PELABELAN-k TOTAL TAK TERATUR SISI DAN NILAI ... · pelabelan λ adalah jumlah dari label sisi uv...
42
PELABELAN-k TOTAL TAK TERATUR SISI DAN NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF LINTANG oleh DWI HANDAYANI M 0102019 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2007
Transcript of PELABELAN-k TOTAL TAK TERATUR SISI DAN NILAI ... · pelabelan λ adalah jumlah dari label sisi uv...
PELABELAN-k TOTAL TAK TERATUR SISI DAN
NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI
DARI GRAF LINTANG
oleh
DWI HANDAYANI
M 0102019
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2007
ii
SKRIPSI
PELABELAN-k TOTAL TAK TERATUR SISI DAN
NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI
DARI GRAF LINTANG
yang disiapkan dan disusun oleh
DWI HANDAYANI M 0102019
dibimbing oleh
Pembimbing I,
Dra. Mania Roswitha, M.Si NIP. 130 285 863
Pembimbing II,
Drs. Bambang Harjito, M.App.Sc. NIP. 131 947 765
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada hari Rabu, tanggal 2 Mei 2007
dan dinyatakan telah memenuhi syarat.
Anggota Tim Penguji
1. Drs. Tri Atmojo K, M.Sc., Ph.D.
2. Dra. Diari Indriati, M.Si
3. Winita Sulandari, M.Si
Tanda Tangan
1.
2.
3.
Surakarta, Mei 2007
Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan,
Drs. Marsusi, M.S. NIP. 130 906 776
Ketua Jurusan Matematika,
Drs. Kartiko, M.Si NIP. 131 569 203
iii
ABSTRAK
Dwi Handayani, 2007. PELABELAN-k TOTAL TAK TERATUR SISI DAN NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF LINTANG. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Pelabelan-k total tak teratur sisi dari graf G(V,E) dengan himpunan titik tak kosong V dan himpunan sisi E adalah pelabelan λ : }...,,2,1{ kEV →∪ , sedemikian sehingga bobot setiap sisi berbeda. Bobot sebuah sisi uv dengan pelabelan λ adalah jumlah dari label sisi uv dan label semua titik yang incident dengan uv,
)()()()( vuvuuvwt λλλ ++= . Nilai ketakteraturan total sisi dari graf G yang dinotasikan dengan tes(G), adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga G memiliki pelabelan-k total tak teratur sisi.
Skripsi ini mengkaji ulang secara teoritis hasil dari Nurdin dkk. (2005) mengenai nilai ketakteraturan total sisi graf lintang nsL , untuk suatu bilangan
bulat positif 1≥s dan 2≥n . Graf lintang Ln adalah join dari graf 2K dan nK
yang dinotasikan dengan nKK +2 , dengan nK adalah komplemen dari graf lengkap dengan n titik.
Berdasarkan pembahasan, dapat disimpulkan bahwa pelabelan total tak teratur sisi dapat diberikan pada graf lintang nsL dan nilai ketakteraturan total sisinya dapat ditentukan, yaitu
( )
+
=3
22nssLtes n .
iv
ABSTRACT
Dwi Handayani, 2007. ON EDGE IRREGULAR TOTAL k-LABELING AND TOTAL EDGE IRREGULARITY STRENGTH OF LINTANG GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
An edge irregular total k-labeling of a graph ( )EVG , with a non empty set V
of vertices and a set E of edges, is a labeling λ : }...,,2,1{ kEV →∪ , such that the weights calculated at every edges are distinct. The weight of an edge uv, under a total labeling λ , is the sum of label of an edge uv and all labels of vertices that incident with uv,
)()()()( vuvuuvwt λλλ ++= . The total edge irregularity strength of a graph G, denoted by ( )Gtes , is the minimum k for which the graph G has an edge irregular total k-labeling.
This final assignment studies the result of Nurdin et al. (2005) on total edge irregularity strength of lintang graph nsL , for any positive integers 1≥s and
2≥n . A lintang graph Ln is a join of 2K and nK , denoted by nKK +2 , where
nK is the complement of complete graph on n vertices. Based on the discussion, we conclude that an edge irregular total labeling can
be given on a lintang graph nsL and the total edge irregularity can be determined, that is
( )
+
=3
22nssLtes n .
v
MOTO
Proses yang kita alami sebenarnya lebih penting dari hasil yang sudah jadi.
(Spirit)
Cara pikir yang positif akan selalu menyelesaikan masalah yang sudah dianggap tidak
mungkin untuk diatasi.
(Spirit)
Orang yang tak berani mencoba memang tak akan pernah gagal, namun pada saat yang sama
mereka tidak akan pernah menang!
(Spirit)
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembakan untuk
My lovely Mom... I love always miss u
Bapak, kakak dan adik-adikku tersayang
Sobatku, Aat, Fennie, Kusuma, Lia, Lisha, Naomi, Mba Rian dan Trisna
vii
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa,
atas segala berkat dan rahmat yang telah dilimpahkanNya sehingga penulis dapat
menyelesaikan dan menyusun skripsi ini.
Di dalam penulisan skripsi ini, penulis tidak lepas dari segala kesulitan dan
keterbatasan yang akhirnya dapat penulis atasi berkat bantuan dari berbagai pihak.
Oleh karena itu, sudah sepantasnya pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih kepada
1. Dra. Mania Roswitha, M.Si. dan Drs. Bambang Harjito, M. App. Sc., sebagai
pembimbing I dan pembimbing II yang telah memberikan petunjuk dalam
penyusunan skripsi ini,
2. seluruh staf dosen di Jurusan Matematika,
3. rekan-rekan Matematika, khususnya angkatan 2002 FMIPA UNS atas
dukungannya,
4. segenap pihak yang telah membantu sehingga skripsi ini dapat selesai.
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.
Surakarta, April 2007
Penulis
viii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL .................................................................................... i
HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................... ii
ABSTRAK.................................................................................................... iii
ABSTRACT.................................................................................................. iv
MOTO........................................................................................................... v
PERSEMBAHAN......................................................................................... vi
KATA PENGANTAR .................................................................................. vii
DAFTAR ISI................................................................................................. viii
DAFTAR GAMBAR .................................................................................... ix
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL ............................................................. x
BAB I. PENDAHULUAN............................................................................ 1
1.1. Latar Belakang Masalah............................................................. 1
1.2. Perumusan Masalah ................................................................... 2
1.3. Batasan Masalah ........................................................................ 2
1.4. Tujuan Penulisan........................................................................ 2
1.5. Manfaat Penulisan...................................................................... 2
BAB II. LANDASAN TEORI...................................................................... 3
2.1. Tinjauan Pustaka ........................................................................ 3
2.1.1. Graf ............................................................................. 3
2.1.2. Pelabelan Graf............................................................. 8
2.2. Kerangka Pemikiran................................................................... 12
BAB III. METODE PENELITIAN .............................................................. 13
BAB IV. PEMBAHASAN............................................................................ 14
4.1. Batas Nilai Ketakteraturan Total Sisi Sembarang Graf ............. 14
4.2. Nilai Ketakteraturan Total Sisi Graf Lintang nsL ..................... 18
BAB V. PENUTUP ...................................................................................... 30
5.1. Kesimpulan ............................................................................... 30
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 31
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 : Graf G ................................................................................... 3
Gambar 2.2 : Graf dengan loop dan sisi rangkap....................................... 4
Gambar 2.3 : Cycle 3C dan 4C .................................................................. 4
Gambar 2.4 : Graf lengkap.......................................................................... 5
Gambar 2.5 : Graf dan komplemennya....................................................... 5
Gambar 2.6 : Dua graf yang isomorfik ( )21 GG ≅ ...................................... 6
Gambar 2.7 : Gabungan dari graf 32K dan 23K ........................................ 6
Gambar 2.8 : Join dari graf K3 dan K2......................................................... 7
Gambar 2.9 : Graf 3L9................................................................................. 7
Gambar 2.10 : Graf berbobot ....................................................................... 8
Gambar 2.11 : Pelabelan total pada C3 ......................................................... 9
Gambar 2.12 : Pelabelan-3 total tak teratur sisi pada C5 .............................. 10
Gambar 4.1 : Pelabelan total tak teratur sisi ............................................... 15
Gambar 4.2 : Pelabelan total tak teratur sisi yang optimal ......................... 16
Gambar 4.3 : Graf nsL ................................................................................ 18
Gambar 4.4 : Pelabelan-19 total tak teratur sisi graf 3L9 ............................ 28
x
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
G : Suatu graf
G : Komplemen suatu graf
G(V, E) : Graf G dengan himpunan titik tak kosong V dan himpunan sisi E
V : Himpunan titik dari graf G(V, E)
E : Himpunan sisi dari graf G(V, E)
|V| : Order (banyak titik) dari graf G(V, E)
|E| : Size (banyak sisi) dari graf G(V, E)
λ : Suatu pemetaan yang membawa elemen-elemen graf ke bilangan-
bilangan bulat positif atau non negatif
iu : Titik u ke-i
jv : Titik v ke-j
iw : Titik w ke-i
ix : Titik x ke-i
jiv : Titik v ke-i dari kopi graf ke-j
ei : Sisi e ke-i
jivue = : Sisi e yang incident dengan titik iu dan jv
21 GG ∪ : Gabungan dari graf 1G dan 2G
21 GG + : Join dari graf 1G dan 2G
nG : Gabungan dari n graf G
nsL : s kopi graf lintang dengan 1≥s dan 2≥n
s : Banyaknya kopi graf lintang
n : Banyaknya titik dari graf nK
nK : Graf lengkap dengan n titik
nK : Komplemen graf lengkap dengan n titik
nC : Cycle dengan n titik
xi
)( iuwt : Bobot titik iu
( )jivuwt : Bobot sisi yang incident dengan titik iu dan jv
k : Bilangan bulat positif terkecil dari label terbesar dari semua
pelabelan
( )Gtes : Nilai ketakteraturan total sisi graf G
L(G) : Matriks L yang menyajikan label titik dan sisi dari graf G
Lj(G) : Matriks L yang menyajikan label titik dan sisi kopi ke-j dari
graf G
x : Ceiling dari x (bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama
dengan x)
x : Floor dari x (bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama
dengan x)
≅ : Isomorfik
φ : Suatu pemetaan satu-satu
■ : Akhir bukti
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki
banyak terapan, misalnya penyelesaian masalah penentuan jarak terpendek,
matching, game, puzzle dan pelabelan (labeling). Menurut Wallis (2001),
pelabelan suatu graf adalah pemetaan yang membawa elemen-elemen graf ke
bilangan-bilangan bulat positif atau non negatif. Pada umumnya domain dari
pemetaan ini adalah himpunan titik (pelabelan titik atau vertex labelings),
himpunan sisi (pelabelan sisi atau edge labelings) atau himpunan semua titik dan
sisi (pelabelan total atau total labelings).
Wallis (2001) menyatakan bahwa bobot (weight) dari elemen graf adalah
jumlah dari semua label yang berhubungan dengan elemen graf tersebut. Bobot
sebuah sisi uv dengan pelabelan λ adalah
)()()()( vuvuuvwt λλλ ++= .
Bača et al. (2003) menyatakan bahwa pelabelan-k total tak teratur sisi pada graf
G(V,E), dengan himpunan titik tak kosong V dan himpunan sisi E, adalah
pelabelan λ : }...,,2,1{ kEV →∪ sedemikian sehingga untuk setiap dua sisi yang
berbeda, jivue = dan lk vuf = , berlaku
)()( fwtewt ≠ .
Bača et al. (2003) menyatakan bahwa nilai ketakteraturan total sisi dari graf G
yang dinotasikan dengan tes(G), adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga
G memiliki pelabelan-k total tak teratur sisi.
Bača et al. (2003) memberikan batas bawah dan batas atas nilai ketakteraturan
total sisi untuk sembarang graf G(V, E), yaitu
( ) EGtesE
≤≤
+
32
.
Nurdin dkk. (2005) melakukan penelitian untuk menentukan nilai ketakteraturan total sisi dari graf lintang nsL , untuk suatu bilangan bulat positif
2
1≥s dan 2≥n , berdasarkan batas bawah yang diberikan oleh Bača et al.
(2003). Dalam skripsi ini akan dikaji ulang secara teoritis hasil dari Nurdin dkk.
(2005) mengenai nilai ketakteraturan total sisi graf lintang.
1.1. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan permasalahan sebagai
berikut.
1. Bagaimana memberikan pelabelan-k total tak teratur sisi pada graf lintang?
2. Bagaimana menentukan nilai ketakteraturan total sisi dari graf lintang?
1.2. Batasan Masalah
Batasan-batasan masalah dalam penulisan skripsi ini adalah
1. graf berhingga, sederhana dan tidak berarah,
2. pelabelannya adalah pelabelan-k total tak teratur sisi.
1.3. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah dapat memberikan pelabelan pada
suatu graf. Secara khusus tujuannya adalah
1. dapat memberikan pelabelan-k total tak teratur sisi pada graf lintang,
2. dapat menentukan nilai ketakteraturan total sisi dari graf lintang.
1.4. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah
1. memperdalam pengetahuan tentang pelabelan, khususnya pelabelan-k total tak
teratur sisi pada graf lintang,
2. mengetahui penentuan nilai ketakteraturan total sisi dari suatu graf, khususnya
graf lintang.
3
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Tinjauan Pustaka
Bagian ini berisi tentang tinjauan pustaka yang memuat beberapa teori yang
digunakan dalam penulisan skripsi ini, antara lain pengertian tentang graf dan
pelabelan, khususnya pelabelan total tak teratur sisi.
2.1.1. Graf
Definisi 2.1. (Johnsonbaugh, 2001) Suatu graf G (graf tidak berarah) terdiri dari
himpunan titik tak kosong V dan himpunan sisi E sedemikian sehingga setiap sisi
Ee∈ dihubungkan oleh sebuah pasangan tak berurutan dari titik. Sebuah sisi e
yang menghubungkan titik v dan w dapat dituliskan sebagai vwe = atau wve = .
Jumlah titik dari graf G disebut order yang dinotasikan dengan |V|, sedangkan
jumlah sisi dari graf G disebut size yang dinotasikan dengan |E|. Gambar 2.1
menunjukkan sebuah graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E, yaitu
{ }4321 ,,, vvvvV = dan { }4342324121 ,,,, vvvvvvvvvvE = . Dengan demikian, order
graf G adalah |V | = 4 dan size graf G adalah |E| = 5.
Gambar 2.1. Graf G
Definisi 2.2. (Chartrand, 1986) Dua titik u dan v dikatakan adjacent jika
uv∈E(G). Jika )(GEuve ∈= , maka u dan v masing-masing dikatakan incident
dengan e.
3v
1v
4v
2v
4
Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa titik v1 adjacent dengan titik v2 dan v4,
tetapi tidak adjacent dengan titik v3. Pada Gambar 2.1 dapat dilihat juga bahwa
sisi 32vv incident dengan titik v2 dan v3, sisi 42vv incident dengan titik v2 dan v4,
tetapi sisi 21vv tidak incident dengan titik v3 maupun titik v4.
Definisi 2.3. (Johnsonbaugh, 2001) Suatu graf tanpa loop dan sisi rangkap
(paralel edge) disebut graf sederhana (simple graph).
Gambar 2.2. Graf dengan loop dan sisi rangkap
Sebuah loop merupakan sebuah sisi yang terhubung pada suatu titik yang
sama. Sisi rangkap adalah dua sisi atau lebih yang menghubungkan pasangan titik
yang sama.
Graf G pada Gambar 2.1 merupakan graf sederhana, sedangkan graf pada
Gambar 2.2 bukan graf sederhana karena mengandung loop dan sisi rangkap. Sisi
e2 dan e3 merupakan sisi rangkap karena menghubungkan dua titik yang sama
yaitu v1 dan v2. Sedangkan sisi e1 dan e7 merupakan loop karena masing-masing
terhubung pada titik v1 dan v4 itu sendiri.
Definisi 2.4. (Chartrand and Oellermann, 1993) Cycle merupakan barisan titik-
titik nuuu ...,,, 10 , dengan 3≥n , nuu =0 dan nuuu ...,,, 21 adalah titik-titik yang
berbeda.
Gambar 2.3. Graf 3C dan 4C
1v 2e2v
3v4v
1e3e
4e5e
6e7e
2v2v
4v
1v
3v
3C : 4C :
1v
3v
5
Suatu cycle dengan panjang n atau mempunyai sejumlah n titik disebut nC
atau n-cycle. Gambar 2.3 merupakan contoh cycle dengan 3=n dan 4=n .
Definisi 2.5. (Fletcher et al., 1991) Graf lengkap (complete graph) dengan n titik
yang dinotasikan dengan nK , adalah graf sederhana yang setiap titiknya
adjacent.
Gambar 2.4 merupakan contoh lima graf lengkap. Terlihat bahwa setiap titik
pada masing-masing graf tersebut adjacent.
K1 K2 K3 K4 K5
Gambar 2.4. Graf lengkap
Definisi 2.6. (Chartrand and Oellermann, 1993) Komplemen graf G yang
dinotasikan dengan G , adalah graf dengan V(G ) = V(G) dan uv merupakan sisi
dari G jika dan hanya jika sisi tersebut bukan sisi dari G.
Gambar 2.5. Graf dan komplemennya
Gambar 2.5 menunjukkan graf lengkap dan komplemennya. Sisi-sisi dari graf
lengkap K4 tidak dimiliki oleh komplemen dari graf lengkap tersebut.
2v
4v
1v
3v
4K : 4K :
2v
3v4v
1v
6
Definisi 2.7. (Chartrand, 1986) Dua buah graf G1 dan G2 dikatakan isomorfik
( )21 GG ≅ jika terdapat pemetaan satu-satu ( ) ( )21: GVGV →φ , sedemikian
sehingga dua titik iv dan vj adjacent dalam graf G1 jika dan hanya jika titik
( )ivφ dan ( )jvφ adjacent dalam graf G2.
Graf G1 dan G2 pada Gambar 2.6 merupakan contoh dua buah graf yang
isomorfik. Pemetaannya adalah ( ) ( )21: GVGV →φ , dengan
( )iuφ = )4,3,2,1(, =ivi .
Gambar 2.6. Dua graf yang isomorfik ( )21 GG ≅
Definisi 2.8. (Chartrand and Oellermann, 1993) Gabungan dari dua graf G1 dan
G2 yang dinotasikan dengan 21 GG ∪ , adalah graf yang mempunyai
( ) ( ) ( )2121 GVGVGGV ∪=∪ dan ( ) ( ) ( )2121 GEGEGGE ∪=∪ .
Jika GGG ≅≅ 21 , maka dinotasikan dengan 2G untuk 21 GG ∪ . Pada
umumnya, jika nGGG ...,,, 21 adalah n graf yang isomorfik dengan G, maka
dinotasikan dengan nG untuk nGGG ∪∪∪ ...21 . Dengan kata lain, nG adalah n
kopi graf G, yaitu gabungan dari n graf G. Gambar 2.7 menunjukkan graf
23 32 KK ∪ .
Gambar 2.7. Gabungan dari graf 32K dan 23K
23 32 KK ∪ :
G1 : G2 :
1u 2u
3u4u
1v
3v2v
4v
7
Definisi 2.9. (Chartrand and Oellermann, 1993) Join dari dua graf G1 dan G2
yang dinotasikan dengan 21 GG + , adalah graf yang terdiri dari perpaduan
21 GG ∪ dan semua sisi uv, dengan ( )1GVu∈ dan ( )2GVv∈ .
Graf K3 + K2 ditunjukkan oleh Gambar 2.8. Setiap titik dari masing-masing
graf saling dihubungkan oleh sebuah sisi baru sehingga kedua graf terhubung.
Gambar 2.8. Join dari graf K3 dan K2
Definisi 2.10. (Nurdin dkk., 2005) Graf lintang yang dinotasikan dengan nL ,
adalah join dari graf 2K dan nK , atau graf nKK +2 .
19v
14v
11v
12v
13v
15v
16v
17v
18v
29v
24v
21v
22v
23v
25v
26v
27v
28v
39v
34v
31v
32v
33v
35v
36v
37v
38v
1v 2v 3v4v 5v 6v
Gambar 2.9. Graf 3L9
Gambar 2.9 menunjukkan tiga kopi graf L9 yang dinotasikan dengan 3L9, yaitu
gabungan dari tiga graf lintang L9. Suatu graf lintang sLn mempunyai s(n + 2) titik
dan 2ns sisi dengan himpunan titik
( ) }21,1|,{ 2 sjnivvsLV j
j
in ≤≤≤≤=
dan himpunan sisi
( ) }21,1|{ 2 sjnivvsLEj
ijn ≤≤≤≤=
.
K2 :
K3 : K3 + K2 :
8
Titik
2j
iv merupakan anggota dari ( )nKV dan titik jv merupakan anggota dari
( )2KV .
Definisi 2.11. (Bondy and Murty, 1976) Graf berbobot adalah graf yang setiap
sisinya diberi sebuah bilangan yang disebut bobot.
Gambar 2.10. Graf berbobot
Gambar 2.10 adalah contoh dari graf berbobot. Gambar tersebut menunjukkan
bahwa bobot masing-masing sisinya, dinotasikan dengan )( jivvwt , adalah
2)( 21 =vvwt , 8)( 61 =vvwt , 3)( 32 =vvwt , 5)( 62 =vvwt , 1)( 63 =vvwt ,
9)( 43 =vvwt , 7)( 53 =vvwt dan 4)( 54 =vvwt .
2.1.2. Pelabelan Graf
Definisi 2.12. (Wallis, 2001) Pelabelan suatu graf adalah suatu pemetaan yang
membawa elemen-elemen graf ke bilangan-bilangan bulat positif atau non
negatif. Pada umumnya domain dari pemetaan ini adalah himpunan semua titik
dan sisi (pelabelan seperti ini disebut pelabelan total), himpunan titik saja
(pelabelan titik), atau himpunan sisi saja (pelabelan sisi). Bobot (weight) dari
elemen graf adalah jumlah dari semua label yang berhubungan dengan elemen
graf tersebut. Bobot dari titik v dengan pelabelan λ adalah
∑∈
+=Euv
uvvvwt )()()( λλ ,
dan bobot dari sisi uv adalah
)()()()( vuvuuvwt λλλ ++= .
1v
2v
3v
4v
5v6v
2
8
5
3
1 7
4
9
9
Gambar 2.11. Pelabelan total pada C3
Gambar 2.11 merupakan contoh graf yang titik dan sisinya diberi label
bilangan bulat positif sehingga disebut pelabelan total. Pelabelan setiap titik pada
C3 yaitu
1)( 1 =vλ , 1)( 2 =vλ dan 2)( 3 =vλ ,
sedangkan pelabelan sisi-sisinya yaitu
1)( 21 =vvλ , 2)( 32 =vvλ dan 1)( 13 =vvλ .
Bobot titik vi atau )( ivwt dari graf tersebut adalah
3111)( 1 =++=vwt , 4211)( 2 =++=vwt , 5122)( 3 =++=vwt ,
sedangkan bobot sisi vivj atau )( jivvwt adalah
3111)( 21 =++=vvwt , 5221)( 32 =++=vvwt , 4112)( 13 =++=vvwt .
Definisi 2.13. (Bača et al., 2003) Suatu graf G = (V, E) dengan himpunan titik tak
kosong V dan himpunan sisi E yang mempunyai pelabelan },...,2,1{: kEV →∪λ
disebut pelabelan-k total tak teratur sisi jika untuk sembarang dua sisi 11vue =
dan 22vuf = yang berbeda di G berlaku
)()( fwtewt ≠ ,
dengan )()()()( 11 veuewt λλλ ++= dan )()()()( 22 vfufwt λλλ ++= .
Gambar 2.11 menunjukkan pelabelan total tak teratur sisi karena dengan
pelabelan tersebut terlihat bahwa bobot setiap sisi berbeda, yaitu
≠)( 21vvwt ≠)( 31vvwt )( 32vvwt . Selanjutnya ditunjukkan pelabelan total tak
teratur sisi graf C5 seperti pada Gambar 2.12.
2
1v 2v
3v 2
11
1
1
10
Gambar 2.12. Pelabelan-3 total tak teratur sisi pada C5
Pelabelan setiap titik pada C5 yaitu
1)( 1 =vλ , 1)( 2 =vλ , 2)( 3 =vλ , 2)( 4 =vλ dan 2)( 5 =vλ ,
sedangkan label setiap sisinya yaitu
1)( 21 =vvλ , 1)( 32 =vvλ , 3)( 43 =vvλ , 2)( 54 =vvλ dan 2)( 15 =vvλ .
Bobot setiap sisi pada Gambar 2.12 dapat ditentukan dengan menjumlahkan label
sisi dengan label titik yang incident dengan sisi tersebut. Bobot setiap sisi graf C5
tersebut yaitu
3111)( 21 =++=vvwt , 6222)( 54 =++=vvwt ,
4211)( 32 =++=vvwt , 5122)( 15 =++=vvwt .
7232)( 43 =++=vvwt ,
Berdasarkan pelabelan yang diberikan seperti pada Gambar 2.12 terlihat
bahwa bobot setiap sisi berbeda, yaitu ≠)( 21vvwt ≠)( 32vvwt )( 43vvwt )( 14vvwt≠ .
Inilah yang disebut pelabelan total tak teratur sisi.
Menurut Bača et al. (2003), pelabelan pada suatu graf G dapat disajikan dalam
suatu bentuk matriks L(G) seperti berikut.
L(G)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )nnnn
n
n
n
vvvvvv
vvvvvvvvvvvv
vvv
λλλ
λλλλλλ
..................
...
...
...
21
22122
12111
21
=
1v
5v
4v
3v
2v
2
2 2
1 11
1
32
2
11
Karena 1221 vvvv = , 11 vvvv nn = , 22 vvvv nn = dan seterusnya, maka matriks L(G)
merupakan matriks simetris.
Diagonal matriks tersebut merupakan label titik, sedangkan label sisinya
adalah label selain diagonal yang tidak nol. Angka nol (0) menunjukkan bahwa
dua titik tidak adjacent. Bobot setiap sisi dapat ditentukan dengan menjumlahkan
label sisi dan label titik yang incident dengan sisi tersebut, yaitu label yang berada
dalam satu kolom dan satu baris dengan label sisi tersebut.
Sebagai contoh, pelabelan graf 5C pada Gambar 2.12 disajikan dalam bentuk
matriks L( 5C ) berikut:
L( 5C )
2200222300032100011120011
5
4
3
2
1
54321
vvvvv
vvvvv
=
Bobot setiap sisi graf 5C dapat ditentukan dari matriks L( 5C ), yaitu
( ) 311121 =++=vvwt , ( ) 622254 =++=vvwt ,
( ) 722343 =++=vvwt , ( ) 521251 =++=vvwt .
( ) 421132 =++=vvwt ,
Definisi 2.14. (Bača et al., 2003) Nilai ketakteraturan total sisi graf G yang
dinotasikan dengan tes(G), adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga G
memiliki pelabelan-k total tak teratur sisi.
Pelabelan graf 5C pada Gambar 2.12 merupakan pelabelan-3 total tak teratur
sisi, sehingga nilai ketakteraturan total sisinya adalah tes(C5) = 3.
12
2.2. Kerangka Pemikiran
Berdasarkan pada tinjauan pustaka, disusun suatu kerangka pemikiran sebagai
berikut. Suatu graf G yang diberi label bilangan bulat positif pada setiap titik dan
sisinya sedemikian sehingga bobot pada setiap sisi berbeda, merupakan pelabelan
total tak teratur sisi. Bobot dari sebuah sisi e dalam graf G merupakan jumlah dari
label sisi e dan label semua titik yang incident dengan sisi tersebut. Setelah
dilakukan pelabelan, maka dapat ditentukan nilai ketakteraturan total sisi dari graf
G yang dinotasikan dengan tes(G), yaitu bilangan bulat positif terkecil k sehingga
G memiliki pelabelan-k total tak teratur sisi.
Selanjutnya akan dikaji ulang bagaimana memberikan pelabelan total tak
teratur sisi pada graf lintang sLn untuk suatu bilangan bulat positif 1≥s dan
2≥n , yang mempunyai himpunan titik ( ) }21,1|,{ 2 sjnivvsLV j
j
in ≤≤≤≤=
dan himpunan sisi ( ) }21,1|{ 2 sjnivvsLEj
ijn ≤≤≤≤=
. Setelah semua titik dan
sisi diberi label dan bobot setiap sisi dari sLn berbeda, maka dapat ditentukan nilai
ketakteraturan total sisi graf sLn yang dinyatakan dengan tes(sLn).
13
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur,
dengan cara mengkaji ulang hasil dari Nurdin dkk. (2005) dan mengumpulkan
referensi yang dapat mendukung pembahasan.
Nilai ketakteraturan total sisi sembarang graf secara umum memiliki batas
sebagai berikut
( ) EGtesE
≤≤
+
32
.
Berdasarkan batas bawah tersebut, Nurdin dkk. (2005) memberikan nilai
ketakteraturan total sisi graf lintang nsL sebagai berikut
( )
+
=3
22nssLtes n ,
dengan 1≥s dan 2≥n .
Oleh karena itu, untuk mencapai tujuan penulisan, diambil langkah-langkah
sebagai berikut.
1. Menyajikan konsep dan pengertian tentang graf secara umum dan pelabelan,
khususnya pelabelan-k total tak teratur sisi.
2. Membuktikan teorema tentang batas nilai ketakteraturan total sisi sembarang
graf.
3. Mengkaji ulang penentuan nilai ketakteraturan total sisi graf lintang nsL
berdasarkan batas bawah nilai ketakteraturan total sisi sembarang graf.
4. Memberikan penyajian secara umum pelabelan-k total tak teratur sisi pada
graf lintang nsL , sehingga dapat ditentukan nilai ketakteraturan total sisinya.
5. Memberikan contoh pelabelan-k total tak teratur sisi pada suatu graf lintang
nsL , kemudian menentukan nilai ketakteraturan total sisinya.
14
BAB IV
PEMBAHASAN
Bab ini membahas tentang nilai ketakteraturan total sisi graf lintang nsL ,
untuk suatu bilangan bulat positif 1≥s dan 2≥n . Dimisalkan graf nsL
mempunyai himpunan titik
( ) }21,1|,{ 2 sjnivvsLV j
j
in ≤≤≤≤=
dan himpunan sisi
( ) }21,1|{ 2 sjnivvsLEj
ijn ≤≤≤≤=
.
Menurut Nurdin dkk. (2005), nilai ketakteraturan total sisi graf nsL adalah
+
322ns .
Sebelumnya dibahas juga tentang batas nilai ketakteraturan total sisi untuk
sembarang graf yang diberikan oleh Bača et al. (2003).
4.1. Batas Nilai Ketakteraturan Total Sisi Sembarang Graf
Suatu graf yang diberi pelabelan total tak teratur sisi dapat ditentukan nilai
ketakteraturan total sisinya. Nilai ketakteraturan total sisi dari suatu graf G
mempunyai batas atas dan batas bawah seperti yang dituliskan dalam
Teorema 4.1.
Teorema 4.1. (Bača et al., 2003) Misal ( )EVG ,= suatu graf dengan himpunan
titik tak kosong V dan himpunan sisi E, maka
( ) EGtesE
≤≤
+
32
.
Bukti. Untuk menentukan batas atas, setiap titik dari G diberi label 1 dan setiap sisi dari G secara terurut diberi label 1, 2, …, E . Dengan menggunakan label tersebut akan diperoleh ( ) ( )fwtewt ≠ untuk sembarang dua sisi e dan f yang
15
berbeda dari G. Hal ini menunjukkan bahwa pelabelan tersebut adalah pelabelan
total tak teratur sisi dengan label terbesar E , sehingga batas atas nilai
ketakteraturan total sisi yang dinotasikan dengan ( )Gtes , adalah E .
Untuk batas bawah, dimisalkan λ adalah pelabelan total tak teratur sisi yang
optimal dari G. Bobot terbesar sisi e dari G, yaitu ( ) 2+≥ Eewt . Bobot tersebut
merupakan jumlah dari tiga label, sehingga terdapat satu sisi atau titik yang diberi
label paling sedikit 3
2+E. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa batas
bawah ( )Gtes adalah
+
32E
. ■
Menurut Teorema 4.1, nilai ketakteraturan total sisi dari suatu graf G yang
dinotasikan dengan ( )Gtes , tidak kurang dari
+
32E
dan tidak melebihi jumlah
sisinya. Sebagai ilustrasi dari pembuktian Teorema 4.1, diberikan contoh
pelabelan untuk menentukan batas atas seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4.1.
Gambar 4.1. Pelabelan total tak teratur sisi
Ketiga graf pada Gambar 4.1 diberi label 1 pada setiap titiknya dan sisi-sisinya
diberi label secara terurut 1, 2, ..., E . Gambar 4.1.a menunjukkan graf C3 dengan
bobot setiap sisinya adalah
3)( 21 =vvwt , 4)( 32 =vvwt dan 5)( 31 =vvwt .
Gambar 4.1.b menunjukkan graf C4 dengan bobot setiap sisinya adalah
a. b. c.
1v 2v 1x1w
3v
2w
3w4w5x
4x
3x
2x
1 1 1
1 1
1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
2 2 2
3
3
3 4
4 5
16
3)( 21 =wwwt , 4)( 32 =wwwt , 5)( 43 =wwwt dan 6)( 41 =wwwt .
Gambar 4.1.c menunjukkan graf C5 dengan bobot setiap sisinya adalah
3)( 21 =xxwt , 4)( 32 =xxwt , 5)( 43 =xxwt , 6)( 54 =xxwt dan 7)( 51 =xxwt .
Terlihat bahwa bobot setiap sisi dari masing-masing graf berbeda. Hal ini
menunjukkan bahwa ketiga pelabelan tersebut merupakan pelabelan total tak
teratur sisi. Nilai ketakteraturan total sisi masing-masing graf tersebut merupakan
jumlah sisinya, yaitu
( ) 33 =Ctes , ( ) 44 =Ctes dan ( ) 55 =Ctes .
Pelabelan yang lebih besar daripada pelabelan seperti pada Gambar 4.1 tidak
mungkin dilakukan. Oleh karena itu, nilai ketakteraturan total sisi dari suatu graf
tidak mungkin lebih dari jumlah sisinya, E .
Selanjutnya diberikan contoh pelabelan optimal dari graf yang sama untuk
menentukan batas bawah seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4.2.
Gambar 4.2. Pelabelan total tak teratur sisi yang optimal
Ketiga graf pada Gambar 4.2 merupakan graf yang diberi pelabelan optimal.
Gambar 4.2.a menunjukkan graf C3 dengan bobot setiap sisinya adalah
3)( 21 =vvwt , 5)( 32 =vvwt dan 4)( 31 =vvwt .
Bobot sisi terbesarnya adalah 525)( 32 =+≥= Evvwt . Oleh karena itu, label
terbesar dari graf C3 tersebut paling sedikit 23
2=
+E. Pada Gambar 4.2.a
menunjukkan bahwa label terbesarnya adalah 2, sehingga diperoleh
b. c. a.
1v 2v
3v 2
1 1
1
2 1
1w2w
3w4w 2 2
1 11
2
2
1
1x
5x
4x
3x
2x
2
2 2
1 1 1
1
3 2
2
17
( ) 23
22C3 =
+≥=
Etes .
Gambar 4.2.b menunjukkan graf C4 dengan bobot setiap sisinya adalah
3)( 21 =wwwt , 5)( 32 =wwwt , 6)( 43 =wwwt dan 4)( 41 =wwwt .
Bobot sisi terbesarnya adalah 626)( 43 =+≥= Ewwwt . Oleh karena itu, label
terbesar dari graf C4 tersebut paling sedikit 23
2=
+E. Pada Gambar 4.2.b
menunjukkan bahwa label terbesarnya adalah 2, sehingga diperoleh
( ) 23
22C4 =
+≥=
Etes .
Gambar 4.2.c menunjukkan graf C5 dengan bobot setiap sisinya adalah
3)( 21 =xxwt , 4)( 32 =xxwt , 7)( 43 =xxwt , 6)( 54 =xxwt dan 5)( 51 =xxwt .
Bobot sisi terbesarnya adalah 727)( 43 =+≥= Exxwt . Oleh karena itu, label
terbesar dari graf C5 tersebut paling sedikit 33
2=
+E. Pada Gambar 4.2.c
menunjukkan bahwa label terbesarnya adalah 3, sehingga diperoleh
( ) 33
23C5 =
+≥=
Etes .
Pelabelan yang lebih kecil daripada pelabelan seperti pada Gambar 4.2 tidak
mungkin dilakukan. Oleh karena itu, nilai ketakteraturan total sisi dari suatu graf
tidak mungkin kurang dari
+
32E
.
Selanjutnya akan dibahas tentang nilai ketakteraturan total sisi graf lintang nsL
untuk suatu bilangan bulat positif 1≥s dan 2≥n berdasarkan batas bawah dari
Teorema 4.1, menurut Nurdin dkk. (2005).
18
4.2. Nilai Ketakteraturan Total Sisi s Kopi Graf Lintang nsL
Suatu graf lintang nsL , untuk suatu bilangan bulat positif 1≥s dan 2≥n ,
tepat mempunyai nilai ketakteraturan total sisi sebesar
+
322ns seperti yang
dituliskan dalam Teorema 4.2. Sebagai ilustrasi, diberikan graf nsL pada
Gambar 4.3.
11v
12v
13v
1nv
2v1v
21v
22v
23v
2nv
4v3v
sv1
sv 2
sv 3
snv
sv212−sv
Gambar 4.3. Graf nsL
Teorema 4.2. (Nurdin dkk., 2005) Untuk suatu bilangan bulat positif 1≥s dan
2≥n berlaku
( )
+
=3
22nssLtes n .
Bukti. Dimisalkan
( ) }21,1|,{ 2 sjnivvsLV j
j
in ≤≤≤≤=
dan
( ) }21,1|{ 2 sjnivvsLEj
ijn ≤≤≤≤=
.
Karena jumlah sisinya, yaitu nsE 2= , maka berdasarkan batas bawah dari
Teorema 4.1 diperoleh
( )
+
≥3
22nssLtes n . (4.1)
19
Selanjutnya dibuktikan kebalikan dari pertidaksamaan tersebut, yaitu
( )
+
≤3
22nssLtes n .
Dimisalkan
+
=3
22njM j , untuk sj ...,,2,1= dan dikonstruksikan pelabelan-
sM total tak teratur sisi λ dari graf nsL .
Label titik dikonstruksikan sebagai
( )
=
2jj Mvλ untuk j = 1, 2, ..., 2s
dan
( )
( )
( )
−−−=−=
−
−=
+−−
−++−
=
,12...,,1,0dengan,untuk
,
2...,,2,1untuk
,2
1212
1
2
1
11
2
2
Mnnkkni
kM
Mni
iMnnMM
v
j
j
j
iλ
sedangkan label sisi sebagai
( )
−−++
−
=
22 212
2j
ij
j
ij vvqjnvv λλλ
untuk ni ...,,2,1= dan sj 2...,,2,1= dengan .genapjika,
ganjiljika,
+=
jinji
q
Label terbesar dari pelabelan tersebut dapat ditentukan. Sebelumnya akan
ditunjukkan urutan nilai yang digunakan sebagai label sisi. Diambil sembarang j
dan 'j di { }s2...,,2,1 dengan 'jj < , maka untuk setiap ni ...,,2,1= berlaku
≤
2'
'2
j
ij
j
ij vvvv λλ
dan sembarang i dan 'i di { }n...,,2,1 dengan 'ii < , maka untuk setiap
sj 2...,,2,1= berlaku
.22'
≤
j
ij
j
ij vvvv λλ
20
Oleh karena itu, untuk sisi
2j
ij vv dengan ni ...,,2,1= dan sj 2...,,2,1= , label
terbesar diperoleh pada i = n dan j = 2s, yaitu
.3
223
2223
223
322222
32222)()1(22
+
≤
+
−
+
=
+
−+=
+
−+++−=
ns
nsns
nsns
nsnnsnvvj
ijλ
Titik vj dengan sj 2...,,2,1= , label terbesar diperoleh pada sj 2= , yaitu
( )
+
==3
222
nsMv ssλ
dan untuk titik
2j
iv dengan ni ...,,2,1= dan sj 2...,,2,1= , label terbesar
diperoleh pada i = n dan j = 2s, yaitu
.3
22022
22
+
==−=
nsMMv ss
s
nλ
Jadi label terbesar pada pelabelan tersebut adalah
+
322ns .
Selanjutnya ditunjukkan bahwa bobot setiap sisi berbeda. Bobot setiap sisi graf
nsL adalah
( )
212
2
222
++
−
=
+
+=
qjn
vvvvvvwtj
i
j
ijj
j
ij λλλ
dengan { }ni ...,,2,1∈ , { }sj 2...,,2,1∈ dan .genapjika,
ganjiljika,
+=
jinji
q
Oleh karena itu, untuk { }nii ...,,2,1, ' ∈ dan { }sjj 2...,,2,1, ' ∈ dengan 'jj ≠
terdapat tiga kasus sebagai berikut.
21
1. Jika j dan 'j keduanya ganjil, maka
212
22 ++
−
=
ijnvvwtj
ij
dan
212'2 '2
'
'' ++
−
=
ijnvvwtj
ij.
Andaikan
=
2'
2''
j
ij
j
ij vvwtvvwt , maka
'
2'2
22 ijnijn +
=+
atau .
2'
22 ' iijjn −=
−
Karena { }nii ...,,2,1, ' ∈ , maka 1' −≤− nii . Akibatnya
21
21
21
21
2'
2<−=
−≤
−
nnnjj . (4.2)
Karena { }sjj 2...,,2,1, ' ∈ dengan 'jj ≠ , maka
12'
2−≤
−
sjj . (4.3)
Diberikan beberapa contoh untuk 1≥s adalah sebagai berikut.
Jika 1=s , maka 2,1=j . Untuk 'jj ≠ diperoleh
022
'
=
−
jj .
Pertidaksamaan (4.3) menunjukkan kebenaran bahwa
012'
2=−≤
−
sjj , sedangkan pertidaksamaan (4.2)
menunjukkan kemungkinan lain bahwa
−
2'
2jj dapat kurang dari
21 .
22
Jika 2=s , maka 4,3,2,1=j . Untuk 'jj ≠ diperoleh
122
'
≤
−
jj .
Pertidaksamaan (4.3) menunjukkan kebenaran bahwa
112'
2=−≤
−
sjj , sedangkan pertidaksamaan (4.2) menunjukkan
bahwa
−
2'
2jj hanya kurang dari
21 .
Jika 3=s , maka 6,5,4,3,2,1=j . Untuk 'jj ≠ diperoleh
222
'
≤
−
jj .
Pertidaksamaan (4.3) menunjukkan kebenaran bahwa
212'
2=−≤
−
sjj , sedangkan pertidaksamaan (4.2) menunjukkan
bahwa
−
2'
2jj hanya kurang dari
21 .
Berdasarkan contoh yang diberikan, maka pertidaksamaan (4.2)
kontradiksi dengan pertidaksamaan (4.3). Sehingga untuk sembarang i, 'i ,
j dan 'j diperoleh
≠
2'
2''
j
ij
j
ij vvwtvvwt .
2. Jika salah satu dari j dan 'j adalah ganjil, dimisalkan j ganjil dan 'j
genap, maka
212
22 ++
−
=
ijnvvwtj
ij
dan
212'2 '2
'
'' +++
−
=
injnvvwtj
ij .
23
Andaikan
=
2'
2''
j
ij
j
ij vvwtvvwt , maka
'
2'2
22 injnijn ++
=+
atau iijjn −=
−
−
'
21
2'
22 .
Karena { }nii ...,,2,1, ' ∈ , maka 1' −≤− nii . Akibatnya
121
2'
22 −≤
−
−
njjn
atau
1211
212
2'
2<−=
−≤
−
nnnjj
. (4.4)
Karena { }sjj 2...,,2,1, ' ∈ dengan 'jj ≠ , maka
12'
2−≤
−
sjj . (4.5)
Seperti pertidaksamaan (4.2) dan (4.3) pada Kasus I, demikian juga
pertidaksamaan (4.4) kontradiksi dengan pertidaksamaan (4.5). Sehingga
untuk sembarang i, 'i , j dan 'j diperoleh
≠
2'
2''
j
ij
j
ij vvwtvvwt .
3. Jika j dan 'j keduanya genap, maka
212
22 +++
−
=
injnvvwtj
ij
dan
212'2 '2
'
'' +++
−
=
injnvvwtj
ij .
Andaikan
=
2'
2''
j
ij
j
ij vvwtvvwt , maka
'
2'2
22 ijnijn +
=+
atau .
2'
22 ' iijjn −=
−
24
Karena { }nii ...,,2,1, ' ∈ , maka 1' −≤− nii . Akibatnya
21
21
21
21
2'
2<−=
−≤
−
nnnjj . (4.6)
Karena { }sjj 2...,,2,1, ' ∈ dengan 'jj ≠ , maka
12'
2−≤
−
sjj . (4.7)
Seperti pertidaksamaan (4.2) dan (4.3) pada Kasus I, demikian juga
pertidaksamaan (4.6) kontradiksi dengan pertidaksamaan (4.7). Sehingga
untuk sembarang i, 'i , j dan 'j diperoleh
≠
2'
2''
j
ij
j
ij vvwtvvwt .
Jadi terbukti bahwa bobot setiap sisi berbeda.
Karena bobot setiap sisi berbeda dan label terbesar yang digunakan adalah
+
322ns , maka diperoleh nilai ketakteraturan total sisi graf nsL adalah
( )
+
≤3
22nssLtes n . (4.8)
Berdasarkan pertidaksamaan (4.1) dan (4.8), terbukti bahwa untuk suatu
bilangan bulat positif 1≥s dan 2≥n diperoleh nilai ketakteraturan total sisi graf
nsL adalah
( )
+
=3
22nssLtes n . (4.9)
■
Suatu graf lintang nsL dengan konstruksi pelabelan seperti pada pembuktian
Teorema 4.2, label setiap titik dan sisinya dapat disajikan dalam sebuah matriks.
Secara umum matriks tersebut disajikan seperti pada halaman selanjutnya.
25
L1 ( ) =nsL
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
nnnvvwt
vvvnvvnvvnv
nvvnvvvnv
vvnvvvv
vvnvvvv
vvnvvvvvv
vvwtvvvvv
j
j
i
n
nnnn
n
in
2243
22430
2220002
000
440004
330003
0243
2
2
2
221
2122
112
2111
11
212
12
121
12
211
11
111
11
11
121
11111
1211
2111
+++
+−++−++−+
++−++−+
+−++−
+−++−
+−++−+−
L
L
MMOMM
L
L
λλλλλλλ
λλλλλ
λλλλλ
λλλλλ
λλλλλλλ
26
L2 ( ) =nsL
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
nnnvvwt
vvvnvvnvvnv
nvvnvvvnv
nvvnvvvnv
nvvnvvvnv
vvnvvnvvnvv
vvwtvvvvv
j
j
i
n
nnnn
n
in
423433
4234330
324200032
000
243400024
233300023
0322423
2
2
4
442
4224
214
4222
32
422
22
223
22
421
21
213
21
23
223
21333
3422
2213
+++
+−++−++−+
++−++−+
++−++−+
++−++−+
+−++−++−+
L
L
MMOMM
L
L
λλλλλλλ
λλλλλ
λλλλλ
λλλλλ
λλλλλλλ
.
.
.
27
Lj ( ) =nsL
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
jnnjnjvvwt
vvvnvvnvvnv
njvvnvvvnv
njvvnvvvnv
njvvnvvvnv
vvnvvnvvnvv
vvwtvvvvv
j
j
i
ssj
nsj
sj
s
sj
nj
nj
nsj
n
sjjj
sj
sjjj
sj
jns
js
jsss
issj
njj
s
22)12(4)12(3
6254530
)12(26200052
000
)22(45400044
)22(35300043
0524443
2
2
4
2222212
212
2222122
2111121
122121121212
1222112
+−+−+
+−++−++−+
−++−++−+
−++−++−+
−++−++−+
+−++−++−+
−
−
−
−−−−−
−−
L
L
MMOMM
L
L
λλλλλλλ
λλλλλ
λλλλλ
λλλλλ
λλλλλλλ
28
Berikut diberikan contoh graf lintang 3L9, dengan gambar graf seperti pada
Gambar 4.4.
31v
32v
13
33v
34v
35v
13
18
17
16
15
36v
14
38v
37v
15
15
15
15
17
18
18
18
18
39v
15 18
14
14
15
16
17
18
19
13
14
5v13 6v 19
11v
12v
4
2
1
3
13v
14v
1
2
15v
1
6
54
3
16v
5
2
18v
6
17v
2
3
3
3
3
5
6
6
6
6
19v
7
3 6
1v1 2v 7
21v
22v
10
8
7
9
23v
24v
7
8
25v
7
12
1110
9
26v
11
8
28v
12
27v
8
9
9
9
9
11
12
12
12
12
29v
13
9
12
3v7 4v 13
Gambar 4.4. Pelabelan-19 total tak teratur sisi graf 3L9
Pelabelan setiap titik dan sisi dari graf 3L9 tersebut diperoleh dari matriks Lj( nsL ),
yaitu sebagai berikut:
L1(3L9) =
201918171615141312
7666666554011670000000031060600000003960050000003860004000003760000300003660000020003550000002002450000000102340000000011
03333332211
2
2
2
2
19
18
17
16
15
14
13
12
11
1
1219
18
17
16
15
14
13
12
111
j
j
i
i
vvwt
vvvvvvvvvvv
vvwtvvvvvvvvvvv
29
L2(3L9) =
( )
( ) 383736353433323130131212121212121111100
2912130000000092812012000000092712001100000092612000100000092512000090000924120000080009231100000080082211000000070821100000000077
09999998877
2/4
4
29
28
27
26
25
24
23
22
21
3
2/34
29
28
27
26
25
24
23
22
213
ji
ji
vvwtvvvvvvvvvvv
vvwtvvvvvvvvvvv
L3(3L9) =
( )
( ) 565554535251504948191818181818181717160
471819000000001546180180000000154518001700000015441800016000001543180000150000154218000001400015411700000014001440170000000130143916000000001313
015151515151514141313
2/6
6
39
38
37
36
35
34
33
32
31
5
2/56
39
38
37
36
35
34
33
32
315
ji
ji
vvwtvvvvvvvvvvv
vvwtvvvvvvvvvvv
Dari pelabelan yang disajikan dalam matriks L1(3L9), L2(3L9) dan L3(3L9),
terlihat bahwa bobot setiap sisi berbeda dan label terbesarnya adalah 19. Oleh
karena itu, pelabelan pada graf 3L9 merupakan pelabelan-19 total tak teratur sisi
dengan nilai ketakteraturan total sisinya adalah ( ) 193 9 =Ltes . Jika ( )93Ltes
dihitung dengan persamaan (4.9), maka diperoleh hasil yang sama, yaitu
( ) 193
23.9.23 9 =
+
=Ltes .
30
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan maka dapat disimpulkan
sebagai berikut.
1. Pelabelan-k total tak teratur sisi dapat diberikan pada graf lintang nsL , untuk
suatu bilangan bulat positif 1≥s dan 2≥n , dengan aturan pelabelan tertentu.
2. Nilai ketakteraturan total sisi dari graf lintang nsL , untuk suatu bilangan bulat
positif 1≥s dan 2≥n , dapat ditentukan. Berdasarkan pembahasan Teorema
4.2, diperoleh nilai ketakteraturan total sisi graf lintang nsL adalah
( )
+
=3
22nssLtes n .
31
DAFTAR PUSTAKA
Bača, M., S. Jendrol, M. Miller and J. Ryan. On Irregular Total Labelings.
Discrete Mathematics. Accepted for publication March 2003.
Bondy, J. A. and U. S. R. Murty. (1976). Graph Theory with Applications.
Elsevier Science Publishing Company Inc, New York.
Chartrand, Gary and O. R. Oellermann. (1993). Applied and Algorithmic
graph Theory. McGraw-Hill Inc, New York.
Chartrand, Gary. (1986). Introductory Graph Theory. Dover Publications Inc,
New York.
Deo, Narshingh. (1980). Graph Theory with Applications to Engineering and
Computer Science. Prentice-Hall of India, New Delhi.
Fletcher, P., H. Hoyle and C. W. Patty. (1991). Foundation of Discrete
Mathematics. PWS Kent Publishing Company, Boston.
Johnsonbaugh, R.(2001). Discrete Mathematics. Fifth Edition. Prentice Hall,
New Jersey.
Nurdin, E. T. Baskoro dan A. N. M. Salman. (2005). Nilai Ketakteraturan
Total Sisi dari Graf Lintang. Seminar Nasional MIPA, Depok.
Wallis, W. D. (2001). Magic Graph. Birkhauser, Boston.
