Optimisation de la Frontière Efficiente Utilisation...

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Daniel HERLEMONT 1

Optimisation

de la

Frontière Efficiente

Utilisation d'Excel

Daniel HERLEMONT 2

Rappel Frontière Efficiente

� Minimiser la variance

sous la contrainte d'un

objectif de rendement

� Le Lagrangien s'écrit:

� condition du premier

ordre:

2

Daniel HERLEMONT 3

�En remplaçant ππππ dans les 2

contraintes, on obtient:

�Les facteurs de Lagrange

sont solutions de

�en posant

�on obtient la solution

Daniel HERLEMONT 4

� En posant

� tout portefeuille optimal est une combinaison linéaire de deux portefeuilles � le portefeuille de variance minimale

� le portefeuille de pente maximale

� C'est le théorème de séparation en 2 fonds

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Daniel HERLEMONT 5

Réalisation sous Excel

�Rappel sur Excel

�Construction de la frontière efficiente

�Utilisation du solver

Daniel HERLEMONT 6

Rappel Excel - définition de noms

Sélectionner la plage à nommer

puis le menu Insert/Name/Create

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Daniel HERLEMONT 7

Excel - Matrice de covariance

=rho*sigma1*sigma2

=sigma1^2

=sigma2^2

=rho*sigma1*sigma2

Daniel HERLEMONT 8

Excel - inverse de la matrice de Covariance

Dans la cellule A10 entrer la formule

=MINVERSE(A6:B7)

puis sélectionner la plage A10:B12

puis appuyer simultanément sur MAJ CTRL ENTER

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Daniel HERLEMONT 9

Excel - calcul de la frontière efficiente

=MMULT(MMULT(TRANSPOSE(mu);invCOV);mu)

=MMULT(MMULT(TRANSPOSE(mu);invCOV);UN)

=MMULT(MMULT(TRANSPOSE(UN);invCOV);UN)

=B17*B19-B18^2

On donne des noms aux vecteurs mu et 1

à l'aide du menu Insert/Name/Create

Nommer ensuite les cellules définies

Daniel HERLEMONT 10

Excel - frontière efficiente (suite)

Définir une serie de rendements

puis calculer la variance

et le sigma du portefeuille

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Daniel HERLEMONT 11

Excel - tracer le graphique

Définir un graphique du type nuage de points

(scatter plot)

avec des lignes

Puis selctionner les axes

X = colonne valeurs de sigma

Y = colonne des valeurs de mu

Daniel HERLEMONT 12

Excel - Frontière efficiente

That's all !!!!

7

Daniel HERLEMONT 13

Frontière Efficient avec Excel - Le Solver

�Excel permet de résoudre des problèmes

complexes d'optimisation avec contraintes

�Exemple: calculer des portefeuilles efficients

sous contrainte

� auto financement (pas d'apports ni retraits)

� pas de vente à découvert

� pas d'emprunt

par conséquent

(contrainte d'auto financement):

�Autres contraintes possibles: borner l'exposition à certains

actifs, certaines classes d'actifs, etc ...

0≥i

w

00 ≥w

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≤∑≠i

iw

1,0

∑=

=

mi

iw

11

≤∑≠i

iw

Daniel HERLEMONT 14

Excel - Solver - entrée des données

=F9*$C$7*$G14

=TRANSPOSE(C7:F7)

=MMULT(C6:F6;TRANSPOSE(C19:F19))

=MMULT(MMULT(w;cov);TRANSPOSE(w))

=SQRT(C23)

=SUMPRODUCT(w;ra)

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Daniel HERLEMONT 15

Excel - Solver

Portefeuille de variance minimale

Le solver est accessible depuis le menu tools/solver (ou outils/solver)

Daniel HERLEMONT 16

Excel - Solver

Pente maximaleP

PR

σmax

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Daniel HERLEMONT 17

Excel - Solver

�Rendement objectif

Noter la pondération négative du premier actif => vente à découvert

Daniel HERLEMONT 18

Excel - Solver - Options

� Paramètres de

l'optimiseur:

� iterations, précision, ....

� indications sur le type de

problème (pas indispensable,

mais peut accélérer la

convergence et la précision)

� Les paramètres peuvent

être sauver dans la feuille

de calcul pour un

réutilisation ultérieure

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