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TélécommunicationsInterférences, α-stables et conséquences…

Laurent Clavier, Nourddine Azzaoui…

Contexte

Passé• Communications par groupes• Un objet sans fil communicant pour

un millier de personnes.

Présent• Communications personnelles• Un (quelques) objet(s) sans fil

communicant par personne.

Futur• Communication ambiante• Une personne utilise des milliers

d’objets sans fil communicants.

1G : ordinateurs centraux

3G : mobiles, cartes intelligentes

4G : Objets intelligents ?

Min

iatu

risat

ion

et r

édu

ctio

n d

es c

oûts

2G : PCs

(Source : ITU)

Temps

Les époques des communications

1 million de transistors1973 – 80 000 €

2005 – 0.02 €(Source : Siemens)

V. Chandrasekhar, J. Andrews, A. Gatherer, 2008

Martin Cooper d’Arraycom:« The wireless capacity has doubled every 30 months over the last 104 years. »

x25 d’un accroissement du spectrex5 d’une utilisation meilleure du spectrex5 de meilleurs choix de modulationx1600 de la réduction des cellules et de la distance de transmission

~ x 1 000 000 depuis 1957

Le challenge est la répartition spatiale…

Contexte

Network MIMO – réseaux centralisés… Multi-sauts, coopération – réseaux de capteurs

Complexité pour les réseaux de capteurs ?Capacité ? Interférence ?Fiabilité ? Implémentation ?

Contexte

Tout connaître (liens actifs, multiples canaux…) S’adapter à moindre complexité…

Contexte : réseaux de capteurs, intelligence ambianteMultiplicité d’objets, et multiplicité de couches physiques. Multiplicité de capteurs.Multiplicité de services /de débits.

Nous étudions quelques « points durs »L’interférence sera une contrainte essentielle. Le canal (en millimétrique, en UWB) apporte de nouveaux challenges.

Nous proposons d’utiliser des distributions α-stablesGénéralisent le GaussienApportent un nouveau cadre pour l’étude mathématique des réseaux

AP

AP

Contexte

Contexte

A propos de l’interférenceComment la modéliser ? Exemple des réseaux ad hocet de l’ULB.

Qu’apporte un bon modèle ?Le cas du récepteur.Les transmissions multi-sauts.

Conclusions

Réseaux centralisés

Réseaux auto organisés

Radio impulsionnelleUWB

Contrôle de puissanceModèle gaussien d’interférence vue comme une somme de variables iid.

Disparité des puissances (pas de contrôle de puissance, antennes, protocoles…)

Impulsivité de l’interférence

Interférence venant d’autres objets communicants :

∑=

=κ

ψγ1i

iiZ

Nombre (Poisson)

Paramètres du système (iid, Bornées)

Canal (atténuation)

temps

Approche gaussienne non valide ; Nécessité de nouveaux modèles

Modélisation de l’interférence


Souvent, la densité de probabilité de l’interférence présente une queue plus lourde que celle d’une distribution gaussienne.

� interférence impulsive : (Middleton) classe A, mélange de gaussiennes, gaussienne généralisée, Laplace, α-stable...

Le modèle d’interférence dans les réseaux se doit de capturer les paramètres essentiels qui l’affectent :

1. la distribution spatiale des interférents ;

2. les caractéristiques de la transmission des interférents comme la modulation, la puissance, la synchronisation…

3. les caractéristiques de la propagation dans le canal radio comme l’atténuation, le shadowing, les multi-trajets.

Il est important de proposer un cadre général et unificateur de la modélisation de l’interférence dans les réseaux.

Moe Z. Win, Pedro C. Pinto and Lawrence A. Shepp, “A Mathematical Theory of Network Interference and Its Applications”, Proceedings of the IEEE, Vol. 97, No. 2, February 2009

{ } ( )0,

!≥=∈ − ne

n

ARnP RA

nR λλ

La répartition spatiale des nœuds suit un processus de Poisson homogène

Puissance reçue en provenance d’un nœud :

λ: densité de nœuds interférentsAr: zone

bk ktx

rxR

ZPP

2∏=

Multi-trajets, shadowingPuissance émise

Coefficient d’atténuation du canal

( ) ( ) ( )∫∏ −= τττ dtXth

R

ZtY

bk k ,

Réponse impulsionnelle du canal

Signal transmis

Signal reçu :(si l’évolution temporelle est pertinente)


En considérant l’interférence Y sur une zone infinie :

Nous pouvons calculer la fonction caractéristique de Y (b>1) :

Et montrer ainsi que Ysuit une distribution α-stable :

∑∞

==

1ib

i

i

R

QY

( ) { }YjY eE ωωφ =

( )αωγ

ωφπλ

−=

−−= ∫∞

exp

12exp0

rdrrbQ

Qi: circulaire symétrique, iid, indépendantde Ri

=

=== − 0,,0,

2~ ,

1/2 µπλγβα α

nibN QECb

SYd ( )

=

≠

−Γ

−

=∆

1,2

1,

2cos2

1

απ

απαα

α

αC


Contexte



Conclusions

Performances

La variable de décision pour l’échantillon n peut s’écrire :

Signal utile

ninininini AWGNMAIMPIId ,,,,, +++=

Interférence d’accès multiplesInterférence multi-trajets

Bruit gaussien

B(t)

h1(t)t1

tK hK(t)

Canal

s1(t)

sK(t)

Source

Filtre adapté Décisiondi,n

Destination

c1(t)u1(t)

uK(t)

cK(t)

Beaulieu, N.C.; Young, D.J. “Designing Time-Hopping Ultrawide Bandwidth Receivers for Multiuser Interference Environments ,” Proc. IEEE, vol. 97, no. 2, pp. 255-284, Feb. 2009.

Exemple

( ) ( ) ∑∫ ∑==

=

−=

κκψγτγ

10 1 iii

T

iiiMAI dttrtfZ

Mais la grande variabilité desγi peut être représentée par des modèles à variance infinie : nous devons alors utiliser le théorème centrale limite généralisé.

ZMAI tombe dans le domaine d’attraction d’une loi α-stable

Première intuition : Théorème Centrale limite � Asymptotiquement gaussien

J. Fiorina and W. Hachem, “On the asymptotic distribution of the correlation receiver output for time-hoppedUWB signals,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 54, no. 7, pp. 2529 – 2545, July 2006.

Étude de la variable MAI :

Exemple

Sources Destination

-30

-15

0

15

30

Temps

Am

plitu

de

Bruit α-stable(α=1.5, δ=0.5)

-30

-15

0

15

30

Temps

Am

plitu

de

Bruit gaussien(α=2, δ=1)

-5 0 50

0.25

0.5

Densités de probabilité

-5 0 50

0.01

0.02Zoom sur les queues

Queue lourde

Exemple

κ nombre d’impulsions interférentes.∑=

Ψ=κ

γ1i

iiMAIZ

( )( ) Fqeta

avecMAIZ πλδαωσω α −==−=Φ 4

ln

Fonction caractéristique de ZMAI :

( ) ( )!

lim22

i

RqeiP

iRq

R

λπκλπ−

+∞→==

s

mT

Tq

ε+= 2

( )

∑==

κψγωωΦ

1iiiZ jexpE

MAI

[…]

M. Win, P. Pinto, and L. Shepp, “A mathematical theory of network interference and its applications,” Proc. IEEE, vol. 97, no. 2, pp. 205–230, Feb. 2009.

H. El Ghannudi, L. Clavier, N. Azzaoui, F. Septier, P.A. Rolland, “α-stable interference modeling and Cauchy receiver for an IR-UWB ad hoc network, ” to appear in IEEE transactions on communications, June 2010.

Exemple

ZMAI est une variable aléatoire α-stable symétrique.Deux paramètres à calculer – leurs expressions dépendent du canal et des paramètres du système.

0 5 10 15 SNR (dB)

γ=3, λ=100, R=25m

Avec champ procheThéoriqueSimulé

10-3

10-2

10-1

BE

Rγ=3, λ=200, R=75m

010-4

10-3

10-2

10-1

SNR (dB)

BE

R

5 10 15

ThéoriqueSimulé

Les courbes analytiques sont très proches des courbes de simulations. Les α-stables sont une bonne solution pour modéliser le MAI dans système TH-PPM-UWB en réseau ad hoc

5 10 15 SNR (dB)

γ=2.5, λ=400, R=50m

0

10-3

10-2

10-1

BE

R

ThéoriqueSimuléDispersion ajustée

Exemple

Contexte



Conclusions

Nous nous intéressons à des stratégies basées sur le maximum de vraisemblance :

où un symbole reçu est un ensemble d’échantillons x(k) :

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]∑

=−

−

−−=Λ

N

k ksdkxf

ksdkxf

1 1

0log γα

γα

( ) ( ) ( ) ( )knknksdkx j 2++= −α

γ

Borne optimale au sens du maximum de vraisemblance

Une simulation de Monte Carlo permet d’estimer la distribution de Λ ou la connaissance des fonctions caractéristiques de la mixture de bruits symétriques gaussiens et stables permet de calculer numériquement les densités de probabilité.

( ) { }22exp

2tttnn σδφ α

αα −−=+

Implications - réception

En considérant un bruit gaussien

Minimisation de la distance euclidienne.

En considérant un bruit de Cauchy

( )[ ] [ ]∑∑ −+⇔⇔i

iii

ii cycyPy 2)(²logminlogmaxˆ γ

( )( ) 22

1,;

δµδ

πδµ

+−=

xxf

( )[ ] [ ]∑∑ −⇔⇔i

iii

ii cycyPy 2)(minlogmaxˆ

Proche de l’optimal ?S. M. Nikias C. L., Signal processing withα-stable distributions and applications, W. inter science, Ed. J.Wiley, 1995.


( )p

N

j

pjj

S

Syx

NpCYX

/1

1

1

−=− ∑

=αα

N. Beaulieu, H. Shao, and J. Fiorina, “P-order metric UWB receiver structures with superior performance,” IEEE Trans. Commun., vol. 56, no. 10, pp. 1666–1676, Oct. 2008.

G. Samorodnitsky and M. Taqqu, Stable Non-Gaussian Random Processes: Stochastic Models with Infinite Variance.Chapmann and Hall, 1994.

Utilisation de la p-norme: nous voulons utiliser la norme α, inspirée de la « covariation » et adaptée aux α-stables.

[ ]( ) ( )( ) ppXEpCXXX/11, α

ααα ==

[ ] ∫ Γ= −∆

4

12121,

S

dXXXX αα

= −− zzz 11 αα

On se base sur ||X||α pour définir la distance et on obtient une valeur empirique grâce à la p-norme.


0 5 10 15 20-4

-3

-2

-1

SNR (dB)

BE

R

α=1.33 et δ=0.2

0 5 10-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

SNR (dB)B

ER

Gaussp-normCauchyOptimal

α=1.9 et δ=0.1

Le « Cauchy » ainsi que la p-normesont proches de l’optimal !(Rem : la dispersion du bruit de Cauchy considérée est la somme des dispersions des deux bruits –myriadfilters)


Eb/N0 géométrique (dB)0 1 2 3 4 5 6

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1B

ERTurbo codes pour α=1.5 et 6 itérations

p=2p=1.5p=1.3p=1

On utilise des turbo codes avec la p-normeau lieu d’une distance euclidienne dans l’algorithme MAP.

Nette amélioration des performances quand p diminue et que la distance ainsi définie prend mieux en compte l’impulsivité du bruit.


Contexte



Conclusions

Étude d’un système multi-sauts transparents (Amplify-and-forward) basé sur l’UWB

Modélisation du lien à deux sauts : le MAI après le filtre adaptéest la somme de deux variables aléatoires α-stables. C’est donc une variable aléatoire α-stable dont les paramètres sont :

( )( )

+∼+ 0,0,,

/1

2121ααα

α δδα GhSZZ SRMAIMAI

Dans le cas du récepteur gaussien, la probabilité d’erreurs peut être déterminée de façon semi-analytique :

MAI au relais MAI au récepteur

( ) ( )∫∞+∞− + −= dxxfxFP XZZNNde MAIMAI

2121,, |

CDF du MAI PDF du bruit gaussien

Implications – multi-sauts

Récepteur

Source

Relais

Cercle C

R

Validation du modèle multi-sauts

0 10 20

10-4

10-3

10-2

10-1

Transmission AF, a=3, R=50

Average Eb/N0

BE

R

λrelais=280, λrécepteur=300

λrelais=80, λrécepteur=100

Lien directDeux sauts

SimulationThéorie

Implications - multi-sauts

Contexte



Conclusions

L’évolution des télécommunications génère le besoin de nouveaux modèles.

C’est par exemple le cas pour l’interférence (réseaux de capteurs, réseaux ad hoc, ULB, radio cognitive…) mais aussi pour le canal radio en ULB…

L’habitude de travailler en Télécommunications avec les statistiques d’ordre 2 et les processus gaussiens doit être revue. L’approche α-stable est dans ce contexte très intéressante.

L’impact de nouveaux modèles et les bénéfices de modèles représentant bien la réalité permettent une meilleure compréhension de certains phénomènes et des traitements mieux adaptés.

Conclusions

Merci de votre attention.

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