Pres 2010 FononAO

Los Fonones Acústicos y ÓpticosAsignatura: Estado Sólido

Prof.a Titular Doris Giratá, Ph.D.

Instituto de FísicaFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/

Medellín, marzo 24 de 2010

Prof. a Titular Doris Giratá, Ph.D. (UdeA) Calculo de la Relación de dispersión ω(k) 1 / 44

Calculo de la Relación de Dispersión. Fonones Acústicos yÓpticos Parte I: Repaso: Cálculo de la Relación de Dispersión

Part I: Repaso: Cálculo de la Relación de Dispersión

1 Aproximación ClásicaAproximación de Pequeños DesplazamientosLa Ecuación de MovimientoLa Relación de Dispersión ωr (k)¿Cómo construir la Matriz Dinámica D(k)?

2 Aproximación CuánticaRepresentación Número de PartículasLos Fonones y las Vibraciones de la RedRelación de Dispersión de los Fonones

Calculo de la Relación de Dispersión. Fonones Acústicos yÓpticos Parte I: Repaso: Cálculo de la Relación de Dispersión

Part I: Repaso: Cálculo de la Relación de Dispersión

1 Aproximación ClásicaAproximación de Pequeños DesplazamientosLa Ecuación de MovimientoLa Relación de Dispersión ωr (k)¿Cómo construir la Matriz Dinámica D(k)?

2 Aproximación CuánticaRepresentación Número de PartículasLos Fonones y las Vibraciones de la RedRelación de Dispersión de los Fonones

Calculo de la Relación de Dispersión. Fonones Acústicos yÓpticos Part II: Los Fonones Acústicos

Part II:Los Fonones Acústicos

3 Cálculo de ωr (k) para Fonones AcústicosCristal 1D, 1átomo/celdilla, interacción p.v.Cristal 1D, 1átomo/celdilla, interacción entre r vecinos

Calculo de la Relación de Dispersión. Fonones Acústicos yÓpticos Part II: Los Fonones Acústicos y Ópticos

Part II: Los Fonones Acústicos y Ópticos

4 Cálculo de ωr (k) para Fonones ÓpticosCristal 1D con 2átomos/celdilla, M1 6= M2 y d 6= a/2Cristal 1D, 2átomos/celdilla, M1 > M2 y d = a/2Ramas Acústicas y Ópticas de ω(k)Modos Acústicos y Ópticos TransversalesCristal 1D, 2átomos/celdilla, M1 = M2 = M y d 6= /2Ramas Acústicas y Ópticas de ω(k)Modos Ópticos Longitudinales y Transversales, k → 0Cristal 3D, p átomos/celdilla

Part I

Repaso para el cálculo ωr(k)

Repaso para el cálculo ωr (k) Aproximación de Pequeños Desplazamientos

Aproximación de Pequeños DesplazamientosPara un cristal de d dimensiones, con p átomos en cada una de las Nceldillas primitivas.

El Hamiltoniano armónico es una función de los desplazamientosy momentum de los Np átomos:

Harm =∑

P2α(R) +

R,R′

uαµ(R)Dαβµν (R − R′)uβν(R′)

El hamiltoniano en términos de las coordenadas generalizadas delos modos normales de vibración Uk y Pk es:

H(Uk ,Pk ) =∑

PkP−k + ω2kUkU−k

Este H(Uk ,Pk ) es una suma de osciladores armónicosindependientes, pero no está diagonalizado.

Repaso para el cálculo ωr (k) Aproximación de Pequeños Desplazamientos

Aproximación de Pequeños DesplazamientosPara un cristal de d dimensiones, con p átomos en cada una de las Nceldillas primitivas.

El Hamiltoniano armónico es una función de los desplazamientosy momentum de los Np átomos:

Harm =∑

P2α(R) +

R,R′

uαµ(R)Dαβµν (R − R′)uβν(R′)

El hamiltoniano en términos de las coordenadas generalizadas delos modos normales de vibración Uk y Pk es:

H(Uk ,Pk ) =∑

PkP−k + ω2kUkU−k

Este H(Uk ,Pk ) es una suma de osciladores armónicosindependientes, pero no está diagonalizado.

Repaso para el cálculo ωr (k) La Ecuación de Movimiento

La Ecuación de Movimiento

La Ecuación de Movimiento del átomo α en la dirección µ es:

Fαµ(R) = Mαuαµ(R) = − ∂Φarm

∂uαµ(R)= −

R′βν

Dαβµν (R − R′)uβν(R′)

La solución → onda plana que involucra la periodicidad de la red:

uαµ(R, t) =1√Mα

Uαµ(q)ei(q·R−ωt)

Uαµ(q) → independiente de R y del tiempo → describe la dirección demovimiento de los iones.

ω2(q)U =1

MαMβ

D(R)eiq·RU

Repaso para el cálculo ωr (k) La Relación de Dispersión ωr (k)

La Relación de Dispersión ωr(k)

det∣

∣D(k) − ω2

∣= 0

Cada uno de los N valores de k en cada zona de Brillouin hay dpsoluciones diferentes que corresponden a las raíces deldeterminante que son soluciones independientes. Los valores dek para las condiciones de frontera periódica son:

k = Σimi

Nib i mi ∈ Z

Ni es el número de puntos de la red en la dirección ai . b i es unvector s fundamentales de la red recíproca.Cada solución de ω2(k) es real, tal que para una raíz dada r:

ωr (k) = ωr (k + K) ≥ 0.

Repaso para el cálculo ωr (k) La Relación de Dispersión ωr (k)

La Relación de Dispersión ωr(k)

det∣

∣D(k) − ω2

∣= 0

Cada uno de los N valores de k en cada zona de Brillouin hay dpsoluciones diferentes que corresponden a las raíces deldeterminante que son soluciones independientes. Los valores dek para las condiciones de frontera periódica son:

k = Σimi

Nib i mi ∈ Z

Ni es el número de puntos de la red en la dirección ai . b i es unvector s fundamentales de la red recíproca.Cada solución de ω2(k) es real, tal que para una raíz dada r:

ωr (k) = ωr (k + K) ≥ 0.

Repaso para el cálculo ωr (k) ¿Cómo construir la Matriz Dinámica D(k)?

¿Cómo construir la Matriz Dinámica D(k)?

Para construir la matriz dinámica:

D(k) ≡ 1√

MαMβ

D(R)eik·R

D(k) → transformada de Fourier de D(R) y periódica en K.

Dαβµν (r) → los átomos de la base atómica en una celdilla:

Dαβµν (r) = δRR′

R′′

φααµν (r′) − φαβ

µν (r) → propiedades de simetría

φαβµν (r) ≡ ∂2φ(r)

∂rαµ∂rβν

→ r = roβα

Repaso para el cálculo ωr (k) ¿Cómo construir la Matriz Dinámica D(k)?

¿Cómo construir la Matriz Dinámica D(k)?

Para construir la matriz dinámica:

D(k) ≡ 1√

MαMβ

D(R)eik·R

D(k) → transformada de Fourier de D(R) y periódica en K.

Dαβµν (r) → los átomos de la base atómica en una celdilla:

Dαβµν (r) = δRR′

R′′

φααµν (r′) − φαβ

µν (r) → propiedades de simetría

φαβµν (r) ≡ ∂2φ(r)

∂rαµ∂rβν

→ r = roβα

Repaso para el cálculo ωr (k) Representación Número de Partículas

Representación Número de PartículasPara diagonalizar H ⇒ Uk y Pk → se expresa en términos de losoperadores de creación a†

k y aniquilación ak .

El nuevo Hamiltoniano en la Representación número departículas H → se expresa en términos del número de fononesnk ,r para cada una de las dp soluciones → a cada polarización r :

~ωr (k)

nk ,r +12

El conjunto de operadores {nk ,r} conmutan entre sí y con H y losautovalores de la energía total son:

E(nk1, nk2

, nk3, . . . , nki

, . . .) =∑

(nk ,s +12)~ωs(k)

Repaso para el cálculo ωr (k) Representación Número de Partículas

Representación Número de PartículasPara diagonalizar H ⇒ Uk y Pk → se expresa en términos de losoperadores de creación a†

k y aniquilación ak .

El nuevo Hamiltoniano en la Representación número departículas H → se expresa en términos del número de fononesnk ,r para cada una de las dp soluciones → a cada polarización r :

~ωr (k)

nk ,r +12

El conjunto de operadores {nk ,r} conmutan entre sí y con H y losautovalores de la energía total son:

E(nk1, nk2

, nk3, . . . , nki

, . . .) =∑

(nk ,s +12)~ωs(k)

Repaso para el cálculo ωr (k) Los Fonones y las Vibraciones de la Red

Vibraciones de la Red

Devolviéndonos en el proceso, si se aplican los resultados de ωr (k) enla primera zona de Brillouin a los desplazamientos de los átomos:

El espectro de frecuencias del gas de fonones tiene unacorrespondencia con el movimiento de los átomos unidos porresortes (conocidos como Vibraciones de la Red ) con constantesde resorte atómicas φαβ

µν (roβα).

Los desplazamientos son longitudinales o transversales.

Al pasar de una celdilla R a otra R′ en uαµ(R, t) se cumple lacondición de Bloch:

uαµ([R − R′], t) = eiq·R′

uαµ(R, t)

Cada átomo en una celdilla se mueve en la misma dirección y conla misma amplitud que otro del mismo tipo en otra celdillasolo cambia la fase de celdilla a celdilla.

µν (roβα).

uαµ(R, t)

µν (roβα).

uαµ(R, t)

µν (roβα).

uαµ(R, t)

Repaso para el cálculo ωr (k) Relación de Dispersión de los Fonones

Relación de Dispersión de los Fonones ωr(k)

La relación de dispersión de los fonones es la misma hallada desde eltratamiento clásico:

corresponde a los modos normales de vibración

y tienen implicaciones sobre el movimiento de los átomos o lasvibraciones de la red.

Los fonones pueden ser acústicos (A) u ópticos (O); dependen delcomportamiento de ω(k) para k → 0 o λ → ∞.

Los fonones pueden ser longitudinales (L) o transversales (T)dependiendo si ω(k) es ‖ o ⊥ al desplazamiento de los átomos:

Un cristal con p átomos por celdilla primitiva en d dimensionespresenta:

dp ramas de ωr (k): d Acústicas y d(p − 1) Ópticas.

Part II

Fonones Acústicos

Cristales de una dimensión Cristal 1D, 1átomo/celdilla, interacción p.v.

Cristal en una dimensión y un átomo por celdillaprimitiva, con interacción entre primeros vecinos

Los átomos se ubican en los puntos de la red cristalina R = nax, losdesplazamientos dependen solo de n; y el átomo n tiene solo dosprimeros vecinos (p.v.) en n − 1 y n + 1.

n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3

La ecuación secular se escribe como:

det |D(k) − ω2(k)| = 0

La Matriz Minámica D(k)

La matriz dinámica D (k) en términos de los elementos matriciales deD(x), en donde x tiene los valores −a, 0, a, y teniendo encuentra suspropiedades de simetría, para un cristal en una dimensión y un átomopor celdilla primitiva, con interacción entre primeros vecinos es:

D (k) =1M

D(0) + D(a)eka + D (−a)e−ka]

Por simetría de D(k):

D (a) = D (−a) = Φn,n+1 = φn−1,n ≡ −C1

D (0) + D (a) + D (−a) = 0

D (0) = φn,n = −2 D (a) = 2C1

La Relación de Dispersión ω(k)La ecuación secular la frecuencia en función del vector de onda, paraun cristal en una dimensión y un átomo por celdilla primitiva, coninteracción entre primeros vecinos es:

ω2(k) =D(0)

1 −[

eka + e−ka

M(1 − cos(ka))

ω(k) = 2

w(k)wmax 1=2(c /M)1/2

- /ap p/aVelocidad de grupo vg :

vg(k) = a

Sistema Equivalente. Átomos Unidos por ResortesEste problema es equivalente a resolver el problema de átomosunidos por resortes de constante C1:

Fuerza sobre n

Fn = C1 [(un+1 − un) + (un−1 − un)]

= C1 (un+1 + un−1 − 2un)

an-1 n n+1

debido a sus primeros vecinos en n − 1 y n + 1.De esta manera se obtiene la información para todo el cristal:

n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3

Análisis de ω(k)

En el limite k → 0 ω(k) y la velocidad de grupo vg :

limk→0

ω(k) = a

Mk vg = vs =

En la frontera de la PZB k = πa del orden de 108cm−1 :

= ωmax = 2

= 0 En la frontera de la PZB

= uoe±inπe−iωt → Onda Estacionaria

kFPZB = πa → λmin = 2a ⇒ λ ≥ 2a

Movimiento de los Átomos

Condición de Bloch: un+1 = eikaun

Para una foto en un tiempo dado to se tiene que los desplazamientosde los átomos son:

El desplazamiento de los átomos es el mismo para esta λ < λmin:

Cristales de una dimensión Cristal 1D, 1átomo/celdilla, interacción entre r vecinos

Cristal en una dimensión y un átomo por celdillaprimitiva, con interacción entre r vecinos

Los átomos se ubican en los puntos de la red cristalina R = nax, losdesplazamientos dependen solo de n; y el átomo n tiene dos primerosvecinos en n − 1 y n + 1, dos segundos vecinos en n − 2 y n + 2,. . .

n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3

La ecuación secular se escribe como

det |D(k) − ω2(k)| = 0

La Matriz Dinámica D(k)

Para un cristal en 1D con un átomo/celdilla primitiva. El átomo en laceldilla n tiene dos primeros vecinos en n − 1 y n + 1, dos segundosvecinos en n − 2 y n + 2,. . .

D(k) en términos de D(ra)

D(k) =1M

[(D1(0) + D(a)eka + D(−a)e−ka) + (D2(0) + D(2a)e2ka

+ D(−2a)e−2ka) + (D3(0) + D(3a)e3ka + D(−3a)e−3ka) + . . .]

De las propiedades de simetría de D(ra), para todo r se cumple que:

D(ra) = D(−ra) = Φn,n+r−1 = φn+r−1,n ≡ −Cr

Dr (0) + D(ra) + D(−ra) = 0

Dr (0) = −2 D(ra) = φn+r ,n+r = 2C1

La Relación de Dispersión ω(k)

La relación de dispersión para un n cristal en 1D con un átomo/celdillaprimitiva, con interacción con r vecinos es:

ω2(k) =∑

Cr (1 − cos(kra))

limk→0

ω2(k) =a2

En la frontera de la PZB:

vg → dω2

paCr sin(pka) = 0

sin(pka) = sin(±pπ)

Sistema equivalente. Átomos unidos por resortesEste problema es equivalente a resolver el problema de átomosunidos por resortes de constante Cr :

Fuerza sobre n

Fn =∑

Cr (un+r − un) an-r n n+r

De esta manera se obtiene la información para todo el cristal:

n-3 n-2

n+1 n+2

Part III

Los Fonones Acústicos y Ópticos

Cristales de una dimensión Cristal 1D con 2átomos/celdilla, M1 6= M2 y d 6= a/2

Cristal 1D con M1 6= M2 y d 6= a/2

Los elementos matriciales de la matriz dinámica son:

Dαβ(k) =1√

Dαβ(m − n)eik(m−n)a

Dαβ(m − n) = Φα,βn,m =

∂2φα,β(m − n)

∂xα,n∂xβ,m

permite resolver la ecuación secular:

det∣

∣D(k) − ω2I∣

∣ = 0

Dαβ(m − n) para un cristal 1D con M1 6= M2 y d 6= a/2

D11(0) = D22(0) = Φ1,1n,n = Φ2,2

D12(0) = D21(0) = Φ1,2n,n = Φ2,1

n,n = −C1

D12(1) = D21(−1) = Φ1,2n,n+1 = Φ2,1

n−1,n = −C2

2D11(0) + 2D12(0) + 2D12(1) = 0 ⇒ D11(0) = C1 + C2

n n+1n-1

M1 M2M2 M1 M1

D(k) para un cristal 1D con M1 6= M2 y d 6= a/2

D(k) =

D11(0)M1

− 1√

D21(0) + D21(−1)e−ika)

− 1√

D12(0) + D12(1)eika) D22(0)

M1 M2M2 M1 M1

D(k) =

C1+C2M1

− 1√M1M2

C1 + C2e−ika)

− 1√M1M2

C1 + C2eika) C1+C2

Cristales de una dimensión Cristal 1D, 2átomos/celdilla, M1 > M2 y d = a/2

D(k) para cristal 1D con M1 > M2 y d = a/2

n n+1n-1

M1 M2M2 M1 M1

φ1,1n,n = Φ2,2

n,n = 2C ; φ1,2n,n = Φ1,2

n,n+1 = φ1,2n+1,n = Φ1,2

n,n = −C

La matriz dinámica Dαβ(k) es:

D(k) =

− C√M1M2

1 + e−ika)

− C√M1M2

1 + eika) 2C

Cristales de una dimensión Cristal 1D, 2átomos/celdilla, M1 > M2 y d = a/2

Sistema Equivalente. Átomos Unidos por Resortes

n n+1n-1

M1 M2M2 M1 M1

ω4 − 2C(

ω2 +4C2

M1M2sin2

ω2 = 2C(

− 4M1M2

Cristales de una dimensión Ramas Acústicas y Ópticas de ω(k)

Ramas Acústica y Óptica de ω(k)

limk→0

ω−(k) =

C2(M1 + M2)

k a → Rama Acústica

limk→0

ω+(k) =

→ Rama Óptica

es la masa reducida.

En la frontera de la Primera Zona de Brillouin:

Relación de dispersión ω(k)

w(k) w(k)

( C/M )11/22

( C/M )21/22

( C/ )m1/22

Rama Óptica

Gap de frecuenciasNo ocurren vibraciones

Rama Acústica

M > M1 2

- /ap p/a

p/a 2p/a k

∆ωgap(k) =

−√

Cristales de una dimensión Modos Acústicos y Ópticos Transversales

Modos Acústica y Óptica Transversales

Rama Óptica

Rama Acústica

Cristales de una dimensión Cristal 1D, 2átomos/celdilla, M1 = M2 = M y d 6= /2

D(k) para cristal 1D con M1 = M2 = M y d 6= /2

n n+1n-1

D11(0) = D22(0) = Φ1,1n,n = Φ2,2

D12(0) = D21(0) = Φ1,2n,n = Φ2,1

n,n = −C1

D12(1) = D21(−1) = Φ1,2n,n+1 = Φ2,1

n−1,n = −C2

2D11(0) + 2D12(0) + 2D12(1) = 0 ⇒ D11(0) = C1 + C2

D(k) para un cristal 1D con M1 = M2 = M y d 6= a/2

n n+1n-1

D(k) =

C1+C2M − 1

C1 + C2e−ika)

− 1M

C1 + C2eika) C1+C2

ω(k) para un cristal 1D con M1 = M2 = M y d 6= a/2

ω2(k) =

C1 + C2

C21 + C2

2 + 2C1C2coska

w(k) w(k)

( C /M)1/22 1

(2C /M)21/2

(2(C +C )/M)1 21/2

Rama Óptica

Rama Acústica

C C2 1>

- /ap p/a

p/a 2p/a k

Ramas Acústica y Óptica de ω(k)

U1= ∓ C1 + C2eika

|C1 + C2eika|Para C2 > C1 se encuentra que:

limk→0

ω−(k) =

2M(C1 + C2)k a → Rama Acústica

limk→0

ω+(k) =

2(C1 + C2)

M→ Rama Óptica

U1= −1

En la frontera de la Primera Zona de Brillouin:

M→ U2

U1= −1

M→ U2

Cristales de una dimensión Modos Ópticos Longitudinales y Transversales, k → 0

Modos Ópticos k → 0

Modos Ópticos k 0→

Cristales de una dimensión Cristal 3D, p átomos/celdilla

Modos Ópticos y transversales en 3D, pátomos/celdilla

0p/a 2p/a k

3(p-1) Modos Ópticos(p-1) son LO y 2(p-1) son TO

3 Modos Acústicos(1 es LA y 2 TA)

Part IV

La Evidencia de los Fonones

Fonones La Evidencia de los Fonones

La Evidencia de los FononesLas vibraciones de red o fonones son importantes y permiten entenderel porque del comportamiento de algunas propiedades en losmateriales como:

Explican las propiedades térmicas del material:◮ La Capacidad Calorífica. Condujo a modelos: Armónico, Einstein y

Debye. Que cumplen que para temperaturas cercanas al ceroabsoluto estén de acuerdo con la tercera ley termodinámica,CV → 0 si T → 0.

◮ La conductividad térmica en los aislantes (se destaca por ejemploel caso el diamante que es un aislante y tiene una conductividadtérmica que es cerca de seis veces la del cobre metálico).

◮ La dilatación Térmica. Anarmonicidad.La dispersión inelástica de neutrones o de Rayos X en un cristalen las que se producen cambios en la energía y en la cantidad demovimiento debido a la creación o absorción de fonones en elblancoLas interacciones del tipo electrón-fonón que son responsables deexplicar el fenómeno de la superconductividad en la teoría BCS.Propiedades ópticas de los materiales como la absorción de unProf. a Titular Doris Giratá, Ph.D. (UdeA) Calculo de la Relación de dispersión ω(k) 40 / 44

Fonones Interacción entre Fonones

Interacción entre Fonones

Procesos de interacción de tres fonones son producidos porefectos de anarmónicos. Fonones Transversales Ópticos puedendecaer en dos fonones acústicos. Con un tiempo de vidapromedio de 10 ps.

La expansión térmica de los metales se pueden explicarconsiderando términos anarmónicos en el potencial deinteracción entre parejas de átomos (términos de orden impar, porejemplo orden 3.)

Fonones Interacción entre Fonones

Interacción entre Fonones

Procesos de interacción de tres fonones son producidos porefectos de anarmónicos. Fonones Transversales Ópticos puedendecaer en dos fonones acústicos. Con un tiempo de vidapromedio de 10 ps.

La expansión térmica de los metales se pueden explicarconsiderando términos anarmónicos en el potencial deinteracción entre parejas de átomos (términos de orden impar, porejemplo orden 3.)

Fonones Para un Medio Continuo

Para un Medio Continuo

En los sólidos, cuando se consideran como un medio continuo, seproducen ondas elásticas para frecuencias por debajo de 1012

Hz, mucho mayor que las frecuencias en el rango audible.

Los fonones tienen frecuencias mayores que estas frecuenciasproducidas por medios externos.

Al considerar medios continuos, esta teoría de fonones seconvierte en la famosa Teoría de la Elasticidad.

Ondas Sonoras o Mecánicas

Las frecuencias de las ondas sonoras o mecánicas, permiteclasificarlas de acuerdo a la manera como se produce.

Las ondas audibles son ondas sonoras que están en el intervalode sensibilidad del oído humano, entre 20 y 20.000 Hz, segeneran de diversas maneras con instrumentos musicales,cuerdas vocales humanas y altavoces.

Las ondas infrasónicas que tienen frecuencias debajo delintervalo audible y se pueden producir, por ejemplo cuandosucede un terremoto.

Al introducir vibraciones en un cristal de cuarzo con un campoeléctrico alterno aplicado se pueden producir ondas ultrasónicas.

Bibliografía

N. W. ASHCROFT, N. D. MERMIN: Solid State Physics, W.B.Saunders Company (text used in graduate-level course), 1976.

J. M. ZIMAN: Principles of the Theory of Solids, CambridgeUniversity Press, 1974.

C. KITTEL: Introduction to Solid State Physics, John Wiley, NewYorK, 1996. Séptima edición.

M. C, ROGALSKI Y S. B. PALMER: Solid State Physics, Gordonand Breach Science Publisers, 2000.

H. IBACH AND H. LUTH: Solid State Physics, an introduction totheory and experimental, Springer Verlag, Berlin (1991).

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