Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Μάθημα: Μακροοικονομική Θεωρία Ι

Διδάσκων: Θ.Παλυβός

Βοηθός: Π.Κολιούση

Ομάδα Ασκήσεων 3

Άσκηση 1. Έστω μια οικονομία που περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση παραγωγής:

1/ 2 1/ 2t t tY K L=

(α) Έχει η συνάρτηση αυτή σταθερές αποδόσεις κλίμακας; Εξηγείστε.

(β) Ποιά είναι η συνάρτηση παραγωγής ανά εργαζόμενο;

(γ)Υποθέστε ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού είναι μηδέν και δεν υπάρχει τεχνολογική πρόοδος. Υποθέστε ακόμη ότι η απόσβεση του κεφαλαίου είναι 5% κάθε χρόνο και ότι η χώρα αποταμιεύει το 20% του εισοδήματός της κάθε χρόνο. Βρείτε τα επίπεδα σταθερής κατάστασης του κεφαλαίου, του εισοδήματος και της κατανάλωσης ανά εργαζόμενο. Ποιό είναι το επίπεδο το ρυθμού μεγέθυνσης του κεφαλαίου ανά εργάτη στο οποίο συγκλίνει η οικονομία; Τί συνεπάγεται αυτό για τους ρυθμούς μεγέθυνσης του εισοδήματος και της κατανάλωσης ανά εργάτη;

(δ)Υποθέστε ότι το ποσοστό αποταμίευσης αυξάνεται σε 30%. Ποιές είναι οι μακροχρόνιες συνέπειες της αύξησης του ρυθμού αποταμίευσης;

Άσκηση 2. Εξηγείστε την επίδραση των παρακάτω μεταβολών στο επίπεδο του εισοδήματος ανά εργάτη στη μακροχρόνια περίοδο:

(α) Δικαίωμα αφαίρεσης των αποταμιεύσεων από το φορολογητέο εισόδημα

(β) Αύξηση του ποσοστού συμμετοχής των γυναικών στο εργατικό δυναμικό

Άσκηση 3. Εξετάζοντας στοιχεία για διάφορες χώρες παρατηρούμε:

(α) Μια θετική σχέση ανάμεσα στο ρυθμό αποταμίευσης και στο επίπεδο εισοδήματος ανά εργαζόμενο

(β) Μια αρνητική σχέση ανάμεσα στο ρυθμό μεγέθυνσης του πληθυσμού και στο επίπεδο εισοδήματος ανά εργαζόμενο

Συμφωνούν οι προβλέψεις του υποδείγματος οικονομικής μεγέθυνσης του Solow με τις παραπάνω παρατηρήσεις; Θα αλλάξει η απάντησή σας αν οι παρατηρούμενες σχέσεις διατυπωνόντουσαν σε όρους ρυθμών μεγέθυνσης παρά επιπέδων;

Άσκηση 4. Υποθέστε μια χώρα Α η οποία χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες παραμέτρους. Ο ετήσιος ρυθμός απόσβεσης είναι 4% και ο ετήσιος ρυθμός μεγέθυνσης του πληθυσμού είναι 1%. Οι κάτοικοι της χώρας Α αποταμιεύουν το 20% του εισοδήματός τους. Η ελαστικότητα του εισοδήματος ως προς το κεφάλαιο είναι ½. Η οικονομία ξεκινά την ανάπτυξή της το 1950 με 12 μονάδες κεφαλαίου και 1 μονάδα εργασίας.

(α) Υπολογίστε το εισόδημα, το κεφάλαιο και την κατανάλωση ανά εργαζόμενο της χώρας Α το 1950.

(β) Υπολογίστε τα επίπεδα εισοδήματος, κεφαλαίου και κατανάλωσης ανά εργαζόμενο στα οποία συγκλίνει η οικονομία μακροχρόνια. Ποιός είναι ο ρυθμός μεγέθυνσης των μεταβλητών αυτών στο σημείο σταθερής κατάστασης; Ποιός είναι ο ρυθμός μεγέθυνσης του συνολικού κεφαλαίου, του συνολικού εισοδήματος και της συνολικής κατανάλωσης στο σημείο σταθερής κατάστασης;

(γ) Βρείτε το επίπεδο του Χρυσού Κανόνα της συσσώρευσης του κεφαλαίου. Η κυβέρνηση θα πρέπει να ακολουθήσει πολιτικές που αποσκοπούν στη μείωση ή στην αύξηση του ποσοστού της αποταμίευσης προκειμένου να οδηγήσει την οικονομία στη σταθερή κατάσταση του Χρυσού Κανόνα;

Άσκηση 5. Υποθέστε ότι η χώρα Β είναι σχεδόν όμοια με τη χώρα Α. Οι δύο χώρες διαφέρουν μόνο ως προς το αρχικό απόθεμα του κεφαλαίου και το ρυθμό αποταμίευσης. Το απόθεμα του κεφαλαίου της χώρας Β το 1950 είναι μόνο 3 μονάδες. Επιπλέον, οι κάτοικοι της χώρας Β αποταμιεύουν μόνο το 16% του εισοδήματός τους.

(α) Υπολογίστε το εισόδημα, το κεφάλαιο και την κατανάλωση ανά εργαζόμενο της χώρας Β το 1950. Ποιά από τις 2 χώρες είναι πιο πλούσια; Υπολογίστε το εισόδημα, το κεφάλαιο και την κατανάλωση ανά εργαζόμενο της χώρας Β ως ποσοστό του εισοδήματος, του κεφαλαίου και της κατανάλωσης ανά εργαζόμενο της χώρας Α το 1950.

(β) Υπολογίστε τα επίπεδα εισοδήματος, κεφαλαίου και κατανάλωσης ανά εργαζόμενο στα οποία συγκλίνει η οικονομία μακροχρόνια. Ποιός είναι ο ρυθμός μεγέθυνσης των μεταβλητών αυτών στο σημείο σταθερής κατάστασης; Ποιός είναι ο ρυθμός μεγέθυνσης του συνολικού κεφαλαίου, του συνολικού εισοδήματος και της συνολικής κατανάλωσης στο σημείο σταθερής κατάστασης;

Άσκηση 6. Υποθέστε ότι η χώρα Γ είναι σχεδόν όμοια με τη χώρα Β. Οι δύο χώρες διαφέρουν μόνο ως προς το αρχικό απόθεμα του κεφαλαίου. Το απόθεμα του κεφαλαίου της χώρας Γ το 1950 είναι μόνο 1 μονάδα.

(α) Υπολογίστε το εισόδημα, το κεφάλαιο και την κατανάλωση ανά εργαζόμενο της χώρας Γ το 1950. Η οικονομία αυτή είναι πιο πλούσια ή πιο φτωχή από τη χώρα Α; Υπολογίστε το εισόδημα, το κεφάλαιο και την κατανάλωση ανά εργαζόμενο της χώρας Γ ως ποσοστό του εισοδήματος, του κεφαλαίου και της κατανάλωσης ανά εργαζόμενο της χώρας Α το 1950.

(β) Υπολογίστε τα επίπεδα εισοδήματος, κεφαλαίου και κατανάλωσης ανά εργαζόμενο στα οποία συγκλίνει η οικονομία μακροχρόνια. Στη μακροχρόνια ισορροπία η χώρα Γ ή η χώρα Β είναι πιο πλούσια;

(γ) Ποιός είναι ο ρυθμός μεγέθυνσης του εισοδήματος, του κεφαλαίου και της κατανάλωσης ανά εργαζόμενο στο σημείο σταθερής κατάστασης; Ποιός είναι ο ρυθμός μεγέθυνσης του συνολικού κεφαλαίου, του συνολικού εισοδήματος και της συνολικής κατανάλωσης στο σημείο σταθερής κατάστασης;

Άσκηση 7. Υποθέστε ότι η χώρα Δ έχει την ίδια συνάρτηση παραγωγής με τη χώρα Α. Η χώρα Δ διαφέρει όμως από την Α σε πολλά σημεία. Ο ετήσιος ρυθμός απόσβεσης είναι 20% και ο ετήσιος ρυθμός μεγέθυνσης του πληθυσμού είναι 5%. Οι κάτοικοι της χώρας Δ αποταμιεύουν μόνο το 10% του εισοδήματός τους. Η οικονομία ξεκινά την ανάπτυξή της το 1950 με μόνο 0.05 μονάδες κεφαλαίου και 1 μονάδα εργασίας.

(α) Υπολογίστε το εισόδημα, το κεφάλαιο και την κατανάλωση ανά εργαζόμενο της χώρας Δ το 1950. Η οικονομία αυτή είναι πιο πλούσια ή πιο φτωχή από τη χώρα Α; Υπολογίστε το εισόδημα, το κεφάλαιο και την κατανάλωση ανά εργαζόμενο της χώρας Δ ως ποσοστό του εισοδήματος, του κεφαλαίου και της κατανάλωσης ανά εργαζόμενο της χώρας Α το 1950.

(β) Υπολογίστε τα επίπεδα εισοδήματος, κεφαλαίου και κατανάλωσης ανά εργαζόμενο στα οποία συγκλίνει η οικονομία μακροχρόνια.

Άσκηση 8. Έστω μια οικονομία που περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση παραγωγής:

( )1 1a at t t tY E K L− −= a

, όπου είναι μια μεταβλητή η οποία αντανακλά τη βελτίωση της

αποδοτικότητας της εργασίας την περίοδο t. Υποθέστε ότι ο πληθυσμός αυξάνεται με σταθερό ρυθμό και η αποδοτικότητα της εργασίας με σταθερό ρυθμό g.

tEn

(α) Βρείτε το ρυθμό μεγέθυνσης του κεφαλαίου, του εισοδήματος και της κατανάλωσης ανά εργάτη στο σημείο σταθερής κατάστασης.

(β) Βρείτε το ρυθμό μεγέθυνσης του συνολικού κεφαλαίου, του συνολικού εισοδήματος και της συνολικής κατανάλωσης στο σημείο σταθερής κατάστασης.

(γ) Υποθέστε ότι ο ρυθμός μεγέθυνσης της αποδοτικότητας της εργασίας tE αυξάνεται από g σε

g g′ > . Ο ρυθμός μεγέθυνσης του κεφαλαίου, του εισοδήματος και της κατανάλωσης ανά εργάτη στο σημείο σταθερής κατάστασης θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα παραμείνει αμετάβλητος;

Άσκηση 9. Έστω μια οικονομία που περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση παραγωγής:

( )1 aat t t tY K E L

−= .

Υποθέστε ότι το μερίδιο του κεφαλαίου στο συνολικό εισόδημα είναι 30% του συνολικού εισοδήματος, το ποσοστό απόσβεσης είναι 4% το χρόνο, ο ρυθμός αύξησης του συνολικού εισοδήματος είναι 3% το χρόνο και ο λόγος κεφαλαίου-εισοδήματος είναι 2,5. Υποθέστε ακόμη ότι η οικονομία αυτή βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση.

(α) Ποιό είναι το ποσοστό της αποταμίευσης στην αρχική σταθερή κατάσταση;

(β) Ποιό το οριακό προϊόν του κεφαλαίου στη σταθερή κατάσταση;

(γ) Έστω η κυβέρνηση αυξάνει το ποσοστό αποταμίευσης ώστε η οικονομία να φτάσει στο επίπεδο Χρυσού Κανόνα του κεφαλαίου. Ποιό είναι το οριακό προϊόν του κεφαλαίου στη σταθερή κατάσταση του Χρυσού Κανόνα; Συγκρίνετε το οριακό προϊόν της σταθερής κατάστασης με το οριακό προϊόν της αρχικής σταθερής κατάστασης. Εξηγήστε την απάντησή σας.

(ε) Ποιός είναι ο λόγος κεφαλαίου-εισοδήματος στη σταθερή κατάσταση του Χρυσού Κανόνα; Ποιό πρέπει να είναι το ποσοστό αποταμίευσης για να επιτευχθεί η σταθερή κατάσταση του Χρυσού Κανόνα;

Άσκηση 10. Θεωρείστε μια οικονομία που περιγράφεται από το υπόδειγμα το Solow, η οποία βρίσκεται αρχικά σε κατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας, και ένας ισχυρός σεισμός καταστρέφει το μισό απόθεμα κεφαλαίου της.

(α) Χρησιμοποιώντας διάγραμμα εξηγείστε ποιες θα είναι οι επιδράσεις του σεισμού στην οικονομία.

(β) Δείξτε διαγραμματικά πως το κατά κεφαλήν προϊόν της οικονομίας μεταβάλλεται στον χρόνο, και εξηγείστε πως μεταβάλλεται ο ρυθμό μεγέθυνσής του.

Άσκηση 11. Δίνονται τα παρακάτω δεδομένα.

Χώρα Κατά Κεφαλήν ΑΕΠ, 2000

Ποσοστό

Αποταμίευσης (s)

Συνολική

Παραγωγικότητα (Α)

ΗΠΑ 1 20.6 1

Ιρλανδία 0.792 19.7 0.967

Γαλλία 0.672 23.8 0.691

Ιαπωνία 0.741 31.6 0.679

Νότια Κορέα 0.477 34.0 0.563

Ισπανία 0.542 23.4 0.614

Αργεντινή 0.331 15.8 0.486

Κίνα 0.113 19.2 0.266

Ζιμπάμπουε 0.075 13.1 0.182

(α) Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν διαφορές στην συνολική παραγωγικότητα, Α, και στο ποσοστό της απόσβεσης, δ, μεταξύ των χωρών, υπολογίστε το κατά κεφαλήν προϊόν σε κάθε χώρα σε σχέση με το κατά κεφαλήν προϊόν των Η.Π.Α. στο σημείο μακροχρόνιας ισορροπίας. ( Οι υπολογισμοί να γίνουν με συνάρτηση παραγωγής 1/3 2 /3

t t tAK LΥ = )

(β) Κάντε τους ίδιους υπολογισμούς υποθέτοντας ότι η συνολική παραγωγικότητα δίνεται από την τελευταία στήλη του πίνακα. Πόσο διαφορετικά είναι τα αποτελέσματά σας;

(γ) Με βάση τα αποτελέσματά σας στο β) ερώτημα, υπολογίστε την ποσοστιαία διαφορά του κατά κεφαλήν προϊόντος στο μακροχρόνιο σημείο ισορροπίας και του κατά κεφαλήν κεφαλαίου το 2000.

(δ) Σύμφωνα με το υπόδειγμα του Solow, ποιός αναμένεται να είναι ο ρυθμός μεγέθυνσης των οικονομιών τις επόμενες δεκαετίες;

Άσκηση 12. Υποθέστε μια χώρα Α στην οποία ο ρυθμός μεγέθυνσης του πληθυσμού, , και η απόσβεση του κεφαλαίου,

nδ , είναι μηδέν. Η συνάρτηση παραγωγής της χώρας Α είναι

( ) ( )11 aat t tY K E Lτ t

−= − , όπου 0 1τ< < είναι ένας φόρος εισοδήματος τα έσοδα του οποίου

χρησιμοποιούνται για τη χρηματοδότηση στρατιωτικών δαπανών. είναι μια μεταβλητή η οποία tE

αντανακλά τη βελτίωση της αποδοτικότητας της εργασίας την περίοδο t. Υποθέστε ότι η αποδοτικότητα της εργασίας αυξάνεται με σταθερό ρυθμό g.

(α) Δείξτε πως το κεφάλαιο ανά αποδοτικό εργάτη μεταβάλλεται στο χρόνο.

(β) Βρείτε τα επίπεδα σταθερής κατάστασης του κεφαλαίου και του εισοδήματος ανά αποδοτικό εργάτη συναρτήσει των παραμέτρων του υποδείγματος. Πώς μια αύξηση του φόρου επηρεάζει το επίπεδο σταθερής κατάστασης του εισοδήματος ανά αποδοτικό εργάτη;

(γ) Υποθέστε ότι ο φόρος εισοδήματος επηρεάζει το ρυθμό μεγέθυνσης της αποδοτικότητας της εργασίας g. Πιο συγκεκριμένα, υποθέστε ότι ο ρυθμός μεγέθυνσης της αποδοτικότητας της εργασίας δίνεται τώρα από τη σχέση ( )

1

1 ag b τ= − , όπου . Βρείτε το νέο επίπεδο σταθερής

κατάστασης του εισοδήματος ανά αποδοτικό εργάτη. Πώς μια αύξηση του φόρου επηρεάζει τώρα το επίπεδο σταθερής κατάστασης του εισοδήματος ανά αποδοτικό εργάτη; Διαφέρει η απάντησή σας σε σχέση με το ερώτημα β) και γιατί;

0b >