Bl. 01

Blatt

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Datum Name

Quadratur des Kreises

21.10.17Annäherung an π durchSinus/Tangens/goldener Schnitt

N°_PA

Kontr.

- -

Material:Kreise und Linien...

Oberflächenbehandlung: lackiertMaßstab 1: 5 (DIN A2)

KAG

[π/10] ~

314

,159

2217

[π / 4] ~ 785,3980542

[π /

4] ~

785,39

8054

2Quadratur des Kreisesauf 6 Kommastellen genau:

d =

2 x

r =

1000

Konstruktion mit Zirkel und Lineal.Zur Anwendung kommen:Sinus und Tangenswie die Teilung im goldenen Schnitt Phi().

Pi() = 3,141592653589790

Mathematisch ermittelt: 314,159221665064

Wert / 100 3,14159221665064

Abweichung zu Pi() 0,00000043693915

Teilung imgoldenen SchnittPhi()-1 = 0,6168033988749895..

500 = r

Pi() = 3,141592653589790

Phi() - 1 = 0,6180339887498950

graphisch ermitteltesQuadrat mit annäherndselben Flächeninhaltals der Basiskreis:Genauigkeit ~ 6 Dezimalstellen.

36°

Tan(36

°)

Sin(36

°)

Detail-1

500

61,80339887 %

100%

Detail-1:Teilung im goldenen Schnitt

π / 4 = 0,78539816339745

Diese recht einfache und gute Annäherung an π ist die Basisfür weiterfolgende Verbesserungen!

Der Grundstein für solche Annäherungen erfolgte in der Erkenntnis,dass die Innkreis-Umkreis Annäherung um "X" Potenzen genauer wird,wenn nicht mit dem Mittelwert von Tan - (Tan-Sin)/2 gerechnet wird,sondern mit annähernd 1/3 und noch genauer, wenn auch der goldene Schnittmiteinbezogen wird.Ein n-Eck mit 480 Ecken kommt konventionell gerechnet Tan - (Tan-Sin)/2 aufeine Genauigkeit von nur 3 Dezimalstellen.Durch Einsatz von 1/3 Teilung und den goldenen Schnitt bekommt manfür ein n-Eck mit 480 Ecken eine Genauigkeit von >=14 Dezimalstellen !!

Siehe hierzu später weitere Konstruktionen!

Bl. 02

Blatt

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Datum Name

Quadratur des Kreises

21.10.17Annäherung an π durchSinus/Tangens/Fibonacci

N°_PA

Kontr.

- -

Material:Kreise und Linien...

Oberflächenbehandlung: lackiertMaßstab 1: 5 (DIN A2)

KAG

89

144

233

377

500 = r[π

/10] ~

314

,159

2654

[π / 4] ~ 785,3981634

[π /

4] ~

785,39

8163

4

26 74

100

Quadratur des Kreisesauf 10 Kommastellen genau,

gerundetauf 11 Dezimalstellen!!π ~ 3,14159265358

d =

2 x

r =

1000

Pi() = 3,141592653589790

Mathematisch ermittelt: 314,159265357522

Wert / 100 3,14159265357522

Abweichung zu Pi() 0,00000000001457

Konstruktion mit Zirkel und Lineal.Zur Anwendung kommen:Sinus und Tangenswie zweiFibonacci-Brüche: [89/144] und [233/377]mit dem Faktor 26% zu 74% gesteckt.

Pi() = 3,141592653589790

Phi() - 1 = 0,6180339887498950

Fibonacci-Reihe

3 0,60000000000000

5 0,62500000000000

8 0,61538461538462

13 0,61904761904762

21 0,61764705882353

34 0,61818181818182

55 0,61797752808989

89 0,61805555555556

144 0,61802575107296

233 0,61803713527852

377 0,61803278688525

Detail-1

Detail-3

Detail-2

36°

Tan

(36°

)

Sin(36°

)

graphisch ermitteltesQuadrat mit annäherndselben Flächeninhaltals der Basiskreis:Genauigkeit: ~ 10 Dezimalstellen.

graphisch ermitteltesQuadrat mit annäherndselben Flächeninhaltals der Basiskreis:Genauigkeit: ~ 10 Dezimalstellen.

89

144

26% 74%

233

377

Detail-1:Teilung oben imFibonacci-Verhältnis:89 / 144.

Detail-2:Teilung unten imFibonacci-Verhältnis:233 / 377.

Detail-3:Streckung derFibonacci-Teilungenim Verhältnis 26 / 74.

500

π / 4 = 0,78539816339745

Bl. 03

Blatt

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Datum Name

Quadratur des Kreises

29.10.17Annäherung an π durchSinus/Tangens/Fibonacci

N°_PA

Kontr.

- -

Material:Kreise und Linien...

Oberflächenbehandlung: lackiertMaßstab 1: 8 (DIN A2)

KAG

π / 4 = 0,78539816339745

(D x

Pi)

/ 16

~

314,159

2604

α = 22,50°

r = 800

89

55

27,5 = = 27,5

= 1/3 = 1/3 = 1/3

SinW =

Sin(α

) x

r =

306,14

6745

9

Tan

W =

Tan

(α) x

r =

331,37

08499

(D x Pi) / 4~ 1256,6370416 ~ D x 0,785398151 ~ 0,999999984 %

Quadratur des Kreisesauf 7 Kommastellen genau,

π ~ 3,14159260402Basis: 8-Eck.

graphisch ermitteltesQuadrat mit annäherndselben Flächeninhaltals der Basiskreis:Genauigkeit: ~ 7 Dezimalstellen.ca. 1,5 dm² auf 1 km².

Konstruktion mit Zirkel und Lineal.Zur Anwendung kommen:Sinus und Tangenswie ein Fibonacci-Bruch: [55/89] für n-Eck = 8bzw. [3/5] für n-Eck >=12.

a = 60,8963740

3 x T = 1581,1837047

T = 527,0612349

h =

8,0125

145

β = 1,8059451°

t = 254,1224698

b = 18,8162953

HDiff

=

25,224

1040

Fibonacci - Bruch

Für 8-Eck gilt:

Für n-Eck >=12 gilt:

Fibonacci - Bruch

Nach herkömmlicherAnnäherung von Pi() durch die Innkreis-Umkreis-Methode= Mittelwert vom Sin- und Tan-Wert,kommt ein n-Eck von 480 Eckenlediglich auf eine Genauigkeit von:3,141603... und somit lediglich auf 3 Kommastellen Genauigkeit.

Diese Methode ist somit um POTENZEN genauerund könnte auch Einzug in Lehrbücher finden.

Hier ist noch nicht die Grenze erreicht !!Durch Modifikation und Zerlegendes Teilverhältnisses (b / a) inAnwendug von Fibonacci-Brüchenkann bereits bei einem n-Eck von 90 Eckeneine Genauigkeit von >=14 Dezimalstellen erreicht werden !!

Beispiele folgen !!

Ein n-Eck von 90 Ecken wird mit einem Winkel von 2° gezeichnet.Im entsprechenden Maßstab können solche Konstruktionensomit in einem halbwegs tauglichen CADgraphisch auf zumindest 10 Dezimalstellen ermittelt werden!

Zudem ist durch solche Konstruktionender Zusammenhang zw. Pi() / Phi undder Fibonacci-Reihe eindeutig aufgezeigtund visuell darstellbar!

Die Formeln können hierzu leicht hergeleitet werden!!

Erreichbare Genauigkeit:

n-Eck: Pi()-Konstr. Abw. zu Pi() gerundet Anz. Dezi:

40 3,14159266 0,00000001 7

60 3,1415926542 0,000000001 8

90 3,1415926536 0,0000000001 9

120 3,1415926536 0,00000000001 10

180 3,14159265359 0,000000000001 11

220 3,141592653590 0,0000000000003 12

270 3,141592653590 0,0000000000001 12

300 3,14159265359 0,00000000000004 13

360 3,141592653590 0,00000000000001 13

400 3,141592653590 0,00000000000001 13

480 3,141592653589790 0,000000000000000 14