/

BE CONTACTÜ SUPERFICIERUM

OBSERVATIONES.

DISSERTATIO,

quam

VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL.

p. p.

mag. CAROLUS ADOLPHUS FORSSELLAD GYMNASIUM G BVAL. VICARIU8 MATH. LECTOR

ET

JOHANNES AUGUSTUS UDDENBERGCAAMAR.

in audit. gustav. die xi febr. mdcccxxxvii.

η. a. m. s.

P. i.

υ Ρ S A L I ΜKXCUDEBANT REGIME ACADEMIJi TYfOGRAPHI.

DE CONTACTU SUPERFICIERÜMOBSERVATIONES.

§· iQuemadmodum theoria contactus linearum simplicis cur-

yaturae iis nititur principiis, ut inter lineam datam ejus-que lineam tangentem vel osculantern nulla alia, quae cumhac ejusdem sit speciei, possit describi linea; ita etiamdatae cujusdam superficiei tångens vel osculans superficiesex iisdem principiis determinabitur. Magnam vero interhaec duo contactus genera interesse diversitatem, facilepercipitur. Quum enim per intersectiones numero infini¬tes in dato puncto superficiei tot lineae, omnes forsan di-versae curvaturae, gignuntur, plane perspicuum est, hancsuperficiem in hoc puncto multiplicem habere curvaturam.Si igitur alia superficies cum illa plenum habeat conta-ctum, eandem habebit curvaturae multiplicitatem; e qua

«onditione haec superficies determinanda est. Haec a priori.Analytica hujus materiei tractatio, quae heic nobis propo»«ita est, hanc aliasque yeritates de hac re ulterius ex-plicabit.

2

§. 2.Sit

z~F(x,y) (ι)

aequatio absolute data superficiei, cujus quaeratur super¬ficies tångens vel osculans expressa hac aequatione

* = ,y) (2)specie tantummodo data, i. e. cujus quanta conslanfia ad-liuc indeterminata sunt, ita vero determinanda, ut pro—xime ad punctum datum commune, cujus coordinaUe or¬

thogonales sinfc ζ t x't y\ nulla possit interpolari alia super¬ficies , quse cum hac ejusdem sit speciei. Ponamus igitursuperficiem hac aequatione

ζ zzif(χ, y) . ► . (5)specie tantummodo data, expressam, quae cum superfieieaequalione (2) expressa ejusdem sit speciei, et per pun¬ctum datum primae superficiei transeat, perinde ac super¬ficies (2). Unde patet utique

F(p y) ~φ(χ, y) =/(*', y) . : . (4).Quum yero jam quaestio est, quae fiant ordinatas F(x,y)tφ{χ>y) et f(x>y) in omnibus punclis, quac ipsi dato suntproxima, ad eum scilicet finem, ut has ordinatas superfi-cierum comparare possimus; abscissis x, y dare oportetincrementa, per litteras h> k designata, quorum ratioplane indeterminata sit, ita ut omnes cöiuprehendat yalo-lores inde a 0 usque ad 00 inclusive.

Fient ulique ex Theoremate TayIorian<?

F(x'+ k,y' +kj=: F(x, y·) + h + —

+4{^+/j^;+£W/,}+ää.m+*.»'+*) =«*rt + a + ά-φψ1 *{^κψμ)ΗΖ 2£^<f)u + +&c;t άν2 dx .dy 4 t/y z |

rf' \ t ' % l \__ /■/·' μ . d f(x'>y')u . d'f(*>y) lf(x -j-h,y -f- —/(# yj -{ —;— h --— kax dy

yel si brevitatis caussa ponamus

d.Fix,y)__ d. F(x ,y) d\F{x,y)dx ^' dy dx'z *~"rp

dz. F(x\y) d. F(x\y)dx\dy S" dy2· 1

d.<p(x\y) , d.q>{x,y) , dz φ[χty)—*Γ-= Ρ> dy =«' —^- = K'

d*.<p[x,y)__ , dz q(x\y') _

dx'.dy f dy2, '

4

d.f(x,y) __ „ d*f{x\y)_ „

dx —P ' dy —q'~dx'r~=*r'dz f{x<v) „ dz f[x\y')_ ,

dx \ dy * dy2series ita exprimentur

F(x Å, y! -f· k) = F(x , y) -\-ph~\-qk

+ i -\~2shk -f· tkA ( -f &c·<P(x+fi,y +k) z=<p{x',y') + ph + q k

+ χ ^rh2 4- zshk -{-t'k2^ 4- &c.ψ+ A, i 4- k)=.f{x'. y) 4- p"h4- q k

4- i r"h2 4- 2t"hk 4- t"k2 ^ 4" &G·

Quo superficies (2) in omnibös punctis, quae ipsi datosunt proxima, Semper propior sit superficiei (1) quam su¬

perficies (5), fiat oranino necesse est, ut differentia in terordinatas primae et secundae seraper minor sit quam dif¬ferentia inter ordinatas primae et tertiae. Hae differenti»Moc modo exprimantur^ considerata asquatione (4),

Δ(ί, 2) = {p-p)h -\'{q-q) k

4" τ I (γ- Ο k2- 4- 2 (χ- /) h. k 4- (/■- Οk2 ^ 4"Α 4- {q-q' )k

4~x ^(*'~r")^2 4r 2(t-s")h*k^r (*-*") k2^ 4~ —-

5 '

JE* hypothesi igitur fiat neeegse estδ (/, i) < h (1,3).

Jam vero cum incrementa h et A, quorum secundum di-gnitates procedunt istse series, plane indefinita sint, ideo-que tam parva determinari possint, ut summa termino¬rum primi ordinis summa ceterorum major sit, haec inae·^qualitas in genere adesse non potest, nisi sit

p — p'ask Oy , . . , t r , (5).ρ wz, ρ ; ί = *

Hoc modo ßet

Δ (/,ζ) = l ^ (t?-r)hr% -f i(s-s)h.k 4-(** f)-k* ^ -f &lc«m'* 3) = (p-*"}ä + (ί-f)4

+ | j (r-r)Ä* 4- *(/-/")*.A + (f-*")**5 + &c·Si vero, ex special* quodam valöre ipsorum p" et q", Se¬rent etiam

n„ _ _

p-p =0; —ö

series istse a terminis ejusdem ordinis inciperent ί ideoqueinamualitas ista

Δ ('>» 2) < A (t; i)in genere adesse non potest > nisi sit

6

Quum igitur series A (/,2), A (1,3) indefinite eontinuatasconcipere possimus, idem, quod de coefficientibus termi¬norum primae (5) et^ secundae (6) dimensionis, concluderelicet de ceteris coefficientibus terminorum ejusdem interse dimensionis.

§· 5·Jatn verö cum ex hypothesi aquatio 2= F(at, y) ab¬

solute data sit et coordinahe puncti contactus etiam de-terminaise, non solum ipsa sed et omnes ejus functionesderivatae ρ, q, r> /, t Scc. non nisi cognitos valöres eon.tinent. Sed vicissim sequatio 2Z=:<p(x,y), quae tantum-modo specie data est, omnesque ejus functiones derivataeρ, q', r\ /, t Sc.c. numerum continent quantorum con-

stantium, qusc omnia ex aequationibus (4), (5), (6) &c.per eliminationem dcterminari possunt. Si per A', AA" An quanta constantia cequalionis 2 = <£>(#, y)designantur, η denotat numerum aequationum, quibus adliaec quanta determinanda opus est. Ex hoc numero pen-det gradus Contactus, quem habet superficies ζ~φ(χ,ρ)cum ipsa primo data ζ z=z F(x, y). Si ex. gr. 11 rz 3 h. e.aeqiu ζ~φ(χ, y) contineat tria quanta constantia, hsecsuperficies contactum primi ordinis cum proposita haberedicitur, quia ad eam determinandam tantummodo ooeffi-

7

cientibus differentialibus primi ordinis opus habetnus. Easuperficies est planum, cujus sequatio in genere est

ζ — Αχ —j— Hy —C«

Si vero sequatio φ(χ, y) sex quanfa constantia contr-neat, quibus pro determinandis omnes coefficientes diffe-rentiales secundi ordinis adhibere cogimur, ea superficiescontactum secundi ordinis habere dicitur, et sie porro. —

Plenum igitur contactum eae tantummodo habent superfi¬cies, quarum sequationes continent tria, sexr decem, quin-decitn &c. quanta constantia; quos scilicet numeros effi—ciunt summse coefficientium differentialium, ut dicuntur,

partialium. Sic ex. gr. superficiem, quse contactum quartiordinis habeat, definit aequatio quindeeim quanta constan¬tia continens. Si vero tam aretus fieri possit contactus,nec ne, e natura cequationis ζ zzz F(xy y) necessario pendet.

Nonnumquam aequatio ζζζζφ(χ,ρ) minorem continefcquantorum constantium numerum, quam pro pleno con-tactu necessarium; sed in hoc casu per caussas singula-res pauciores semper fiunt sequationes pro superiori gradunecessarise. Ita ex, gr. aequalio Sphaeras quattuor conti-net quanta constantia, ad quae determinanda non solumbis tribus F(x\ y) = φ [x\ y), pznp, sed ejs ce-teris ad contactum secundi ordinis pertinentibus r — r\s — /, uuo opus est. — Facile prseyidenius, sphse-

ram, quse constantem curvaturam habeat, non nlsi sectta-dum ünam intersectionem contingere posse superficiemsuperioris ordinis. Inde sequitur, rationem inter incre-menta h et k determinatam esse debere; quo denique tre»

posteriores »quationes ad unam reyooantur. De his ul·-ierius infra.

§. 4.Cum igitur järn théoriam contaotus superficierum ia

genere proposuimus, ad singulas quasdam descendainusspecies superficierum tangentium vel osculantium. — Sitζ rr φ (ät, y) sequatio plani, quae ita in genere exprimitur

ζ = Ax -f- By 4" C·

Quum vero superficiem datam ζ « F(x, yj illud planumcontingere debeat in puncto dato, cujus coordinatae eint%'* x\ y, fiet aequatio

2' =r Ax 4- By 4- C,quam subtrahendo hane habemus plani tangentis sequationeni

z-z'~A{x-x) 4- B{y-y).Resfat igitur determinare quanta eonstantia A et B f quodfit per acquationes (5) q == q. Per differentiatio-nem igitur habebimus

dz _ dz