Oscilacijsko gibanje

Opis gibanja

x2x1

km

povratna sila

xkF

12 xxx

Gibanje je opisano 2.Newtonovim zakonom :

amF

t

vmxk

xm

k

t

v

xx Uz izbor x1=0 ; x2=x

Model napisan u editoru COACH-a 5 je:

if 20t then

ttt

tavv

m

xka

else stopendif

0t

01.0t

05.0x

0v

10k

165.0m

tvxx

Ako odaberemo omjer k/m=1 ; Δt=0.1 ;x=1 dobije se numeričkim rješavanjem :

97.0299.097.03.0

99.02.099.02.0

11.011.0

1010

avxt

grafički prikaz :tabelarni prikaz :

t

x

tx cos

fitanje

Kako je , izraz za period harmoničkog oscilatora je: m

k2

Egzaktno rješenje se dobije rješavanjem diferencijalne jednadžbe harmoničkog oscilatora :

tAx cos

022

2

xdt

xd

i oblika je :

Kako je , izraz za period harmoničkog oscilatora je:m

k2

k

mT 2

Njihalo

Malo tijelo obješeno na niti naziva se matematičko ili jednostavno njihalo .Uz pretpostavku malih otklona od ravnotežnog položaja ( mala amplituda ) , period je njihala konstantan i iznosi :

g

lT 2

Zašto visoki ljudi ili žirafe hodaju s duljim periodom koraka nego niski ljudi ili vjeverica ?

Gušeni oscilator

U jednadžbu gibanja treba uključiti silu otpora za koju možemo pretpostaviti da raste linearno s brzinom –k1v. Konstanta k1

uključuje mnoštvo utjecaja ,ali prvenstveno otpor zraka . U modelu harmoničkog oscilatora treba promijenit izraz za ubrzanje :

vkm

xka

1

Ovisno o odnosu konstante gušenja k1 i vlastite frekvencije

oscilatora mogu se pojaviti tri slučaja oscilatornog gibanja : predkritično,kritično i nadkritično gušenje .

Prisilne oscilacije i rezonancija

Razlikujemo slobodne ili prirodne oscilacije od prisilnih . Prirodno oscilira sustav pomaknut iz ravnotežnog sustava pod djelovanjem povratne sile ( sile teže kod njihala ili elastične sile kod mase na opruzi ) .Prisilno titra sustav na kojeg usto djeluje vanjska sila koja se periodički ponavlja .

Kad je frekvencija pobudne sile jednaka vlastitoj frekvenciji oscilatora , amplituda oscilacija može veoma narasti . Ta se pojava naziva rezonancija .Ima važnu ulogu u nizu domena : gibanje motora izaziva prisilno titranje dijelova auta,vjetar djeluje na zgrade i mostove , u mikrovalnoj pećnici se pobuđuju polarne molekule vode pa se hrana kuha ,radio-valovi pobuđuju u anteni struju itd.

Amplituda prisilnog osciliranja

Faktor dobrote

Faktor dobrote se može približno opisati kao broj slobodnih titraja koje izvede oscilator dok sva energija oscilatora ne pređe na okolinu.Niske vrijednosti faktora dobrote imaju jako gušeni oscilatori , koji se brzo umire nakon što prestane djelovati pobudna sila .

0Q

je širina krivulje pobude na visini A/2

Neke vrijednosti faktora dobrote :

ovjes auta 1

njihalo 1000

žica gitare 1000

kristal kvarca 100 000

pobuđ. atom 10 000 000

pobuđ. jezgra 1012

Ovjes auta

Neka čovjek sjedne iznad kotača . Koliko se sabije opruga? Kolika je konstanta opruge ? xkF xkgmčovjek

Ako kotač smatramo masom na opruzi, kolika je vlastita frekvencija sustava ovjes-kotač?

Uz brzinu od 54 km/sat =15m/s , ako se približno svakih 5 metara pojavljuje rupa ili izbočina na cesti ,onda auto dobija pobudu svakih 0.3 s , dolazi do rezonancije .Ali ako je Q=1 titranje se priguši nakon svakog titraja , pa se malo energije prenosi na karoseriju.

k

mT kotač2