnen bentigenwir zunchst ein Ma fr diese Gleichmigkeit

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Wie gro ist der Fehler bei QMC-Integration?

    [0,1)df(x)dx 1

    n

    n

    i=1

    f(xi) (1)

    Fehler hngt offensichtlich von Anzahl der Punkte undderen Gleichmigkeit ab

    Um konkretere Aussagen machen zu knnen bentigenwir zunchst ein Ma fr diese Gleichmigkeit

    Die Diskrepanz!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Definition der Diskrepanz

    Diskrepanz D: Abweichung der Punkte x1 xn von idealerGleichfrmigkeit auf dem Intervall B: [0, 1)d

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Definition der Diskrepanz

    Diskrepanz D: Abweichung der Punkte x1 xn von idealerGleichfrmigkeit auf dem Intervall B: [0, 1)d

    D(x1, , xn; B) = supAB

    #{xi A }n

    V(A)

    (2)

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Definition der Diskrepanz

    Diskrepanz D: Abweichung der Punkte x1 xn von idealerGleichfrmigkeit auf dem Intervall B: [0, 1)d

    D(x1, , xn; B) = supAB

    #{xi A }n

    V(A)

    (2)

    Dabei stellt A eine Teilmenge von B der Form:

    dj=1[uj , vj), 0 uj < vj 1

    dar.

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    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Beispiel: LCG und Sobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 2048 = 3.141

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 2048 = 3.146

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz eindimensionaler Folgen

    Fr alle geeigneten Folgen xi muss die Diskrepanz D frn verschwinden!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz eindimensionaler Folgen

    Fr alle geeigneten Folgen xi muss die Diskrepanz D frn verschwinden!

    Fr endliche n:

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz eindimensionaler Folgen

    Fr alle geeigneten Folgen xi muss die Diskrepanz D frn verschwinden!

    Fr endliche n: in einer Dimension: D(x1, , xn) 1n

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz eindimensionaler Folgen

    Fr alle geeigneten Folgen xi muss die Diskrepanz D frn verschwinden!

    Fr endliche n: in einer Dimension: D(x1, , xn) 1n

    Minimum wird durch: xi = 2i1n , i = 1, ...., n realisiert.Problem hier: alle xi werden durch Wahl von n festgelegtund unterscheiden sich smtlich von der Folge zu n + 1 -die Genauigkeit der Integration lsst sich also nicht beliebigsteigern!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz eindimensionaler Folgen

    In der Praxis relevanter:

    Durch einen Generator wird eine unendliche Folgex1, x2, festgelegt

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz eindimensionaler Folgen

    In der Praxis relevanter:

    Durch einen Generator wird eine unendliche Folgex1, x2, festgelegt

    Uns interessiert nun die Diskrepanz der n ersten Elementedieser Folge!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz eindimensionaler Folgen

    In der Praxis relevanter:

    Durch einen Generator wird eine unendliche Folgex1, x2, festgelegt

    Uns interessiert nun die Diskrepanz der n ersten Elementedieser Folge!

    Fr diese existiert eine untere Schranke:

    D(xi , ...., xn) c logn

    n, c = const

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen

    Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen

    Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen! wesentlich weniger gesicherte Erkenntisse vorhanden

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen

    Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen! wesentlich weniger gesicherte Erkenntisse vorhanden weit verbreitete Annahme: Die ersten n Elemente einer

    Folge xi , ..., xn in Dimensionen d 2 besitzen eineDiskrepanz von

    D(x1, ..., xn) cd(logn)d

    n.

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen

    Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen! wesentlich weniger gesicherte Erkenntisse vorhanden weit verbreitete Annahme: Die ersten n Elemente einer

    Folge xi , ..., xn in Dimensionen d 2 besitzen eineDiskrepanz von

    D(x1, ..., xn) cd(logn)d

    n.

    Folgen die dies erreichen werden hufig alslow-discrepancy sequences bezeichnet

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Dimensionsabhngigkeit

    Obwohl 1n schneller fllt wie jede Potenz von log n: fr groe Dimensionen wird (log n)d schnell sehr gro

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Dimensionsabhngigkeit

    Obwohl 1n schneller fllt wie jede Potenz von log n: fr groe Dimensionen wird (log n)d schnell sehr gro QMC-Methoden sind daher fr sehr hochdimensionale

    Probleme tendenziell weniger geeignet

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Dimensionsabhngigkeit

    Obwohl 1n schneller fllt wie jede Potenz von log n: fr groe Dimensionen wird (log n)d schnell sehr gro QMC-Methoden sind daher fr sehr hochdimensionale

    Probleme tendenziell weniger geeignet allerdings zeigen viele Untersuchungen, das auch

    hochdimensionale finanzmathematische Probleme mitQMC effizienter wie mit MC zu lsen sind

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    bersicht

    Einleitung / MotivationBeispiel: Bestimmung von

    mit der Monte-Carlo Methodemit der Quasi Monte-Carlo Methode

    Fehlerabschtzung fr QMC-IntegrationMa fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Quasi-Zufallsgeneratorenintuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • 1e-06

    1e-05

    0.0001

    0.001

    0.01

    0.1

    1

    1 10 100 1000 100001000001e+061e+07

    rela

    tive

    Gen

    auig

    keit

    Anzahl Punkte N

    MC1N

    QMCN0.73

  • 3.14

    3.142

    3.144

    3.146

    3.148

    3.15

    3.152

    3.154

    3.156

    3.158

    1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

    n

    Bestimmung von mit QMC - wo abbrechen?

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Fehlerschranke

    [0,1)df(x)dx 1

    n

    n

    i=1

    f(xi)

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Fehlerschranke

    Koksma-Hlawka Ungleichung

    [0,1)df(x)dx 1

    n

    n

    i=1

    f(xi)

    V(f) D(x1, ..., xn)

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Fehlerschranke

    Koksma-Hlawka Ungleichung

    [0,1)df(x)dx 1

    n

    n

    i=1

    f(xi)

    V(f) D(x1, ..., xn)

    V(f) hngt nur von f ab

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Fehlerschranke

    Koksma-Hlawka Ungleichung

    [0,1)df(x)dx 1

    n

    n

    i=1

    f(xi)

    V(f) D(x1, ..., xn)

    V(f) hngt nur von f ab Diskrepanz D hngt nur vom verwendeten Generator ab

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Fehlerschranke

    Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschtzungleider relativ wertlos V(f) ist kaum bestimmbar

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Fehlerschranke

    Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschtzungleider relativ wertlos V(f) ist kaum bestimmbar vor allem meistens schwerer bestimmbar wie das

    eigentliche Integral!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Fehlerschranke

    Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschtzungleider relativ wertlos V(f) ist kaum bestimmbar vor allem meistens schwerer bestimmbar wie das

    eigentliche Integral! auch die Diskrepanz D ist im allgemeinen nicht bekannt

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Fehlerschranke

    Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschtzungleider relativ wertlos V(f) ist kaum bestimmbar vor allem meistens schwerer bestimmbar wie das

    eigentliche Integral! auch die Diskrepanz D ist im allgemeinen nicht bekannt Erheblicher Nachteil der Quasi-Monte-Carlo Methode

    gegenber MC!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    Ma fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Fehlerschranke

    Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschtzungleider relativ wertlos V(f) ist kaum bestimmbar vor allem meistens schwerer bestimmbar wie das

    eigentliche Integral! auch die Diskrepanz D ist im allgemeinen nicht bekannt Erheblicher Nachteil der Quasi-Monte-Carlo Methode

    gegenber MC! Ansatz hier: Randomized QMC (nur als Ausblick...)

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    bersicht

    Einleitung / MotivationBeispiel: Bestimmung von

    mit der Monte-Carlo Methodemit der Quasi Monte-Carlo Methode

    Fehlerabschtzung fr QMC-IntegrationMa fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Quasi-Zufallsgeneratorenintuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    k = 1 N = 1

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    k = 2 N = 9

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    k = 3 N = 49

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    k = 4 N = 225

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    k = 5 -> N = 312 = 252 25 = 961

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Gitter

    N = 2kd 2k

    Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Gitter

    N = 2kd 2k

    Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!

    typische Probleme in der Finanzmathematik: d 50

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Gitter

    N = 2kd 2k

    Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!

    typische Probleme in der Finanzmathematik: d 50 im ersten Durchlauf N 250

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Gitter

    N = 2kd 2k

    Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!

    typische Probleme in der Finanzmathematik: d 50 im ersten Durchlauf N 250

    viel, aber noch machbar!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Gitter

    N = 2kd 2k

    Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!

    typische Probleme in der Finanzmathematik: d 50 im ersten Durchlauf N 250

    viel, aber noch machbar! fr k = 2: N 2100

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Gitter

    N = 2kd 2k

    Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!

    typische Probleme in der Finanzmathematik: d 50 im ersten Durchlauf N 250

    viel, aber noch machbar! fr k = 2: N 2100

    luft auf heute verfgbaren Computern lnger als dasUniversum alt ist!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 9 = 2.667

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 25 = 2.72

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 81 = 2.864

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 289 = 2.99

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 1089 = 3.067

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 4225 = 3.103

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 16641 = 3.122

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    weitere Nachteile

    zwischen den Punkten bleiben relativ groe quadratischeLcher

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    weitere Nachteile

    zwischen den Punkten bleiben relativ groe quadratischeLcher

    wie gerade am -Beispiel gesehen resultiert darausschlechte Konvergenz!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 0

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/2

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0. 1

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/4

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/4

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/8

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/8

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/8

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/87 111 0.111 7/8

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/87 111 0.111 7/8

    Das sieht doch ganz erfolgsversprechend aus!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Van der Corput Sequenz

    0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/87 111 0.111 7/8

    Das sieht doch ganz erfolgsversprechend aus!

    versuchen wir doch mal damit zu bestimmen...

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 5000 = 4

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 5000 = 3.507

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Erweiterung auf mehrere Dimensionen

    Ups! So gehts also nicht

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Erweiterung auf mehrere Dimensionen

    Van der Corpus Sequenz auf mehrere Dimensionen erweitern Halton Sequenz!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Erweiterung auf mehrere Dimensionen

    Van der Corpus Sequenz auf mehrere Dimensionen erweitern Halton Sequenz! fr jede Dimension eine andere VdC Sequenz mit

    aufeinanderfolgenden Primzahlen b = 2, 3, 5, 7, 11, alsBasen

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • 0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    0 2 4 6 8 10 12 14 16

    i

    VdC mit Basen 2 und 4

  • 0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 1250 = 3.002

  • 0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    0 2 4 6 8 10 12 14 16

    i

    VdC mit Basen 2 und 10

  • 0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 1250 = 3.13

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Erweiterung auf mehrere Dimensionen

    Van der Corpus Sequenz auf mehrere Dimensionen erweitern Halton Sequenz! fr jede Dimension eine andere VdC Sequenz mit

    aufeinanderfolgenden Primzahlen b = 2, 3, 5, 7, 11, alsBasen

    bestimmen!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 10 = 3.6

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 50 = 3.12

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 250 = 3.216

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 1250 = 3.139

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 6250 = 3.142

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    hhere Dimensionen

    Die Bestimmung von mit Halton funktioniert also.

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    hhere Dimensionen

    Die Bestimmung von mit Halton funktioniert also.

    Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    hhere Dimensionen

    Die Bestimmung von mit Halton funktioniert also.

    Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional! Um hherdimensionale Probleme zu lsen werden

    entsprechend grere Primzahlen bentigt

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • 0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    0 2 4 6 8 10 12 14 16

    i

    6 Dimensionen: b1 = 2 und b6 = 13

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    hhere Dimensionen

    Die Bestimmung von mit Halton funktioniert also.

    Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional! Um hherdimensionale Probleme zu lsen werden

    entsprechend grere Primzahlen bentigt Allerdings wird dadurch die Diskrepanz der Folgen immer

    grer, und damit die Konvergenz immer schlechter ...

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    hhere Dimensionen

    Die Bestimmung von mit Halton funktioniert also.

    Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional! Um hherdimensionale Probleme zu lsen werden

    entsprechend grere Primzahlen bentigt Allerdings wird dadurch die Diskrepanz der Folgen immer

    grer, und damit die Konvergenz immer schlechter ... Beispiel: 50 Dimensionen

    b49 = 227 und b50 = 229 sind dann die grten Basen

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    hhere Dimensionen

    Die Bestimmung von mit Halton funktioniert also.

    Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional! Um hherdimensionale Probleme zu lsen werden

    entsprechend grere Primzahlen bentigt Allerdings wird dadurch die Diskrepanz der Folgen immer

    grer, und damit die Konvergenz immer schlechter ... Beispiel: 50 Dimensionen

    b49 = 227 und b50 = 229 sind dann die grten Basen bestimmen!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 10 = 4

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 50 = 4

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 250 = 2.96

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 1250 = 2.909

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 6250 = 3.112

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • 1e-06

    1e-05

    0.0001

    0.001

    0.01

    0.1

    1

    1 10 100 1000 100001000001e+061e+07

    rela

    tive

    Gen

    auig

    keit

    Anzahl Punkte N

    MC1N

    QMCN0.73

    d = 50

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Nachteile des Halton-Generators

    nicht fr hochdimensionale Probleme geeignet

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Nachteile des Halton-Generators

    nicht fr hochdimensionale Probleme geeignet ausserdem nur relativ ineffizient auf Computern zu

    implementieren, da Berechnungen in Basen b , 2

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Die Lsung - Sobol!

    geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Die Lsung - Sobol!

    geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen Berechnungen nur in einer Basis b = 2 ntig

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Die Lsung - Sobol!

    geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen Berechnungen nur in einer Basis b = 2 ntig

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Die Lsung - Sobol!

    geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen Berechnungen nur in einer Basis b = 2 ntig

    daher schnelle Berechnung mit dem Computer

    allerdings: mathematische Basis nichttrivial

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 1024 = 3.16

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    N = 2048 = 3.146

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Vergleich MC / QMC bei stetigem Anschluss am Rand

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    Fun

    ktio

    nsw

    ertf

    (r)

    Radius r

    Funktion auf der Kreisscheibe

    f(r) = (1 r) er

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • 1e-07

    1e-06

    1e-05

    0.0001

    0.001

    0.01

    0.1

    1

    10

    1 10 100 1000 10000 100000 1e+06

    rela

    tive

    Gen

    auig

    keit

    Anzahl Punkte N

    MC vs QMC soft boundary

    MC1N

    QMC1N

    QMC hard

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Zusammenfassung Quasi-MC

    Vorteile

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Zusammenfassung Quasi-MC

    Vorteile wesentlich schnellere Konvergenz fr Probleme

    mittlerer Dimensionalitt

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Zusammenfassung Quasi-MC

    Vorteile wesentlich schnellere Konvergenz fr Probleme

    mittlerer Dimensionalitt besonders bei stetigem Anschluss am Rand!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Zusammenfassung Quasi-MC

    Vorteile wesentlich schnellere Konvergenz fr Probleme

    mittlerer Dimensionalitt besonders bei stetigem Anschluss am Rand!

    Nachteile

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Zusammenfassung Quasi-MC

    Vorteile wesentlich schnellere Konvergenz fr Probleme

    mittlerer Dimensionalitt besonders bei stetigem Anschluss am Rand!

    Nachteile Dimensionsabhngigkeit

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    Zusammenfassung Quasi-MC

    Vorteile wesentlich schnellere Konvergenz fr Probleme

    mittlerer Dimensionalitt besonders bei stetigem Anschluss am Rand!

    Nachteile Dimensionsabhngigkeit schwierige Fehlerabschtzung

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    nur so ganz am Rande...

    Monte-Carlo Integration lsst sich sehr gut parallelisieren

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    nur so ganz am Rande...

    Monte-Carlo Integration lsst sich sehr gut parallelisieren gut geeignet fr SIMD-Architekturen

    (Single Instruction, Multiple Data)

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    nur so ganz am Rande...

    Monte-Carlo Integration lsst sich sehr gut parallelisieren gut geeignet fr SIMD-Architekturen

    (Single Instruction, Multiple Data) wie z.B. Grafikkarten!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

  • 1e-05

    0.0001

    0.001

    0.01

    0.1

    1

    1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09

    Sta

    ndar

    dabw

    eich

    ung

    Anzahl Punkte N

    C2D E6750 vs 8800GT

    CPU

    GPU

  • Einleitung / MotivationFehlerabschtzung fr QMC-Integration

    Quasi-Zufallsgeneratoren

    intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

    nur so ganz am Rande...

    Monte-Carlo Integration lsst sich sehr gut parallelisieren gut geeignet fr SIMD-Architekturen

    (Single Instruction, Multiple Data) wie z.B. Grafikkarten!

    50x schneller!

    Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden

    Einleitung / MotivationBeispiel: Bestimmung von

    Fehlerabschtzung fr QMC-IntegrationMa fr Gleichmigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

    Quasi-Zufallsgeneratorenintuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol