ONDASondas.fisica.edu.uy/Curso Ondas - Rubido.pdf · Existe un esquema de movimiento o ... La...

Universidad de la República – Facultad de Ciencias Licenciatura en Física Curso curricular de 5º semestre

Nicolás Rubido (IFFC)

1

Universidad de la RepúblicaFacultad de Ciencias

IFFC

ONDAS Nicolás Rubido Obrer

[email protected]



2

NNoottaass ccoommpplleemmeennttaarriiaass ddeell ccuurrssoo 22000066..

CCuurrssoo ddee OOnnddaass,, ccuurrrriiccuullaarr ddeell 55ºº sseemmeessttrree eenn llaa LLiicceenncciiaattuurraa eenn FFííssiiccaa ddee llaa FFaaccuullttaadd ddee

CCiieenncciiaass.. DDiiccttaaddoo eenn eell 22000066 ppoorr:: eell DDrr.. IIssmmaaeell NNúúññeezz ((tteeóórriiccoo)) yy eell MMrr.. MMaarrcceelloo PPoonnccee

((pprrááccttiiccoo))..

“No puede existir un lenguaje más universal y simple, más carente de errores y oscuridades, y por lo tanto más apto para expresar las relaciones invariables de las cosas naturales… Las matemáticas parecen constituir una facultad de la mente humana destinada a compensar la brevedad de la vida y la imperfección de los sentidos.”

Joseph Fourier (1822) Théorie analytique de la chaleur



3

PPrreeáámmbbuulloo

Hay ciencias que se estudian por simple interés de saber cosas nuevas;

otras, para aprender una destreza que permita hacer o utilizar algo; la mayoría,

para un puesto de trabajo y ganarse con él la vida. Si no sentimos curiosidad ni

necesidad de realizar tales estudios, podemos prescindir tranquilamente de

ellos… Como nadie es capaz de saberlo todo, no hay más remedio que elegir y

aceptar con humildad lo mucho que ignoramos…, otras cosas hay que saberlas

porque en ello, como suele decirse, nos va la vida.



4

IINNDDIICCEE GGEENNEERRAALL 11 SSIISSTTEEMMAASS CCOONN UUNN GGRRAADDOO DDEE LLIIBBEERRTTAADD …………………… Pág. 8

11..11 OSCILACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS………Pág. 8 1.1.1 Ecuación de movimiento 1.1.2 Aproximación lineal y exponente complejo 1.1.3 Balance energético 1.1.4 Ejemplos de la mecánica y del electromagnetismo 1.1.5 Aproximación no lineal 1.2 OSCILACIONES LIBRES AMORTIGUADAS……………Pág. 22 1.2.1 Amortiguamiento viscoso lineal 1.2.2 Ecuación de movimiento y soluciones 1.2.3 Balance energético 1.2.4 Ejemplos de amortiguamiento 1.3 VIBRACIONES FORZADAS Y RESONANCIAS..………Pág. 31 11..33..11 Oscilaciones forzadas 1.3.2 Influencia de la variación del término resistivo 1.3.3 Potencia absorbida

1.3.4 Ejemplos de sistemas forzados 22 SSIISSTTEEMMAASS CCOONN VVAARRIIOOSS GGRRAADDOOSS DDEE LLIIBBEERRTTAADD …………… Pág. 45

22..11 SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD….……Pág. 45 2.1.1 Péndulos acoplados

2.1.2 Modos normales 2.1.3 Modo de batidos 2.1.4 Vibraciones forzadas y amortiguadas en sistemas acoplados 2.1.5 Ejemplos

2.2 SISTEMAS DISCRETOS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD…………………………………………………….....…Pág. 56 2.2.1 Ecuaciones de movimiento 2.2.2 Cálculo de los modos normales para extremos fijos 2.2.3 Modos normales para extremo libre y dispersión 2.2.4 Oscilaciones longitudinales libres y forzadas 2.2.5 Pasaje al continuo 3 SSIISSTTEEMMAASS CCOONNTTIINNUUOOSS YY AANNÁÁLLIISSIISS DDEE FFOOUURRIIEERR…………… Pág. 68

3.1 SISTEMAS UNIDIMENSIONALES………………….……Pág. 68 3.1.1 Análisis de vibraciones de una cuerda delgada 3.1.2 Balance energético 3.1.3 Cálculo de los modos normales de una cuerda

3.1.4 Sobretonos y armónicos 3.1.5 Desarrollo en serie de Fourier (*) 3.1.6 Efectos de frontera sobre la cuerda vibrante libre

Cuerda con extremo fijo y otro libre a tensión constante Cuerda tensa con extremo fijo y otro con carga másica Cuerda colgada de un extremo (tensión gravitatoria)

3.1.7 Vibraciones forzadas sobre una cuerda Cuerda fija, forzada por un extremo

Cuerda con carga másica en extremo opuesto al forzado Cuerda forzada con carga resistiva

3.1.8 Impedancia



5

33..22 SISTEMAS BIDIMENSIONALES………………..….……Pág. 89 3.2.1 Vibración de una superficie plana 3.2.2 Modos normales de una membrana rectangular 3.2.3 Membranas circulares 3.2.4 Modos normales de una membrana circular 3.2.5 Membrana forzada 3.2.6 Desarrollo de Bessel 33..33 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES………………..…….Pág. 101 44 PPRROOPPAAGGAACCIIÓÓNN DDEE OONNDDAASS……………………………………………………………………………… Pág.102

44..11 ONDAS UNIDIMENSIONALES…………………….……Pág. 102 4.1.1 La ecuación de onda unidimensional 4.1.2 Solución de D’Alembert 4.1.3 Ondas armónicas y velocidad de fase 4.1.4 Reflexión en la frontera e Interfases 4.1.5 Transporte de energía 44..22 PAQUETE DE ONDAS O PULSO……………….…...…Pág. 112 4.2.1 Desarrollo de Fourier en complejos 4.2.2 Integral de Fourier 4.2.3 Velocidad de grupo 4.2.4 Balance energético de un pulso 4.2.5 Paquete Gaussiano 44..33 ONDAS TRIDIMENSIONALES………….……….…...…Pág. 122 4.3.1 Ecuación de onda tridimensional 4.3.2 Ondas planas 4.3.3 Ondas esféricas 4.3.4 Ondas cilíndricas 4.3.5 Ondas escalares y vectoriales 55 OONNDDAASS EELLEECCTTRROOMMAAGGNNÉÉTTIICCAASS…………..…………………………………………………… Pág.129

55..11 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS……….……….…...…Pág. 129 5.1.1 Ecuación de ondas electromagnéticas 5.1.2 Ondas EM monocromáticas planas 5.1.3 Ondas EM en materiales dieléctricos 5.1.4 Ondas EM en materiales conductores 55..22 LEYES DE LA REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN…..…...…Pág. 137 5.2.1 Condiciones de frontera 5.2.2 Ecuaciones de Fresnel 5.2.3 Ecuaciones de incidencia INCIDENCIA NORMAL

INCIDENCIA OBLICUA ÁNGULO DE BREWSTER

55..33 POLARIZACIÓN Y DIFRACCIÓN..…...….……….…...…Pág. 144 5.3.1 Polarización lineal, circular y elíptica 5.3.2 Polarizadores 5.3.3 Difracción 5.3.4 Aproximación de Fresnel-Kirchhoff 5.3.5 Difracción de Fresnel y Fraunhoffer

55..44 ÓPTICA DE RAYOS……….………………….…….…...…Pág. 158 5.4.1 Onda localmente plana 5.4.2 Ecuaciones fundamentales 5.4.3 Casos excepcionales



6

66 OONNDDAASS AACCÚÚSSTTIICCAASS……………………………………..…………………………………………………… Pág.163

66..11 ECUACIONES LINEALES……….……….…...…Pág. 163 6.1.1 La ecuación de estado 6.1.2 Ecuación de continuidad 6.1.3 Ecuación dinámica de Euler 6.1.4 Ecuación de onda lineal 6.1.5 Ondas acústicas planas e impedancia acústica



7

PPRRÓÓLLOOGGOO

Las vibraciones u oscilaciones de los sistemas mecánicos constituyen uno de los

campos más estudiados e importantes de la Física. El mundo está lleno de cosas que se mueven;

virtualmente todo sistema posee una capacidad de vibración y la mayoría de los sistemas pueden

vibrar libremente de muchas maneras diferentes. En general, las vibraciones naturales de objetos

pequeños suelen ser rápidas, mientras que las de los más grandes suelen ser lentas. La

característica común de todos estos fenómenos es su periodicidad. Existe un esquema de

movimiento o desplazamiento que se repite una y otra vez. Puesto, que se desea insistir más

sobre los sistemas físicos que sobre las matemáticas, se ha de comenzar por el sistema físico

más simple y no por la onda más simple. Esto se debe a que las ondas son algo complicadas

físicamente, debido a que implican interacciones entre gran número de partículas.

El concepto de sistema es muy general. Podemos definir un sistema como un conjunto

de elementos estructurados e interconectados de una manera definida. En otras palabras, es un

conjunto de elementos asociado a un conjunto de relaciones entre elementos. Los elementos o

componentes de un sistema pueden ser de naturaleza física, química, biológica o una

combinación de los tres. Si son físicos, pueden ser mecánicos, eléctricos, térmicos, etc. Una

característica fundamental de un sistema así definido es la existencia de entradas (input) y

salidas (output). Nombres más específicos para el primero incluyen causa, estímulo, función

motora (driving function), función impulsora (forcing function), etc., y para la última, efecto,

respuesta, función respuesta, etc.

Estos términos implican que si una entrada varía de una manera particular, la salida será

forzada a variar de una manera particular. La dependencia de la salida con respecto a la entrada

se define por la ley del sistema. En forma ideal, esta ley puede ser expresada en términos de una

ecuación matemática con una solución analítica generalizada. Esta ecuación incluirá un cierto

número de constantes que caracterizan las propiedades del sistema. Este tipo de descripción

general de un sistema es expresado en forma conveniente por medio de un diagrama en bloques.

Una cuestión fundamental que debemos distinguir en el comportamiento de cualquier sistema es

la diferencia entre un estado transitorio y un estado estacionario. Si la entrada cambia

súbitamente de un valor constante a otro valor constante o de una función periódica a otra, la

salida pasará por un estado transitorio de ajuste antes de finalmente estabilizarse en un nuevo

estado, el cual llamamos estado estacionario.

En estas notas estudiaremos cierto número de aspectos de los movimientos periódicos, y

con esas bases discutiremos los fenómenos de ondas progresivas que están estrechamente

ligadas.



8

1. SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD

Comenzaremos con el estudio de objetos que permanezcan en una zona, oscilando alrededor de

una posición promedio. Estos sistemas simples, son aquellos cuya configuración puede

especificarse completamente, en todo momento, a través de una sola magnitud, y constituirían a

posteriori el leit-motiv del estudio de las vibraciones.

1.1. OSCILACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

1.1.1. Ecuación de movimiento Comenzamos el estudio de los sistemas con un grado de libertad concentrando nuestra atención

en aquellos que cumplen la siguiente relación:

02 =+ xx ω (1.1.1)

Esta ecuación representa una ecuación diferencial lineal de segundo orden, donde se busca una

función dependiente del tiempo tal que:

(a) XIx →ℜ⊂: , siendo X el conjunto recorrido correspondiente a

cada problema correspondiente a la ecuación (1.1.1).

(b) x cumple con la ecuación (1.1.1) para todo tiempo en el intervalo I.

La solución de este problema para cuando 02 >ω , es conocida; y nos da como resultado la

expresión,

)sin()cos()( tBtAtx ωω += (1.1.2)

A ω se le llama frecuencia angular1 del movimiento, y la solución correspondiente, es la

solución a todo movimiento llamado armónico simple, que notaremos por MAS. Esta solución

explica el movimiento, de por ejemplo, una masa acoplada a un resorte o la oscilación de un

péndulo simple entre otras.

Para determinar que dicha solución sea la del problema en cuestión, en primera instancia, el

problema de Cauchy de valores iniciales debe ser satisfecho, de forma de que, la solución sea

única y las constantes queden especificadas. Para una ecuación lineal de segundo orden, es claro

que hace falta especificar las siguientes condiciones iniciales (C. I.):

ωBx

Ax==

)0()0(

⇒ )sin()0()cos()0()( txtxtx ωω

ω += (1.1.3)

1 Generalmente se utilizará el término como frecuencia solamente, observando su verdadero significado por su contexto.



9

La solución dada por (1.1.2) es el resultado de la suma de dos soluciones particulares dadas por

senos y cosenos. Por simple sustitución en (1.1.1), se ve que verifican la ecuación inicial, y

además, mediante la determinación de las condiciones iniciales esta solución queda

completamente especificada como ya se mencionó. De aquí, que podríamos plantearnos la

interrogante de si podemos escribir dicha solución, simplemente como una cosenoidal o una

senoidal. La respuesta es afirmativa y se ve a partir de la siguiente identidad trigonométrica:

)cos()sin()cos( φωωω +=+ tAtBtA o (1.1.4)

)sin()sin()cos()cos( tAtA oo ωφωφ −=

Simplemente, se realiza una redefinición de las constantes que se tenían en la primera solución.

Esta forma cosenoidal es muy común en Física, y a las nuevas constantes se las denomina por:

oA ≡ “amplitud” ⇒ ωt + φ ≡ “fase del MAS”

φ ≡ “fase inicial”

Es obvio que se puede pasar de esta solución a una senoidal simplemente exigiendo una nueva

fase que difiera en π/2 a la anterior. Para los valores iniciales hallados, en (1.1.3), tenemos que

las nuevas constantes son tales que:

ωφ

φ)0()sin(

)0()cos(xBA

xAA

o

o

==−

== (1.1.5)

Por lo que operando, se tiene que,

ωφ

)0()0()tan(

xx

−= , y 2

2 )0()0( ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+= ω

xxAo (1.1.6)

1.1.2. Aproximación lineal y exponente complejo Reafirmamos la observación de que la superposición de soluciones es solamente posible en

ecuaciones diferenciales lineales. Esto es claro al suponer dos soluciones Ψ1 y Ψ2 tales que, por

hipótesis, cumplen con la siguiente relación diferencial:

…+Ψ+Ψ+Ψ−=Ψ )()()()( 3

32

22

2

tktktkdt

td (1.1.7)

Vemos entonces, que la adición de soluciones sólo es posible si las constantes ,,, 32 …kk son

todas idénticamente nulas. Si esto es posible, ya sea por aproximación, tenemos que además

podemos realizar superposición de condiciones iniciales, dando como resultado un nuevo

conjunto de condiciones iniciales.

Volviendo a nuestra búsqueda por una solución del movimiento de los sistemas que oscilan en

MAS, una forma de hallar una solución para la ecuación (1.1.1), que facilita los cálculos



10

matemáticos a posteriori, es la introducción de soluciones complejas. Se puede definir una

función temporal análoga a la trigonométrica encontrada, como:

φ

ω

io

ti

eAA

eAtx

=

=~

~)( (1.1.8)

De aquí que podemos recuperar nuevamente nuestra solución original (1.1.4), simplemente

tomando la parte real de esta solución. La introducción de complejos se puede realizar debido a

la linealidad de la ecuación, la cual permite hallar luego la solución real, la cual es la única con

validez física2. Se realiza de igual modo el cálculo mediante soluciones complejas, debido a que

estas presentan una simplicidad mayor a la hora de la introspección matemática. Es claro, que la

diferenciación de una solución compleja, es la misma, a menos de un factor multiplicativo iω.

En este simple cálculo, a modo de ejemplo, se observa claramente la simplicidad del uso de

complejos ( ( ) ( ) )(~)(~)( txieAitxeAtx titi ωω ωω ==⇒= ).

Una justificación para la solución compleja, es partir de las que ya conocemos en cosenos y

senos. Los desarrollos en serie de dichas funciones son:

…

…

−+−=

−+−=

!4!21)cos(

!5!3)sin(42

53

θθθ

θθθθ (1.1.9)

Formando la siguiente combinación de estas funciones,

( )∑∞

=

=−++−−+=+0

5432

!!5!4!3!21)sin()cos(n

n

niiiii θθθθθθθθ … (1.1.10)

El resultado es encontrado simplemente observando que i 2 = – 1. Observamos entonces, que el

segundo miembro de esta ecuación tiene la forma del desarrollo en serie de la función

exponencial, haciendo el exponente igual a iθ. Este resultado es muy importante, hablando

matemáticamente, porque menciona una conexión clara entre la geometría plana y el álgebra.

Esta relación fue encontrada por Euler en 1748.

θθθ iei =+ )sin()cos( (1.1.11)

1.1.3. Balance energético Una nueva forma de atacar el problema de las ecuaciones de movimiento de los sistemas

regidos por la ecuación diferencial (1.1.1), es mediante lo que se llama el balance energético, o

lo que se conoce también por las preintegrales de movimiento.

Comencemos por multiplicar la ecuación (1.1.1) de la siguiente forma:

02 =+ xxxx ω (1.1.12)

2 Si se trabaja con consistencia se puede utilizar obviamente la parte imaginaria de la solución compleja.



11

Observando que,

( ) xxdtxd

=2

21

Análogamente, existe una derivación temporal similar para el segundo término de (1.1.12). De

realizar las sustituciones pertinentes, (1.1.12) resultará en la siguiente ecuación:

021

21 222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + xx

dtd ω , ∀t ⇔ exx =+ 222

21

21 ω (1.1.13)

Esta ecuación representa la conservación de energía por unidad de masa del sistema.

Se puede definir una constante elástica k, tal que:

k = m ω 2 (1.1.14)

De aquí que la energía potencial será,

2

21)( xkxU = (1.1.15)

Este procedimiento se puede realizar por el camino inverso; en vez de conocerse ω puede que se

conozca k.

Se puede afirmar que, todo sistema que dependa de un potencial cuadrático (como la ecuación

(1.1.15)) (también Newtoniano o Coulombiano) oscila armónicamente, y por ende, posee una

ecuación de movimiento como (1.1.1) y la energía del sistema aislado se conserva3.

A forma de ejemplo consideremos el siguiente potencial:

( )22

221

)(A

rA

B

rABrV

+=

+= (1.1.16)

Si trabajamos donde la distancia r cumple que r << A, entonces podemos desarrollar en serie a

este potencial. Por lo tanto,

( ) …++−≅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

44

2212

11 Ar

Ar

Ar (1.1.17)

Este desarrollo se logra (para ⎪x⎪< 1) de:

[ ] …+−++≅+ 22 )1(2111 xnnnxx n

Realizando la sustitución y la distributiva correspondiente, podemos redefinir el potencial de

forma que quede expresado como:

…++−=− 6

4

4

2

2)(A

BrA

BrABrV (1.1.18)

3 Esta aseveración puede ser corroborada a partir del teorema de Bertrand que da condiciones para que se tengan orbitas cerradas. GOLDSTEIN, “Mecánica clásica”, capítulo 3, sección 3-6; y Anexo A.



12

Es claro, que (1.1.18) representa un potencial cuadrático como (1.1.15) en la aproximación

lineal del mismo. Llamemos a este potencial por )(. rVeff . Si tenemos, que el potencial (1.1.16)

era atractivo, entonces se cumple que B = –⎪B⎪, y podemos escribir a )(. rVeff como:

224 2

)( rmkr

AB

rVeff ≡≅

Este ejemplo, ilustra la afirmación hecha con anterioridad (para pequeñas oscilaciones).

Volviendo al balance energético del sistema, tomando la solución encontrada en (1.1.4) para la

ecuación de movimiento de un sistema que oscila armónicamente (ecuación (1.1.1)), podemos

utilizarla para hallar una expresión para la energía del sistema. Las energías cinética y potencial

son:

)(cos

21

)(sin21

222

222

φωω

φωω

+=

+=

tAmU

tAmK

o

o

⇒ 22

21

oAmE ω= (1.1.19)

1.1.4. Ejemplos de la mecánica y del electromagnetismo Trataremos ahora, con problemas Físicos que derivan de la ecuación diferencial (1.1.1).

(a) ESTIRAMIENTO DE UN SÓLIDO ELÁSTICO

Volvamos ahora nuestra atención a las propiedades de la materia que controlan la frecuencia de

un sistema tipo masa-muelle (por Ej. masa-resorte). El resultado final es, en primera

aproximación, conocido, y es la ley de Hooke experimental. Esta expresa una proporcionalidad

entre la carga aplicada y la distancia que esta recorre. En este proceso, cualitativamente lo que

sucede es una variación en la curvatura del muelle, o sea que se apretará o aflojará más o menos,

según el material con que esté constituido. Pero para relacionar la elasticidad de un material con

las propiedades físicas básicas conviene dejar de lado el muelle para concentrarnos en

problemas más directos.

El alargamiento simple (unidimensional) de una varilla o alambre, proporciona el caso más fácil

de estudiar (ver figura siguiente).

lo/3 2 3lo/ lo

∆l2 3∆l/∆l/3∆F

Figura (1.1.1)



13

Como se ve en la figura, para un material determinado formado por unas varillas o alambres de

una sección recta de área ∆S dada, el alargamiento ∆l bajo la acción de una fuerza en

condiciones estáticas es proporcional a la longitud inicial lo. Se define el siguiente cociente,

ol

l∆=ε (1.1.20)

Se le denomina deformación unitaria o simplemente deformación. Se define la tensión como:

SFT ∆

∆= (1.1.21)

Con tal que la deformación sea muy pequeña, menor que un 0.1% aproximadamente de la

longitud inicial, la relación entre la tensión y la deformación es lineal, de acuerdo con la ley de

Hooke. En este caso podemos escribir:

εΥ=T (1.1.22)

Donde, la constante Y, depende del material y se denomina el módulo de elasticidad de Young.

Si combinamos las definiciones y esta relación lineal, obtenemos (en forma diferencial):

oll

SF ∆

Υ=∆∆ ⇒ dl

lSdF

o

Υ∆= (1.1.23)

Esta relación lineal expresa la extrapolación normal de la fuerza opuesta a la restauradora

(principio de acción y reacción).

En la siguiente tabla se expresan algunos valores aproximados conocidos de ciertos materiales.

Material Módulo de Young ( 2/N m )

Acero 20 x 1010

Aluminio 6 x 1010

Cobre 12 x 1010

Latón 9 x 1010

Vidrio 6 x 1010

Tabla (1.1.1)

Si se cuelga un cuerpo de masa m del extremo de un alambre de sección recta de área ∆S dada y

masa despreciable, la ecuación de movimiento resultante para este sistema será:

mgyl

Symo

−Υ∆

−= (1.1.24)

Donde se supuso que y es el alargamiento del alambre respecto de su posición natural (de

equilibrio). Por lo que la ecuación diferencial toma la forma de una ecuación lineal de segundo

orden (no homogénea) de coeficientes constantes, similar a la (1.1.1).

gyml

Syo

−=Υ∆

+ (1.1.25)



14

Es claro que como conclusión, el sistema oscilará con frecuencia angular:

omlSΥ∆

=2ω (1.1.26)

(b) MUELLE DE AIRE

Uno de los temas más importantes que se tratará será el análisis de las vibraciones de columnas

de aire y la producción de sonidos musicales. Como base introductoria al futuro estudio de estos

temas es el muelle de aire. Un sistema como tal se explicita en la siguiente figura (Figura

(1.1.2)).

El pistón tiene cierta presión y su posición de equilibrio variará

según esté el tubo vertical u horizontal. Si el tubo se encuentra

como en la figura, la presión del gas debe estar por encima de la

atmosférica de forma de soportar el peso del émbolo (de modo

semejante al alargamiento de un muelle). Pero ahora, si el pistón

se mueve una longitud y, alargándose la columna de aire, la

presión interna desciende y como resultado se obtiene una

fuerza restauradora sobre m en la dirección y. Sea tal fuerza:

)( .atmy PPSPSF −=∆= (1.1.27)

Entonces, en el equilibrio, la ecuación de movimiento es:

Figura (1.1.2) mgPPSym atm −−= )( . (1.1.28)

Esta, es una ecuación diferencial de segundo orden como (1.1.25) ya que el desplazamiento y,

aparece como variable funcional en ∆P (∆P = ∆P (y)). Para poder hallar dicha variación

funcional, debemos saber el proceso por el cual se lleva al émbolo desde su posición inicial a la

actual. Como se busca un estado de equilibrio para todo tiempo t, nos concentraremos en

procesos cuasi-estáticos reversibles y supondremos al aire como gas ideal. Dos procesos

aplicables son:

Proceso isotérmico reversible: PV = Const.

Proceso adiabático reversible: PV γ = Const.

Trataremos con el segundo caso debido a su mayor generalidad, se obtiene el primer proceso si

imponemos que γ (el cociente entre las capacidades caloríficas) sea igual a la unidad4.

Comencemos por diferenciar la expresión de presión-volumen de un proceso adiabático.

( ) 0=γPVd ⇒ 0=+ γγ PdVdPV ⇒ dVVPdP γ

−= (1.1.29)

4 Ambos procesos se obtienen al expresar la diferencial de energía interna del sistema en función de las capacidades caloríficas: dU = cV dT = δQ – PdV y cP dT = δQ + VdP.

Aire

m

S

0y

lP

Patm.



15

En una primera aproximación, tenemos que:

yl

PVVPP oo γγ

−=∆−≅∆ (1.1.30)

Sustituyendo en (1.1.28), tenemos que la ecuación de movimiento de dicho sistema es:

gyml

SPy o −=+γ

(1.1.31)

Y la frecuencia a la que oscila es:

ml

SPoγω =2 (1.1.32)

De aquí, que concluimos que para todo proceso adiabático o isotermo, se cumple que:

ωAdiabático > ωIsotérmico ya que siempre γ > 1 (1.1.33)

(c) SISTEMAS DE MASA-RESORTE DE MASA NO DESPRECIABLE

Hasta aquí hemos estudiado los muelles como si no tuvieran por sí mismos inercia, y actuasen

como almacenes puros de energía potencial elástica. Es claro que de estas suposiciones, para un

muelle sin masa acoplada, este si se mueve de su estado de equilibrio oscilaría con frecuencia

infinita, lo cual no es cierto en la práctica. Por lo que, como procedimiento para atacar esta

cuestión, consideraremos el problema de un cuerpo de masa m sujeto a un muelle uniforme de

masa total M y cuya constante elástica es k.

Un método de estudio sencillo (y aparentemente razonable) consiste en suponer que las diversas

partes del muelle sufren desplazamientos proporcionales a sus distancias al extremo fijo, como

se indica en la figura a continuación.

lo/3 2 3lo/ lo

x

∆F0

m

dM

ξ Figura (1.1.3)

Matemáticamente, la condición anterior implica que para que halle una deformación uniforme,

se debe cumplir que (notamos por S a la longitud del origen a dM ):

lx

S=

ξ (1.1.34)



16

Esta condición es obvia con la simple observación de que la Figura (1.1.3) es análoga a la Figura

(1.1.1), la cual muestra que en este caso ξ = x/3. Además, hay que exigir para obtener una

densidad uniforme en la barra, que se cumpla:

lM

dSdM

= (1.1.35)

Así pues, la energía cinética de este pequeño elemento de masa viene dada por:

dSSdtdx

lM

dtdx

lS

lMdSdMdK 2

2

3

22

21

21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ξ (1.1.36)

En un instante dado cualquiera, la energía cinética total del resorte se obtiene integrando la

expresión anterior y considerando a la velocidad como factor constante. De aquí resulta:

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

l

res dSSdtdx

lMK

0

22

3. 2 ⇒ 2

. 61 xMKres = (1.1.37)

Recordando que la energía potencial viene dada por:

2. 2

1 kxU res =

Ahora sí podemos plantear el teorema de la conservación de energía para el sistema completo, el

cual se convierte en:

222

21

61

21 kxxMxmE ++= (1.1.38)

Podemos expresar esta relación energética de una forma diferente la cual hará más evidente la

nueva frecuencia de excitación del sistema.

22

21

321 kxxMmE +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += (1.1.39)

De aquí vemos que el sistema oscila con una frecuencia angular,

3

2

Mmk+

=ω (1.1.40)

Y observamos que el sistema actúa como si poseyera una masa efectiva igual al dividendo de

esta última expresión. Inmediatamente tenderíamos a formular que si no existe masa acoplada el

sistema oscila con frecuencia Mk32 =ω , lo cual resulta ser falso. El problema yace, en que el

cálculo anterior supone condiciones de alargamiento estáticas para el resorte uniforme

(alargamiento proporcional a la distancia del extremo fijo), y esto es cierto solamente si la

fuerza deformadora es la misma en todos los puntos a lo largo del muelle. Por lo que debe

existir una variación de la fuerza deformadora con la posición a lo largo del muelle. Nuestra

ecuación para ω es entonces sólo una aproximación; está justificada, sin embargo, si m >> M,

en cuyo caso la fuerza a lo largo del muelle es aproximadamente constante.



17

1.1.5. Aproximación no lineal Para comenzar esta sección, debemos reafirmar un resultado que obtuvimos en la sección 1.1.3.

En esa sección, se trató a modo de ejemplo un potencial similar a un Coulombiano. Lo que se

concluyó fue que dichos potenciales son desarrollables en serie, para distancias pequeñas, y por

ende, se pueden expresar como suma de términos no lineales. Esta forma de expresar un

potencial Coulombiano, resulta que es de gran generalidad, y no se restringe a solamente estos,

sino que podemos hablar de que un potencial cualquiera puede escribirse como:

…++++= 33

221)( xkxkxkkxU o (1.1.41)

Es claro que, la primera constante ok no nos aporta mucha información, ya que al derivar la

ecuación de la energía, esta desaparece. Esta constante indica el hecho de que se pueden definir

potenciales a menos de una constante, la cual físicamente, indica el hecho de que el origen de

coordenadas es arbitrario y puede ser tomado en distintos puntos.

De la expresión (1.1.41) vemos que al derivar tenemos todos los términos salvo el primero.

Esto nos resulta en una ecuación diferencial de movimiento que no es lineal. Como ya se

observó, dichas ecuaciones no permiten soluciones superpuestas. Esto nos genera un problema

al resolver dichas ecuaciones, aunque, todavía podemos simplificar más esta ecuación para

ciertos casos. Por ejemplo, en el equilibrio deseamos que el potencial sea un extremo, mínimo si

el sistema es estable. De esta forma necesitamos analizar la curvatura del mismo en dichos

puntos. La segunda derivada del potencial resulta en:

…+++= 24322

2

1262)( xkxkkxd

xUd (1.1.42)

De la primera derivada espacial, obtenemos la fuerza, que como es claro, tiene como término

lineal, el coeficiente 2k , el cual no es más que la constante elástica de un muelle o resorte k.

De la segunda derivada, si tenemos un sistema estable, queremos que 2k sea positiva, ya que es

la única constante que no depende de la variable (para x = 0 la curvatura resulta positiva).

Hechas estas consideraciones, vamos a obtener como ecuación del movimiento del sistema, una

ecuación diferencial más simple que al comenzar la discusión, pero todavía no lineal.

Entonces, comencemos por suponer una cierta ecuación de movimiento, no lineal, a la que

queremos encontrar una solución. Sea tal ecuación de la forma:

0322 =++++ …xxxx n βαω (1.1.43)

Analizaremos el caso que toma los sistemas que se rigen de esta ecuación hasta el tercer orden.

Por lo que tendremos:

322 xxxx n βαω −−=+ (1.1.44)



18

Aunque parece que esta simplificación es demasiado, existen muchos sistemas físicos los cuales

se rigen por la misma. Esto sucede, por ejemplo, para sistemas de potencial par.

Recordando que el desarrollo para cos (θ) es: …−+−= !4!21)cos(42 θθθ

Vemos que el sistema péndulo simple, posee un potencial dependiente del coseno del ángulo

respecto la normal (realizar descomposición de fuerzas sobre la masa) como:

[ ] [ ]…−+≅−= !4!2)cos(1)(42 θθθθ lgmlgmU

De aquí observamos que la fuerza actuante se obtiene como la derivada del potencial, por lo que

posee un término lineal y términos en potencias impares de θ . Sabemos de cursos previos que

la aproximación lineal es buena si la amplitud de las oscilaciones es pequeña, pero si deseamos

considerar casos de movimiento más general, debemos considerar las contribuciones de las

potencias mayores. Como los ordenes crecen rápidamente, podemos quedarnos con el término

en orden 4 como último término del potencial. Por lo que el sistema se regirá por (1.1.44).

Volviendo a la ecuación (1.1.44), describiremos un método para encontrar una solución a dicha

ecuación.

• MÉTODO DE LAS APROXIMACIONES SUCESIVAS5

Este método se basa en asumir una solución como suma de soluciones que son, término a

término, menores que la anterior en magnitud. Como primer sumando se coloca la solución

a la homogénea dada por (1.1.44) (ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo

orden). Entonces tenemos que para una aproximación de orden 3,

)()()()( 321 txtxtxtx ++= , tal que ∀t: )()()( max,3max,2.max,1 txtxtx >>

Además, se supondrá una superposición, de igual forma, en frecuencias de oscilación.

Sabemos que una posible solución para la homogénea de (1.1.44) puede ser:

( )tAtx )0(1 cos)( ω= , donde nωω =)0( es la frecuencia natural de oscilación.

Supondremos para el análisis, una superposición de soluciones de la misma forma pero tal

que la frecuencia se componga de una suma ( )2()1()0( ωωωω ++= ). De esta forma,

consideraremos todos los términos en (1.1.44).

Sustituyendo, primero, una solución del tipo:

( ) )(cos)()()( 221 txtAtxtxtx +=+= ω , con )1()0( ωωω += (1.1.45)

Tenemos (para una segunda aproximación),

( ) ( ) ( ) ( )

2122

21

321

22121

2)0(21

2 xxxx

xxxxxxxx

ααα

βαω

−−−≅

+−+−=+++

5 Para mayor extensión en el tema se pueden consultar: “Classycal Dinamycs”, JOSÉ Y SALETAN.



19

Despreciamos los términos en β ya que la suma de soluciones que supusimos debería

aproximar a la solución verdadera en α solamente. El criterio que tomaremos para seguir

descartando los términos en potencias de esta solución, será: descartamos términos mayores

o iguales a potencias de 2 en 2x , y descartamos términos en potencias mayores que 2 en 1x .

Por lo que, la ecuación del sistema resulta en:

( ) 211

2)0(12

2)0(2 xxxxx αωω −+−=+ (1.1.46)

Remplazando la solución (1.1.45) en (1.1.46), queremos obtener una expresión para una

ecuación diferencial en 2x , de forma de obtener una solución completa y explícita de

(1.1.45) en función de las frecuencias.

( ) ( ) ( )tAtAxx ωαωωωω 222)0(22

2)0(2 coscos −−=+ (1.1.47)

Al segundo miembro lo podemos rescribir, recordando la ecuación (1.1.11), como:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )tAAtA

teet titi

ωααωα

ωω ωω

2cos22

cos

2cos12cos4

2222

22

+=⇒

⇒+=+= −

Como en dicha ecuación la frecuencia )1()0( ωωω += , vemos que (1.1.47) se convierte en:

( ) ( ) ( )tAtAAxx ωαωωωωαω 2cos2

cos22

2)1()0(2)1(22

2)0(2 −++−=+ (1.1.48)

Entonces, el segundo miembro de la ecuación diferencial para la solución 2x , está dividido

en tres términos. El término constante no introduce problemas en la ecuación. Los otros dos

términos son funciones explícitas temporales, que físicamente representan un forzamiento a

la ecuación de movimiento armónico (en nuestro caso son la superposición de dos

forzamientos). Este forzamiento introduce una frecuencia, que en este caso es ω , la cual si

resulta ser igual a la frecuencia natural de oscilación (oscilación libre), se produce un

fenómeno llamado de resonancia. Este fenómeno se lo estudiará en secciones posteriores,

pero en nuestro caso actual, este resultaría en un error al computar la solución para 2x ya

que esta no cumpliría con nuestra hipótesis de ser menor en magnitud que la anterior.

Cuando un sistema se encuentra en resonancia, la amplitud de oscilación es máxima. De

esta forma queremos que la solución 2x no esté en resonancia con la frecuencia de

oscilación libre. Esto se ve, de que para un problema diferencial con forzamiento tipo:

( )tCyy imp.2)0( cos ωω =+ (1.1.49)

Se tiene que una solución para este problema sería,

( )ϑωωω

+−

= tCty imp

imp

.2.

2)0(cos)( (1.1.50)



20

Si tomamos una solución para 2x como esta última expresión, observamos que si

)0(ωω → , esta divergirá dando una amplitud infinita. Entonces para evitar resonancias en

la ecuación diferencial para 2x , hacemos que la frecuencia )1(ω sea nula, ya que es el

término ( ))1()0(2)1( 2 ωωω + el que aparece como dividendo.

Luego, la ecuación resultante para 2x será:

( )tAAxx ωααω 2cos22

222

2)0(2 −−=+ (1.1.51)

Donde en esta aproximación )0(ωω = . Una solución para esta ecuación se compondrá de

un término constante particular, el cual igualará al primer término del segundo miembro, y

uno, que responda a una ecuación tipo (1.1.49). Entonces, nuestra solución para 2x será:

( )tAAtx ωωα

ωα 2cos

62)( 2)0(

2

2)0(

2

2 +−= (1.1.52)

Por lo que, tenemos que hasta una segunda aproximación nuestro sistema posee 2

frecuencias )0()0( y2 ωω , y su movimiento viene dado por:

( ) ( )tAtAAtx )0(2)0(

2)0(

2)0(

2

2cos6

cos2

)( ωωαω

ωα

++−= (1.1.53)

Para continuar nuestro desarrollo hasta el tercer orden, debemos proceder de manera

análoga y sumar la tercera contribución 3x . Sustituyendo estas soluciones en (1.1.44) y

despreciando los debidos términos de orden mayor, obtenemos una ecuación para 3x .

Tenemos ahora (para una tercera aproximación),

( ) ( ) ( ) ( )

312

2121

21

3321

2321321

2)0(321

32 xxxxxx

xxxxxxxxxxxx

ββαα

βαω

−−−−≅

++−++−=+++++

Por lo que, la ecuación del sistema resulta en:

( ) ( ) 3121

212

2)0(21

2)0(13

2)0(3 2 xxxxxxxxxx βααωωω −−−+−+−=+ (1.1.54)

Sustituyendo,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )tAAtAtAtA

AtAtAxx

IV

III

III

ωβωαω

ωαωαωα

αωωωωαωωωω

33

)(

2)0(

2

2)0(

2

)(

22

)(

22)0(2

2)0(

2)(

2)0(23

2)0(3

cos2

2cos6

cos2cos

22cos4

6cos

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=+



21

De simple introspección del término (III), vemos que este agrega un término constante al

desarrollar en coseno de ω2 , que elimina el término independiente de coseno en (II).

El último término de esta expresión puede expresarse como:

( ) ( ) ( )[ ]ttAtA ωωβωβ cos33cos4

cos3

33 +−=−

Ahora, nos falta trabajar con el término (IV) de forma que la expresión, resulte simplemente

en funciones coseno que dependan de múltiplos de la frecuencia )2()1()0( ωωωω ++= .

( ) ( ) ( ) ( )ttAAtAtA ωωωα

ωαω

ωαωα cos2cos

311

22cos

6cos2 2)0(

32

2)0(

2

2)0(

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

Entonces, la ecuación para 3x se transforma en:

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttAttAtA

tAtAxx

ωωβωωωαω

ωα

ωωωωωαωωωω

cos33cos4

cos2cos3

cos

2cos346

cos

3

2)0(

32

2)0(

32

2)0(2)0(22)0(

22)0(2

32)0(

3

+−−+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−+−=+

Luego, como,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tttttt ωωωωωω cos213cos

21coscos22coscos 3 +=−=

Por lo que la ecuación (1.1.54) va resultando en:

( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−=+

tAtA

tAAAAxx

ωωαβωωω

ωα

ωωα

ωαβωωω

3cos64

2cos446

cos64

3

32)0(

22)0(2

2)0(

2

2)0(

22

2)0(

2222)0(2

32)0(

3

(1.1.55)

Nuevamente, para evitar resonancias en 3x , hay que tomar que la frecuencia 0)1( =ω (lo

cual evita resonancias para 2x ), y que por lo tanto 2)2()2()0(2)0(2 2 ωωωωω +=− .

Luego, (1.1.55) resulta,

( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=+

tAtA

tAAAxx

ωωαβωωωω

ωα

ωωαβωωωω

3cos64

2cos264

cos65

432

32)0(

22)2()2()0(

2)0(

2

2)0(

2222)2()2()0(

32)0(

3

(1.1.56)

Faltaría establecer el valor exacto de )2(ω en función de los parámetros del sistema, de

forma de dejar completamente definida la frecuencia angular con que oscilará el sistema.

Observamos que esto se realiza, simplemente haciendo nulo el primer paréntesis curvo en

(1.1.56) (la cual corresponde a la resonancia de esta ecuación).



22

065

432 2)0(

222)2()0( =+−

ωαβωω AA ⇒

⇒ 2)0(

22

)0(

2)2(

125

83

ωα

ωβω AA

−= ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= )0(

2

)0(

2)2(

35

23

4 ωαβ

ωω A (1.1.57)

Entonces, tenemos que la ecuación final para 3x es: ..

x3 + ωo2 x3 = – α2 – β A3

cos (3ω t) (1.1.58) 6ωo

2 4

Cuya solución es:

x3 (t) = – α2 + β A3 cos (3ω t) (1.1.59)

3ωo2 2 16ωo

2

Entonces, la solución a nuestro problema viene dada por la siguiente expresión:

x (t) = A cos (ω t) + αA2 cos (2ω t) – α A2 – α2 + β A3 cos (3ω t) (1.1.60)

6ωo2 2ωo

2 3ωo2 2 16ωo

2

Donde la frecuencia de oscilación es:

ω = ωo + ω2 = ωo + A2 3β – 5α2 (1.1.61) 8ωo 12ωo

3

Concluimos entonces, que para un desarrollo de orden tres, aparecen perturbaciones en la

frecuencia de oscilación, la cual pasa a depender de la amplitud de las oscilaciones.

1.2. OSCILACIONES LIBRES AMORTIGUADAS

1.2.1. Amortiguamiento viscoso lineal Para comenzar esta sección recordaremos brevemente, los resultados para los sistemas

trabajados. Para un sistema lineal oscilante, la ecuación de movimiento es:

02 =+ xx ω (1.1.1) (1.2.1)

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, la cual puede llevarse mediante

cambios de variable a ser expresada como:

)(01

0 2

rrrr fvu

vu

=Α=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ω (1.2.2)

Donde, la matriz A es constante, y se realizó el siguiente cambio de variables: ⎩⎨⎧

==

vxux



23

Esto indica que estamos tratando con una ecuación autónoma. Las ecuaciones autónomas

cumplen con la propiedad que sus soluciones pueden ser “trasladadas”, por ejemplo, cambiando

las condiciones iniciales; si conocemos la solución para un tiempo dado, la conocemos para

todo tiempo simplemente trasladando la órbita (órbita:= ( ) Ittt o ∈/;ϕ con ϕ: I ∈ ℜ → ℜ2

solución de (1.2.2) para el tiempo inicial ot ). Físicamente, esto se ve a la hora de computar el

potencial del sistema, donde el origen de coordenadas resulta arbitrario y también a la hora de

sustituir las condiciones iniciales del problema. Recordamos además, que el potencial del

sistema, puede ser desarrollado en serie de potencias, por ejemplo entorno de un punto de

equilibrio. Sea este el cero, por lo que tenemos el desarrollo de Mac Laurin del potencial.

22

02

2

0 21)0(

21)0()( xkVx

xdVdx

xdVdVxV

xx

+≅+++===

… (1.2.3)

Del desarrollo matemático del cálculo de ecuaciones diferenciales, sabemos que las ecuaciones

lineales poseen otra propiedad. Un sistema lineal es estable si y solo si la solución nula es

estable en el sistema homogéneo correspondiente. Expresado matemáticamente:

)()()()()( establextxestabletxtx Α=⇔Β+Α= (1.2.4) Esto es claro en el problema de masa-resorte en un campo gravitatorio, el cual puede incluir un

término no homogéneo debido al peso que actúa. Como puede llevarse al sistema homogéneo

correspondiente cambiando las coordenadas a unas que describan el movimiento respecto de la

posición de equilibrio. La estabilidad de dicho ejemplo, dada (1.2.4), es independiente de cómo

se trate el problema. Es por esto que se habla, de la estabilidad del sistema y no de la solución

particular a la que se puede llegar resolviendo (1.2.1).

Hecho este paréntesis, nos adentramos en lo que trata esta sección, los sistemas para los que el

movimiento oscilatorio ocurre dentro de un medio. Este medio introduce una fuerza disipativa

(la energía deja de ser constante), como puede ser el tan conocido rozamiento mecánico. A estas

fuerzas las llamaremos fuerzas viscosas o disipativas, y como resultado tendremos un

amortiguamiento en el movimiento del sistema. Generalmente, estas fuerzas son dependientes

de la velocidad de movimiento y, en primera aproximación, pueden ser derivadas de la función

de disipación de Rayleigh, definida por:

∑ ++=ℑi

z,izy,iyixx bbb 222, vvv

21)v( (1.2.5)

Para una aproximación en segundo orden podemos tomar que la fuerza es:

0,)( 212

21 >+= bbbbR vvv (1.2.6)

Esta fuerza resistente se ejerce en sentido opuesto al de la propia velocidad, v. Siempre que |v|

sea pequeña comparada con el cociente 21 bb , podemos considerar que la fuerza resistente



24

viene dada por un solo término lineal. Los coeficientes de (1.2.6) se relacionan con el

desarrollo de Taylor de dicha fuerza. Entonces, tenemos que 1b va ser la primera derivada de

)0(R , la cual depende de la forma del objeto y del medio. Tomando en consideración los casos

de pequeñas oscilaciones (implica pequeñas velocidades), la ecuación de movimiento del

sistema será:

02 =++ xmxbxm ω (1.2.7)

1.2.2. Ecuación de movimiento y soluciones Al final de la sección anterior se llegó, dentro de la aproximación lineal, a la ecuación de

movimiento de un sistema que vibra con pequeñas oscilaciones inmerso en un medio. A esta

ecuación, nos gustaría expresarla de forma diferente, definiendo los siguientes coeficientes:

mk

mb

n == 2ωγ y (1.2.8)

Ambos coeficiente poseen unidades de frecuencia, y γ es el coeficiente que regula el

amortiguamiento y nω es la frecuencia natural de oscilación.

Realizando dichas sustituciones en la ecuación de movimiento, tenemos que la ecuación a

resolver es:

02 =++ xxx nωγ (1.2.9)

Mediante el mismo cambio de variables usado en la sección anterior, podemos llevar esta

ecuación a una autónoma, conservando todas las propiedades de dichas ecuaciones.

)r(rr01

r2

fvu

vu n =Β=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ωγ (1.2.10)

Es claro que una solución para un sistema como tal es de tipo exponencial. Por lo que,

impongamos la siguiente solución:

( )

t

eet

n

tn

t

∀=++⇒

=++⇒=

0

0)(22

22

ωαγα

ωαγαϕ αα

(1.2.11)

Esta es la ecuación característica de (1.2.10), y tiene por raíces en α:

ttn BeAet 21)(

222

2ααϕωγγα +=⇒−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−= (1.2.12)

La forma completa de la solución ϕ dependerá del discriminante de (1.2.11).

Definamos un nuevo coeficiente β tal que este sea el inverso del tiempo característico de

amortiguamiento (como se verá posteriormente en la sección 1.2.3) ⇒ 2γβ =



25

• Si 022 >− βωn

La condición hace que la raíz sea negativa, es la única condición que hará que nuestra

solución sea periódica. Esto se entiende, ya que lo que se pide es que el amortiguamiento

debe ser menor que la frecuencia de oscilación natural libre, y por ende, continua siendo

predominante el movimiento oscilatorio que presentaría el sistema en el vacío. Debido a

esta condición, las raíces son complejas, y la solución será:

( ) ( )φωβωωβ +=+= −−− teAeBeAetx ot

otitit oo cosRe)( (1.2.13)

Donde se definió una nueva frecuencia ωo dada por: 222 βωω −= no

• Si 022 <−βωn

Ahora, la raíz es positiva, y por lo tanto existen dos raíces reales las cuales hacen

desaparecer el comportamiento oscilatorio del sistema. Esto es claro ya que lo que se pide

es que el amortiguamiento sea mayor que la oscilación. La solución para este caso es la

suma de dos exponenciales, las cuales tenderán a converger al cero según las constantes A y

B queden determinadas por las condiciones iniciales de cada problema. Pero ya que ambas

raíces son negativas, las exponenciales serán reales decrecientes ya que ωo 2 < 0.

( )ttt oo eBeAetx ωωβ −− +=)( (1.2.14)

• Si 22

nωβ =

En este caso la raíz se anula, y por lo tanto tendríamos una raíz doble solución del problema

y por ende, una sola constante a ajustar. Sin embargo esta solución no es satisfactoria en lo

absoluto, ya que toda ecuación diferencial ordinaria de segundo orden requiere de dos

constantes a especificar. Este problema se hace más explícito al trabajar con la ecuación

diferencial matricial (1.2.10), la cual pone de manifiesto que el problema sucede en la

diagonalización de la matriz. El polinomio cuadrático (1.2.11) hallado resulta formalmente

del polinomio característico de la matriz B. Las raíces halladas serán entonces los valores

propios de la matriz, los cuales poseen en este caso, diferente multiplicidad (geométrica y

algebraica), dando como resultado que B no es diagonalizable y su diagonalización resulta

en una matriz de Jordan. De aquí que la solución de nuestro problema vendrá dada por:

( )tBAetx t += −β)( (1.2.15)

Esta condición especial es lo que se conoce por amortiguamiento crítico. En los sistemas

mecánicos reales suele ajustarse deliberadamente las constantes a esta condición crítica, ya

que en condiciones de amortiguamiento crítico, si al sistema se le aplica bruscamente una



26

fuerza constante, esta será seguida de una suave aproximación a una nueva posición de

equilibrio por parte del sistema, desplazada de la anterior, y sin oscilaciones mediáticas.

Este comportamiento es importante en sistemas de medida de distintos tipos en la

electrónica, donde se desea tomar una lectura estable tan pronto como sea posible luego de

haber conectado el aparato de medida.

Gráficamente, las soluciones encontradas son como las siguientes figuras:

X t ( )

t

X t ( )

t

X t ( )

t

Figura (1.2.1)

1.2.3. Balance energético Para culminar el estudio de los sistemas amortiguados de movimiento oscilante, debemos

realizar el análisis energético de dichos sistemas.

En principio, el movimiento que nos interesa, es el que resulta en la figura de la izquierda de la

Figura (1.2.1) debido a la condición de que los coeficientes de amortiguamiento y frecuencia

natural sean tales que:

022 >−βωn (Condición de que el amortiguamiento es leve)

La solución encontrada para un sistema oscilante amortiguado fue:

( )φωβ += − teAtx ot

o cos)( (1.2.16)

Donde como ya se definió,

β = γ/2 ≡ “amortiguamiento”, Ao ≡ “amplitud”, φ ≡ “fase inicial”

Como se utilizará en secciones posteriores, podemos definir una amplitud modulada Amod(t), o

sea, una amplitud dependiente del tiempo, la cual la definimos de forma de conservar explícito

el comportamiento oscilatorio promedio del sistema. Entonces, esta toma la forma de:

( ) too eAtAttAtx βφω −=+= )(:dondecos)()( (1.2.17)

Luego, de los balances energéticos de la primera sección, la energía del sistema masa-resorte debería ser expresable como:

22

21

21 xkxmE += (1.2.18)



27

Esta energía tendrá una dependencia temporal debido al amortiguamiento de las componentes

de un oscilador masa-resorte, la cual deberá expresar la disipación implícitamente en x y x .

Tenemos que si sustituimos la expresión para )(tx en (1.2.18).

[ ] [ ]22)cos()(

21)sin()()cos()(

21 φωφωωφω +++−+= ttAkttAttAmE oooo

[ ] [ ]( )[ ]( )[ ]222222

2222

2222

)22sin()(cos)(

)(cos)sin()cos()(

)cos()()sin()cos()(2

oooono

onooo

oooo

tttAm

ttttAm

ttAktttAmE

ωφωβωφωωωβ

φωωφωωφωβ

φωφωωφωβ

+++++−=

+++++=

+++++=⇒

(1.2.19)

Donde, se utilizó la identidad trigonométrica,

)2sin()sin()cos(2 ϑϑϑ =

Esta última expresión para la energía, resulta en una expresión en funciones trigonométricas,

modulada por el factor de amplitud modulada al cuadrado. Para esto, dejaremos escrita esta

última expresión en función de las siguientes funciones:

( )[ ]2222

222

)(2sin)(cos2)(2oooo

no

tttAmE ωφωβωφωβ

βωω

++++=⇒

⇒−= (1.2.20)

Para este tipo de sistemas, lo que nos interesa saber, no es la energía en cada instante, sino su

promedio durante un ciclo (en realidad es un seudo-ciclo debido al amortiguamiento).

Esta expresión tiene un sentido más amplio, debido a que las expresiones entre paréntesis y

)(tA , dependen de coeficientes totalmente generales y que no tienen porque ser solamente del

problema particular de una masa acoplada a un resorte. A modo de ejemplo, se puede considerar

un circuito RLC, como se verá posteriormente en la siguiente sección.

Ahora, hagamos una pausa, para definir el promedio temporal en un período de una función f,

al menos continua a trozos, integrable y de periodo T. Se define como:

∫+

=T

T)(

T1 o

o

t

t

dttff (1.2.21)

Por ejemplo, si tenemos que ( )φω += tAtf cos)( , entonces su promedio será nulo. Lo mismo

sucede para una función que dependa del seno. De cualquier forma, lo que generalmente

tendremos no serán funciones periódicas aisladas, sino que serán producto de funciones, como

en nuestra expresión (1.2.20), la cual posee cosenos y senos pero al cuadrado. La extensión de

la definición del promedio temporal en un ciclo (de aquí en más, promedio) para el producto de

funciones, es trivial, simplemente observando que podemos nombrar a la propia f como el



28

producto de las funciones. Lo que realmente nos interesa saber, es el caso para el cual una de las

funciones, en dicho producto, varía lentamente durante un período. Esto es:

[ ]TT

)(T,.)( ftgfgtttconsttg oo ⋅≅⋅⇒+∈∀≅ (1.2.22)

Esta expresión puede establecerse un poco mas formalmente para ciertos casos, recordando dos

teoremas del cálculo de integrales. Estos son el teorema del valor medio y el segundo teorema

del valor medio.

El teorema del valor medio establece que:

Si ƒ∈ C ([a, b]) (continua y con derivada continua) ( ) ∫ −⋅=∈∃⇒b

a

abcffbac )()(:,

La demostración del teorema es bastante simple. Basta observar que si la función cumple con

las hipótesis, debe poseer un extremo absoluto en [a, b], que para funciones continuas equivale

al máximo y mínimo, los cuales se sabe existen por el teorema de Weierstrass. Luego se tiene

que: m ≤ ƒ ≤ M, la cual integrándose y utilizando el teorema de Darboux,

)(:M1m cfcfab

b

a=∃⇒≤

−≡≤ ∫ µµ (todo punto del intervalo [m, M] para una

función C1 tiene su preimagen), se obtiene el resultado buscado.

El segundo teorema del valor medio establece que:

Si ƒ y g son continuas en [a, b] tal que, ƒ es no negativa (o negativa) y no se anula en [a, b]

[ ] ∫∫ =⋅∈∃⇒b

a

b

a

fcggfbac )(:,

La demostración del teorema se basa nuevamente en utilizar los extremos absolutos de g. Luego

se tiene que: m f ≤ f g ≤ M f, la cual integrándose y utilizando el teorema de Darboux se obtiene

el resultado buscado6.

Utilizando este teorema, podemos establecer una igualdad para (1.2.22) si las funciones que se

multiplican están en las hipótesis de los teoremas, para cada ciclo. En el caso de la amplitud

modulada, esta es una función decreciente positiva y no se anula en ningún seudo-ciclo, por lo

que se puede utilizar la igualdad, y a su vez la suposición de que varía poco en cada período.

Volviendo al cálculo de los promedios, otro promedio que nos interesa saber es el de la

velocidad de cambio de dichas funciones en un período promediada. Entonces, se tiene que:

( ) ( )∫

+

⋅+⋅=⋅ T

T T1 o

o

t

t

dtfggftd

fgd (1.2.23)

6 Para observar la demostración completa de estos teoremas, referirse a: “Cálculo, Matemática I” – FERNANDO PELÁEZ – Facultad de Ciencias Económicas y de Administración.



29

Observando nuevamente, que si g y g’ varían lentamente, podemos establecer también una

relación entre la variación promedio y el promedio de la variación. Luego,

( ) ( ) ( )tdgfd

tdfd

cgfcggfgftdgfd

cdTT

TTTT

)()(⋅

≅+≅⋅+⋅=⋅

Así, tenemos varias expresiones para poder computar la energía promedio de un ciclo.

Recordando la expresión para la energía (1.2.20), y utilizando estas relaciones halladas,

podemos calcular el promedio de energía de un ciclo para un sistema oscilante amortiguado.

Nos concentramos simplemente en los promedios trigonométricos, ya que suponemos que la

variación para )(2 tA en un promedio es poca, lo cual nos lleva a considerar la relación

(1.2.22). Los promedios de las ecuaciones trigonométricas de (1.2.20) son:

( )( ) ( ) ( ) ( )

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=+

+−++−+ T

0

22T

0

22

42

T1

2T1cos dteedteet

titititi

o

oooo φωφωφωφω

φω

⇒ ( )[ ]TT

2 2cos21)(cos φωφω ++=+ tt oo (1.2.24)

Luego (recordando que T = 2π /ω),

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) 0118

11i82T22T2

2T2T2T12cos

22T

0

22T

0

22

T

0

2T

0

2T

0

22T

=−−−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

=+=+=+

−−

+−−

+−+ ∫∫∫

iee

iee

iee

dteedteedteet

ii

o

tii

o

tii

tii

tii

titio

oo

oooo

ππωω

φω

φφωφωφ

φωφ

ωφ

φωφω

Entonces (1.2.24) resulta, para todo ω y φ, en:

21)(cos

T

2 =+φω to (1.2.25)

Además, tenemos los siguientes promedios para funciones trigonométricas:

( )

( ) 0)22sin(21cos)sin(

0)cos()sin(2

12

11cos1)(sin

TT

TT

T

2

T

2

=+=+⋅+

=+=+

=−=+−=+

φωφωφω

φωφω

φωφω

ttt

tt

tt

ooo

oo

oo

(1.2.26)

Entonces, recordando que la energía para un sistema de masa acoplada a un resorte es,

( )[ ]2222 )(2sin)(cos2)(2oooo tttA

mE ωφωβωφωβ ++++=

Gracias a estas expresiones, los promedios de las funciones definidas en (1.2.20) son:

( ) ( ) 222

T

222 22sincos2 nooooo tt ωωβωφωβωφωβ =+=++++ (1.2.27)

Ahora, gracias a los promedios calculados, podemos establecer el valor promedio, en un ciclo,

de energía del sistema.



30

El cual resulta (observando que toeAtA β−=)( ) en:

ton eAmtE βω 222

T 21)( −≅ (1.2.28)

Entonces, el valor promedio máximo se da para t = 0, donde:

.22

T 21)(max inicialon EAmtE == ω (1.2.29)

Entonces, para un sistema que sea levemente amortiguado (2β = γ << ωn), la energía promedio

se comportará como: t

inicial eEtE γ−= .T)( (1.2.30)

Por lo que para cada ciclo, la energía decae exponencialmente, debido a la disipación. Entonces,

el coeficiente de amortiguamiento del sistema representa el inverso del tiempo característico,

donde el cual indica la caída energética del sistema por un factor de 1/e por ciclo.

1.2.4. Ejemplos de amortiguamiento Para culminar la sección de oscilaciones amortiguadas, daremos un ejemplo práctico.

Se recordará que el análisis completo del proceso de amortiguamiento, se ha basado en la

hipótesis de que la disipación se debe a una fuerza resistiva proporcional a la velocidad. El caso

sería muy diferente si se aplica cualquier otra ley de resistencia. Sin embargo, es interesante

señalar que la disminución exponencial de la energía, según expresa (1.2.30), se cumple en

muchos procesos disipativos de diferentes tipos.

Como el sistema que se estudió a lo largo de las secciones anteriores correspondió a un resorte

con una masa acoplada, dejaremos este estudio de lado. El resultado obtenido para el

movimiento de la masa fue:

( ) )cos()(cos)( φωφωβ +=+= − ttAteAtx oot

o (1.2.31)

Donde los coeficientes para dicho sistema son, mb

22 == βγ y 222 βωω −= no

Pasemos a analizar a modo de ejemplo, el circuito RLC sin baterías. Supongamos que el circuito

está abierto y el condensador que lo compone está cargado con carga qo, y luego para un tiempo

t se cierra el circuito. El sistema a analizar es como el de la siguiente figura:

Aplicando la segunda ley de Kirchoff o ley de las

mallas, tenemos que las caídas de potencial al

recorrer la malla son:

0=++ LCR VVV (1.2.32)

Figura (1.2.2)

R

L

CI



31

Las cuales, como suponemos medios óhmicos o lineales, se pueden expresar en función de las

intensidades por:

0)(1)()(0

=++ ∫t

dttIC

tIRtdtIdL

La cual podemos expresarla como una ecuación diferencial de segundo orden en la intensidad.

( ) ( ) 01 =++ ILCILRI (1.2.33)

Esta ecuación presenta una analogía completa con la del oscilador armónico amortiguado

mecánico, compuesto de una masa y un resorte en un medio de “viscosidad lineal”. Aquí el

coeficiente de amortiguamiento del circuito viene dado por:

LR=γ

Y la frecuencia de oscilación natural de un circuito RLC es:

LCn12 =ω

Por lo tanto, existe una analogía explícita entre la mecánica y los circuitos electromagnéticos,

donde los parámetros del circuito se relacionan con los mecánicos de la siguiente forma:

R ↔ b L ↔ m 1/C ↔ k (1.2.34)

Continuando con la analogía, podemos expresar la solución formal de la carga del circuito y la

energía promedio que pierde el circuito como:

tL

Rot

on eC

qeqLtE⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−− ==

222

T 21

21)( γω (1.2.35)

1.3. VIBRACIONES FORZADAS Y RESONANCIAS

1.3.1. Oscilaciones forzadas La sección 1.2 y 1.1 se refirieron enteramente a las vibraciones libres, amortiguadas y no

amortiguadas, de diversos sistemas físicos. Volvamos nuestra atención ahora a los fenómenos

físicos que se presentan cuando un sistema se ve sometido a una fuerza impulsora F(t)

realizada por un agente externo. Entonces, la ecuación de movimiento para dicho sistema será:

mtxxx n)(F2 2 =++ ωβ (1.3.1)

Ya que en el futuro veremos que podemos representar una función (que cumpla ciertas

características, que no son muy restrictivas) como una suma de funciones armónicas simples,



32

nos concentraremos en las fuerzas impulsoras que sean periódicas. Más precisamente, la fuerza

será sinusoidal, de tipo:

)cos()(F .tFt impo ω= (1.3.2)

Debido a esta fuerza impulsora que actúa sobre el sistema, nuestra ecuación de movimiento dejó

de ser: homogénea y además, autónoma. Para encontrar una solución a este problema, primero

consideraremos el análisis cualitativo de la situación que tenemos.

Si el oscilador se ve impulsado desde su posición de equilibrio y se le deja oscilar por sí mismo

(suponiendo un amortiguamiento leve), su movimiento se verá regido por la ecuación (1.2.13 o

31). Una fuerza impulsora periódica, sin embargo tratará de imponer su frecuencia angular de

oscilación impω , al oscilador. Por lo tanto, es de esperar que el movimiento real, se deba a la

superposición de oscilaciones correspondientes a estas dos frecuencias ω y impω . La solución

matemática completa de la ecuación (1.3.1) es realmente una suma simple de ambos

movimientos. Es más, cualquier ecuación diferencial ordinaria de segundo orden lineal se puede

establecer mediante la suma de una solución de la homogénea, más una solución particular que

se ajuste a la ecuación no homogénea.

Este resultado se puede observar simplemente por sustitución directa en la ecuación (1.3.1). Sea

entonces la solución,

)()()( txtxtx NHH += (1.3.3)

El término particular viene especificado por la fuerza impulsora y deberíamos esperar que la

respuesta fuera una función senoidal como lo es la fuerza. Esta solución busca ajustarse a la

ecuación no homogénea, ya que las condiciones iniciales de cada problema son ajustadas por xH.

F ( ) t

t

X t( )

t

Fox coso ( )φ

Figura (1.3.1)

La línea continua en la figura de la derecha es la respuesta del sistema a la entrada sinusoidal.

La punteada es la oscilación natural.

Como se ve en la figura, la solución para la ecuación no homogénea tendría la forma de:

)cos()( . ϖω += txtx impoNH (1.3.4)

Donde ϖ es la fase relativa entre la fuerza y la respuesta, o sea, la diferencia de fases que existe

entre la fuerza impulsora y la reacción del sistema, y por ende, es la que realmente importa.



33

Como resultado, el movimiento del sistema será dado por:

)cos()cos()( . ϖωφωβ +++= − txteAtx impoot

o (1.3.5)

Esta suma de soluciones es posible, porque como en secciones anteriores se mencionó, las

ecuaciones diferenciales lineales aceptan suma de soluciones. Este teorema de ecuaciones

diferenciales fue mencionado en la sección 1.1.27. Ahora, un segundo teorema de este tipo de

ecuaciones, nos asegura la unicidad de las mismas al cumplir con las condiciones iniciales, por

lo que nuestra solución, sin importar como se halló, es la correcta y es única si verifica las

condiciones iniciales dadas.

Lo importante en este tipo de sistemas forzados, es su respuesta estable, o sea, lo que se llama el

estado estacionario. Como se ve de (1.3.5), este estado se logra para tiempos tales que: t >> τ

= 1/β, o sea que aquí, toda remanencia del movimiento oscilatorio amortiguado se halla

desaparecido, por lo que el movimiento que le sigue, es el impuesto por la fuerza impulsora con

su periodicidad. Una consecuencia de este estado es que las condiciones iniciales dejan de ser

importantes ya que el término homogéneo desapareció. Las constantes de la solución no

homogénea se pueden calcular por simple introspección en (1.3.1). Para este estado entonces

tenemos que:

( )ϖω +≅⇒>>→ txtxtx FoH cos)(τpara0 (1.3.6)

Uno podría preguntarse, que sucedería en un sistema ideal sin amortiguamiento el cual se ve

sometido a una fuerza impulsora periódica. Es claro que en este caso, las oscilaciones naturales

que vienen dadas por nω , nunca se irían. Temporalmente ignoraremos este caso por sencillez, y

diremos que en cierto grado, todo oscilador físico posee un cierto grado de amortiguamiento.

Para terminar con la sección, debemos poder establecer completamente la solución estacionaria,

y por lo tanto, determinar sus constantes en función de los parámetros del sistema. Una forma

de realizarlo, es imponiendo una solución tipo:

)cos()( tCtx Fo ω= (1.3.7)

Aunque, como ya se mostró anteriormente, preferiremos tratar con el método de los exponentes

complejos debido a su mayor simplicidad y rapidez a la hora del cálculo. Ya que como la

ecuación de movimiento es lineal podemos sumar soluciones, también podemos componer las

partes reales e imaginarias de una solución compleja, y por ende trabajar con la misma ecuación

pero en forma compleja. De esta forma aceptamos que la fuerza pase a ser:

tio

tioFo

FF eFtFteFtFt ωωω ~)(~)(F~Re)cos()(F =⇒== (1.3.8)

7 Por mayor información, léase: “Lições de equações diferenciais ordiárias” – JORGE SOTOMAYOR – I.M.P.A. en la Parte B, CAPÍTULO III Equações diferenciais lineares.



34

Y por lo tanto la solución que buscamos es compleja, y de amplitud compleja. Sea tal solución:

titiFo

FF eCtxtxeCtCtx ωωω ~)(~)(~Re)cos()( =⇒== (1.3.9)

Observamos que hemos cambiado la notación ligeramente, pasando a llamar a la frecuencia de

oscilación de la fuerza impulsora Fω y notamos como ω simplemente a la del movimiento, que

habrá que ajustar de acuerdo a los parámetros del sistema. Hecha esta aclaración, trataremos de

continuar con la misma notación a lo largo de las notas.

Sustituyendo esta solución en (1.3.1), tenemos:

( ) tio

tin

tiF

tiF

FFFF emFeCeCieC ωωωω ωβωω =++−~~2~ 22 (1.3.10)

Como esta ecuación se debe cumplir para todo tiempo,

( ) mFCi o

nFF =++−~2 22 ωβωω (1.3.11)

Reagrupando, tenemos una expresión para la amplitud del movimiento resultante.

222~

FnF

o

im

FC

ωωβω −+= (1.3.12)

Esta expresión es compleja, por lo que se la puede escribir como:

ϑieCC =~

(1.3.13)

Donde,

( ) ( )22222

)(FnF

o

Fm

FCC

ωωωβω

−+== (1.3.14)

( ) 22

2)(tanFn

FF ωω

ωβωϑ−

=

Naturalmente estos resultados pudieron haberse encontrado simplemente suponiendo una

solución de la forma:

)cos()( tCtx Fo ω=

El análisis, ciertamente no es difícil, pero es menos transparente el trabajar con funciones

trigonométricas que con exponentes complejos. Como ya se observó, el ingreso de funciones

complejas en nuestro problema no es para alarmar, ya que estas pueden expresarse como una

suma de dos cantidades reales, una multiplicada por el número imaginario i. Como las

ecuaciones de movimiento que nos interesan son lineales, una solución puede componerse de la

suma de soluciones, así que, la solución compleja, que verifica en su parte real e imaginaria la

ecuación, su superposición también lo hace.



35

Las relaciones dadas en (1.3.14) son la amplitud del movimiento y su fase respecto de la fuerza

impulsora. Estas relaciones son plasmadas en la figura siguiente, en lo que son llamadas las

curvas de resonancia y de fase.

Se ve claramente un corrimiento en el

máximo de amplitud correspondiente a una

frecuencia levemente diferente que la

frecuencia natural de oscilación del sistema.

Aunque, (ωo = ωn) representa exactamente

el punto de inflexión en la curva de fase,

mostrando que la inversión entre la fase de

la fuerza impulsora y la respuesta del

sistema a ella, van en “contrafase” para

frecuencias mayores. Los valores

cuantitativos de estos resultados se verán en

la siguiente sección, aunque un atisbo de

este resultado se observa de la introspección

de (1.3.14). Figura (1.3.2)

Se ve de los resultados (ecuaciones (1.3.14)), que el sistema responde con máxima amplitud

cuando la excitación se sincroniza aproximadamente igual a la frecuencia de oscilación libre ωn.

allí, se habla de que el sistema se encuentra en resonancia. Este efecto existe en todo sistema

oscilante que sufre una fuerza impulsora, o sea, es una propiedad que tienen los sistemas que

posen posibilidad de vibrar. Esta propiedad será estudiada con un poco más de rigor en

secciones siguientes.

Otra observación, es que si β es nula no hay disipación, como es obvio, pero esto indica

además, una imposibilidad de sincronización de la fuerza impulsora con la frecuencia de

oscilación libre. Esta observación ya se había previsto cuando se planteó la posibilidad de una

solución de tipo estacionaria. Como todo sistema físico tiene pérdidas por disipación, este

problema no es de alta importancia. De cualquier forma, esta observación se ve cualitativamente

en las siguientes gráficas.

Además, el que β sea nula, no significa que el defasaje no aparezca para ciertas frecuencias,

sino que este pasa a tener un salto de discontinuidad en ωn donde pasa de 0 a π .

0

π/2

π

ωo

ωm

Fo/kω

φ ω( )

ω

A( )ω



36

Estas gráficas resultan de la imposición, a un

sistema ideal sin disipación, de una solución

tipo senoidal estacionaria. Los cálculos son

más simples que los anteriores, si se quiere

realizarlos, aunque los resultados pueden

obtenerse simplemente haciendo nulo el

parámetro β en (1.3.14). Ahora, sí el sistema

se encuentra exactamente en resonancia

cuando la fuerza impulsora se sincroniza con

la oscilación libre, el resultado es una

oscilación con amplitud infinita. El valor

infinito para )(ωA y el salto discontinuo

desde 0 a π del valor de φ , carece de

significado físico, pero representan un caso

límite. Figura (1.3.3)

1.3.2. Influencia de la variación del término resistivo Para estudiar la disminución de las vibraciones libres debido a la existencia de disipación de

algún tipo, es conveniente introducir un nuevo parámetro del sistema. Como fue evidente

durante el análisis de las oscilaciones amortiguadas, el oscilador está caracterizado por dos

parámetros, ωn y γ . La constante ωn es la frecuencia angular de las oscilaciones libres no

amortiguadas, y γ es el inverso del tiempo necesario para que la energía decaiga 1/e de su valor

inicial. Entonces, definimos una cantidad adimensionada, la cual será un parámetro del sistema,

y es llamado el factor de calidad, Q, del sistema.

γωnQ ≡ (1.3.15)

En función del factor de calidad, la frecuencia de oscilación de un sistema amortiguado ωo (de

amortiguamiento leve), pasa a ser:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒−= 2

222

22

411

4 Qnono ωωγωω (1.3.16)

La solución del movimiento libre amortiguado viene dada por:

( )φωω

+=−

teAtx oQ

t

o

n

cos)( 2 (1.3.17)

0

π/2

π

ωo

ωm

Fo o/b ωω

φ ω( )

ω

A( )ω



37

Como se ve de (1.3.15) y (1.3.17), cuanto mayor es Q menor es el efecto disipativo y mayor el

número de ciclos de oscilaciones libres para una disminución dada de amplitud.

Qn

on

noQ

t

o eAnAnteAtAn πω

ωπωω−−

≅⇒≅⇒≈⇒= )(2:si)( 2

Ahora, indicaremos como cambia el comportamiento de los sistemas forzados cuando se hace

variar Q dejando los demás parámetros del sistema fijos.

Dispongamos de las ecuaciones (1.3.14) en forma más conveniente para este objetivo.

Sustituyendo el parámetro Q tendremos:

( ) ( )22222

)(FnF

o

Fm

FCC

ωωωβω

−+==

Multiplicando dividendo y divisor por 1/(ωn ωF) nos dará:

2221

)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

n

F

F

n

F

n

n

oF

Q

mFCC

ωω

ωω

ωω

ωω (1.3.18)

Pasemos a analizar esta expresión, para luego hacer el análisis de la expresión que se obtendrá

para el ángulo de fase.

Lo que primero buscaremos, es ver si esta expresión para la amplitud de oscilación presenta

algún máximo para alguna frecuencia en especial (como el que se observaba en la Figura

(1.3.2)). Para esto, derivamos la expresión hallada con respecto a la frecuencia.

0)(

max

==ωω

ωω

FF

F

dCd

(1.3.19)

( )⇒=⇒

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== 01)(

2222 ω

ωωωωω

ddC

Q

mFCC

FnFn

oF

( )( ) 01

max

2222

23

2222

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =ωω

ωωωωω

ωωωω F

FnFn

F

FnFn

o

Qdd

Q

mF

( ) ( ) 00

max

2222

22max

22

max =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒>−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=ωω

ωωωωω

ωωωω

F

FnFn

Fn

n

Qdd

Q



38

( ) ( )2max

22

2max

2maxmax

2

202 ωωωωωωωω−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

nn

n

QQ (1.3.20)

Entonces, la frecuencia donde la amplitud es un máximo, es:

2

2

max

211Qn

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

(1.3.21)

Sustituyendo este valor en la expresión (1.3.18) tenemos el valor máximo de amplitud.

( )⇒

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

22max

22

max

max1)(

ωωωωω

nn

o

Q

mFC

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=⇒

−=

⇒+−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⇒

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

4

22max

42

2

442

22

24

22

4max

2

222

22

1

22

max

414

1

411

1

41

2111

21

211

1

211

211

1)(

QQm

FC

QQmF

QQQmF

QQQ

mFC

QQQ

mFC

n

o

n

o

n

o

nn

o

nn

n

o

ωω

ωωω

ωωω

ω

14

2)(2

2

2max−

=QQ

mFC

n

o

ωω (1.3.22)

Observando los valores encontrados, vemos que para ωF = 0 tenemos el valor para la amplitud

que corresponde al comienzo de la curva de la Figura (1.3.2). Además, como observamos

previamente, el valor correspondiente a la amplitud máxima no es ωn, sino levemente diferente.

Esto se ve claramente de analizar (1.3.21). Hay que observar que de este análisis, nos

encontramos con una limitación para Q en la frecuencia. Para obtener un valor máximo en la

amplitud se debe cumplir que la raíz en (1.3.21) debe ser mayor que cero para que la frecuencia

máxima sea real, entonces:

⇒>⇒>⇒>−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

11202

11 22

2

max QQQnω

ω



39

⇒ γωnQ = ⇒ 2nωγ < (1.3.23)

Es decir, para todos los sistemas excepto los amortiguados con mayor intensidad.

Para el valor en que el sistema se encuentra con mayor amplitud, se dice que el sistema se

encuentra en resonancia. Esta propiedad, se da para todo sistema que cumpla (1.3.23).

Análogamente, podemos realizar estas operaciones a la expresión para el ángulo )(ωϑ , y

sustituyendo Q tendremos en la expresión (1.3.14) para ϑ ,

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

n

F

F

nF

Q

ωω

ωω

ωϑ1

)(tan (1.3.24)

La mayor parte de la variación del ángulo de fase, se da en un intervalo de frecuencias que va

aproximadamente desde ( )Qn 11−ω hasta ( )Qn 11+ω , es decir, en una banda de anchura

( )Qn 2ω centrada en ωn (la cual se estudiará posteriormente). En el límite para Q → ∞

(sistema no amortiguado) el retraso de fase salta bruscamente desde cero a π en cuanto se pasa

por ωn. Evidentemente, la frecuencia ωn es una propiedad importante del sistema resonante,

aunque no sea (excepto en el caso de amortiguamiento nulo) la frecuencia de oscilación con la

cual el sistema debería oscilar cuando se lo dejase en libertad.

1.3.3. Potencia absorbida

Con frecuencia tendrá importancia e interés conocer a que ritmo debe alimentarse la energía en

un oscilador forzado para mantener sus oscilaciones a una amplitud fija. Como cualquier otro

fenómeno dinámico, podemos calcular la potencia instantánea en función del producto de la

fuerza impulsora por la velocidad de oscilación del sistema.

v⋅=⇒⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=≡ ∫ FP

tdrdFrdF

dtd

tddWP

CC

(1.3.25)

Expresando la solución para el oscilador forzado en estado estacionario como sigue,

)sin(B)cos(A)( oo tttx FF ωω += , donde: ( )

( )2

222

22

oA⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−

−=

Q

mF

FnFn

Fno

ωωωω

ωω

( )

2222

oB⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=

Q

QmF

FnFn

Fno

ωωωω

ωω



40

Entonces, la potencia instantánea del sistema, será:

)cos()cos(B)cos()sin(A)( oo tFttFttP FoFFFoFF ωωωωωω +−= (1.3.26)

Esta potencia hubiera contenido simplemente el término para Ao si el sistema no fuera

amortiguado (observar que Q sería infinita haciendo nulo el coeficiente Bo).

Como ya se ha utilizado, lo que nos interesa generalmente es la potencia media, y según los

promedios trigonométricos ya calculados, el primer término se anula para cualquier número de

ciclos y el segundo es igual a ½. Por lo que la potencia media requerida para mantener la

oscilación es:

( )

( )

( )⇒

×

×

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⇒=2

2

2222

2

ToT 1

12

B21)(

Fn

Fn

FnFn

FnoF

oF

Q

QmF

PFtPωω

ωωωωωω

ωωω

ω

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⇒

2

2

2

T1

1

2

Q

QmFP

n

F

F

nn

o

ωω

ωωω

(1.3.27)

Para ver cuál es la frecuencia a la cual la potencia media se hace máxima, simplemente

derivamos como lo hicimos con la amplitud.

( )

0max

T ==ωω

ωF

FdPd

(1.3.28)

( )⇒=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−

= 02 2

222

22

T

Q

Qd

dm

Fd

Pd

FnFn

Fn

F

o

F ωωωω

ωω

ωω

( )

( )

( )0

4222

max

22222

222

22

222

2

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−

−−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−

⇒

=ωω

ωωωω

ωωωωωω

ωωωω

ωω

F

Q

Q

QmQF

FnFn

FnFn

F

FFn

Fn

Fon

( )

( )

( )⇒

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−

22max

22max

2

22max

2max

22max

2max

22max

2

242

Q

Q

Q nn

nn

nn

ωωωω

ωωωωω

ωωωω



41

( ) ( )( ) ( ) ⇒−+=−=−−⇒

⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+−−⇒

2max

24max

422max

22max

22max

2max

22max

22

2max

2max

22max

22

2

ωωωωωωωωω

ωωωωωωωωω

nnnn

nn

nn QQ

nn ωωωωω =⇒+=⇒ max4max

44max2 (1.3.29)

Concluimos entonces que la potencia media posee un máximo en ωn sin importar el valor que

pueda tener Q. Es obvio que si el sistema no fuera amortiguado, ni siquiera tendríamos un valor

medio para la potencia entregada y por lo tanto no tendríamos una frecuencia a determinar.

Luego, podemos definir la potencia máxima media entregada en un ciclo, como:

γω m

FQm

FP o

n

o22

max,T 21

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (1.3.30)

Otra curva que generalmente interesa, es la curva de la amplitud de velocidad en función de la

frecuencia. Como la velocidad del sistema es:

( )ϖωωωωωω +=+−= tttt FFFFFF sin)(v)cos(B)sin(A)(v ooo (1.3.31)

Donde,

2

2o

1

1)(v

Q

mF

n

F

F

nn

oF

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

ωω

ωωω

ω (1.3.32)

Las curvas típicas, de la potencia y la velocidad, en función de la frecuencia, son como las que

siguen. Estas son llamadas curvas de resonancia, de potencia y velocidad, respectivamente.

0ωo

ω ω

<P( )>ω vo( )ω

Figura (1.3.4)

Puede señalarse, que la potencia de entrada tiende hacia cero para frecuencias muy bajas y muy

altas (ver expresión (1.3.27)), y que excepto para valores bajos de Q las curvas son casi

simétricas alrededor del máximo. Es claro que para estos casos, estamos hablando de sistemas

fuertemente amortiguados. Se muestra la curva de resonancia de la velocidad, ya que como se

verá en capítulos posteriores, esta, en la mecánica, se toma por convención, como la respuesta

del sistema al forzamiento o excitación que sufre el sistema.



42

Es, por lo tanto, conveniente definir una anchura para estas curvas de resonancia de potencia

tomando la diferencia entre aquellos valores de ωF para los cuales la potencia de entrada es la

mitad del valor máximo. De esta forma lo que definimos es lo que comúnmente se llama ancho

de banda ω∆ , que se define generalmente nada menos que como el ancho a mitad de altura.

Para que esto suceda, se debe cumplir que:

2

2

2

max

T

1

1

21

Q

QPP

n

F

F

n +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==

ωω

ωω

(1.3.33)

Donde notaremos por ωi a las 2 frecuencias para las que sucede esta igualdad. Entonces,

( )

( ) 0

21

2222

2222

22

2

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=−⇒

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⇒=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

nin

iin

in

inin

n

F

F

n

QQ

QQQ

ωωωωωωωω

ωωωωωω

ωω

(1.3.34)

Esta es una ecuación cuadrática que tiene como raíces las siguientes soluciones:

14

121

14

121

2

2

+±+=

+±−=

QQ

QQ

n

i

n

i

ωω

ωω

(1.3.35)

Como se observa directamente de las expresiones (1.3.35), si se realiza la diferencia entre estas

dos frecuencias, se obtendrá la banda de frecuencias que caen entre estos valores ω1 y ω2.

Como la curva de resonancia posee un máximo en ωn, conviene definir al ancho de banda

como la mitad del intervalo de frecuencias dado por la diferencia entre las frecuencias ω1 y ω2.

βγωωω

ωω

ωω

==∆⇔=∆

⇒+=−2

1221

2112

QQQ nnn

(1.3.36)

Luego, el coeficiente de amortiguamiento del sistema determina el ancho de la curva de

resonancia respecto de ωn. De aquí también observamos que si β → 0, entonces también lo hará

el ancho de banda. Recordando además, que γ es el recíproco del tiempo necesario para que la

energía de las oscilaciones libres en un ciclo decaiga a 1/e de su energía inicial, vemos entonces

que tenemos una igualdad entre la anchura de la curva de resonancia para el oscilador

impulsado por la potencia de entrada, con el recíproco del tiempo característico γ .

Se denomina por banda pasante de frecuencias, al intervalo dado por:

βωωωω ±=∆±= nnn )(I (1.3.37)



43

R

L

C

I

V ( )o cos tω

Podemos predecir que si un sistema tiene una respuesta de resonancia muy estrecha (medida

bien por la amplitud o por la absorción de potencia) la disminución de sus oscilaciones libres

será muy lenta. E inversamente, como es natural, si las oscilaciones libres disminuyen

rápidamente o lentamente, la respuesta del oscilador forzado es respectivamente ancha o

estrecha. Nuestro criterio para el uso de rápido, lento, estrecho o ancho, es el siguiente. Se dice

que la resonancia es estrecha, si:

12<<

∆

nωω

(1.3.38)

Se dice que la disminución de las oscilaciones libres es lenta si el oscilador sólo pierde una

fracción de su energía en un ciclo. Entonces,

⇒=∆<<∆

⇒∆−≈∆

⇒= − T:parasi1)(T

tEEt

EEeEtE t

i γγ

12<<

nωγπ

(1.3.39)

Una característica, resultado de las conclusiones extraídas en esta sección, es que todo sistema

físico, que en oscilación libre presente una perdida temporal de energía en forma exponencial,

mostrará también una respuesta a la acción impulsora con características resonantes que

dependerán del amortiguamiento que posea el sistema.

1.3.4. Ejemplos de sistemas forzados A modo de ejemplo, tomaremos el circuito RLC conectado en serie con una fuente de voltaje

sinusoidal. El siguiente diagrama simula tal dispositivo.

Comenzamos por aplicar la ley de mallas de

Kirchoff al circuito de la figura.

( ) )()()(cos)( tVtVtVtVt LCRo ++== ωε

Esta expresa las caídas de potencial al recorrer la

malla, siendo los Vi(t) las caídas de potencial

correspondientes a cada elemento. Entonces, la

ecuación a resolver será:

Figura (1.3.5) ∫++= dttIC

IRtdIdLt )(1)(ε (1.3.40)

Esta ecuación, representa una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea para la

carga q que circula en el circuito. Como en nuestro caso no nos interesa saber la solución

completa, sino simplemente el estado estacionario, podemos concentrarnos en la solución no

homogénea. De esta forma, la solución deberá tener la forma, ya expuesta, de una función



44

senoidal dependiente de la frecuencia de excitación (la cual es un dato del problema). Para esto

pasamos a la ecuación compleja correspondiente como se hizo en la sección 1.3.1.

IC

IRILt ~1~~)(~ ++=ε (1.3.41)

Donde se realizaron los cambios: ti

o

ti

eItItI

ettω

ωεε~)(~)(

V)(~)( o

=

=

De la simple sustitución en (1.3.41) se obtiene,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⇒++−=

CLiRII

CIRiILiω oooo ω

ωωω 1~V~1~~V o2

o (1.3.42)

Esta expresión conlleva una relación similar a las halladas en la primera sección del capítulo. Se

puede ver que sustituyendo los parámetros del circuito RLC en las expresiones (1.3.18) y en

(1.3.24), podemos hallar la fase y la amplitud de la expresión para la carga en función del

tiempo. Se observa además, que esta expresión es similar a la ley de Ohm para circuitos

eléctricos. Entonces, definiendo la impedancia del circuito como:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

CLiRZ

ωω 1

(1.3.43)

Podemos expresar a (1.3.42) como una ley de Ohm. La impedancia será tratada en más detalle

en capítulos posteriores. Por ahora, observamos que la impedancia es igual a la resistencia del

circuito cuando sucede que: 22 101LCLCC

LRZ ωωω

ω ==⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇔=

Cuando esto ocurre, el circuito actúa como si sólo estuviera presente la resistencia, por lo que

nos encontramos en la resonancia del mismo ya que la frecuencia impulsora es igual a la

frecuencia de oscilación libre de un circuito RLC.

Se puede calcular el ancho de banda de este circuito, a partir de que: ωωω ∆+= LC

( ) ( ) ( )

( ) ( )LC

LC

LLR

CL

CLR

LCLCLCLC

LC

LCLC

LCLC

ωω

ωωωω

ωωω

ωωω

ωωωω

ωω

∆=∆

+∆=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−−∆+≅

⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆+

−∆+=∆+

−∆+=

211

1

111

2

Entonces, el ancho de banda de un circuito RLC y su calidad vienen dadas por:

L

R2

=∆ω ω

ω∆

=2

LCQ (1.3.44)8

8 Para mayor información en circuitos eléctricos, consultar: BROPHY, “Electrónica fundamental para el científico”. Ed. Reverté, 1979.



45

2. SISTEMAS DISCRETOS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Hemos limitado nuestro estudio al análisis de sistemas que tienen un solo modo de vibrar y que

por ende poseen una frecuencia que los caracteriza. Sin embargo, un sistema real generalmente

posee muchos modos diferentes en los cuales es capaz de vibrar y puede resonar a muchas

frecuencias distintas. Entonces, ¿cómo podemos calcular estos modos de vibración y sus

frecuencias? La clave está, en que muchas veces un objeto se puede simular como un gran

número de osciladores sencillos acoplados juntamente. La cuestión resulta ser entonces: ¿Cómo

influye el acoplamiento sobre el comportamiento individual de los osciladores?

2.1. SISTEMAS CON 2 GRADOS DE LIBERTAD Ahora, pasaremos al estudio de sistemas que necesitan 2 coordenadas para determinar

completamente su movimiento en todo tiempo.

2.1.1. Péndulos acoplados

Empecemos con un ejemplo sencillo. Tomemos dos péndulos idénticos de longitud L, que

notamos por A y B, y conectémoslos por un resorte, cuya longitud natural sea exactamente igual

a la distancia entre los dos péndulos. Resulta de la experiencia, que existen ciertos movimientos

para dicho péndulo acoplado, que son notorios y poseen frecuencias donde toda parte del

sistema oscila con un movimiento armónico simple caracterizado por tal frecuencia. Estos

modos de movimiento, para este caso, son los expresados en la siguiente figura.

A B A B Figura (2.1.1)

La primera figura, muestra el movimiento que se logra, al apartar ambos péndulos de su

posición de equilibrio una cantidad igual. Para este caso, el resorte no ejerce fuerza alguna para

todo tiempo. La segunda, se logra apartándolos una cantidad igual, pero opuesta. La simetría del

dispositivo nos dice que en este caso, los movimientos de A y B serán las imágenes especulares

del otro.



46

Pasemos a realizar el análisis dinámico del sistema de 2 péndulos acoplados aplicando las leyes

de Newton. Consideremos que el sistema se encuentra como en la figura siguiente, y notando

que los desplazamientos respecto de la posición de equilibrio son: xA y xB, respectivamente.

A B

xA xB

l

k

Figura (2.1.2)

Entonces las fuerzas que sufren las masas serán, la de la gravedad y la del estiramiento del

resorte, la cual en magnitud vendrá dada por k (xA – xB), donde (xA – xB) indica el alargamiento

del resorte. Suponiendo un apartamiento pequeño desde la posición de equilibrio, podemos

realizar las aproximaciones de pequeñas oscilaciones, entonces, las ecuaciones de movimiento

para el sistema serán:

( )

( ) BBAB

ABAA

xLgmxxkxm

xLgmxxkxm

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−−=

(2.1.1)

Definiendo las frecuencias de oscilación siguientes,

Lg

mk

gk == 22 y ωω (2.1.2)

El sistema puede ser expresado como:

( )( ) 0

0222

222

=−++

=−++

AkBgkB

BkAgkA

xxx

xxx

ωωω

ωωω (2.1.3)

Estas dos ecuaciones diferenciales no pueden resolverse independientemente sino que deben

resolverse simultáneamente. Un movimiento dado a A no permanece confinado en él, sino que

influye en el comportamiento de B, y viceversa. Este problema constituye un sistema de

ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas.

Este caso particular no presenta gran dificultad a la hora de la resolución del problema, ya que

basta observar que si sumamos las expresiones encontradas en (2.1.3),

( ) ( ) 02 =+++ BAgBA xxxx ω



47

Y si restamos la segunda a la primera, resulta,

( ) ( )( ) 02 22 =−++− BAkgBA xxxx ωω

Definiendo las variables ξ = xA + xB y ζ = xA – xB, las ecuaciones encontradas tienen una

forma simple en estas variables (se logra desacoplar el sistema mediante un cambio de

variables, un difeomorfismo que transforma el sistema en uno desacoplado).

( ) 02

022

2

=++

=+

ζωωζ

ξωξ

gk

g (2.1.4)

Estas ecuaciones de movimiento son del tipo (1.1.1), y corresponden a un movimiento

armónico simple. A las variables ξ y ζ se las llama, en el lenguaje de la mecánica, coordenadas

normales, debido a que corresponden a variables en las que el sistema oscila como un todo a

una sola frecuencia definida. La frecuencia correspondiente a cada variable es:

222

2

221

2 gk

g

ωωω

ωω

+=

= (2.1.5)

Estas frecuencias son llamadas de frecuencias normales, y corresponden a los 2 modos

normales. La solución correspondiente a cada modo normal será de la forma ya conocida,

( ) ( )2211 cos)(cos)( φωζζφωξξ +=+= tttt oo (2.1.6)

A partir de estas soluciones podemos recuperar la solución para las coordenadas de

desplazamiento xA y xB.

2

)()()(y2

)()()( tttxtttx BAζξζξ −

=+

= (2.1.7)

Como se observa, una característica de una frecuencia normal es que tanto xA como xB pueden

oscilar con dicha frecuencia. Otra observación muy importante, como se retomará luego, es que

la solución general está compuesta por las dos frecuencias normales y 4 constantes a determinar

por C. I., las cuales determinan completamente el movimiento general del sistema. Entonces, se

concluye que el movimiento del sistema viene dado por una superposición de modos normales.

2.1.2. Modos Normales En la sección anterior, encontramos que simplemente realizando la suma y la resta de las

ecuaciones de movimiento de dos péndulos acoplados idénticos, obteníamos una forma de

desacoplar el sistema de ecuaciones, y de esta forma, se hallaban lo que se llaman las

coordenadas normales del sistema. En general, esto no sucede. Si entonces, no fuera tan simple

la búsqueda de coordenadas normales que nos proveyeran de frecuencias normales, la pregunta

es: ¿Cómo podríamos entonces encontrar un método que nos proveyera de los modos?



48

La solución a este problema viene de la mano de un método analítico algebraico, que haciendo

uso de que tanto xA como xB pueden oscilar con una frecuencia normal ω dada, transforma el

sistema en un sistema algebraico en ω para determinarla. Tomamos entonces:

tiAA eAtxtx ω=)(~)( y ti

BB eBtxtx ω=)(~)( (2.1.8)

Imponiendo un movimiento de este tipo en el sistema, exige que las ecuaciones nos “muestren”

si son posibles frecuencias donde las coordenadas oscilan a dicha frecuencia normal. Este caso,

es lo que constituyen los modos normales. Entonces, de la sustitución de estas soluciones en

(2.1.3) (ecuaciones de movimiento acopladas), se tiene:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−++−

=−++−

0

02222

2222

tik

tigk

ti

tik

tigk

ti

eAeBeB

eBeAeAωωω

ωωω

ωωωω

ωωωω ⇒

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−++−

=−+−+⇒

0

02222

2222

ωωωω

ωωωω

gkk

kgk

BA

BA (2.1.9)

Para un valor de ω arbitrario, éstas constituyen dos ecuaciones simultáneas para las amplitudes

desconocidas A y B. Si son ecuaciones independientes, existe solamente una solución trivial

para las amplitudes, lo cual significa simplemente, que para un valor arbitrario de ω las

ecuaciones (2.1.8) no son solución del problema y no se encuentran los modos normales del

problema. Entonces, lo que se busca es que estas ecuaciones no sean independientes de forma

de obtener soluciones no triviales. Reagrupando (2.1.9), obtenemos el sistema algebraico,

02222

2222

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−−−+

BA

gkk

kgk

ωωωωωωωω

(2.1.10)

Este sistema tiene solución no trivial solo si el determinante de la matriz es nulo, o lo que es lo

mismo, la matriz no es invertible. Notaremos a esta matriz como M (ω). Luego, se tiene que:

[ ] ( ) ( ) 0)( 222222 =−−+= kgkDet ωωωωωM (2.1.11)

⇒ ⇒+=⇒±=−+ 22222222kgkkgk ωωωωωωωω ∓

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=⇒

2222

221

2 gk

g

ωωω

ωω (2.1.12)

Entonces se recuperaron las frecuencias normales halladas anteriormente. Volviendo al sistema

(2.1.9), encontramos una relación para las amplitudes de nuestro caso, al sustituir las

frecuencias encontradas. Esta relación establece que:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=→±=

22

21

frecuenciaconoscilasistemaelsi1

frecuenciaconoscilasistemaelsi11

ω

ω

BA

BA

BA



49

Entonces, el método analítico general para la búsqueda de modos normales de un sistema, se

basa en imponer una solución para cada coordenada (que, por ejemplo, represente un

desplazamiento respecto del punto de equilibrio, como en nuestro caso), que dependa solo de

una frecuencia, y que posea una amplitud a determinar respectiva a cada coordenada.

2.1.3. Modo de batidos Un caso usual del movimiento de dos péndulos acoplados, es el que se da al imponer las

siguientes condiciones iniciales.

0)0(0)0(;0)0()0( ==== BBAoA xxxAx (2.1.13)

Estas condiciones iniciales generan, un movimiento peculiar en el sistema llamado modo de

batidos, donde, xA pasa de su amplitud inicial máxima, a anularse, al mismo tiempo que xB pasa

de una amplitud nula a crecer hasta la misma amplitud máxima que xA comienza, y así

sucesivamente.

Para ver esto matemáticamente, tomemos las expresiones halladas para las coordenadas:

( ) ( )

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+=

+=+=

2)()()(

2)()()(

cos)(cos)( 2211

tttxtttx

tttt

BA

oo

ζξζξφωζζφωξξ

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−+=

+++=⇒

2211

2211

cos2cos2)(

cos2cos2)(

φωζφωξ

φωζφωξ

tttx

tttx

ooB

ooA

(2.1.14)

De la condición inicial de que ambas velocidades son nulas para t = 0, vemos que las fases

también deben serlo. Esto se debe, ya que al derivar las expresiones, estas pasan a ser en senos

de las fases solamente. De las dos restantes, obtenemos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

+=

220

22oo

oooA

ζξ

ζξ

Luego las solución del problema vendrá dada por,

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]ttAtx

ttAtx

oB

oA

21

21

coscos2)(

coscos2)(

ωω

ωω

−=

+= (2.1.15)

Estas relaciones conviene expresarlas de una forma similar, pero que utilizando relaciones

trigonométricas, poseen mayor información explícita. Utilizando que:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=−

−+=+

βαβαβα

βαβαβα

21sin2

1sin2coscos2

1cos21cos2coscos

(2.1.16)



50

Luego, las expresiones encontradas en (2.1.15), se pueden escribir utilizando estas relaciones.

La forma que toma la solución general en modo de batidos, es:

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]ttAtx

ttAtx

oB

oA

1221

2121

21sin2

1sin)(2

1cos21cos)(

ωωωω

ωωωω

−+=

−+= (2.1.17)

Ahora, lo que se puede definir son dos frecuencias,

( ) ( ) .mod12.Pr21 21

21 ωωωωωω ≡−≡+ y (2.1.18)

Donde ωPr. es una especie de frecuencia promedio, y ωmod. se le llama frecuencia de

modulación. Esta denominación viene, de que se pueden definir amplitudes que modulen el

movimiento oscilatorio del sistema. Así, se definen las amplitudes moduladas como:

( )( )tAtB

tAtA

o

o

.modmod

.modmod

sin)(cos)(

ωω

≡≡

(2.1.19)

Estas cantidades son definidas ya que como se ve en la figura siguiente, y como se vio cuando

se trató el movimiento oscilatorio amortiguado, tienen un significado en el movimiento de cada

uno de los péndulos, que es cero en el instante en que la amplitud asociada con el otro es un

máximo, aunque el desplazamiento real del último en un instante cualquiera después dependa

del valor instantáneo de la frecuencia promedio. Esto es claro en las siguientes figuras.

x t ( )

t

Ao

A ( )o mod.cos tω

A( ) = At o

x t ( )

tA( )t

x t ( )

t

A( )t

2π/ωProm.

2π/ωMod.

A( ) =t Figura (2.1.3)

Donde es claro que para la última gráfica, la cual corresponde al caso de los péndulos

acoplados, se tiene que: TPr. < Tmod. ⇒ ωPr. > ωmod. Como es obvio de las definiciones

de dichas frecuencias.



51

2.1.4. Vibraciones forzadas y amortiguadas en sistemas

acoplados Hasta aquí hemos considerado meramente las oscilaciones libres de un sistema de dos

osciladores acoplados, descubriendo, por lo tanto, las frecuencias características para las cuales

el sistema es capaz de vibrar como una unidad. ¿Pero que ocurre si el sistema se ve impulsado

por un agente externo con una frecuencia arbitraria?

Nuestro estudio será similar al hecho en la sección 1.3.1, donde admitiremos en el correr del

mismo que los efectos amortiguadores son lo suficientemente pequeños como para ser

ignorados, pero sin embargo, luego de un gran número de oscilaciones, los efectos transitorios

han desaparecido.

El sistema consta de dos péndulos acoplados idénticos, sumergidos en un medio viscoso, y al

péndulo A se le aplica una fuerza impulsora Fo cos (ωt). Un diagrama del problema sería:

xA xB

l

kL

Fo ( )cos tω

Figura (2.1.4)

Las ecuaciones de movimiento serán,

( ) ( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−+−=

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−−−=

BBABB

FoABAAA

xLgmxxkxbxm

tFxLgmxxkxbxm ωcos

(2.1.20)

Las cuales dividiéndolas por m, resultan:

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+++

=−+++

02

cos2222

222

AkBgkBB

Fo

BkAgkAA

xxxxm

tmFxxxxm

ωωωβ

ωωωωβ (2.1.21)

Suponiendo soluciones complejas, de igual frecuencia a la frecuencia impulsora, y distintas

amplitudes a determinar, podemos realizar el análisis de las posibles resonancias del sistema.

Sustituyendo estas soluciones en (2.1.21), encontramos un sistema de ecuaciones en las

amplitudes A y B, para xA y xB respectivamente.



52

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++−−−++

022

2222

2222

mF

BA

ii o

FFgkk

kFFgk

ωωβωωωωωωβωω

(2.1.22)

Hay que recordar que aquí ωF no es una incógnita sino un dato, y por lo tanto, para no tener

soluciones triviales para las amplitudes en función de los parámetros del sistema, debemos tener

que el determinante de la matriz de las frecuencias, M(ωF), no debe anularse. Luego, los

coeficientes vendrán dados por:

( )[ ]

( )[ ]⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−++=

)(

)(2

2

222

F

ko

F

FFgko

DetmFB

Deti

mFA

ωω

ωωωβωω

M

M (2.1.23)

Donde,

[ ] ( ) ( )222222 2)( kFFgkF iDet ωωωβωωω −−++=M

Como supusimos al principio, consideraremos para el análisis de las resonancias de este

sistema, el caso para el que el amortiguamiento es despreciable. Por lo que las amplitudes de las

oscilaciones de las 2 partes del sistema pasan a ser:

( )[ ]( )[ ]⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−+=

)(

)(2

222

F

ko

F

Fgko

DetmFB

DetmFA

ωω

ωωωω

M

M (2.1.24)

Donde,

[ ] ( ) ( ) ( )( )222

221

222222)( FFkFgkFDet ωωωωωωωωω −−=−−+=M

Utilizando la notación de que 21ω y 2

2ω son las frecuencias normales para oscilación libre.

De la definición, las resonancias las encontramos en las frecuencias para las que las amplitudes

son máximas, por lo que derivamos las expresiones anteriores en busca de extremos.

[ ] ( ) [ ]

[ ]0

)(20 2

222

max

=−+−−

⇒== M

MM

Detd

DetdDet

dAd F

FFgkF

FF

ωωωωωω

ωωω

( ) [ ]

[ ]0

)(

0 2

2

max

=−

⇒== M

M

Detd

Detd

dBd F

Fk

FF

ωωω

ωωω

Como es obvio, las amplitudes máximas las encontramos para los valores donde el determinante

se anula.

[ ] ( ) ( ) ( )( ) 0)( 222

221

222222 =−−=−−+= FFkFgkFDet ωωωωωωωωωM (2.1.25)



53

Estas frecuencias son exactamente las respectivas oscilaciones normales para dos péndulos

acoplados idénticos en oscilación libre. Por lo que si se sincroniza la frecuencia de excitación a

estas frecuencias se tiene que el sistema posee amplitudes de oscilación infinitas. Al igual que

para el caso de un solo péndulo, sin amortiguamiento, este estado del sistema se explica con un

cambio discontinuo en la fase. En este caso, hasta la primera frecuencia de resonancia se

encuentran en fase, para luego cambiar súbitamente. La introducción de un amortiguamiento

haría que la fase variara de forma suave con la frecuencia a través de la resonancia.

A( )ω

ω

ω1 ω2

ω´

B( )ω

ω

ω1 ω2 Figura (2.1.5)

Podría comentarse una característica particular de esta figura, porque parece (y es) físicamente

imposible. Esta consiste en el hecho de que a una frecuencia ω′ entre las resonancias, tenemos

que A = 0 y B no lo es. A partir de las condiciones admitidas del problema es evidente que la

impulsión forzada periódica del péndulo B depende del movimiento del péndulo A. En

cualquier sistema real sería necesaria la presencia de una pequeña oscilación por parte de A. La

frecuencia ω′ a la que se presenta esta situación aparentemente anómala es precisamente la

frecuencia natural de oscilación de un péndulo aislado, teniendo sujeto un muelle de

acoplamiento, por lo que ω′ = (ωk2 + ωg

2)½. En ausencia de fuerzas amortiguadoras, la

presencia de una fuerza impulsora arbitrariamente pequeña de frecuencia ω′, causada por

pequeñas vibraciones del péndulo A, produciría una respuesta extraordinariamente grande en el

péndulo B. La presencia de fuerzas disipativas, aunque pequeñas, destruiría este caso y, como

consecuencia, la amplitud A, aunque fuese muy pequeña cerca de ω′, nunca sería totalmente

nula. Haciendo los siguientes cambios de variables,

2220 gk ωωω += y 22

0 kωωα = (2.1.26)

Donde α se llama coeficiente de acoplamiento y es siempre menor que la unidad, podemos

expresar entonces, que las frecuencias resonantes se encuentran en:

( )αωω ±= 120

2.res (2.1.27)



54

El punto principal que ha de aprenderse de este análisis es la confirmación de la que se pueden

escribir los modos normales del sistema acoplado mediante las observaciones de resonancia y

que los movimientos estacionarios de las partes componentes en la resonancia son exactamente

como correspondería al mismo sistema en vibración libre para la misma frecuencia.

2.1.5. Ejemplos Hasta aquí hemos tratado principalmente con el problema de péndulos idénticos, por lo que para

extender este análisis tratemos de resolver el problema, pero para dos péndulos de masas

distintas, acoplados por un resorte.

El diagrama del sistema, será como sigue.

xA xB

kL

MA MB

Figura (2.1.6)

Por lo que, las ecuaciones de movimiento vendrán dadas por:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−−−=

BBBABBB

AABAAAA

xLgMxxkxbxM

xLgMxxkxbxM

(2.1.28)

Las cuales dividiéndolas por MA y MB, respectivamente, resultan en:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+++

=−+++

02

02222

222

AkBBgkBBBB

BkAAgkAAAA

xxxx

xxxx

ωωωβ

ωωωβ (2.1.29)

Como es claro, estas ecuaciones no presentan coordenadas normales fáciles de computar. Una

simple suma o resta no nos desacoplarán el sistema de ecuaciones presente.

Para comenzar, despreciaremos el término disipativo, y luego, trataremos de no utilizar el

método analítico para la búsqueda de modos normales.

De la introspección de (2.1.29), vemos que si despreciamos los términos disipativos y restamos,

se obtiene, que las ecuaciones se logran desacoplar.

( ) ( ) ( ) ⇒=+−+−++− 0222222AkBBkABgkBAgkABA xxxxxx ωωωωωω



55

( ) ( )( ) 0222 =−+++− BABAgBA xxxx ωωω (2.1.30)

Por lo que nuestra primera coordenada normal, será:

BA xxt −=)(ζ (2.1.31)

Para encontrar nuestra segunda coordenada normal, observamos que debemos eliminar las

masas del sistema acoplado, por lo que una posibilidad sería multiplicar las ecuaciones (2.1.29)

por MA y MB, respectivamente para luego sumarlas,

( )( )

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−++

=−++⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−++

=−++

0

0

0

022

22

222

222

ABgkBBBB

BAgkAAAA

AkBBgkBB

BkAAgkAA

xkxMxM

xkxMxM

xxx

xxx

ωω

ωω

ωωω

ωωω

( ) ( ) 02 =+++ BBAAgBBAA xMxMxMxM ω (2.1.32)

Si ahora dividimos esta expresión por la suma de ambas masas, tenemos nuestra segunda ecuación normal:

02 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

BA

BBAAg

BA

BBAA

MMxMxM

MMxMxM ω (2.1.33)

Por lo que nuestra segunda coordenada normal, será:

BA

BBAA

MMxMxMt

++

=)(ξ (2.1.34)

Así, las frecuencias de un sistema de 2 péndulos, no idénticos, acoplados y sin amortiguación,

son:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

=

BAg

g

MMk 1122

22

ωωζ

ωωξ

ζ

ξ

(2.1.35)

Para terminar con el ejemplo, podemos considerar el caso de un circuito RLC que conste de dos

mallas, y nuevamente se cumple la analogía ya descrita. Donde el sistema sería como:

R

L

CI

R

Co

I

L

Co

Figura (2.1.7) 9

9 Por tratamientos similares y cómputo de soluciones, referirse a: BROPHY, “Electrónica fundamental para científico”.



56

Las ecuaciones vendrán dadas por:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−−−=

Bo

BABB

Ao

BAAA

qCqqCqRqL

qCqqCqRqL

11

11 (2.1.36)

El cual cubre el caso de dos RLC acoplados por un condensador pero idénticos. Además, no se

han tomado en cuenta las inductancias mutuas.

2.2. SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD Cualquier cuerpo macroscópico real, como un trozo de material sólido, contiene muchas

partículas y no sólo dos; éste es el motivo más fuerte que tenemos para considerar el

problema de un número arbitrario de osciladores semejantes acoplados juntos.

Gracias a las secciones previas, también podremos realizar el paso de un sistema discreto de

N osciladores descritos por la ley de Newton, a un medio continuo descriptible por la

mecánica del continuo.

2.2.1. Ecuaciones de movimiento

En un sistema de N osciladores idénticos acoplados de alguna forma (por ejemplo por una

cuerda flexible, elástica y sin masa), se pueden tener dos tipos de movimientos, los cuales, como

es claro, superpuestos darían un movimiento completamente general, siempre dentro del marco

de pequeñas oscilaciones respecto del equilibrio. Estos movimientos son, como es obvio,

movimientos horizontales y verticales. Si las masas sólo pueden moverse horizontalmente, se

habla de oscilaciones longitudinales. Si por el contrario, su movimiento es vertical, se dice que

existen oscilaciones transversales.

Comenzaremos analizando un sistema de N partículas restringidas a tener solamente

oscilaciones transversales. Las matemáticas para estudiar ambos tipos de movimientos es la

misma. Nuestro sistema pasará a ser, un conjunto de N masas, m, idénticas, sujetas por una

cuerda elástica y sin masa, espaciadas una distancia l.

0 1 2 3 N 2 - N 1 - N N+1

Fija Fijal

Figura (2.2.1)

Señalando las partículas por el subíndice p = 1,...,N, tendremos que podemos considerar el

sistema tal que, p = 0 consta de una partícula sin masa al igual que p = N + 1, por lo que estas

poseen desplazamientos nulos (o lo que es lo mismo considerar que la cuerda posee extremos

fijos), lo cual se podrá deducir de las ecuaciones de movimiento del sistema.



57

Pasemos a analizar el movimiento de la partícula p-ésima.

y(p)

pl p p+1p-1

ypα1

α2

T1T2

Figura (2.2.2)

Como no hay movimiento longitudinal de las masas, la segunda ecuación de Newton para esta

coordenada resulta en:

0)cos()cos( 1122 =− αα TT (2.2.1)

Como hemos analizado todos los sistemas hasta ahora, nos restringiremos al movimiento

oscilatorio resultante de la restricción a pequeñas oscilaciones. Entonces,

⎩⎨⎧

≈≈

)tan()sin(1)cos(

ii

i

ααα

Por lo que las ecuaciones de Newton para ambas coordenadas resultan en:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

≅−⇒=−

≅−⇒=−

p12p1122

121122

)tan()tan()sin()sin(

00)cos()cos(

ymTymTT

TTTT

αααα

αα (2.2.2)

Además, sabemos que,

( )

lyy p1p

2 )tan( −= +α y ( )

lyy 1-pp

1)tan( −=α (2.2.3)

Por lo que la ecuación de movimiento transversal va tomando la forma de:

[ ] ( ) ( )p

1-ppp1p12 )tan()tan( yml

yyl

yyTT =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−−

=− +αα (2.2.4)

Donde, definiendo la siguiente cantidad, ωt, que tiene unidades de frecuencia angular,

mlT

t =2ω (2.2.5)

Entonces, la ecuación de movimiento que rige la p-ésima partícula, es:

( ) 02 1p1p2

p2

p =+−+ −+ yyyy tt ωω (2.2.6)

Esta ecuación es válida para p = 1,…, N.



58

2.2.2. Cálculo de los modos normales para extremos fijos Antes de comenzar el cálculo de los modos normales, vemos que de la última expresión,

podemos recuperar el caso de una masa sujeta por una cuerda flexible y sin masa, la cual está

fija por sus extremos; y por lo tanto, posee como ecuación de movimiento,

( ) 02 022

12

1 =+−+ yyyy tt ωω ⇒ 02 12

1 =+ yy tω (2.2.7)

La cual se verifica casi directamente, y posee una frecuencia de oscilación ω = √2ωt.

Vimos que para un sistema de 2 masas acopladas, el cálculo de sus modos normales permitía la

representación futura de cualquier tipo de movimiento general del sistema. Esta superposición

de modos fue primero expresada por Newton, y no mucho después, dos miembros de la familia

de Bernoulli se dedicaron al estudio detallado de la dinámica de un sistema de masas

conectadas, lo cual trata esta sección. Demostraron que un sistema de N masas conectadas

poseía exactamente N modos de vibración (movimiento transversal solamente), y mas adelante,

demostraron la superposición de los mismos para la representación general de cualquier

movimiento. Habiendo hecho esta observación, pasemos a analizar dicho sistema (representado

en la Figura (2.2.1)). La ecuación de movimiento que rige la p-ésima partícula obtenida fue:

( ) 02 1p1p2

p2

p =+−+ −+ yyyy tt ωω (2.2.8)

Esta ecuación es válida para p = 1,…, N, con la yo y yN+1 fijas. Como se ha observado antes,

esta ecuación diferencial es lineal, por lo que admite suma de soluciones, y por ende, podemos

suponer que para cada modo normal, la solución es una cierta exponencial compleja de dicha

frecuencia normal ω, multiplicada por una amplitud (en principio también compleja), tal que:

tieAyyy ω)p(~)p(~~pp == (2.2.9)

El que tomemos esta solución como aceptada, es debido a que una ecuación diferencial de

segundo orden con condiciones de borde homogéneas dadas, admite soluciones únicas, por lo

que no interesa el modo en que se llega a las mismas. Una forma de pensar como llegar a esta

solución, es que admitimos que el desplazamiento de dicha masa p, puede descomponerse en

una función espacial )p(~A , y una temporal, eiωt. Esto constituye parte de un método muy

utilizado en física llamado de separación de variables, el cual volveremos a mencionar, y

extender, en capítulos posteriores.

De la sustitución de la misma en (2.2.6), obtenemos una relación para las amplitudes.

[ ] ⇒∀=−++−+− p0)1p(~)1p(~)p(~2)p(~ 222 AAAA tt ωωω

⇒ 2

22

p

1p1p 2~

~~

t

t

AAA

ωωω −

=+ −+ (2.2.10)



59

Entonces encontramos una relación entre las amplitudes, tal que muestra que deben estar a una

razón constante para cada modo normal.

Tomemos entonces las amplitudes, tal que su módulo sea constante y su argumento θ varíe,

θpp

~ ieA ℘= (2.2.11)

Las cuales, sustituyéndolas en (2.2.10), tenemos,

( ) ( )

⇒+=+

=℘

℘+℘ −−−+

θθθ

θθθθ

θ

θθii

i

iiii

i

ii

eee

eeeee

eep

pp

p

1p1p

⇒ 2

222)cos(2t

t

ωωωθ −

= (2.2.12)

Entonces, una solución de este tipo para las amplitudes, cumple el requisito de que sea constante

para cada modo y no dependa de la partícula. Ahora faltaría definir al argumento en función de

los parámetros del sistema. Para esto, utilizamos las condiciones de borde de extremos fijos.

Como una exponencial compleja es la suma de un seno y un coseno, para el caso que nos

concierne, requerimos que la partícula 0 tenga amplitud nula, por lo que nos quedamos con el

seno. Entonces,

( )[ ] ⇒+℘==+⇒℘= θθ 1Nsin0)1N()psin()(~p ApAA

1N

1)(N+

=⇒=+⇒πθπθ nn n (2.2.13)

Entonces, el argumento pasa a ser un múltiplo entero de π/N + 1, y como consecuencia, crea

una dependencia con el n correspondiente a la frecuencia del modo y la amplitud de cada masa.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⇒

−=⇒

℘=

2sin42)cos(2

)psin()p()p(

2222

22n

tnt

ntnn

nnnAA

θωωω

ωωθωω

θ, donde los ℘n se

determinan por las condiciones iniciales del problema10.

Entonces la amplitud y frecuencia correspondientes al movimiento oscilatorio transversal son:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+℘=

1Npsin)p( πnA nn ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

22Nsin2 πωω n

tn (2.2.14)

Por lo que la solución para el desplazamiento de cada masa en un modo normal será:

( ) ( ) ( )tntAty nnnnn ωπω cos1N

psincos)p(;p ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+℘== (2.2.15)

10 Un breve desarrollo de que son las condiciones de borde será mencionado en el correr de las notas. Para ver más formalmente los problemas derivados, referirse a: HILDEBRAND, “Partial differential equations”.



60

Hay que observar que no podemos tener más de N modos normales ya que, si suponemos

existen N + 1 modos, resulta que:

02

sin222N)1N(sin21N =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=+πωπωω tt (2.2.16)

O sea que, para modos mayores a N, todas las partículas no oscilan. Por lo que la solución

general del movimiento de un sistema de N partículas idénticas acopladas por una cuerda,

restringidas a tener solamente oscilaciones transversales, resulta en como se afirmó, la suma de

sus modos normales.

( ) ( ) ( )∑∑==

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+℘==

N

1

N

1

cos1N

psin;p;pn

nnnn

n tntyty φωπ (2.2.17)

Donde se incorporó una fase, debido a que en esta se encuentra la información de la velocidad

inicial del movimiento.

2.2.3. Modos normales para extremo libre y Dispersión Comenzaremos esta sección por la definición de lo que se llama, relación de dispersión de un

sistema. Esta, es la relación funcional existente entre la frecuencia del modo de vibración de un

sistema, y el vector de ondas (que no se ha definido todavía), que en estos casos, tiene relación

con el número del modo de vibración correspondiente. Entonces, se define la relación de

dispersión de un sistema físico como:

)()( ωωω cK = (2.2.18)

Donde, c (ω) es la velocidad de la onda (velocidad de fase), y K (ω) el vector de ondas, que

para el sistema estudiado (sistema discreto), lo definiremos como el argumento de la amplitud,

de la siguiente manera,

1N +

=≡πθ nK n (2.2.19)

Volveremos a encontrarnos con este vector (que en este caso es simplemente un escalar) en

capítulos posteriores cuando se traten las ondas, pero por ahora, simplemente es un artilugio

para expresar una relación simple entre la frecuencia del modo normal y esta cantidad.

De esta forma, el desplazamiento de cada partícula será:

( ) ( ) ( )∑=

+℘=N

1cospsin;p

nnnnn tKty φω (2.2.20)

Utilizando (2.2.19), podemos expresar la frecuencia angular del n-ésimo modo como una

relación de dispersión correspondiente a un sistema de N masas acopladas con extremos fijos

restringidas a movimiento transversal.



61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

22Nsin2 πωω n

tn ⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sin2)( KK tωω (2.2.21)

La siguiente gráfica muestra dicha relación,

ωn

Kn

2ωo

2(N+1)= nπ

Kn

π2

... ...Nπ

2(N+1) Figura (2.2.3)

Cuando tenemos una relación de dispersión lineal, se dice que el medio es no dispersivo. Para

nuestro caso, se ve que el sistema constituido por masas idénticas acopladas constituye un

medio dispersivo.

Volviendo al cálculo de modos normales, ahora, nos interesa saber como varían los mismos si

un extremo de la cuerda está libre.

Lo primero a cambiar son las condiciones de borde, las cuales al aceptar un extremo libre, la

amplitud AN+1 no tendría que ser nula. Aunque, como tenemos un extremo fijo, todavía nos

quedamos con la ecuación correspondiente al seno para la amplitud del movimiento de cada

masa. Este problema que se nos presenta, en principio, no permitiría determinar el argumento de

la amplitud en función de los parámetros del sistema y del modo de oscilación. Para esto,

observamos la ecuación de movimiento de la partícula N + 1, pero dada por la ecuación

(2.2.4), donde todavía trabajábamos con la tensión.

( )[ ] 1NN1N ++ =−− ymyylT (2.2.22)

Como esta partícula se supuso sin masa, se concluye que los desplazamientos para la masa N y

N + 1 deben ser iguales, por lo que se debe cumplir que:

( )[ ] ( )θθ Nsin1NsinN1NN1N nnAAyy ℘=+℘⇒=⇒= ++

⇒ ( )[ ] ( )θθ Nsin1Nsin =+ (2.2.23)

Ahora, esta relación puede ser desarrollada de forma de encontrar el θ que la satisfaga.

( )[ ]( ) ( )

( )( ) ( )

⇒−

==−

=+−+−+

iee

iee iiii

2Nsin

21Nsin

NN1N1N θθθθ

θθ

( ) ( ) ⇒=−−−⇒−=−⇒ −−−−− 011 NNNNNN θθθθθθθθθθ iiiiiiiiii eeeeeeeeee



62

( ) ( ) ( ) θθθθθθθθθ iiiiiiiii eeeeeeeee −−− −=⇒−−=−⇒−=−⇒ N2N2N2 1111

( )[ ] ( )[ ] 11N2sin1N2cos1N2 −=+++⇒−=⇒ θθθθ iee ii ⇔

⇔ ( )

1N212+−

=πθ n

n ∀n > 0 (2.2.24)

Por lo que, como vemos, habrá una leve variación en la dependencia de la frecuencia con el

modo de vibración, en comparación con el de las masas acopladas por medio de una cuerda con

ambos extremos fijos. Entonces, la frecuencia de oscilación pasa a ser:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

22Nsin2 πωω n

tn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=2)1(2N

)12(sin2 πωω ntn (2.2.25)

Concluimos que para un sistema de masas idénticas con al menos un extremo fijo, es posible

encontrar modos normales de vibración transversal.

Para que se cumpla (2.2.25), se debe tener que la tensión para esta última masa no debe ser

nula, por lo que una forma de poder lograr esta tensión, es que el extremo libre sólo pueda

deslizar sobre un riel al cual se acopla mediante una argolla que desliza sin rozamiento.

2.2.4. Oscilaciones longitudinales libres y forzadas Como se explico anteriormente, hemos preferido considerar las vibraciones transversales en

lugar de las longitudinales, como una base para analizar el comportamiento de un sistema que

comprende un gran número de osciladores acoplados.

Ahora, vamos a ver que la explicación del movimiento longitudinal de dichos sistemas es

completamente análoga al análisis de los movimientos transversales. Consideremos el sistema

siguiente:

...

... ...

...k

lo

x1 x2 xp xp+1 Figura (2.2.4)

Nuevamente podemos contemplar los casos de extremos fijos (o uno libre), simplemente

agregando dos masas nulas a los extremos con movimiento nulo (una masa con mov. nulo).

Este sistema puede parecer muy artificial, pero una línea de átomos en un cristal está

sorprendentemente bien representada por dicho modelo, y lo mismo pero en menor grado,

sucede con una columna de gas.



63

La ecuación de movimiento de la partícula p será la siguiente:

( ) ( )1ppp1pp −+ −−−= xxkxxkxm (2.2.26)

Es decir,

( ) 02 1p1p2

p2

p =−−+ −+ xxxx kk ωω (2.2.27)

Esta expresión tiene exactamente la misma forma matemática que la ecuación (2.2.6) que regía

el movimiento oscilatorio transversal. Por lo que, todas las conclusiones llegadas para ese

movimiento tienen su contrapartida en este nuevo sistema.

Entonces, nos dedicaremos al estudio de las oscilaciones forzadas para estos sistemas. Para

esto, a la primera masa del sistema se le aplica una fuerza tipo:

( )tF Fo ωcosF = ⇒ ( )122

1 )cos( xxtmFx kF

o −+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= ωω (2.2.28)

Luego, nos concentramos en el estudio del movimiento resultante para cuando el sistema ya se

encuentra en fase, o sea, para cuando los efectos transitorios han desaparecido. Para este estado

estacionario, como la frecuencia impulsora pasa a ser la de oscilación del sistema, pueden

suceder una serie de casos dependientes de la magnitud de la misma.

Sea la solución propuesta para el movimiento,

( )tAtxeAtx Fti F ωω cos)p(~)p;(~)p(~)p;(~ == (2.2.29)

Elegimos el coseno ya que queremos que la primera amplitud no sea nula. De la sustitución de

la misma en (2.2.27), sabemos que encontramos una relación entre las amplitudes,

2

22

p

1p1p 2~

~~

k

Fk

AAA

ωωω −

=+ −+ (2.2.30)

Consideremos una solución compleja para las amplitudes (con las restricciones de que siempre

luego de imponer las condiciones de contorno esta debe ser real, ya que representará la solución

del movimiento real del sistema físico), de la forma:

( ) ( )[ ]θθθ psinpcos)p(~ p ieA i +℘=℘= ⇒ 2

22

p

1p1p 2)(cos2~~~

k

Fk

AAA

ωωωθ −

==+ −+

Aunque, en este caso, la primer condición que debemos imponerle, es que la amplitud de la

primer masa no se anule por θ, sino que sólo se vea regida por la fuerza impulsora, al igual que

lo hicimos con el desplazamiento. Por lo que nos quedamos con la parte del coseno de θ

solamente. Hasta ahora, tendríamos que:

( )ttx Fωθ cos)pcos()p;( ℘= (2.2.31)

Para el movimiento oscilatorio transversal de extremo fijo (y libre), nos quedaba una condición

de borde más. Esto no sucede para este caso, ya que esta condición es sustituida por la



64

impulsión externa. Ahora sin embargo, se nos presenta un problema a la hora de computar el

argumento de la solución propuesta para las amplitudes que se traduce en otra condición a tener

en cuenta. De (2.2.30) se tiene que cumplir que para cualquier θ real,

12

21 2

22

≤−

≤−k

Fk

ωωω ⇒ 2222 222 kFkk ωωωω ≤−≤− (2.2.32)

Entonces, diferenciamos los posibles casos:

(a) Comencemos con el caso de: 22 4 kF ωω <

Si sucede esta condición, todas las masas del sistema, oscilarán con dicha

frecuencia ωF, o sea, que la impulsión se transmite a todo el sistema.

El desplazamiento de la masa p vendrá dado por:

( ) ( )tt;x Fωθ cos)pcos(p ℘= (2.2.33)

(b) El caso siguiente es el caso crítico: 22 4 kF ωω =

Para este caso, de (2.2.30), se tiene entonces que el argumento debe cumplir,

πθθ =⇒−= 1)cos(

Pero entonces, la amplitud de la p-ésima masa será:

( ) ( )πpcosp ℘=A ⇒ ( ) ( )p1p −℘=A (2.2.34)

Entonces, lo que se ve, es que para este caso, las masas oscilan a contrafase y se

tiene también, que aún se transmite la impulsión sobre todo el sistema.

(c) El último caso, es el extremo: 22 4 kF ωω >

Para este caso se debe pensar que debemos cambiar la forma de las amplitudes ya

que un coseno nunca puede ser mayor que 1 (o menor que –1 como en este caso).

Sea tal solución,

( ) ( ) θpp1p ±−Π= eA (2.2.35)

Como queremos que sea válida para cualquier tipo de sistema con las mismas

condiciones que este, si el número de partículas es muy grande, la solución para

un exponente positivo divergiría, por lo que nos quedamos con la negativa.

Esta solución cumple que, sustituyéndola en (2.2.30):

( ) ( )

=−

−+−=

+−

−−−+−+−+

θ

θθ

pp

1p1p1p1p

p

1p1p

)1()1()1(

eee

AAA

( ) ( )θθθθθ cosh2)1()1( 11 −=+−=−+−= −−− eeee (2.2.36)

Entonces, tenemos que la impulsión no se transmite a todo el sistema, y decae

exponencialmente.



65

El movimiento de las masas vendrá dado por:

( ) ( ) ( ) )cos(1)cos(p;p pp tetAtx FF ωω θ−−Π== (2.2.37)

Donde θ cumple:

2

22

p

1p1p 2)(cosh2k

Fk

AAA

ωωωθ −

=−=+ −+ (2.2.38)

El estudio de los pasados casos, indica que cualquier material real modelado por una cadena de

eslabones, posee una frecuencia de corte, o sea una frecuencia que corresponde al caso crítico,

la cual a mayores frecuencias resulta en que la impulsión no logra transmitirse a todo el sistema.

2.2.5. Pasaje al continuo El pasaje de un sistema discreto a un sistema continuo, lo podemos pensar como en el límite en

que el número de partículas N es muy grande. Para ser explícitos consideraremos nuevamente el

caso de las vibraciones transversales de partículas sobre una cuerda sin masa sometida a tensión.

01

2 3 N 2 -N 1 -

NN+1

Fija Fijal

Figura (2.2.5)

De nuevo, podemos estar igualmente seguros de que nuestras conclusiones se aplicarán

igualmente bien a la línea de masas conectadas por resortes sin masa en la oscilación

longitudinal.

Primero, establezcamos las condiciones que se deben tener para poder realizar el pasaje.

Debemos pedir,

00N →→∞→ ml (2.2.39)

Pero además, el largo total debe mantenerse y a su vez, queremos que la masa total se mantenga

constante también. Por lo que debemos tener que:

( ) mMconstlL Ny.1N ==+= (2.2.40)

A medida que la masa y la distancia entre partículas tienden a cero, podemos entonces definir

una densidad lineal de masa como su límite, la cual notaremos por µ.

lm

l 0lim→

=µ (2.2.41)

Nuestra ecuación de movimiento, para dicho sistema, era:

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−−

= +

lyy

lyyTym 1-ppp1p

p (2.2.42)



66

Transformando las variables de masa y distancia a:

xmxl δµδ y

Entonces podemos escribir la ecuación de movimiento como,

( ) ( )[ ]1-ppp1pp yyyyxTyx −−−= +δδµ

Donde los desplazamientos ahora son funciones de x (y de t) de la forma:

( ) ( )txxyytxxyytxyy ;;);( p1-pp1ppp δδ −≈+≈≈ + (2.2.43)

Entonces, un desarrollo de Taylor de estas expresiones, tomando sólo los términos lineales, o

sea, tomando la aproximación de pequeñas oscilaciones, resulta en,

( ) ( ) ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

== 1-pp

ppppp

xxxx xy

xyT

xxxyxy

Tx

xyxxyTyx

δδ

δδ

δµ

(2.2.44)

Además, tomando nuevamente un desarrollo a primer orden de la cantidad entre paréntesis

rectos, la ecuación de movimiento se convierte en la ecuación conocida de ondas

monocromáticas sobre una cuerda no dispersiva.

tx x

yTty

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

2

2

2

2

µ (2.2.45)

Por ahora esto sólo constituye un nombre para dicha ecuación de movimiento, pero la validez

del nombre de dicha ecuación será evidente en capítulos posteriores.

Como primera observación, es que esta ecuación es una ecuación diferencial en derivadas

parciales. Rige el comportamiento temporal y espacial de la cuerda; y como consecuencia las

reglas más simples que conocíamos ya no rigen. Por ejemplo, la solución general no contendrá

sólo dos constantes arbitrarias, es más, se verá que no se podrá escribir una “solución general”

única. Esto se tratará en el capítulo de ondas en el cual se derivarán ciertas propiedades

comunes para las soluciones aunque algunas cualidades ya se han encontrado. Y surge la

pregunta, ¿cómo transforman las frecuencias normales encontradas? Teníamos que las

frecuencias angulares normales, venían dadas para una cuerda (que acoplaba las masas) con

extremos fijos, por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

22Nsin2 πωω n

tn (2.2.14)

Entonces, sabemos que para N muy grande, el seno se puede aproximar por su argumento,

( ) LnT

lnTn

mlTn

tN

nπ

µπ

µππωω =

+=

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+→

∞→ 1N1N22N2 ⇒



67

⇒ L

nTn

πµ

ω = (2.2.46)

La pregunta que nos queda responder es: ¿Qué se puede decir acerca del desplazamiento de las

partículas? Previamente, habíamos encontrado que el desplazamiento de la partícula p-ésima en

el modo de oscilación n era:

( ) ( ) ( )tntAty nnnnn ωπω cos1N

psincos)p(;p ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+℘== (2.2.15)

Como ahora, en lugar de llamar a la partícula por su índice, podemos especificar su distancia x

desde el extremo fijo de la cuerda ( x = p l ), entonces,

( ) xL

nnl

ln πππ→

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+ 1Np

1Np (2.2.47)

Así pues, el movimiento de dicha parte de la cuerda para el modo normal n, oscilará como:

( ) ( ) ( )txL

ntxAtxy nnnnn ωπω cossincos)(; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛℘== (2.2.48)

Llegamos a una expresión que muestra el movimiento de una cuerda con extremos fijos a la que

inicialmente no se le impone una velocidad. Si este es el caso, basta agregar una fase a la parte

temporal, de forma de que la derivada temporal a tiempo cero no resulte nula.

Antes de concluir la sección, debemos observar algo muy importante. La expresión encontrada

corresponde a tomar límites de cantidades discretas. Como primera aproximación, esta funciona

a la perfección para N → ∞, pero esto es claramente imposible, ya que sabemos que todo

material está constituido por átomos y por ende, estos deben de tomarse como las mínimas

unidades elementales para dicho sistema. Por lo que a lo sumo, se tendrá que N sea del orden

del número de Avogadro, N ∝ aN = 1023 átomos. Esto nos presenta un problema a la hora de

aproximar el seno y hallar las frecuencias normales, que para un sistema continuo, uno podría

pensar que son infinitas. Entonces el número de Avogadro nos proporciona una cota para la

cantidad que puede crecer N, y por ende, la ecuación llegada para expresar el movimiento de las

partes de la cuerda, sólo es válida si n << N (limitando las frecuencias normales).



68

3. SISTEMAS CONTINUOS Y ANÁLISIS DE FOURIER

Nuestras discusiones en este capítulo no se limitarán sólo a las cuerdas vibrantes, pero

constituirán una base fundamental. A través del análisis de este sistema físico casi elemental,

estaremos introduciendo resultados y conceptos que tienen contrapartida en todo el reino de la

física. No estamos interesados fundamentalmente en el estudio de la cuerda per se, sino porque

proporciona un punto de partida casi ideal. Recordando lo que sucedió en la sección 2.2.5, para

frecuencias muy altas; encontramos que el comportamiento discreto del sistema pasaba a

importar. En este capítulo volveremos al caso donde estas frecuencias están restringidas.

3.1. SISTEMAS UNIDIMENSIONALES

3.1.1. Análisis de vibraciones de una cuerda delgada

De la experiencia, sabemos que una cuerda con ambos extremos fijos, tiene un número de

estados de vibración natural bien definidos. Dichos estados se denominan vibraciones

estacionarias, en el sentido de que cada punto de la cuerda vibra transversalmente con un

movimiento armónico simple, de amplitud constante, cuya frecuencia de vibración es la misma

para todas las partes de la cuerda. En todos ellos (excepto en el modo inferior), existen puntos

en que los desplazamientos permanecen nulos en todo instante. Estos son los nodos; las

posiciones de máxima amplitud se denominan antinodos.

Consideraremos la dinámica de dichas oscilaciones. Trataremos de derivar la ecuación de

movimiento para una cuerda pero sin el paso al límite continuo de un sistema discreto, sino

directamente desde la cuerda como sistema continuo. Supondremos en principio una cuerda de

longitud L, de espesor despreciable y con extremos fijos en x = 0 y x = L. Supondremos

además, que la densidad de masa es tipo µ = µ (x) (en primera instancia simplemente

uniforme), y que está sujeta a una tensión T la cual puede ser también función de la posición.

Finalmente, supongamos que en algún instante la configuración de cierta parte de la cuerda sea,

Nuevamente, nos concentraremos en oscilaciones

transversales, por lo que supondremos que no existen

desplazamientos en la dirección x (longitudinales). Esto se

logra simplemente con una cuerda inextensible pero flexible.

Figura (3.1.1)

y

x∆x

T2

1T

θ2

θ1



69

Las ecuaciones de movimiento para las direcciones x e y, dadas por la segunda ley de Newton

son:

⎩⎨⎧

∆=−=−

ymTTTT

)sin()sin(0)cos()cos(

1122

1122

θθθθ

(3.1.1)

Nuestra primera aproximación se basa en pequeñas oscilaciones respecto de la posición de

equilibrio, lo cual se traduce en ángulos pequeños. Por lo que podemos aproximar,

)tan()sin(y1)cos( iii θθθ ≅≅

Resultando en:

[ ] ymTymTT

TT∆=−⇒

⎩⎨⎧

∆=−=−

)tan()tan()tan()tan(

012

1122

12 θθθθ

(3.1.2)

Como además, la tangente en un punto es la derivada en el mismo, tenemos que la ecuación de

movimiento para la oscilación transversal será:

2

2

12 tym

xy

xyT

xx ∂∂

∆=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

==

(3.1.3)

Tomando el límite cuando el elemento de masa tiende a cero y por ende, el punto 1 al 2,

tenemos que podemos desarrollar la derivada en x,

xx

yxy

xy

xxx

∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=== 22

2

21

(3.1.4)

Y en el límite, podemos quedarnos con la parte lineal (suponiendo una tensión constante),

xm

ty

xyT

xxx ∆

∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

→∆==

02

2

2

22

2

lim ⇒ 2

2

2

2

ty

Txy

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂ µ (3.1.5)

Esta ecuación vale para cuerdas con tensión constante en pequeñas oscilaciones transversales.

Si en vez, suponemos una tensión dependiente de la posición, el desarrollo debería ser en la

tensión al igual que en el desplazamiento.

El cociente tensión por densidad lineal de masa tiene magnitud de velocidad al cuadrado y ésta

resultará ser la velocidad con que las ondas progresivas recorren una cuerda larga que tenga

dichos valores de tensión y densidad. Sin embargo no consideraremos este aspecto hasta el

capítulo siguiente. Por lo que definimos simplemente la velocidad de una onda sobre una

cuerda tensa como:

µTc =2 (3.1.6)

Por lo que la ecuación de movimiento de una cuerda delgada resulta en:

2

2

22

2 1ty

cxy

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂ (3.1.7)



70

3.1.2. Balance energético

Nuevamente, realicemos el análisis energético de este sistema. Consideremos que dividimos la

cuerda en pequeños elementos de masa ∆m, los cuales poseen un diagrama de fuerzas como el

graficado en la Figura (3.1.1). Ahora, podemos tratar de considerar la variación energética de

cada elemento por unidad de longitud ∆x, para luego integrarla en todo el largo de la cuerda y

obtener la variación total.

La variación cinética por unidad de longitud viene dada por:

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∆=tymKδ ⇒

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∆ t

yxK µδ

(3.1.8)

Como sucede que el largo ∆l del elemento no tiene porque ser el mismo que el ∆x, lo cual se

observa en la figura,

Podemos considerar que existe una variación de energía

potencial elástica dada por:

( )( ) ( )22 yxl

xlTV

∆+∆=∆

∆−∆=δ ⇒ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+=∆

112

xyT

xVδ

Para pequeñas oscilaciones, podemos desarrollar la expresión

entre paréntesis rectos, para quedarnos con los términos

lineales.

Por lo que, la variación de energía potencial elástica es:

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∆ x

yTxVδ

(3.1.9)

Es claro que esta expresión indica la dependencia con la forma de la cuerda por parte de la

energía potencial elástica.

Entonces, para una cuerda de largo L, tenemos que su energía vendrá dada por:

∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

L

dxxV

xKE

0 δδ

δδ ⇒ ∫ ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=L

dxxyT

tyE

0

22

21 µ

Esta expresión para la energía nos permitirá computar la misma para cualquier modo normal de

la cuerda.

3.1.3. Cálculo de los modos normales de una cuerda Se definen los modos normales de una cuerda, como la forma de vibrar en que todos los puntos

de la cuerda vibran con igual frecuencia, ω, e igual fase o contrafase. Para hallarlos, buscaremos

una solución a la ecuación de movimiento de una cuerda delgada correspondiente al tipo de

y

x∆x

T2

1T

θ2

θ1



71

situación representado físicamente mediante una vibración estacionaria. O sea que, nos

encontramos en un modo normal, y por ende, tenemos una dependencia temporal de la forma,

cos(ω t) y una amplitud que depende de la distancia del punto al extremo de la cuerda. Así

pues, admitimos que podemos usar el método de separación de variables, en el que se supone

que la solución se puede separar en funciones univaluadas solamente dependientes de una de las

variables, y diferenciables. En este caso tenemos que admitimos una solución de la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )φω +=Τ⋅= txftxftxy cos, (3.1.10)

Teníamos que, la ecuación del movimiento de la cuerda (ecuación de la propagación de una

onda sobre la misma), era,

2

2

22

2 1ty

cxy

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

Por lo que, de la sustitución de (3.1.10), tenemos:

( ) ( )

⇒∀=Τ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⇒Τ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Τ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Τ⋅

ttxfKdx

xfd

txfcdt

tdxfc

tdx

xfd

0)()()(

)()()(1)(

22

2

2

2

2

22

2 ω

⇒ 0)()('' 2 =+ xfKxf (3.1.11)

Así que lo que logramos fue obtener una ecuación diferencial ordinaria que regula el

comportamiento espacial de la amplitud de la cuerda, y donde se definió la cantidad (constante)

K2 como el cociente entre la frecuencia y la velocidad de propagación de la onda. Como ya se

observó en la sección 2.2.3, esta representa el módulo del vector de ondas, aunque por ahora

seguiremos usándola como constante de separación sin mayor análisis y aceptando que esta se

puede definir sin importancia de su real significado.

La ecuación (3.1.11) es una ecuación que corresponde a un movimiento armónico simple, por

lo que acepta soluciones sinusoidales, tales que:

( ) ( )xKBxKAxf sincos)( += (3.1.12)

Para poder determinar los parámetros de movimiento, K y ω, necesitamos alguna condición de

borde. Para el caso en que ambos extremos están fijos, las condiciones de borde a imponer son:

( )[ ]( )[ ] 0,

0, 0

=

=

=

=

Lx

x

txytxy

(3.1.13)

Por lo que resulta,

( )[ ] 0, 0 ==xtxy ⇒ 0)0( == Af

( )[ ] 0, ==Lxtxy ⇒ ( )πnLK

LKBLf

n =⇔⇔== 0sin)(

(3.1.14)



72

Así entonces, tenemos que todas las frecuencias vendrán en múltiplos enteros de una frecuencia

fundamental Lcπω =1 .

Por lo que concluimos, que el movimiento del modo n-ésimo, se representa por:

( ) ( ) ( )nnn tncxnBtxy φωω += 11 cossin, (3.1.15)

Para tiempo cero, la vibración de la cuerda en un modo, nos muestra una fotografía de cómo se

ve la forma de la misma. Esto se representa en la figura siguiente (la misma corresponde al caso

de cuando la fase inicial es nula, o sea, para cuando la velocidad inicial también lo es).

n = 1

23 n =n = Figura (3.1.2)

Como se observa, el único modo en el cual todos los puntos vibran en fase, es el fundamental.

Se observa, que el movimiento general posterior, vendrá dado por:

( ) ( )∑∞

=

=1

,,n

n txytxy (3.1.16)

Donde la convergencia de la serie se da, observando que los coeficientes deben tender a cero a

medida que las frecuencias (armónicos) sean mayores. Además, esta expresión sigue

cumpliendo con la ecuación de movimiento debido a que esta es lineal, y (3.1.16) se compone

de la superposición de soluciones; también cumple con las condiciones de borde, e iniciales

(cualesquiera que fueren). El cómputo de los coeficientes Bn, y la justificación formal de la

posibilidad del desarrollo de la solución, se tratarán en la sección que trata acerca de los

desarrollos en serie de Fourier.

3.1.4. Sobretonos y armónicos Como se vio anteriormente, la frecuencia natural más baja de un sistema vibrante se llama la

fundamental, y las frecuencias más altas, sobretonos. La frecuencia fundamental es la que

define lo que conocemos como tono característico de una cuerda vibrante y, por lo tanto, la que

define para nosotros la tensión necesaria para obtener una nota determinada de una cuerda con

masa y longitud dada. Se ha visto que si los soportes son rígidos, los sobretonos son armónicos

(pero si sucede lo contrario, en general no lo son). La no “armonicidad” de los sobretonos se

encuentra a menudo en los instrumentos musicales. Por ejemplo, para tener una radiación más

eficiente de energía, la cuerda de un violín está acoplada a través de un puente a la placa sonora.

El puente actúa como una terminación reactiva (no rígida, que puede simularse como un



73

resorte), que debe flexionar algo para comunicar el movimiento a la placa sonora. Como

resultado, las frecuencias naturales que resultan de la vibración libre de la cuerda pulsada serán

ligeramente no armónicas. Este tipo de sistemas se analizarán en secciones posteriores.

Un ejemplo ha tenerse en cuenta es la guitarra acústica, suponiéndose en primera aproximación

como una serie de cuerdas de extremos fijos. Primeramente, hay que considerar las frecuencias

fundamentales, como por ejemplo, la nota musical Mi. Esta corresponde a unos 330 Hz y la

notaremos por:

ω1 = 330 Hz → Mi 1 ⇒ 2ω1 = 660 Hz → Mi 2

3ω1 = 990 Hz → Si 2

4ω1 = 1320 Hz → Mi 3

… 8ω1 = 2640 Hz → Mi 4

Donde el subíndice de las notas musicales indica la octava a que corresponde dicha frecuencia.

Por lo que, en una guitarra tenemos que la misma nota se repite para:

2n ω1 = la misma nota (3.1.17)

Al tocar una guitarra se pulsan las cuerdas en un cierto punto que, en el momento del impacto y

durante un breve instante posterior, la cuerda se ve bruscamente empujada hacia un lado de

dicho punto y su forma no se parece a una cuerda sinusoidal. Un poco después, sin embargo, si

se establece un movimiento que es una superposición sencilla del modo fundamental y algunos

de sus armónicos inferiores. Esto se ve en la siguiente gráfica de amplitudes correspondientes a

la nota Mi.

Bn

νn =ωn

2π

νn =[ ] Hz

330 990 1320

Figura (3.1.3)

Por lo que, cuando tocamos una guitarra, no sólo escuchamos la nota deseada al pulsar, sino

todas las octavas también. Sí, por el contrario, pudiéramos pulsar la cuerda como un calco del

seno del modo 1, ahí si podríamos aislar sólo la primera octava. Análogamente podemos pensar

calcos correspondientes, para cualquier otra octava.

El movimiento estacionario resultante de la pulsación, como vimos, es una superposición

sencilla del modo fundamental y algunos de sus armónicos inferiores. Es un hecho físicamente

muy importante que estas relaciones pueden presentarse simultáneamente y, para todos los



74

efectos, independientemente las unas de las otras. Esto puede suceder debido a que las

propiedades del sistema son tales que la ecuación dinámica básica (3.1.7) es lineal, lo cual

admite la superposición, pero además, se ve que esta es independiente.

Este principio de independencia y superposición para diversos modos normales del sistema

vibrante tiene una importancia fundamental para el análisis de perturbaciones complicadas;

realmente, es el fundamento del análisis de Fourier. Este análisis se comienza a desarrollar en

la sección siguiente, y tiene como motivación el desarrollo en serie de la solución del

movimiento debido a una perturbación, y debido a esta, calcular explícitamente los coeficientes

de la serie (los Bn encontrados - en nuestro caso - en la sección anterior).

3.1.5. Desarrollo en serie de Fourier Esta sección será desarrollada un tanto más formal en cuanto a las consideraciones matemáticas

y definiciones que se darán. Nos propondremos un desarrollo que se aleja un poco de los

sistemas físicos que venimos tratando, aunque los resultados serán verificados en los mismos.

Por esto, el lector puede saltear gran parte de la sección.

Comenzamos por la motivación principal de cualquier desarrollo en serie de una cierta función:

tratar de aproximar la misma por funciones o “elementos” más simples.

Sea ⟨⋅⟩,V un espacio vectorial complejo (para mayor generalidad) con producto interno

definido, y sea Un = e1, e2,…, en un sistema ortonormal en V. Tomemos ƒ ∈ V. Queremos

aproximar linealmente ƒ por elementos de Un.

Sea Sn la función suma, dada por:

k

n

kkn bS e

0∑=

= (3.1*)

Usando la norma derivada del producto interno, podemos medir el error que se comete al

aproximar ƒ mediante Sn. El cual además, queremos que sea ínfimo. Esto es:

ε<− nSf (3.2*)

Para que esto suceda hay que elegir las constantes de modo que se cumpla que ε sea un

infinitésimo. Consideremos el caso en que ƒ = Sn,

mmkk

kmk

kkm bbbf =⟩⋅⟨=⟩⋅⟨=⟩⋅⟨⇒ ∑∑ eeeee

Puesto que las funciones ek, son ortonormales kmmk δ=⟩⋅⟨ ee (3.3*)

Donde, el resultado (3.3*) expresa que: ⎩⎨⎧

≠=

=mkmk

km si0si1

δ

Por lo que los bm son simplemente las proyecciones ortogonales del elemento f sobre Un.



75

Luego, por un teorema de aproximación, tenemos que si consideramos,

( ) ∑∑==

=⟩⋅⟨==n

okkknmk

n

okkkn btffS eyecone αα (3.4*)

Donde los bk son números complejos arbitrarios. Entonces, el teorema resulta en:

nn tfSf −≤−

Diremos que el sistema ortonormal Un es completo en V cuando se tiene que:

( ) 0→− fSf n con n → ∞ ∀ƒ ∈ V (3.5*)

Definimos además lo que es una función continua a trozos, como una función [ ] C→baf ,: ,

para la cual existen un número finito de discontinuidades en el intervalo de tal forma que la

función sea discontinua en ellos pero que posea límites laterales finitos.

Realizamos ciertas observaciones útiles para nuestro interés físico posterior:

o Si ƒ es continua a trozos en [ ]ba, , es integrable Riemann en todo el intervalo.

o El espacio de las funciones complejas continuas a trozos en [ ]ba, tiene estructura de

espacio vectorial, el cual notaremos por [ ]ba,℘ .

o Podemos definir una forma sesqui lineal (o sea, lineal en la primer variable y

conjugada lineal en la segunda), como un seudo-producto interno en [ ]ba,℘ , dado por:

∫=⟩⋅⟨b

a

dttgtfgf )()( (3.6*)

A esta forma bilineal le falta la propiedad: 00 =⇒=⟩⋅⟨ fff para ser un

producto interno (pensar en una función delta como contraejemplo).

o Si nos restringimos al espacio de funciones continuas, que notaremos por [ ]ba,ℵ , se

puede verificar que esta forma bilineal si forma un producto interno bien definido.

Para sortear el obstáculo de la definición (3.6*), se pueden realizar varios artilugios

matemáticos sobre [ ]ba,℘ , como cocientar el espacio por funciones casi nulas o completar el

espacio [ ]ba,ℵ con dichas funciones (funciones que valen cero, salvo en una cantidad finita de

puntos)11.

11 Para un desarrollo formal de la teoría, referirse a: “Notas de ecuaciones diferenciales” de ANDRES SAMBARINO, 1 de Septiembre de 2004 – y − “Lições de equações diferenciais ordinárias” de JORGE SOTOMAYOR, IMPA (Río de Janeiro).



76

Sin adentrarnos más en estos aspectos, pasamos de lleno a lo que son las series de Fourier.

Estas constituyen un caso de aproximación, donde los elementos del conjunto Un pasan a ser:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈== Ζnettni

nnn ,2

e:eUπ

(3.7*)

Se observa que el conjunto generado por dichos elementos, que llamaremos Hn, es:

njspan jn ≤= :eH . Como se que los elementos de este se pueden escribir por:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+=⇒+=

−

−

tjitji

tjitji

tji

eeitj

eetjtjitje

21sin

21cos

sincos

⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ==== + πππ 2

)sin()(ψ,2

)cos()(ψ,2

1)(ψ:ψT 212nttnttt nnonn

Se tiene entonces un conjunto de 2n +1 elementos ortogonales en los reales, donde ambos

generan el mismo conjunto; y por ende, se concluye que Un y Tn son equivalentes.

Por lo que llegamos a la parte de interés físico, los resultados aplicables a los sistemas de

estudio. Tenemos entonces bien definido el conjunto ortonormal completo que nos permite

aproximar funciones (para probar la ortonormalidad de los elementos de (3.7*), basta

sustituirlos en el producto interno definido en (3.6*)).

Sea ƒ ∈ π2ℵ periódica, de período 2π, y real. Calculemos la función suma.

( ) [ ]

[ ] ( ) [ ] ( ) ⇒−−++−+=

=+−+=⟩⋅⟨=

∑

∑∑

=

=−

−=

n

k

n

kkk

n

nkk

k

kn

tkkkitkkk

kkeffS

1

1

)(f

sin)(f)(fcos)(f)(f)0(f

e)(fe)(f)0(fe

( ) ( ) ( )[ ]∑=

++≡n

kkk

on tkBtkAAfS

1sincos

2 (3.8*)

Donde, utilizando la ortogonalidad, se llega a que los coeficientes del desarrollo son:

( )∫−

=π

ππdttktfAk cos)(1

(3.9*)

( )∫−

=π

ππdttktfBk sin)(1

(3.10*)

Y el primer coeficiente correspondiente a k = 0 es,

∫−

=π

ππdttfA )(1

0 (3.11*)



77

Aunque hemos encontrado un desarrollo para la función suma de ƒ explícitamente en función

de funciones trigonométricas, no hemos llegado a su propio desarrollo. Tomando el teorema de

aproximación enunciado anteriormente, podemos afirmar que en buena aproximación este

desarrollo es correcto para ƒ cuando n → ∞. Pero además, sin entrar en el desarrollo formal,

aceptaremos que el desarrollo en serie que encontramos, converge puntual y uniformemente a la

función, lo cual se prueba, luego de probar que el conjunto trigonométrico Tn es completo y de

resolver los problemas del seudo-producto interno debidos a la no completitud del espacio.

Hay que observar que los resultados encontrados son válidos para una función definida tal que

su período sea 2π, aunque, es claro que con un isomorfismo lineal (por ejemplo un cambio de

escala) que lleve estas variables en un nuevo intervalo logramos nuevos resultados análogos a

los obtenidos. Por ejemplo para la función periódica que teníamos, sea:

( ) ( ) ( ) )(~)2(2~)(~,donde:~22 sPd

sfddsfdsPd

sfsPP d ==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+⇒=ℵ→ℵ ππππ

Otra observación muy importante; lo que se obtuvo, fue un desarrollo para una función

periódica, pero en la práctica generalmente nos interesan funciones definidas en un cierto

intervalo. Esto no es problema, debido a que la restricción al intervalo simplemente se llega de

imponer al resultado las condiciones de borde adecuadas. Para poder ser desarrollable, se le

exige que se transforme a la función en periódica, esto se logra simplemente “calcando” la

misma en toda la recta real (acorde a las condiciones de borde). Para casos más generales, como

funciones definidas en toda la recta real (sin posibilidad de extenderlas a periódicas), se

sustituyen las sumas por integrales y se pasa a la llamada integral de Fourier, la cual se

estudiará en capítulos posteriores.

Los resultados físicos que interesan a la hora de resolver un problema, son el cálculo de los

coeficientes de la serie. Estos vienen dados por (3.9*), (3.10*) y (3.11*). Se puede hablar de

que pasamos mediante estas integrales (las cuales resultan de aplicar los productos internos

correspondientes) del desarrollo de la función a una sucesión (decreciente, por convergencia) de

los coeficientes. Como hasta ahora no se ha especificado directamente la función, se puede

hablar de que su desarrollo es simplemente la expresión de la misma en el conjunto Tn, y por lo

tanto, se puede definir una transformación que va del espacio de las funciones periódicas

( [ ]πππ ,22 −≡ℵ L ), en el conjunto que posee las proyecciones de la misma ( ( )Ζ2l ), para

cualquier función periódica e integrable Riemann. Dicha transformación se denomina,

transformada de Fourier: [ ] ( ) ( ) ( ) Ζ∈=ℑΖ→−ℑ nntflL f)(:con,: 22 ππ (3.12*)

Entonces, ℑ es un isomorfismo lineal que preserva el producto interno. De esta forma, lo que

realizamos siempre a la hora de resolver tales problemas es: aplicar la ℑ de Fourier.12

12 Referirse a: “Notas de ecuaciones diferenciales” de ANDRES SAMBARINO, 1 de Septiembre de 2004



78

Hechas estas observaciones, pasemos a verificar que los resultados obtenidos nos sirven a la

hora de encontrar las soluciones para la cuerda. Como se observó, al encontrar los modos de

vibración normal de una cuerda tensa con ambos extremos fijos, tenemos que la solución

general debe componerse de la superposición de los mismos para cuando el estado llegue a ser

estacionario. Esta solución se expresó por:

( ) ( ) ( )∑∞

=

=1

11 cossin,n

n tncxnBtxy ωω (3.1.18)

La cual corresponde a una distribución de velocidad, a tiempo cero, nula. Entonces, su forma

inicial viene dada por:

( ) ( )∑∞

=

=1

1sin0,n

n cxnBxy ω (3.1.19)

Es claro que esta serie representa una forma funcional dependiente de la posición en la cuerda,

una función )(xf , representada en serie trigonométrica con ciertos coeficientes Bn

indeterminados. Esta función representa la forma inicial de la cuerda, la cual debe ser un dato

del problema (este, además de la distribución de velocidad, se exige para la resolución de

ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden). Gracias al desarrollo en serie de Fourier,

sabemos que si podemos extender la función que nos da la forma inicial de la cuerda a una

periódica, podemos expresar la misma en una serie de senos y cosenos, pero lo que es más,

podemos calcular los coeficientes de la serie.

El cálculo de los coeficientes lo podemos calcular al sustituir la forma inicial )(xf en los

resultados obtenidos anteriormente (léase, ecuaciones (3.9*), (3.10*) y (3.11*)) y luego

obtener la serie resultante. Análogamente, se puede pensar que utilizamos la propiedad de

ortogonalidad de las funciones trigonométricas, seno y coseno, para “despejar” los coeficientes.

Para una cuerda de largo L (ƒ(x), pasa a ser función periódica de período L), se tiene que:

∫ =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⟩⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⟨

L

mnLdxL

xmLxnL

xmLxn

0 2sinsinsinsin δππππ (3.1.20)

Luego los Bn de (3.1.19) se obtienen por esta ortogonalidad de los senos como,

⇒=⟩⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⟨=⟩⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⟨ ∑∑

∞

=

∞

=mn

nn

nn

LBLxmL

xnBLxmxf δπππ

2sinsinsin)(

11

⇒ ⟩⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⟨= L

xmxfLBmπsin)(

2

1 (3.1.21)

Donde los coeficientes encontrados, son exactamente iguales que los que se obtienen de los

resultados generales que obtuvimos en el desarrollo teórico, correspondientes al desarrollo en

senos de la función. Esto quiere decir, que para obtener la solución de una cuerda con extremos



79

fijos, es necesario extender la forma inicial como función impar de x si se toma al origen en un

extremo Esto se debe a que si tomamos al origen en uno de los extremos, sabiendo que la

función ƒ(x) es nula en ambos extremos, tenemos que poder extenderla tal que en el origen la

función periódica resultante valga cero, pero que además, para un período sea también nula.

Si por ejemplo tuviéramos el caso inicial siguiente:

( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−

≤

=

2si2

2si2

)(

LxLxLh

LxLxh

xf

Figura (3.1.4)

Cuantitativamente, podemos observar de la figura de la forma inicial y el segundo modo de

oscilación, que las áreas se deben cancelar al hacer el producto de las mismas e integrar. Por lo

que B2 va a ser nulo, y por ende, todos los demás coeficientes que tengan un nodo en L/2, o sea

todos los B2n.

Si generalizamos un poco más, aceptando la posibilidad de una distribución de velocidades

distinta de cero, la solución para una cuerda de extremos fijos viene dada por:

( ) ( ) ( )∑∞

=

+=1

1cosLsin,n

nn tnxnBtxy φωπ (3.1.22)

La cual se puede escribir como (con Lcπω =1 ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∞

=

+=1

11 sinLsincosLsin,n

nn tnxnbtnxnatxy ωπωπ (3.1.23)

De la condición inicial de posición, y(x, 0) = f (x), tenemos que los coeficientes an serán:

⟩⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⟨= L

xnxfL

anπsin)(2

(3.1.24)

De la condición inicial de velocidad, ( ) )(0, xgxy = , tenemos que los coeficientes bn serán:

⟩⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⟨−= L

xnxgL

bn nπω sin)(2

1 (3.1.25)

Es claro que lo que hemos hecho hasta ahora es suponer un desarrollo impar de la forma inicial,

pero en todo caso, podemos tener un desarrollo par también.

Se dice que una función es par si:

)()( xgxg −= (3.1.26)

Y la función es impar para:

)()( xgxg −−= (3.1.27)

2n =

f x( )

L/2



80

Para lograr estos desarrollos se tiene un esquema como el de la figura siguiente,

f x( )

x

Desarrollo par

Desarrollo impar Figura (3.1.5)

Por lo que, para un desarrollo general de una función periódica )()( λ+= xfxf , de período λ

se tiene que el desarrollo va a ser (utilizando (3.8*)),

( ) ( )[ ]∑∞

=

++≡1

2sin2cos2

)(n

nno xnBxnAAxf λπλπ (3.1.28)

Al coeficiente Ao/2 se le llama término de componente continua, y es el promedio de la

función en un período como ya se observó.

Como se observa de la Figura (3.1.5), como extendamos a la función, ya sea la que da la

posición inicial o la de velocidad inicial, si la cuerda posee extremos fijos no importa ya que el

resultado será el mismo. Sin embargo, este no es el caso general, y por ejemplo, para una señal

en el tiempo, tenemos que los desarrollos resultan en uno u otro caso.

3.1.6. Efectos de frontera sobe la cuerda vibrante libre Pasemos a analizar casos específicos de cuerdas con un extremo fijo pero que poseen el otro

libre, aunque, de manera que siempre esté tensa la cuerda. Un esquema posible para poder

realizar dicho movimiento es el siguiente:

Figura (3.1.6)

A partir de este sistema existen varios casos de posible análisis según lo que suceda en el

extremo libre. Tomaremos para el análisis los siguientes casos, que considero buenos ejemplos

de dicho problema.

1. Cuerda con extremo fijo y otro libre a tensión constante Este es exactamente el problema de la figura, para cuando el anillo que desliza en el riel no tiene

masa apreciable. Por lo que simula como si el extremo estuviera libre casi completamente.



81

Comencemos el análisis, observando que, como venimos asumiendo, el movimiento es

restringido a ser solamente transversal, por lo que, la fuerza en la dirección x debe anularse.

Pero además, por acción y reacción, la fuerza transversal también lo será, debido a que el anillo

no posee masa. Esta viene dada por la acción que realiza la cuerda sobre el anillo (y viceversa),

⇒−≅−= )tan()sin( θθ TTFy 0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−==Lx

y xyTF (3.1.29)

La cual simplemente indica el hecho de que la tangente en este punto debe ser nula, o sea, el

ángulo de la cuerda con respecto al eje x en este punto debe valer 0. De este resultado ya

podemos ir concluyendo que este punto donde se encuentra el riel resultará ser siempre un

antitodo del modo normal de oscilación.

Esta conclusión se verifica al calcular la frecuencia de los modos normales. Suponiendo una

solución estacionaria tipo,

( ) ( )φω +=Τ= txftxftxy cos)()()(, (3.1.30)

Se tiene que de su sustitución en la ecuación de movimiento de la cuerda, resulta una ecuación

diferencial para la dependencia espacial, cuya solución es armónica y se puede expresar por:

( ) ( ) ( )xKBxKAxf sincos += (3.1.31)

El resultado de la sustitución y los cálculos están en la sección en que se calculan los modos

normales de una cuerda tensa (ver sección 3.1.3).

Antes, las condiciones de borde de extremos fijos eran las que determinaban las constantes y los

parámetros de oscilación. Esta vez, sólo tenemos un extremo fijo, pero la ecuación (3.1.29)

constituye la segunda condición a exigir.

La primera condición de borde, ( ) 0)0(,0 == fty implica la anulación del primer coeficiente.

Ahora, veremos el efecto de la segunda condición.

( ) ( ) 0coscos00 =⇔−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⇒=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−==

LKLKBKTdx

fdTxyT

LxLx

( ) ⇒−=⇒ 212 πnLKn ( ) Lcnn 212 πω −= (3.1.32)

Por lo que se observa que se cumple que el punto x = L es un antitodo, y las longitudes de la

onda serán (donde usamos la relación conocida entre la frecuencia y la longitud de onda):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

⇒−

=⇒== L

L

nLc nn

nnn 3

44

124

2 2

1

λ

λ

λλπωλν



82

2. Cuerda tensa con extremo fijo y otro con carga másica Ahora el problema se vuelve un poco más realista al introducir una masa al anillo, aunque aún

mantenemos el que este deslice sobre el riel sin rozamiento alguno. Además, se sigue

cumpliendo que al imponer la condición de extremo fijo en la solución estacionaria, nos

quedamos con la oscilación en el seno de la posición. Ahora, no podemos imponer la condición

de borde de que la tangente se anule, ya que ahora, esta fuerza tendrá que ser igual a la

aceleración del anillo de masa m. Por lo que (3.1.29) se convierte en:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−==

2

2

tym

xyTF

Lxy (3.1.33)

La solución espacial correspondiente al modo normal de oscilación, transforma mediante esta

condición al sustituirse en dicha identidad como:

( ) ( )

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⇒=

+−=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

)cos()sin()(

cos)(cos 2

xKBKdxfdxKBxf

txfmtxdfdT

Lx

φωωφω

( ) ( ) ⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒

cmT

cLLKBmLKBKT

ωωω tansincos)( 2

⇒ ( )ω

µω

ω 1tan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

mL

cmT

Definiendo: cLωω ≡ (3.1.34)

Por lo que las frecuencias angulares normales superiores a la fundamental, ya no serán simples

múltiplos de la misma, sino que deberán extraerse, por ejemplo, mediante métodos gráficos o

numéricos. La relación encontrada entonces, dice que los sobretonos de un sistema con un

extremo libre que posee una masa en el mismo, no serán armónicos de la frecuencia

fundamental; la cual no sólo dependerá de la longitud de la cuerda, sino que pasa a depender de

la masa acoplada y de su propia densidad lineal.

Un gráfico a modo de ejemplo de la relación (3.1.34) se expone a continuación.

0 2π

2

ππ 3π 22π-

f( )ϖ

ϖ

ϖϖ

tg( )ϖ

1

2

Figura (3.1.6)



83

Se puede observar que, a medida que m → 0, la ecuación (3.1.33) se puede resolver en que el

cos(K L) = 0, recuperando así la condición de que las frecuencias normales vengan dadas por la

igualdad (3.1.32) encontrada en la subsección previa, ya que se obtiene que: tan(K L) = 0.

A su vez, los puntos negros de intersección de ambas curvas indican las raíces de la igualdad, o

sea, las frecuencias normales, que como se observan, no son armónicas.

3. Cuerda colgada de un extremo (tensión gravitatoria)

Pasemos ahora, por primera vez, a las cuerdas de tensión inhomogénea. Aquí trataremos

particularmente con el sistema correspondiente a una cuerda que cuelga verticalmente, de forma

de que su tensión venga dada por: T = µ g x, donde g es la aceleración gravitatoria.

Pero antes, comencemos por encontrar la ecuación de movimiento para una cuerda que sufre

una tensión inhomogénea. Lo que teníamos era, que para un elemento de masa de la cuerda, se

cumplía que para el movimiento transversal,

( ) ( ) 2

2

1122 sinsintymTT

∂∂

=− δθθ

Sólo que ahora, la tensión es distinta para los extremos, por lo que pasamos a tener: T = T(x).

Además, tomando las aproximaciones de pequeños ángulos, los senos pasan a ser las tangentes

en los puntos extremos del elemento de masa. Por lo que escribimos:

2

2

12 tym

xyT

xyT

xx ∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

==

δ (3.1.35)

Lo cual lleva, a que cuando el elemento de masa tiende a cero, sea posible un desarrollo del

primer miembro de la igualdad. Por lo que, a primer orden, tenemos:

2

2

0lim

ty

xm

xyT

x x ∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

→ δδ

δ ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂

xyT

xty

µ1

2

2

(3.1.36)

Aquí observamos que por más que tengamos una densidad lineal de masa no homogénea (tipo

µ(x)), esta no afecta la dinámica del sistema, sino que simplemente afecta la velocidad y por

ende, la cinemática.

Para nuestro caso particular, la tensión depende linealmente de la posición, de tal forma que la

ecuación de movimiento resulta en:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

xyg

xyxg

ty

2

2

2

2

(3.1.37)

La dependencia con la posición por parte de la tensión, viene dada debido a que cada parte

(comenzando desde el extremo libre, 0 = T(0)) de la cuerda siente la fuerza que solamente la

parte superior le ejerce.



84

Como la cuerda aún tiene un extremo fijo, propongo la existencia de un estado estacionario, de

forma que nuevamente trasladamos el problema a buscar los modos normales de vibración de la

cuerda. Hay que observar que continuamos usando la notación de la variable y como el

indicador del desplazamiento transversal de la cuerda, aunque en este caso, la cuerda no se

encuentra en posición horizontal. Esto no es una ambigüedad ya que seguimos suponiendo que

no existen desplazamientos longitudinales en la cuerda.

Entonces, se sustituye la siguiente forma en la ecuación de movimiento (3.1.37),

( ) )cos()()()(, txftxftxy ω=Τ⋅= (3.1.38)

La cual, como es obvio, se traduce a una ecuación diferencial que gobierna la forma f(x) de la

cuerda.

0)(2

2

2

2

22 =+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− f

gxdfd

xdfdx

xdfdg

xdfdxgxf ωω

Se propone el siguiente cambio de variable:

dxdgu

dxd

udxd

dud

gxu 22

2:C.Vω

ω =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒= (3.1.39)

⇒ dud

gudxd 22ω= ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dufd

gudud

gudxfd

dud

gudxfd 222

2

2 222 ωωω

⇒ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dufd

gudufd

gugudxfd

2

2

2

222

2

2 222 ωωω (3.1.40)

⇒ du

fdgudu

fdgudu

fdgugu

gudx

fddx

fdx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

2

2

2

2

222

2

2

2

2 22224

ωωωωω

Por lo que la ecuación, luego de esta sustitución de variables, resulta en,

⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=++ 01

2

222

2

2

fdu

fdudu

fdg

fgdx

fddx

fdx ωω

⇒ 0)(2

2

=++ ufudu

fddu

fdu (3.1.41)

Esta ecuación resulta ser un caso particular de la ecuación diferencial que genera las funciones

de Bessel, funciones que se analizarán con mayor profundidad en la sección correspondiente a

la vibración de membranas circulares. La ecuación de Bessel de orden n para una función g(t)

genérica es la siguiente.

( ) 0222

22 =−++ gnt

tdgdt

tdgdt (3.1.42)



85

Por lo que, la ecuación (3.1.41), corresponde a la ecuación de Bessel de orden cero y por ende

sus soluciones vendrán dadas por una combinación lineal de funciones de Bessel de orden cero.

)(Y)(J)( ubuauf oooo += (3.1.43)

No extenderemos la forma que poseen estas soluciones y sus propiedades, aunque en secciones

posteriores daremos alguna, ya que el análisis detallado de dicho grupo de funciones se escapa

de los propósitos del curso, y en este caso, del problema. Por cualquier evaluación que se

quisiera realizar, estas funciones tiene una gran divulgación y uso, por lo que existen tablas con

valores ya tabulados para ciertos puntos. En nuestro caso, sólo nos interesa saber si ambas

funciones en (3.1.43) son de utilidad. Como en cero la función Yo diverge, sólo nos quedamos

con la otra (primera condición de borde).

Jo( )u

u

1~2,405 ~5,520O, r = 1 O, r = 2j j

Figura (3.1.7)

La Figura (3.1.7) muestra una gráfica de cómo se asemeja la función de Bessel de orden cero. La

cual se ve que es una función par y cumple que, sus raíces no son múltiplos enteros de la

primera, y estas son infinitas ya que la función tiene un comportamiento asintótico como un

coseno amortiguado por el inverso de la raíz cuadrada de u.

Ahora, debemos imponer la segunda condición de borde, que es, que el extremo que se

encuentra en L se encuentra fijo, y(L, t) = f(L) = 0. Esto implica que este extremo debe ser una

raíz de la función de Bessel, y por ende también quedan determinados los modos de oscilación

verificando nuestra hipótesis original acerca de las ecuaciones diferenciales.

02J =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

gL

o ω ⇔ rr jgL

,0)0(2 =ω (3.1.44)

Así que llegamos a poder expresar el modo de vibración r-ésimo de la cuerda colgando como:

( ) ( )tLxjAtxy rrorr

)0(,000 cosJ, ω⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= (3.1.45)

Donde se expresó la raíz con el subíndice cero para indicar a que orden corresponde la misma.

La diferencia entre las frecuencias normales no es un múltiplo, por lo que no tenemos armónicos

de una frecuencia fundamental, lo cual explica el porque una cuerda sometida a una tensión no

homogénea y con un extremo libre no produce sonidos agradables como sí lo hacen las

guitarras.



86

Ahora, podríamos preguntarnos si el extremo libre para una cuerda colgando cumple la misma

condición que para la cuerda con un aro que desliza por un riel que ya se analizó. La condición

era que la tangente en este punto era nula. Para saberlo, debemos calcular la derivada con

respecto a x de la función de Bessel en el punto, o sea, en cero.

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==⇒−=

uu

gudud

dxud

xdudu

udud ooo )(J2)(J)(J)(J)(J 1

2

1ω

⇒−=−≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

==21:con2)(J

10

12

0

auua

gxdud

xx

o ω

⇒ gxd

ud

x

o2

0

)(J ω≅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

(3.1.46)

3.1.7. Vibraciones forzadas sobre una cuerda Ahora, analicemos el comportamiento de una cuerda de longitud finita forzada por un extremo.

Sabemos por experiencia, que la deformación que produce el agente impulsor va a interactuar

con la reflexión de la onda en el extremo fijo. Esta interacción se verá con más claridad en el

capítulo siguiente, donde se pasará a hablar de ondas per sé.

Nosotros consideraremos el sistema con ciertas restricciones de forma de dividirlo en distintos

casos. Como primera acotación, trabajaremos con una fuerza impulsora de tipo cos(ωt), que

como vimos no restringe completamente el problema, debido a que, por Fourier, podemos tener

desarrollos para funciones periódicas (o extensibles a periódicas); pero lo que es más, se verá en

el capítulo siguiente que se lograrán estos desarrollos para funciones arbitrarias también.

Como un primer esquema del sistema en cuestión, nos referimos a la figura a continuación.

x

y f xt = ( )

Fexc.

T

Figura (3.1.8)

Entonces, pasemos al análisis de los casos, los cuales se dividirán de acuerdo a como es el

sistema en el extremo no excitado13.

13 Para ver los casos que se citan en las siguientes sub-secciones, referirse a: “Fundamentos de acústica” de KINSLER-FREY. Estos, son tratados desde el punto de vista de la propagación de ondas sobre la cuerda, aunque los cálculos son completamente análogos (al igual que las conclusiones).



87

4. Cuerda fija, forzada por un extremo En este caso, comenzamos por plantear las leyes de Newton al extremo forzado, el cual

supondremos sufre una impulsión sinusoidal. Por como ya se ha mencionado, y se continuará

repitiendo, no se pierde generalidad al utilizar dichas hipótesis, y además, debido a la linealidad

del sistema, podemos trabajar con cantidades complejas.

Como se ha procedido, se busca una solución estacionaria del problema. La cual resulta en:

( ) ( ) ( )[ ] ( )φω ++= txKBxKAtxy cossincos, (3.1.47)

Pasamos a ajustar las condiciones de frontera.

( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ⇒

⎩⎨⎧

=

=+⇒∀=

=

=

tFtxyLKBLKAttxy

ox

Lx

ωcos,0sincos0,

0

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

==⇒

LKFB

FA

o

o

tan

0y φ (3.1.48)

Entonces, nuestra solución para una cuerda de largo L excitada por una fuerza de frecuencia ω

es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

LKLKxK

LKLKxKFt

LKxKFxKFtxy ooo sin

cossinsin

sincoscostansincos, ω

En forma más compacta,

( ) ( ) ( )[ ] ( )txLKLK

Ftxy o ωcossinsin

, −= (3.1.49)

Cabe preguntarse que sucedería si el ω excitador tendiera a una frecuencia normal de la cuerda

con extremos fijos. Tendríamos entonces,

( ) ∞→∞→⇒→⇒→LK

FxfL

nKcL

n o

sin:queya)(ππω

Por lo que obtendríamos una resonancia, lo cual era de esperarse debido a las similitudes con

otros problemas.

5. Cuerda con carga másica en extremo opuesto al forzado

x

y f xt = ( )

Fexc.

T

m

L

Figura (3.1.9)



88

Pasamos a ajustar directamente las condiciones de frontera a la solución estacionaria (3.1.47).

Estas son:

( )[ ] ( )⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−

=

==

tFtxy

tym

xyT

ox

LxLx

ωcos, 0

2

2

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

o

Lx

FA

xfmxdfdT )(2ω

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⇒+=−⇒ LKBLKFmLKFLKBKT oo sincossincos 2ω

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⇒+=−⇒ LKmLKKTFLKmLKKTB o cossinsincos 22 ωω

( )( )

( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+=⇒

LKKTm

LKKTm

LKFB o

cot1

tan1

tan 2

2

ω

ω (3.1.50)

De la cual, sustituyendo los coeficientes obtenemos la solución formal. Observamos que,

cuando hacemos tender a infinito la carga másica (de forma de tener un extremo fijo), el

coeficiente B pasa a ser el mismo que el de la sección previa.

6. Cuerda forzada con carga resistiva Supongamos que el extremo opuesto al excitado, posee un amortiguador que lo obliga a

moverse en dirección transversal únicamente (de forma de continuar estudiando las oscilaciones

transversales solamente). La condición en ese extremo será:

LxLx t

yxyT

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

− γ (3.1.51)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]LKBLKFiLKFLKBKT oo sin~cossincos~ +=−⇒ ω

Donde se prefirió la notación compleja en la parte temporal y ya se sustituyó la primera

condición (de extremo excitado). Otra forma de evitar la parte temporal sería agregar una

diferencia de fase de 90º. Luego,

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⇒+=−⇒ LKiLKKTFLKiLKKTB o cossinsincos~ ωω

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⇒+

++

=⇒ LKiLKKTLKLKKT

LKiLKKTFB o sincossincos

cossin~2222 ω

ωω

( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]LKLKKT

KTFiLKLKKT

LKLKKTFB oo 22222222

22

sincossincoscossin~

ωω

ωω

++

+−

=⇒

Entonces, la parte real del coeficiente B se puede escribir como:

( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) 2222

22

coscossin

ωωω

+−−

=LKKT

LKLKKTFB o (3.1.52)



89

3.1.8. Impedancia El concepto de impedancia de un sistema es de gran utilidad. Este de una idea de la capacidad

resistiva del sistema en cuestión ante una excitación. Se define entonces, la impedancia de un

sistema como el cociente entre la excitación y la respuesta. Si ambos, el denominador y

numerador, son tomados en notación compleja, la división logra eliminar la parte temporal.

Excitación ≡ E

Respuesta ≡ R

Luego, R~E~

=Ζ ⇒ ( )θϕωθ

ωϕ−=Ζ⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

= itii

tii

eRE

eeR

eeE

R~E~

(3.1.53)

Cuando trabajamos en sistemas mecánicos, la excitación se refiere a la fuerza excitadora, y la

respuesta, por convención, se toma por la velocidad inducida en el sistema.

Por ejemplo, se han visto las impedancias resultantes del sistema RLC. Para la cuerda, tenemos

que esta es:

ty

Fexc.

∂∂

=Ζ ~~

⇒ t

yx

yT

∂∂

∂∂

−=Ζ ~

~

(3.1.54)

La cual dependerá del punto que se toma de referencia. Si se quiere averiguar la impedancia que

posee una cuerda forzada en un extremo, el punto en cuestión nos da la llamada impedancia de

entrada.

3.2. SISTEMAS BIDIMENSIONALES

3.2.1. Vibración de una superficie plana Se considerarán ahora las vibraciones de sistemas extendidos de dos dimensiones, tales como la

superficie de un tambor o el diafragma de un micrófono. La ecuación de movimiento de dichos

sistemas, sujeta a las mismas hipótesis simplificadoras invocadas en capítulos anteriores

(pequeñas oscilaciones, etc.), será una generalización bidimensional de la ecuación de onda para

una cuerda. Aunque, ahora debemos prestar atención a que sistema de coordenadas elegimos

para el análisis, ya que aunque se tengan ecuaciones de movimiento análogas, la imposición de

las condiciones de frontera a distintos sistemas de coordenadas se comprenden más claramente

cuando se halla elegido un sistema adecuado, de forma de que este represente el tipo de soporte

y la forma de la frontera. Por esto, estudiaremos las membranas rectangulares y las circulares.

Debemos comenzar por definir la densidad superficial del material. A esta la tomamos como el

límite físico entre el cociente de un elemento de masa y su correspondiente elemento de área

para cuando este tiende a cero.



90

Entonces, la densidad superficial de masa de una superficie es:

Amδδσ ≡ (3.2.1)

Ahora debemos analizar dinámicamente un elemento diferencial de masa. Primero,

comenzamos por observar que las fuerzas restitutivas de la membrana, según nuestras hipótesis,

podrán ser tomadas como linealmente dependientes de las deformaciones (ver, sección 1.1.4,

(a) estiramiento de un sólido elástico).

dx

dy dm

x

y

δFxδFx

δFy

δFy

x+dxx

y

y+dy

+z Figura (3.2.1)

Luego, como nos interesa el movimiento transversal, no tendremos tensiones deformadoras en

el mismo sentido que las deformaciones, por lo que sobre la superficie tendremos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

⎩⎨⎧

∝∝

yx

TT

FF

xFyF

y

x

y

x

y

x

δδ

δδ

δδδδ

00

(3.2.2)

Donde los elementos matriciales son las componentes de la tensión superficial y suponemos un

material homogéneo. Si el material es anisotrópico las mismas diferirán, pero si es isotrópico,

estas serán iguales en cualquier dirección (esta también es una razón del porque la diagonal es

nula, ya que solamente se lograrían deformaciones en una dirección si las tensiones no fueran

iguales en la misma dirección).

Pasemos a hallar la ecuación de movimiento del sistema. Para eso, analicemos primero la

membrana en un corte transversal, digamos como el de la figura siguiente.

x

T x+dxx( )

Tx

θ2

θ1

x x+dx

z δ δF = Fres. zx

Figura (3.2.2)

Como observamos, para membranas isotrópicas, no habrá necesidad de nombrar que

componente ni de que punto corresponde la tensión superficial. De esta forma, habrá también un

diagrama semejante en la dirección y, que agregará un δFzx a la fuerza restaurativa.



91

Tomando en cuenta lo mencionado, la fuerza de restitución para el diagrama de la Figura (3.2.2)

es:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1212

1212

tantansinsinsin)(sin)(sin)(sin)(

θθδθθδθδθδθδθδδ

−≅−==−+=−+=

yTyTyxTydxxTxFdxxFF xxxxzx

Entonces,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=+ xdxx

zx xz

xzyTF δδ ⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=x

zx xzxyTF 2

2

δδδ (3.2.3)

La fuerza neta de restitución para una membrana homogénea e isotrópica será:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=+=xx

zxzyres xz

xzxyTFFF 2

2

2

2

. δδδδδ (3.2.4)

Luego, la ecuación de movimiento para una membrana en coordenadas rectangulares es:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

xx xz

xzxyT

tzyx 2

2

2

2

2

2

δδδδσ (3.2.5)

La cantidad entre paréntesis rectos no es más que el operador nabla 2∇ , o laplaciano,

expresado en coordenadas bidimensionales rectangulares aplicado al desplazamiento respecto

del equilibrio de la membrana. O sea que, definiendo la velocidad de propagación en la

superficie análogamente a como se realizó en las cuerdas, la ecuación de movimiento se torna

en:

zcx

zx

zTtz

xx

222

2

2

2

2

2

∇=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

σ (3.2.6)

Expresada de esta forma, la ecuación de movimiento exhibe su forma análoga para cualquier

sistema de referencia. Basta transcribir el laplaciano a dichas coordenadas. De cualquier

manera, haremos una breve deducción en una sección posterior, para coordenadas cilíndricas.

3.2.2. Modos normales de una membrana rectangular Nuevamente, la búsqueda de una solución estacionaria se puede tratar mediante el método de

separación de variables, por el cual suponemos que cada variable del desplazamiento ),,( tyxz

es independiente, y por ende, se les pueden asignar funciones univaluadas respectivas.

De la introspección directa de (3.2.6), vemos que podemos expresar la solución como una parte

espacial y otra temporal,

( ) ( ) ( )φω += tyxftyxz cos,,, (3.2.7)

Donde, la fase indica una posible distribución de velocidad inicial.



92

La parte espacial posee como ecuación diferencial a la conocida ecuación de Helmholtz o

ecuación de onda independiente del tiempo:

02

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+∇ f

cf ω ⇒ 022 =+∇ fKf (3.2.8)

Como ya se adelantó, si separamos la distribución espacial, tendremos:

( )222

2

2

22 :donde,1

1

1)()(,

yx

y

x

kkKk

dyd

kdxd

Kff

yxyxf+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=Υ

Υ

−=Χ

Χ⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=∇

ΥΧ= (3.2.9)

Por lo que, al utilizar el método de separación de variables debemos lidiar con tres ecuaciones

diferenciales ordinarias de segundo orden, una temporal, y dos espaciales (como resolver tres

osciladores armónicos) relacionadas por el módulo de la constante de separación K. Entonces,

nuestra solución será, dependiendo de las condiciones de borde a ajustar,

( ) ( )φω +ΥΧ= tyxtyxz cos)()(,, ⇒

( ) ( ) ( ) ( )φωφφ +++= tykxkAtyxz yyxx cossinsin,, (3.2.10)

Para el caso de una membrana rectangular de lados a y b, fija, las condiciones a ajustar son:

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]⎩

⎨⎧

==

==

==

==

0,,,,0,,,,

0

0

byy

axx

tyxztyxztyxztyxz

(3.2.11)

⇒

( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⇒=Υ⇒=

=⇒=Υ⇒=

=⇒=Χ⇒=

=⇒=Χ⇒=

=

=

=

=

π

φπ

φ

mbkbtyxz

tyxznakatyxz

tyxz

yby

yy

xax

xx

0)(0,,

00)0(0,,0)(0,,

00)0(0,,

0

0

Y por lo tanto, sus oscilaciones libres vendrán dadas por:

cbm

anK mn

mn

ωπ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

(3.2.12)

( ) ( )∑ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mnmnmnmn ty

bmx

anAtyxz

,

cossinsin,, φωππ (3.2.13)

Donde ya se utilizó la superposición de soluciones como solución general. Los coeficientes An m

y las fases son determinados por las condiciones iniciales y la utilización de Fourier en dos

dimensiones como ya se verá.

Antes de calcular los coeficientes, veamos como se deforma la membrana para los primeros

modos cualitativamente.



93

2211 11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

bacπ

ω

2212 12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

bacπ

ω

2222 22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

bacπ

ω

Figura (3.2.3)

(1,1)

(2,1)

(2,2)

Como ya se pudo observar, el modo (2,1) y el (1,2) son diferentes para las membranas

rectangulares. Cuando la membrana es cuadrada, estos modos poseen frecuencias idénticas,

ergo, energías iguales y de esa forma, son indistinguibles. En ese caso, se habla de modos

degenerados.

Ahora, volvamos a nuestra solución, para computar los coeficientes. Supongamos que poseemos

la distribución espacial inicial, o sea, ( ) ),(0,, 0 yxztyxz == y una distribución de velocidad

inicial nula (de forma de anular la fase inicial). Entonces,

( ) ∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mnmn y

bmx

anAyxz

,0 sinsin, ππ (3.2.14)

El cálculo de los mismos se realiza mediante la transformada de Fourier bidimensional de

dicha serie, la cual se basa en la ortogonalidad de los senos y la independencia de las

coordenadas. Esta, no es más que una generalización de la transformada unidimensional que ya

habíamos tratado en la sección 3.1.5. Por lo que, conservando la notación, tenemos:



94

De esta forma, los coeficientes de la serie se obtienen en función de la distribución espacial

inicial:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫ yxzy

bmx

andydx

baA

ba

mn ,sinsin220

00

ππ (3.2.16)

Así entonces, hemos concluido el problema del movimiento oscilatorio de una membrana.

3.2.3. Membranas circulares Como se observó en la primera sección, basta expresar el laplaciano en coordenadas cilíndricas

para obtener la ecuación de movimiento correspondiente a una membrana que exhibe simetría

cilíndrica. Para esto, utilizaremos el siguiente diagrama de fuerzas del elemento de superficie

ρδφδρ (donde utilizaremos a φ como el ángulo azimutal y no una fase inicial).

z

x

y

φδφ

ρ

θ2

θ1

δFρ2

δFρ1

δFφ1

γ1

Figura (3.2.4)

La fuerza restitutiva en la dirección de z será:

( ) ( ) ( ) ( )

1212

1212.

11

sinsinsinsin

1212

1212

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

=−+−=

φρδ

φρδ

ρδ

ρδ

γδγδθδθδδ

φφρρ

φφρρ

zFzFzFzF

FFFFFres

(3.2.17)

Nuevamente, las fuerzas que actúan sobre el elemento infinitesimal, son perpendiculares a las

deformaciones, o sea que,

δρδδρδ

δφρδδφρδ

φφ

ρρ

TFTF

TFTF

==

==

12

12

y

y 12 (3.2.18)

Resultando,

2

2

1212. t

zmzzTzzTFres ∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= δφφρ

δρρ

ρρ

ρδφδ



95

Ahora, pasamos a imponer el régimen de pequeñas oscilaciones, por lo que podemos desarrollar

los términos en paréntesis rectos, y quedarnos con la parte lineal. De esta forma, obtenemos

2

2

2

21tzmzzT

∂∂

≅⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂ δ

φρρρ

ρδφδρ (3.2.19)

Expresando a la fuerza por unidad de área en función de la densidad superficial, llegamos a la

ecuación de movimiento expresada en coordenadas cilíndricas.

2

222

2

2

2

11tzzczzT

∂∂

=∇=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

φρρρ

ρρσ (3.2.20)

A modo de resumen, exponemos los laplacianos bidimensionales en los siguientes sistemas

coordenados.

Sistema rectangular: 2

2

2

22

yx ∂∂

+∂∂

=∇

Sistema cilíndrico: 2

2

22 11

φρρρ

ρρ ∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∇

Sistema esférico: ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

=∇θ

θθθφθ

sinsin

11sin

1122

2

222

rr

3.2.4. Modos normales de una membrana circular Buscamos una solución estacionaria normal, o sea, una donde todos los puntos de la membrana

vibren a la misma frecuencia. Sea esta,

( ) ( ) ( )tftz ωφρφρ cos,,, = (3.2.21)

Al sustituir la misma en (3.2.20) tenemos una ecuación en derivadas parciales para la

distribución espacial de la membrana.

fKfffKf 22

2

222 110 +

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=+∇=φρρ

ρρρ

(3.2.22)

Debido a que en principio nos interesan los posibles armónicos de una membrana fija, podemos

utilizar separación de variables en la distribución espacial. Entonces,

( ) )()(, φρφρ Φ⋅Ρ=f ⇒ 011 22

2

2 =+Φ

Φ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ΡΡ

Kdd

dd

dd

φρρρ

ρρ

Esta ecuación, es separables, ya que si tomamos una constante de separación α las partes

azimutales y radiales resultan en dos ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.

( ) αφ

ρρ

ρρ

ρ−=

ΦΦ

−=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ΡΡ 2

22 1

ddK

dd

dd

(3.2.23)



96

Tomemos primero la ecuación para la distribución azimutal.

αφ

=Φ

Φ 2

21dd ⇒ φαφ ±=Φ e)( (3.2.24)

Esta composición de soluciones exponenciales no es del todo satisfactoria, ya que, deseamos

que )2()( πφφ +Φ=Φ , y para que esto suceda, se debe cumplir que la raíz cuadrada de la

constante de separación sea un imaginario puro tal que:

( )

)()2(con:Sea

)2()( 22

2

φπφα

πφφ φπφπφαφα

Φ===+Φ⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

Ζ∈−=

+Φ===Φ +inniin eee

nnee

Sustituyendo estos resultados en (3.2.23) tenemos,

( ) ( )[ ] ⇒=Ρ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ⇒=−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ΡΡ

00 2222 nKdd

ddnK

dd

dd ρ

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρ

( )[ ] 0222

22 =Ρ−+

Ρ+

Ρ⇒ nK

dd

dd ρ

ρρ

ρρ (3.2.25)

Realizando el siguiente cambio de variables podemos llevar la ecuación a la forma de las

ecuaciones de Bessel.

dudK

ddKu =⇒=ρ

ρ:C.V (3.2.26)

( )[ ] ( ) 00 2222 =Ρ−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ρ

⇒=Ρ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ρ nududu

dudunK

dd

KK

dd

KK ρ

ρρ

ρρ

Así entonces llegamos a la ecuación diferencial de las ecuaciones de Bessel de orden n. Para la

búsqueda de soluciones analíticas, el suponer que existe una serie que resulta del desarrollo de

Taylor de la función que buscamos, conduce a la no existencia de dicha función y por ende, de

una solución del problema. Esto se debe a que la ecuación diferencial posee singularidades que

debemos evitar. Para salvar este problema basta suponer una serie de la siguiente forma:

∑∞

=

=0

)(j

jj

s uauuS (3.2.27)

Donde el exponente s se determina al sustituir en la ecuación diferencial y hacer que los

coeficientes de la serie resultante sean nulos idénticamente. De dicha sustitución tenemos una

raíz doble para s, por lo que la segunda solución será la derivada de la primera respecto de s, de

forma de tener las dos soluciones independientes necesarias. Las dos soluciones que así se

obtienen, son las llamadas funciones de Bessel de primera especie y orden n, que llamaremos

( )unJ , y las funciones de Bessel de segunda especie y orden n, que llamaremos ( )unY .

( ) ( ) ( )∑∞

=

−=1

2

!21J

k

kk

n kxu y ( ) ( ) ( )∑

=

−−

−−=

n

k

kk

n kxu

1

122

1

!121Y



97

Por lo que, la solución general requerida para resolver la ecuación de Bessel de orden n será:

)(Y)(J)( uBuAu nn +=Ρ (3.2.28)

Como la misma debe cumplir con las condiciones de frontera del problema, las funciones de

Bessel de segunda especie deben ser descartadas ya que las mismas divergen en cero, el cual

para una membrana circular está incluido en el dominio. Entonces,

( ) ( )φρφρ nKAf nn cos)(J~,~= (3.2.29)

Donde tomamos un coeficiente complejo de forma de poder tomar una fase inicial para la

dependencia azimutal. El problema así expuesto no está resuelto por completo, falta imponer la

segunda condición de borde, la cual determinará K. Para una membrana de radio R tenemos:

( ) ( ) 0J0)(0,, =⇒=Ρ⇒∀= RKRttRz nφ (3.2.30)

La función de Bessel se anula en los ceros de la misma, los cuales notamos por jnr,

( )Rj

cRKjRK rnrnrnrnn =⇒=⇔= ω0J (3.2.31)

Donde el subíndice r indica el cero de la función de orden n. Así quedando determinados todos

los parámetros del problema. Enlistamos algunas raíces de las funciones de Bessel.

6,1140,812,5:2

15,1002,783,3:1

65,852,540,2:0

322212

312111

302010

≅≅≅=

≅≅≅=

≅≅≅=

jjjn

jjjn

jjjn

Luego, el movimiento del sistema vendrá dado por:

( ) ( ) ( )∑ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

rnrnrnrnnrn tn

RjAtz

,coscosJ,, ϑωφρφρ (3.2.32)

Se exponen los siguientes modos de oscilación en la figura a continuación.

(0,1) (0,2) (0,3)

(1,1) (1,2) (1,3) Figura (3.2.5)



98

Se observa que los fondos oscuros simbolizan las partes en que la membrana se desplaza hacia

abajo, al contrario de las zonas claras.

En muchos problemas encontrados en el estudio de fuentes sonoras, se encuentra que las

características de la onda sonora dependen en la cantidad de aire desplazado, la amplitud del

desplazamiento de volumen, y no en la forma exacta de la superficie que se mueve.

Para nuestro caso en particular, la amplitud del desplazamiento promedio del r-ésimo modo

normal simétrico es:

⇒==⟩Ρ⟨ ∫∫R

rr

R

rrSup dKAR

dSKAR 0

00020

0002. 2)(J1)(J1)( ρπρρπ

ρπ

ρ

⇒ ∫=⟩Ρ⟨R

rr

Supr dKRA

0002

0. )(J

2)( ρρρρ (3.2.33)

Que cuando se integra resulta en,

)(J2

)( 111

0. RK

RKA

rr

rSupr =⟩Ρ⟨ ρ (3.2.34)

En consecuencia, un pistón rígido de radio R que desplace la misma cantidad de aire realizará el

mismo desplazamiento de volumen de aire que realiza la membrana.

3.2.5. Membrana forzada Para completar la sección en sistemas bidimensionales, consideremos una membrana circular

que es accionada por una presión excitadora sinusoidal, uniformemente distribuida, únicamente

sobre un lado. Entonces, en notación compleja tendremos una presión,

tieP ωop~ = (3.2.35)

A la ecuación de movimiento debemos agregarle dicha contribución, por lo que tenemos:

tiezTtz ωσ o

22

2

p+∇=∂∂ ⇒ tiezc

tz ω

σo22

2

2 p+∇=

∂∂

(3.2.36)

Esta ecuación de movimiento no considera las posibles fuerzas disipativas que puedan existir,

aunque, como se puede observar, basta agregarlas en el miembro derecho de la igualdad.

Al buscar los modos normales de oscilación de dicho sistema nos deshacemos de la parte

temporal, la cual tendrá una oscilación gobernada por la frecuencia impuesta. Esto resulta en

una ecuación para el movimiento espacial.

( ) σφρω o222 p, +∇=− fcf ⇒ 2o22 p

cfKf σ−=+∇ (3.2.37)

Donde K sigue siendo el cociente entre la frecuencia y la velocidad de propagación de la onda.



99

Entonces el problema se transformó a buscar la solución de la ecuación de Helmholtz

inhomogénea. Formalmente, una solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea se

logra sumando una solución particular a la solución de la ecuación homogénea equivalente. En

nuestro caso, la solución particular es muy simple, una constante. Luego,

( ) ( ) ( )TK

KAcK

KAf o202

o20

p1Jp1J, −=−= ρσ

ρφρ (3.2.38)

Donde ya se impuso la simetría del problema. La aplicación de la condición de frontera de

extremo fijo en R=ρ nos permite calcular el coeficiente A. Entonces, la solución será:

( ) ( )( )

tieRK

KTK

tz ωρφρ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= 1

JJp,,~

0

02o (3.2.39)

El problema cambia levemente al tomar en cuenta las posibles disipaciones en forma de

amortiguamientos, aunque, la forma de la solución se mantiene pero la constante de separación

(el vector de ondas) adquiere calidad de número complejo14.

3.2.6. Desarrollo de Bessel Aunque en el ejemplo anterior el cálculo del coeficiente fue muy sencillo, no siempre es así, y

recordando que la solución general que habíamos llegado para coordenadas cilíndricas es una

serie en funciones de Bessel de orden n y cosenos (y senos) en el ángulo azimutal, el computo

de los coeficientes requiere en parte de la transformada de Fourier para la parte azimutal, pero

debemos saber como “despejar” la parte radial.

Hasta ahora, sabemos que:

( ) ( ) ⇒=∫ mndmn δπφφφπ2

0

coscos

⇒ ( ) ( ) ( )∑∫∞

=

=1

2

0

Jcos,r

rmmrm KAdmf ρπφφφρπ

(3.2.40)

Entonces, debemos probar la ortogonalidad en los ceros de las funciones de Bessel de un mismo

orden. Esto es análogo a estudiar la posibilidad de desarrollar una función como una serie

infinita en funciones de Bessel de primera especie de orden m. Para esto, las funciones de

Bessel deben cumplir, además de la ortogonalidad en los ceros de las mismas, que su conjunto

sea completo15. Como la completitud es un tema engorroso, pasamos directamente a probar la

ortogonalidad suponiendo acertada dicha hipótesis.

14 Ver la sección 4-7 de: “Fundamentos de acústica” de KINSLER-FREY tercera edición. 15 Para referencias: “Matemática para Físicos” de HILDEBRAND, donde se puede encontrar además deducciones un poco más formales acerca de problemas de frontera, ecuaciones en derivadas parciales y otros.



100

Queremos ver si se cumple que,

( ) ( ) srsmmrmmsmmrmm dR

jR

jdKK δρρρρρρρρππ ?2

0

2

0

JJJJ ∝⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫

Para ver si se verifica algún tipo de igualdad, volvemos a la ecuación diferencial de Bessel de

orden n, donde sustituimos una función de Bessel de primera especie y del mismo orden,

( ) 0)(J)(J 22 =−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ unu

duudu

dudu n

n (3.2.41)

Definimos las siguientes funciones:

( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=⇔=⇒=

∀=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

RjKhKh

rRgR

jg

snn

rnn

0)(J)(

0)(J)(

ρρρ

ρρ (3.2.42)

Si sustituyo estas funciones en (3.2.41),

( )[ ]

( )[ ]⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

0

22

22

hnKd

hddd

gnKd

gddd

rn

ρρ

ρρ

ρ

ρρ

ρρ

ρ

( ) ( )[ ] 0)()(22 =−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρρρρ

ρρρ

ρρ

hgKKd

hdddg

dgd

ddh rn (3.2.43)

Donde se dividió por ρ y se multiplicó cruzado por las funciones de Bessel para luego restar

ambas expresiones. Ahora, integramos por partes esta expresión.

⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∫∫

∫∫=

R

Rg

RR

RRR

dd

gdd

hddhdgd

dhd

ddg

dd

hdd

gddgdhd

dgd

ddh

0

0)(queya0

00

000

)()()()(

)()()()(

ρρρ

ρρρρρρ

ρρρ

ρρ

ρρρ

ρρρρρρ

ρρρ

ρρ

( ) ( )[ ] 0)()()()(0

22 =−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫

=

R

snrnR

dhgKKdgdh ρρρρρρρρ

ρ

(3.2.44)

Como h no es más que una función de Bessel del mismo orden que g, pero que no

necesariamente está evaluada en la misma raíz, este resultado ya vislumbra nuestra meta.

( ) ( ) ( )RKK

duudK

dKd

dgd

rnnrnRKu

nrn

R

rnn

R

JJJ)( ′===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=== ρρ ρρ

ρρ

(3.2.45)

( ) ( )[ ] ( ) ( )RKKRKRKK

dhg rnnrnsnnrnsn

R

JJ1)()( 220

′−

=∫ ρρρρ (3.2.46)



101

Esta expresión cumple que para r ≠ s se anula, o sea, para cuando las raíces no coinciden, pero

cuando lo hacen presenta una singularidad. Entonces, llegamos a una expresión que con los

siguientes arreglos, para cuando las raíces son iguales, no divergería.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( )( )[ ]rnsnrnsn

rnnsnnrn

rnsn

rnnsnnrnR

snnrnn KKKKRKRKKR

KKRKRKKR

dKK−+

′=

−

′=∫

JJJJJJ 22

0

ρρρρ

Hagamos un límite para cuando r = s, tal que definimos una cantidad infinitesimal ε como:

ε+== rnsnrnsn KKKK sea,entonces:Si

Además, debemos desarrollar la función de Bessel también, de forma que:

( ) ( ) ( ) ( ) RRKRKRRKRK rnnrnnrnnsnn εε JJJJ ′+≅+=

Luego, realizando las sustituciones y el paso al límite para cuando 0→ε tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )[ ]

( )[ ]( )[ ]εεε

ρρρρ+

′≅

−+

′=∫

rn

rnnrn

rnsnrnsn

rnnsnnrnR

snnrnn KRKRKR

KKKKRKRKKR

dKK2

JJJJJ

2

0

⇒ ( ) ( ) ( )[ ]2

JJJ

22

0

RKRdKK rnn

sr

R

snnrnn

′=∫ δρρρρ (3.2.47)

Que es la expresión de la ortogonalidad de las funciones de Bessel de primera especie.

3.3. SISTEMAS TRIDIMENSIONALES Como vimos, la ecuación de movimiento adquirió un carácter bastante general al ser expresada

en función del operador laplaciano. De aquí, que la generalización sea un caso particular de

expresar el laplaciano en coordenadas tridimensionales. Es por esto que no bosquejaremos

deducción alguna, sino simplemente expresaremos los laplacianos en los tres sistemas de

coordenadas más usados.

Sistema rectangular: 2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Sistema cilíndrico: 2

2

2

2

22 11

z∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∇φρρ

ρρρ

Sistema esférico: ( ) ( ) ( ) 2

2

222

22

sin11sin

sin111

φθθθ

θθ ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇rrr

rrr

Para la búsqueda de soluciones, continuamos utilizando el método de separación de variables16.

Los problemas en que intervienen transductores, cavidades resonantes, etc., son los que

requieren un tratamiento tridimensional. En el capítulo siguiente, daremos algunas soluciones.

16 Para ver referencias y ejemplos: “Introduction to Electrodynamics” GRIFFITHS D.J. y “Classical Electrodynamics” JACKSON, JOHN D.



102

4. PROPAGACIÓN DE ONDAS

Este capítulo desarrollará algunas de las técnicas matemáticas necesarias para tratar problemas

ondulatorios en general. Aunque ya nos hemos encontrado con la ecuación de ondas y alguna de

sus soluciones, trataremos de comenzar con ciertas ideas muy simples concernientes a la

propagación de perturbaciones y de ellas llegaremos a la ecuación de ondas.

4.1. ONDAS UNIDIMENSIONALES

Imaginemos una perturbación ψ que viaja en la dirección positiva de x con una velocidad

constante c. Además supondremos en principio que el medio es no dispersivo por lo que la

forma se mantiene. La naturaleza específica de la perturbación no será por el momento

importante.

4.1.1. La ecuación de onda unidimensional Como consideramos una perturbación que está en movimiento, esta se debe poder expresar

como una cierta función de la posición y del tiempo, por lo tanto, escribimos,

( )txf ,=ψ (4.1.1)

La forma de la perturbación en cualquier instante, digamos t = 0, se puede encontrar

manteniendo el tiempo constante en ese valor. En este caso,

( )[ ] ( ) )(0,, 00 xfxftx t ===ψ (4.1.2)

Representa la forma o perfil de la onda en ese momento. El proceso es análogo al de tomar una

fotografía17.

Figura (4.1.1)

17 Para mayor referencia en el tema de esta sección, referirse a: “Óptica” HETCH – ZAJAC, capítulo II La matemática del movimiento ondulatorio.



103

Ahora, introducimos un sistema de coordenadas S’ que viaja junto a la perturbación. En este

sistema ψ ya no es más una función del tiempo, y puesto que nos movemos junto con S’ vemos

un perfil estacionario con la misma forma funcional de (4.1.2).

S S’

ψ

c t x’1

x1 Figura (4.1.2)

De acuerdo a la figura, tenemos,

)(0 xf ′=ψ (4.1.3)

De acuerdo a las transformaciones Galileanas, tenemos que se cumple:

tcxx −=′ (4.1.4)

Tal que ψ se puede escribir en términos de las variables del sistema S como

( )tcxf −= 0ψ (4.1.5)

Entonces esto representa la forma más general de la función de onda unidimensional. Ya que,

basta elegir el perfil que se quiera en (4.1.2) y luego sustituir x por x − c t en f(x). Esto además

verifica que luego de un aumento espacial tc∆ y temporal, el perfil se mantiene.

( ) ( )[ ] ( )tcxfttctcxf −=∆+−∆+ (4.1.6)

Esta perturbación viaja a la “derecha”, pero basta un cambio en el signo de la velocidad para

que sea una propagación en sentido contrario (tomamos siempre que c es el módulo).

Deseamos utilizar la información que hasta aquí se dedujo para desarrollar la forma general de

la ecuación de onda unidimensional. Para esto, comencemos tomando las derivadas parciales de

la perturbación.

x

ct

xfc

tx

xf

t

xf

xx

xf

x∂∂

=∂∂

⇒

′∂∂

=∂′∂

′∂∂

=∂∂

′∂∂

=∂′∂

′∂∂

=∂∂

ψψψ

ψ

∓∓

(4.1.7)

Conociendo de antemano que necesitamos una ecuación dinámica y condiciones iniciales que

ajustar, debemos buscar una ecuación en derivadas parciales de segundo orden. Por lo que,

tomamos segundas derivadas.



104

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

xc

t

tf

t

tf

xc

xfc

tt

xf

x

∂∂

=∂∂

⇒

∂∂

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

′∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂∂∂

=∂∂

′∂∂

=∂∂

ψψ

ψ

ψ

ψ

∓∓ (4.1.8)

La cual es la ecuación diferencial de onda en una dimensión, y verifica la superposición de

soluciones.

4.1.2. Solución de D’Alembert

Como se observó en la deducción de la ecuación de ondas, la solución más general se

compondría de dos funciones prácticamente arbitrarias de argumentos ctx ∓ doblemente

diferenciables. Entonces, formalmente tenemos:

( ) ( ) ( )ctxqtcxptx ++−=,ψ (4.1.9)

Antes que nada, se le exige a la solución que las funciones p y q posean límites nulos en

infinito. Esta es una condición física que se le impone a la perturbación ya que esperamos que

las ondas que analicemos tuvieran un comienzo y tengan un final. La ecuación de ondas no

toma en cuenta la fuente que generó la onda y de aquí que se requiere esta condición.

( ) ( )vqupvu 0lim0lim→±∞→

== (4.1.10)

Ahora, querríamos encontrar una forma de calcular las funciones p y q en función de las

condiciones iniciales. Esta forma de expresar la solución fue encontrada por D’Alembert

alrededor de 1750 y es la que resuelve el problema de Cauchy de valores iniciales de la

ecuación de onda, el cual expresa:

( )[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∈=

=

=

1

0

20

)(

)(,

Cxgt

Cxftx

t

t

ψ

ψ (4.1.11)

Donde C(n) es el conjunto de funciones con derivadas continuas hasta el orden n. Estas

condiciones iniciales se traducen a:

( )[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′+′−==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+==

=

=

)()()(

)()()(,

0

0

xqcxpcxgt

xqxpxftx

t

t

ψ

ψ

(4.1.12)

Por lo que tenemos un sistema de ecuaciones a resolver en función de las condiciones de forma

y distribución de velocidades inicial. Si tomamos,



105

)()()( xqcxpcdxxgx

+−=∫∞−

, ya que, 0)()( =−∞=−∞ qp

Entonces, podemos resolver el sistema en,

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

++=+

+−=−

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

−=

∫

∫

∫

∫+

∞−

−∞

−

∞−

∞−

ctxctx

x

x

duugc

ctxfctxq

duugc

ctxfctxp

dxxgc

xfxq

dxxgc

xfxp

)(1)()(2

)(1)()(2

)(1)()(2

)(1)()(2 ⇒

[ ] ( )txduugc

ctxfctxfctxqctxpctx

ctx

,)(21)()(

21)()( ψ=+++−=++− ∫

+

−

(4.1.13)

Esta solución de la ecuación de ondas es la conocida solución de D’Alembert. Para su

deducción, de hecho, no es completamente necesaria la imposición de los límites. Basta suponer

un punto de referencia cualquiera que luego al sumar las ecuaciones resultantes este desaparece.

Esto se debe a que para ondas no dispersivas esperamos que por definición no exista

deformación y por ende también “existan” en infinito (como las ondas planas), lo cual hace

verdadera la solución para cualquier caso.

Para completar esta sección, veamos si esta solución se corresponde con la solución estacionaria

que supusimos a lo largo de las notas para encontrar los modos normales de oscilación.

Teníamos entonces,

( ) ( ) [ ] ( )

( ) ⇒=

=+′′⇒=22

2

:Donde

0cos)()(cos)(,

cK

txfKxftxftxy

ω

ωω

⇒ ( ) ( ) ( )[ ] ( )tKxBKxAtxy ωcossincos, += (4.1.14)

Dada las siguientes identidades trigonométricas,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−=

++−=

txKtxKtxK

txKtxKtxK

ωωω

ωωω

sin21sin

21cossin

cos21cos

21coscos

(4.1.15)

Podemos expresar la solución (4.1.14) como:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⇒++++−+−= txKBtxKAtxKBtxKAtxy ωωωω sincos21sincos

21,

⇒ ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++=+

−+−=−

tcxKBtxKAtcxq

txKBtxKAtcxp

sincos21)(

sincos21)(

ω

ωω (4.1.16)



106

Donde, además, se observa que ambas funciones coinciden para argumentos iguales. Esto es una

conclusión del suponer la no existencia de una distribución de velocidad inicial, como se ve en

(4.1.12).

)()(0)()()(ntegrando

uqupxqcxpcxgi

=⇒=′+′−= (4.1.17)

4.1.3. Ondas armónicas y velocidad de fase

Examinemos la forma de onda más simple donde el perfil es una curva seno o coseno. Estas son

conocidas como ondas senoidales, armónicas simples o simplemente, armónicas. El perfil será:

( )[ ] ( ) ( )xKAxfxftx t cos)(0,, 00 ====ψ (4.1.18)

Donde como vimos, basta sustituir el argumento en ctx ∓ para que dicho perfil se refiera a una

onda viajera.

En otros capítulos se reiteró, que las ecuaciones diferenciales lineales aceptan la superposición

de soluciones, por lo que podíamos transformar nuestras variables en complejas, lo cual

simplificaba el cálculo de derivadas e integrales. Debido a esta aseveración, es que de aquí en

más, notaremos a las ondas como exponenciales complejas, tomando los resultados sus

verdaderos significados físicos luego de haber tomado la parte real del complejo resultante.

O sea, que tomaremos el convenio de que una onda será representada por:

( ) ( )txKieAtx ωψ ∓~,~ = (4.1.19)

Al sustituir el argumento en (4.1.18), la perturbación senoidal pasa a ser periódica tanto

temporal como espacialmente. El período espacial se conoce como longitud de onda y se

denota por λ . Un aumento o disminución en x en una longitud de onda debe dejar inalterado el

perfil,

( ) ( )txtx ,, λψψ ±= (4.1.20)

⇒ ( ) ( )[ ] ( ) λωλ ψλψ KitxKi etxeAtx ±± ==± ,~, ∓ ⇒ 1=± λKie ⇔

⇔ πλ 2=K ⇒ λπ2=K (4.1.21)

En forma completamente análoga, podríamos examinar el período temporal T . Esta es la

cantidad de tiempo que le toma a una onda completa pasar un observador estacionario. En este

caso,

( ) ( )T,, ±= txtx ψψ (4.1.22)

⇒ ( ) ( )[ ] ( ) TT ,~T, ωω ψψ ±± ==± itxKi etxeAtx ∓ ⇒ 1T =±ωie ⇔

⇔ πω 2T = ⇒ πνπω 2T2 == (4.1.23)

Donde todas estas cantidades son positivas y ν es la frecuencia de oscilación.



107

Al argumento de cualquier función de onda armónica se le llama fase de la onda. De manera

que, para nuestro caso,

( ) ( ) ( )txitxKi eAeAtx ,~,~ ϕωψ == ∓ ⇒ ( ) ϑωϕ += txKtx ∓, (4.1.24)

Donde ϑ es la fase inicial. La fase de una onda entonces es una función de x y t. En efecto, la

derivada parcial de ϕ con respecto a t, manteniendo x constante, es la rapidez de cambio de fase

con el tiempo:

ωϕ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

xt (4.1.25)

Similarmente, la rapidez del cambio de la fase con la distancia, manteniendo t constante, es

Kx t

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ϕ

(4.1.26)

Estas dos expresiones deben traer a la mente una ecuación de la teoría de derivadas parciales,

una muy usada en termodinámica, o sea:

t

x

x

ttx

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ϕ

ϕ

ϕ

(4.1.27)

El término de la izquierda representa la velocidad de propagación de un punto de fase

constante. Sustituyendo los resultados anteriores, tenemos

cKt

x±=±=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ ω

ϕ

(4.1.28)

Esta es la rapidez con que el perfil se mueve y se conoce comúnmente como la velocidad de

propagación de la onda, o más específicamente, como la velocidad de fase. El signo positivo

indica un desplazamiento hacia donde crece x, al contrario del signo negativo. Esto concuerda

con nuestra convención de tomar c como el módulo de la velocidad.

4.1.4. Reflexión en la frontera e Interfases

Como se vio, las funciones arbitrarias de argumentos ctx ∓ se ven determinadas en función de

las condiciones iniciales, pero además, se verifica la unicidad de dicha solución luego de que las

condiciones de borde son impuestas. Al suponer soluciones estacionarias, el establecer las

condiciones de borde establecía un régimen normal casi intuitivo. Ahora, debemos tratar con

ondas viajeras que se superponen de tal manera, de que por ejemplo, para una cuerda con

extremos fijos, tengamos oscilaciones estacionarias. Por lo que su suma no puede ser

completamente arbitraria.



108

Supóngase una cuerda soportada rígidamente en x = 0. Luego, )(1 ctx −ψ y )(2 ctx +ψ ya no

son completamente arbitrarias, debido a que se debe cumplir que:

( )[ ] ( ) ( ) 000, 210 =++−== tctctx x ψψψ ⇒ ( ) ( )tctc 21 ψψ −=− (4.1.29)

x = 0

x = 0

ψ1

ψ2

ψ=ψ +ψ1 2

Figura (4.1.3)

Luego, las dos funciones son de la misma forma pero de signo opuesto, y el desplazamiento de

cualquier punto de la cuerda vendrá dado por:

( ) ( ) ( )tcxtcxtx +−−= 11, ψψψ (4.1.30)

Como se puede ver de la figura, esto representa una onda viajando hacia la derecha, menos otra

viajando contrariamente de igual forma y desplazamiento opuesto. Se puede considerar también,

como que el proceso de reflexión en la frontera no es más que un proceso en el cual la onda que

se mueve hacia la izquierda se ve reflejada en una onda que viaja a la derecha.

Otro ejemplo simple, es el de un extremo soportado de tal manera que no hay fuerza transversal

en la cuerda (por ejemplo, logrando que el extremo se deslice por un riel transversal sin

rozamiento). Tal extremo, como ya se estudió, se llama extremo libre. Este requiere que,

0

2

0

1

00 00)sin(

==== ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⇒=+xxx

xy xxxTTF ψψψθ (4.1.31)

2121

0

2

0

2

0

1

0

1

)()()1(

)(

)1()(

ψψψψψψ

ψψ

=⇒−=−

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⇒

==

==

ctdd

ctdd

ctxdd

x

ctxdd

x

xx

xx

Continuando con las funciones armónicas, o sea dependientes de tω , queremos analizar que

sucede cuando la onda cambia de medio, por ejemplo, de una cuerda a otra con diferentes

densidades lineales. Las tensiones se mantienen iguales a ambos lados para igualar las

componentes de fuerza horizontal. Utilizando el siguiente diagrama,



109

x

T2

1T

θ2

θ1

mMedio 1

Medio 2

x x= o Figura (4.1.4)

Planteamos los diagramas de fuerza, de forma de obtener la ecuación de movimiento.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

===

=

00

0

12

xxxxxx xx

Tm ψψψ (4.1.32)

Esta ecuación con las condiciones de continuidad, conectan al medio 1 con el medio 2. Las

condiciones de continuidad son: la continuidad de la onda y de su velocidad. Esto es,

⎩⎨⎧

====

),(),()(),(),()(

0201

0201

txtxttxtxt

m

m

ψψψψψψ

(4.1.33)

Aquí, debemos tener en cuenta una posible reflexión de la onda 1 al llegar a la interfase, por lo

que, tenemos:

⎩⎨⎧

=+=

),(),(),(),(),(

2

1

txtxtxtxtx

T

RI

ψψψψψ

(4.1.34)

Donde los subíndices indican la onda incidente, reflejada y transmitida. Observamos que,

debido a estas condiciones de continuidad, la frecuencia de la onda no se ve afectada al cruzar

de medio ya que,

⎩⎨⎧

−=−⇒=

=

),(~),(~),(~),(~),(~),(~

0220110201

0201

txitxitxtx

txtx

ψωψωψψ

ψψ ⇒

⇒ ωωω == 21 (4.1.35)

Luego, el desplazamiento en los medios viene dado por:

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

+=+=−

−−

tixKiTT

tixKiR

xKiIRI

eeAtxtx

eeAeAtxtxtxω

ω

ψψ

ψψψ2

11

),(),(~),(),(),(~

2

1 (4.1.36)

Ahora, aplicando la primer condición de continuidad y la ecuación de movimiento,

( )( ) ( )[ ] ⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=−

=+⇒=+−−−

−−−−

tixKiT

tixKiR

xKiI

tixKiT

xKiT

xKiR

xKiI

tixKiT

tixKiR

xKiI

eeAKieeAeAKiTeeAm

eAeAeAeeAeeAeAωωω

ωω

ω 02010102

020101020101

212

⇒ ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−−

=+

TTRI

TRI

ATmAKAAKi

AAA

221 ω

(4.1.37)



110

Donde se tomo en esta última, mediante un cambio de variables, que el 00 =x . Como la

amplitud incidente debe ser un dato del problema (o la amplitud transmitida), podemos definir

los siguientes coeficientes en función de las amplitudes de las ondas viajeras.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

amplituddentransmisiódeecoeficientAA

amplituddereflexióndeecoeficientAA

I

T

I

R

,

,

τ

r ⇒

⇒ ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=+

τωτ

τ

2

11

21

1

KTm

KKi r

r (4.1.38)

Este sistema es resoluble, dando así, los coeficientes de reflexión y transmisión en función de

los parámetros del sistema.

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇒−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⇒−=

1

2

1

22

1

2

2

1

2

1

2

1

2

121

211

KKi

KTmi

KK

KTm

iKKi

KTm

ωωτ

ωττr

⇒

12

1

2

2

1

2

1

2

1

2 1212

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

KK

KTm

KTmi

KK ωωτ (4.1.39)

⇒ 11212

12

1

2

2

1

2

1

2

1

2 −⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

KK

KTm

KTmi

KK ωωr (4.1.40)

Estos coeficientes toman una forma muy familiar cuando no existe una masa en la interfase.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+−

=⇒−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

−

21

21

2

1

2

1

2

21

1

2

1

2

1

2

1112

2112

KKKK

KK

KK

KKK

KK

KK

rr

ττ

(4.1.41)

Para este caso, se sabe que 21 KK ≠ sólo si cambia el medio, lo cual muestra que 0=r para el

mismo medio. Además se tiene que τ es siempre positivo.



111

4.1.5. Transporte de energía

La cantidad de energía por unidad de tiempo es la potencia transmitida por la onda. Entonces,

( ) ( )txPt

txE ,,=

∂∂

⇒ ( ) ( )∫=2

1

,,; 12

t

t

dttxPttxE (4.1.42)

La potencia mecánica se puede hallar de v⋅= FP . Para el caso de una onda, la velocidad de

un punto x será solamente transversal, y para calcular la fuerza debo calcular la resultante que

ejerce la parte izquierda a la derecha y viceversa. Aunque, esta cantidad ya la conocemos y la

hemos utilizado al tratar con los problemas de extremos libres. Esto es,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=tx

TtxP ψψ, (4.1.43)

A modo de ejemplo, sea una onda propagándose a la derecha,

( ) ( )ϑωψ +−= txKAtx cos, ⇒ ( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=∂∂

+−−=∂∂

ϑωωψ

ϑωψ

txKAt

txKAKx

sin

sin ⇒

⇒ ( ) ( ) ( )ϑωω +−= txKAKTtxP 22 sin, (4.1.44)

Como a los efectos de realizar alguna medida sobre cierto sistema, generalmente el instrumento

toma valores promedios, tenemos que la potencia media es:

( ) ( ) ( )cATdssxKA

cTtxP

t

t

2T22

2

T 21sin

T1, ωϑωω

=+−= ∫+

(4.1.45)

Similarmente a como se procedió a deducir coeficientes de amplitud, se pueden definir los

coeficientes de potencia, los cuales expresarían la conservación de la energía cuando una onda

cambia de medio. Para eso, comenzamos expresando la conservación energética en la interfase.

000 TTT x,xTx,xRx,xI PPP

====− (4.1.46)

Donde al contrario de las ondas que incidían y reflejaban, aquí no se suman. Esto es debido a

que la reflexión es también un proceso derivado de la incidencia al igual que la transmisión. O

sea que la energía al llegar a la interfase debe dividirse en parte para la reflexión y en parte a la

transmisión.

Como se vio en el ejemplo, la potencia media depende del cuadrado de la amplitud e

inversamente de la velocidad de propagación en el medio, y ya que la frecuencia no cambia al

cambiar de medio, tenemos:

2

2

1

2

1

2

cA

cA

cA TRI =− ⇒ 2

22

12

1 TRI AKAKAK =− (4.1.47)



112

Ahora, definimos los siguientes coeficientes.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

potenciadentransmisiódeecoeficientPP

potenciadereflexióndeecoeficientPP

I

T

I

R

,

,

T

R

Luego, recordando también las expresiones para los coeficientes de amplitud,

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

2

1

2

2

1

2

22

τKK

AA

KK

PP

AA

PP

I

T

I

T

I

R

I

R

T

rR ⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

==

2

21

1

1

22

1

2

2

21

212

2KK

KKK

KK

KKKK

τT

rR ⇒

⇒

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

==

221

212

1

2

2

21

212

4KKKK

KK

KKKK

τT

rR ⇒ 1=+TR (4.1.48)

Estos coeficientes se pueden expresar en función de la velocidad, como también de la

impedancia del sistema en cuestión. Si nos referimos a la sección 3.1.8, vemos que la

impedancia depende inversamente de la velocidad, al igual que el módulo del vector de ondas,

por lo que basta sustituir las mismas respectivamente en las expresiones halladas.

4.2. PAQUETE DE ONDAS O PULSO

Los pulsos, son entidades no monocromáticas, las cuales poseen un cierto tamaño espacial y

temporal, lo cual hace posible el estudio en forma independiente.

ψ( )x t, 1

ψ( , )x t1

x

t

xinicial xfinal

tinicial tfinal Figura (4.2.1)

Las distintas frecuencias que lo componen serán el tema de estudio principal de esta sección. A

modo de ejemplo, se estudiará el paquete Gaussiano.



113

4.2.1. Desarrollo de Fourier en complejos

Para este análisis, comenzaremos suponiendo la forma temporal del pulso. Supongamos que lo

extendemos hasta el infinito “calcando” su forma. Así, logramos obtener una función periódica

del tiempo; sea tal función )(tf y su período 1/2T ωπ= .

ψ( , )x t1

ttinicial tfinal

ψ( , )x t1

ttinicial tfinal

Figura (4.2.2)

Como sabemos de la sección 3.1.5, esta función es desarrollable en serie de Fourier en función

de elementos trigonométricos. Su expresión en estas funciones toma la forma de:

( ) ( )[ ]∑∞

=

+≡0

11 sincos)(n

nn tnBtnAtf ωω (4.2.1)

Antes de llegar a una expresión que represente al pulso, queremos darle un carácter complejo a

(4.2.1), de forma de que al hacer tender la frecuencia a cero para recuperar el pulso, la

expresión sea mas tratable.

Primero, definamos los siguientes coeficientes para la serie, de forma de poder extenderla desde

∞+∞− a .

0

2y

2

2y

2 ≥∀

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

==

−

−

nBB

AA

nn

nn

nn

nn

bb

aa (4.2.2)

De esta forma, manipulamos la paridad del coseno y al seno, obteniendo:

( ) ( )[ ]∑+∞

−∞=

+=n

nn tntntf 11 sincos)( ωω ba (4.2.3)

Luego, los nuevos coeficientes vienen dados por la transformada de Fourier de dicha serie.

( )

( )∫

∫

−

−

=

=

2T

2T

1

2T

2T

1

sin)(T1

cos)(T1

dttntf

dttntf

n

n

ω

ω

b

a

(4.2.4)

Donde ahora, el índice n pertenece a los números enteros. Luego, podemos tratar de buscar una

función compleja tal que su parte real sea )(tf . Aquí es donde se ve la importancia de querer

una serie de ∞+∞− a , ya que las exponenciales complejas aceptan este desarrollo en forma

más general.



114

Busco entonces que,

)(~Re)( tftf =

( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

+==n

nn

tnin tnitnetf 11 sincosA~A~)(~

1 ωωω (4.2.5)

⇒ ( ) ( )[ ] ∑+∞

−∞=

+=n

n tnitntf 11 sincosA~Re)(~Re ωω

Tomo, nnn i ba −=A~ ⇒ ( ) ( )[ ]∑+∞

−∞=

+=n

nn tntntf 11 sincos)(~Re ωω ba

Luego, los coeficientes de la serie vienen dados por:

( ) ( )[ ] ∫∫−

−

−

=−=2

T

2T

2T

2T

111)(~

T1sincos)(~

T1A~ dtetfdttnitntf tni

nωωω (4.2.6)

Se puede pensar en un desarrollo completamente análogo para la forma espacial, donde el

período es la longitud de onda K/21 πλ = y por ende )()( 1λ+= xfxf .

Sabemos por los desarrollos de Fourier que el conjunto )(U tn es un conjunto ortonormal en

un espacio vectorial de funciones complejas. Este se definió como:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈== Ζnettni

nnn ,T

e:eU1ω

(4.2.7)

Podríamos haber partido directamente desde este conjunto para obtener el desarrollo de la

función, pero resulta más instructiva la deducción anterior.

4.2.2. Integral de Fourier

No estudiaremos la matemática involucrada sino que realizaremos los cambios físicos

necesarios para poder expresar el pulso como un desarrollo analítico.

Como se observa de la Figura (4.2.2), se puede recuperar el pulso si hacemos tender a infinito el

período. Realizando esto, redefinimos las variables en:

⎩⎨⎧

⇒→⇒∞→ωωωω

ω1

11 0T

nd

(4.2.8)

Luego, los coeficientes nA~ tienden a cero (ver (4.2.6)), pero su producto con el período debe

ser acotado. Entonces, el desarrollo pasa a ser,



115

( )[ ] ( ) ( )

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

∫∑

∑∑

∞+

∞−

∞+

∞−

+∞

−∞=

+∞

−∞=

titni

n

n

tnin

n

tnin

eeda

eetf

ωω

ωω

ωπω

ππ

1

11

T2)(~A~T

T2A~T

21A~)(~

⇒

⇒ ( ) ( ) titi eadeadtf πνω ννωωπ

2~21)(~

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

== (4.2.9)

Donde ν es la frecuencia propiamente dicha. Observando (4.2.6), la transformada integral de

la función f pasa a ser:

( ) ∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

− == titi etfdtetfdta πνωω 2)(~)(~~ (4.2.10)

Como se observa de estas últimas expresiones, las variables tyν actúan casi simétricamente.

Es por esto que a estas variables se les llama variables conjugadas.

El contenido físico de estos resultados es el mismo que cuando se tenían los desarrollos en serie

de la función. Una suma infinita de ondas monocromáticas tiedA ωω .

Volviendo al desarrollo integral, si sustituimos la amplitud obtenida de aplicar la transformada

integral a la función, tenemos:

( ) [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

== −+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−∫∫∫ tisiti eesfdsdeadtf ωωω ω

πωω

π)(~

21~

21)(~

⇒

⇒ ( )[ ] ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−+∞

∞−

+∞

∞−

−+∞

∞−

+∞

∞−∫∫∫∫ )(~

2)(~

21)(~ sfeddsesfdsdtf

stisti

πωω

π

ωω ⇒

⇒ ( )

( )stedsti

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+∞

∞−∫ δ

πω

ω

2 ⇒ ( )ted

ti

δπ

ωω

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∫+∞

∞− 2 (4.2.11)

La expresión (4.2.11) nos muestra la “ortogonalidad” en ω de las funciones exponenciales.

Esta, se transforma entonces en la definición de la función δ -Dirac. La causa de esta

afirmación, es que antes, la función delta seleccionaba los índices iguales del conjunto posible

dentro de )(U tn . Ahora, el pasaje a la integral de fourier se hace de forma de preservar la

ortogonalidad y completitud del conjunto, sólo que ahora el índice es sustituido por la

frecuencia ( ) ttn ;U)(U ω .



116

Volviendo a nuestra motivación, la representación de un pulso, y recordando que existen

desarrollos integrales tanto para el tiempo como el espacio, tenemos:

( )( ) [ ]

( ) [ ] ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

↔

↔

=

∫

∫∞+

∞−

−

+∞

∞−

−

tebd

xKeKadKtx

txKi

tKxKi

ωωωψ

ωω

ω

)(

)(

~

~

,~ (4.2.12)

Estas expresiones son ambas correctas, y su uso depende de cual es el dato que tengo en mi

problema particular. Por ejemplo,

Si: ( ) datox =0,ψ ⇒ ( ) ( )[ ]∫+∞

∞−

= xKieKadKx ~0,~ψ ⇒

⇒ ( ) ( )[ ]∫+∞

∞−

−= xKiexdxKa 0,~21~ ψπ

(4.2.13)

Si: ( ) datot =,0ψ ⇒ ( ) ( )[ ]∫+∞

∞−

−= tiebdt ωωωψ ~,0~ ⇒

⇒ ( ) ( )[ ]∫+∞

∞−

= tietdtb ωψπ

ω ,0~21~

(4.2.14)

Estas relaciones conllevan un dejo de ambigüedad ya que lo que queremos son las partes reales.

Es por esto que sería más provechoso si lográramos expresiones en donde la forma inicial y

velocidad inicial fueran cantidades reales directamente. A si mismo para la forma y velocidad

para 0=x .

Como siempre se tiene que,

( ) ( ) txtxtxtx ,~,~21),(~Re),( ∗+== ψψψψ (4.2.15)

Podemos entonces expresar mediante esta igualdad la integral de Fourier de la onda como una

cantidad real,

[ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=∗−∗

+∞

∞−

−+∞

∞−∫∫ tKixKitKixKi eeKadKeeKadKtx )()( )(~)(~

21),( ωωψ (4.2.16)

Tomando condiciones iniciales para 0=t , las expresiones resultantes son:

[ ] [ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

−

−∗∞+

∞−

∞+

∞−∫∫

KK

xKixKi eKadKeKadKx

portomo

)(~)(~21)0,(ψ ⇒

⇒ ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+= ∗

+∞

∞−∫ xKieKaKadKx ~)(~

21)0,(ψ (4.2.17)



117

[ ] [ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=∂

∂

−

−∗∗∞+

∞−

∞+

∞−∫∫

KK

xKixKi eKaKidKeKaKidKtx

portomo

)(~)()(~)(21)0,( ωωψ ⇒

⇒ ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−+−=

∂∂ ∗∗

+∞

∞−∫ xKieKaKKaKidK

tx ~)()(~)(

2)0,( ωωψ

(4.2.18)

Ahora podemos tomar la transformada de estas expresiones, y así obtener un sistema de

ecuaciones en las amplitudes.

( )[ ] xKiexdKKaKa −+∞

∞−

∗ ∫=−+ )0,(21~)(~

21 ψ

π (4.2.19)

( )[ ] ( ) xKiexdKKaKKaKi −+∞

∞−

∗∗ ∫=−−+− 0,21~)()(~)(

2ψ

πωω (4.2.20)

Con estas expresiones podemos resolver la amplitud )(~ Ka , pero antes, debemos establecer

ciertas imposiciones físicas que queremos que dicha solución cumpla.

Como primera exigencia, queremos que la frecuencia angular sea positiva y real

siempre, ya que queremos que tenga sentido físico.

⇒ )()()( KKK ωωω −=−=− ∗ (4.2.21)

Donde la última igualdad se tomo para poder factorizar la frecuencia de la expresión (4.2.20).

Esto no es más que un artilugio matemático que se logra simplemente completando las

frecuencias de forma impar. Luego, tenemos entonces que el sistema es:

( )[ ] ( )

( )[ ] ( ) ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−−−

=−+

−∞+

∞−

∗

−+∞

∞−

∗

∫

∫

xKi

xKi

exdKKaKaKi

exdKKaKa

0,21~)(~

2)(

0,21~)(~

21

ψπ

ω

ψπ

(4.2.22)

Que como solución posee,

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

−∞+

∞−

∗

−+∞

∞−

∫

∫

xKi

xKi

exK

ixdKKa

exKixdKKa

0,)(

0,1)(~

0,)(

0,1)(~

ψω

ψπ

ψω

ψπ

(4.2.23)

Por lo que, como segunda exigencia, tenemos que la amplitud del pulso en función del

vector de ondas cumple:

)(~)(~ KaKa −= ∗ ⇒ ⎩⎨⎧

−−=

−=

)()()()(

KKKaKa

ϕϕ (4.2.24)



118

O sea, que su módulo es completado en forma par en K y su fase en forma impar.

Análogamente, se obtienen condiciones para los desarrollos en función de la frecuencia.

4.2.3. Velocidad de grupo

Como ya se definió, a la relación funcional entre la frecuencia y el vector de ondas se le llama

relación de dispersión. Cuando un medio es no dispersivo, se cumple que la relación es lineal,

cc

K ωωωω ==

)()( (4.2.25)

Si sucede esto, la onda o el paquete de ondas no se deforma en su propagación, y además vale la

ecuación de ondas como ecuación dinámica del movimiento de la onda en el medio. Ahora, si

en cambio la relación de dispersión es una función distinta a la que c es constante, tenemos que

las ondas se deforman y que la ecuación de ondas ya no vale.

Para este último caso, si se conoce la relación funcional, se define la velocidad de grupo como:

)(ωωgc

dKd

= (4.2.26)

Para el caso no dispersivo, esta velocidad coincide con la velocidad de fase, y por ende, en el

caso de un pulso, todas las ondas que lo componen viajan con la misma velocidad, la de fase.

Analicemos con estas definiciones la cinemática de la partícula libre según De Broglie. Según la

visión clásica de la mecánica cuántica tenemos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒==

==⇒=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

partículavel.

22

2

gg

f

cmp

dKdc

mp

Kc

mK

Kp

E

ω

ωω

ω

Por lo que, por más que el pulso viaje como un todo a fc , la velocidad de la partícula viene

dada por las componentes del pulso, las cuales viajan a la velocidad de grupo18.

Gracias a la definición de dicha velocidad, ahora también podemos realizar el pasaje formal

entre las integrales de Fourier.

4.2.4. Balance energético de un pulso

Supongamos nuevamente que nuestro sistema es una cuerda tensa, por lo que la potencia

entregada por el pulso es:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=tx

TtxP ψψ, (4.2.27)

Donde utilizando los resultados de la sección 4.2.2, tenemos que:

18 Para una mayor extensión del cálculo y las conclusiones del movimiento de la partícula libre, referirse a: “Fundamentos de Física Moderna” EISBERG, ROBERT M., capítulo VIII.



119

[ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=∗−∗

+∞

∞−

−+∞

∞−∫∫ tixKitixKi eebdeebdtx ωωωω ωωωωψ )()( )(~)(~

21),(

)()()( ωωω KKK −=−=− ∗ y )(~)(~ ωω −= ∗bb

⇒ [ ]tixKi eebdtx ωωωωψ −+∞

∞−∫= )()(~),( (4.2.28)

Luego,

[ ]

[ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=∂∂

=∂∂

−∞+

∞−

−+∞

∞−

∫

∫

tixKi

tixKi

eebdit

eebKdix

ωω

ωω

ωωωψ

ωωωψ

)(

)(

)(~

)(~)( (4.2.29)

Por lo tanto, la potencia entregada será,

[ ] [ ]

[ ]tixKitixKi

tixKitixKi

eeeebbKddT

eebdeebKdTtxP

ωωωω

ωωωω

ωωωωωω

ωωωωωω

′−′−∞+

∞−

∞+

∞−

−+∞

∞−

−+∞

∞−

′′′−=

=−=

∫∫

∫∫

)()(

)()(

)(~)(~)(

)(~)(~)(),(

[ ] [ ]tixKKitixKitixKi eeeeee ωωωωωωωω ′+−′+′−′− = )()()()( ⇒

⇒ [ ] [ ][ ]tixKKi eebbKddTtxP ωωωωωωωωωω ′+−′++∞

∞−

+∞

∞−

′′′−= ∫∫ )()()(~)(~)(),(

Como,

[ ] ( ) ( ) )()(2 ωωωδωωωωδπωω −=′+′′⇒′+= ∫∫+∞

∞−

′+−+∞

∞−

ffdedt ti (4.2.30)

Luego, la energía de un pulso será:

[ ] ( )[ ][ ][ ]xKKi

xKKi

ebbKdT

ebbKddTtxPdtE

)()(

)()(

)(~)(~)(2

2)(~)(~)(),(

ωω

ωω

ωωωωωπ

ωωπδωωωωωω

−+∞+

∞−

′++∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

−=

=′+′′′−==

∫

∫∫∫

Recordando que,

)()()( ωωω KKK −=−=− ∗ y )(~)(~ ωω −= ∗bb

Tenemos que la expresión final para la energía de un pulso es:

[ ]2)()(2),( ωωωωπ bKdTtxPdtE ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

== (4.2.31)

Dado que la expresión final contiene un integrando que es una función par de ω , esta integral

se puede llevar a una que tenga como dominio la recta real positiva.



120

4.2.5. Paquete Gaussiano

Las funciones gaussianas se supondrán conocidas, y lo que haremos, es simplemente suponer un

perfil de esta forma.

( ) ( )[ ]∫+∞

∞−

−= tKixKi eeKadKtx )(, ωψ , con: ( )

2

2

2)( KKK

o

o

eAKa ∆−−

= (4.2.32)

Para obtener la expresión del paquete en su forma real, debimos exigir a la amplitud que fuera

una función par del vector de ondas y su fase impar. En este caso, como la amplitud es real,

debería pedirse solamente que fuera par. Como es claro de (4.2.32), esta expresión es par

solamente si oK es nula. De momento obviaremos este problema afirmando que si queremos,

podemos reflejar el paquete entorno al origen de forma de tener una función par o sino, dejar

que la onda sea compleja hasta llegar al resultado.

Consideremos el caso en que el ancho del paquete es estrecho, o sea:

KKKdKdKKK o

KK

KKo

o

o

∆≤−⇒⇒<<∆ ∫∫∆+

∆−

+∞

∞−aprox.

(4.2.33)

De esta forma lo que exigimos es que el pulso esté concentrado en una cierta región en la recta

K. En esta aproximación, podemos desarrollar la frecuencia entorno de oK .

( ) ( ) ...21)()( 2

2

2

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= o

Ko

Ko KK

dKdKK

dKdKK

oo

ωωωω ⇒

⇒ ( ) ( )221)( ooogo KKKKcK −′′+−+≅ ωωω (4.2.34)

Haciendo un cambio de variables:

dKdqKKq o =⇒−= ,

( ) ( ) ( )

∫+∞

∞−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′++−

+∆−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=tqqKci

xqKiKq

o

oogoo eeedqAtx

22

2

21

2,~ ωωψ ⇒

⇒ ( ) ( ) ( )[ ]∫+∞

∞−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′+

∆−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= qtKcxiqtiKtxKi

oogo

oo eedqeAtx2

21

21

,~ ωωψ

Entonces, podemos escribir al paquete como:

( ) ( ) ( )txKi ooetxAtx ωψ −= ,~,~ (4.2.35)

Como conclusión, el paquete se comporta como una onda definida por un oK que está

modulada espacial y temporalmente por un factor ( )txA ,~.



121

Definiendo las siguientes variables,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′+∆

=

tcxu

tiK

z

g

oω21

21

(4.2.36)

Vemos que la amplitud sólo convergerá si la parte real de z es positiva. Esto, ya que:

( )[ ]

22

222

2

Re

121

qzqz

quiqzquiqzqtKcxiqtiK

edqedq

eedqeedqeedq ogo

−∞+

∞−

∞+

∞−

−

+∞

∞−

−+∞

∞−

−+∞

∞−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′+

∆−

∫∫

∫∫∫

=

=≤=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ω

Como se verifica dicha condición, pasamos a calcular la integral. Utilizando que:

( ) π=+−+∞

∞−∫

2bixedx (4.2.37)

Entonces lo que debemos lograr, es expresar el exponente como un binomio.

αα −++−− eeee quiqzquiqz 22

( ) xbibxbixuqqz 22222 +−=+=++− α ⇒ ⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=

quxbx

qzb

2α

⇒ zu

42

=α (4.2.38)

Luego, la amplitud modulada es:

( ) zu

o ez

AtxA 42

,~ −=π

(4.2.39)

Queremos saber el módulo de esta expresión,

( ) zz

u

ozz

u

o ez

Aez

AtxA Re4211

4222

2

2

,

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

==∗ ππ

(4.2.40)

( )

( ) 22

2

2

2

22

22

)(121

Re121Re

141

txtKKz

z

Kz

tK

zo

o

∆≡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′∆+∆

=⇒

∆=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′′+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∆

=ω

ω

Luego,

( )( )

2

2

)(222, tx

tcx

o

g

ez

AtxA ∆

−−

=π ⇒ ( )

( )2

2

)(222

)(, tx

tcx

o

g

etxKAtxA ∆

−−

∆∆

=π

(4.2.41)



122

Vale decir entonces, que el paquete será en amplitud gaussiano, de ancho )(tx∆ . Para tiempo

cero, este ancho es máximo, y vale:

22

21)0(K

x∆

=∆ (4.2.42)

A medida que el tiempo pasa, el ancho del paquete va aumentando espacialmente, pero la

amplitud va disminuyendo. Esto no es contradictorio, ya que mientras más se ensancha también

es de esperar que se “achate”.

A modo de ejemplo, se puede tratar de calcular la longitud de un fotón suponiendo que este

obedece a una distribución tipo gaussiana. Tomando que:

1≅∆∆ Kx

El tiempo de caída medio para un electrón orbital es s810−≅∆t , y como es el mismo que el

tiempo que le lleva emitir un fotón,

mm 33110 18 ≅∆⇒=

∆=∆⇒≅∆ −

fotónfotón xc

K ωω

4.3. ONDAS TRIDIMENSIONALES

En esta sección hallaremos en forma casi cualitativa ciertas soluciones de la ecuación de onda

tridimensional que representan ondas frecuentemente observadas, o si se quiere, soluciones muy

utilizadas en el reino de la Física.

4.3.1. Ecuación de onda tridimensional Esta sección será corta ya que una expresión para dicha ecuación fue encontrada varias veces en

el correr de estas notas.

Como se verá, y se presume, de todas las ondas tridimensionales, solamente la onda plana

(armónica o no) se mueve a través del espacio con un perfil que no cambia. Entonces, es claro

que la idea de definir una onda como la propagación de una perturbación cuyo perfil no se

altera, es algo defectuosa. Esta dificultad se puede vencer definiendo una onda como cualquier

solución de la ecuación diferencial de onda.

Ahora lo que necesitamos entonces es la generalización desde el caso unidimensional tratado en

la sección 4.1.1. El caso más sencillo debería ser el de coordenadas cartesianas, ya que en un

sistema cartesiano las variables de posición zyx ,, deben ciertamente aparecer simétricamente

en la ecuación diferencial. No hay distinción característica entre ningún eje; podemos entonces

poder cambiar los nombres de las variables entre sí, aunque, sin cambiar el sentido directo del

triedro.



123

Partiendo de,

2

22

2

2

xc

t ∂∂

=∂∂ ψψ

(4.3.1)

Utilizamos el método de separación de variables, de forma de buscar una solución a la ecuación

como:

( ) ( ) 2

222

2

2 ~~~)(,~,

xc

texftxtx ti

∂∂

=−=∂∂

⇒=ψψωψψψ ω ⇒

⇒ ψψ ~~2

2

2

Kx

−=∂∂

(4.3.2)

Llegando a la ecuación de Helmholtz homogénea. Dado que esta ecuación representa una

propagación en dirección de x, como se afirmó, debería ser representable en las demás

coordenadas por la simetría de las coordenadas cartesianas. En forma general, la dirección de

propagación es arbitraria, por lo que al ser expresada en coordenadas cartesianas deberíamos

tener 3 ecuaciones de movimiento dependientes de los cósenos directores,

ψωψ

ψγψ

ψβψ

ψαψ

~~y

~~

~~

~~

22

2

222

2

222

2

222

2

−=∂∂

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=∂∂

−=∂∂

−=∂∂

t

Kz

Ky

Kx

(4.3.3)

Las que deben cumplir que:

1222 =++ γβα (4.3.4)

Ya que estos son los cosenos directores. De esto se deduce también, que la constante de

separación K, la cual llamamos vector de ondas, por primera vez comienza a exhibir su carácter

vectorial. Esto es,

2222

222

222

222

zyx

z

y

x

kkkK

kK

kK

kK

++=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

γ

β

α

(4.3.5)

Entonces, para concluir, la ecuación de onda tridimensional en coordenadas cartesianas se

logra sumando sus componentes, lo cual resulta en:

ψψψψψ 22

2

22

2

2

2

2

2 1∇=

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

tczyx (4.3.6)



124

4.3.2. Ondas planas

La onda plana es quizás el ejemplo más simple de una onda tridimensional. Existe en un

instante dado, cuando todas las superficies sobre las cuales una perturbación tiene fase constante

forman un conjunto de planos, cada uno generalmente perpendicular a la dirección de

propagación. Hay razones prácticas para estudiar este tipo de ondas, una de las cuales es que

usando sistemas ópticos podemos producir fácilmente luz semejante a ondas planas.

La expresión matemática para un plano perpendicular a un vector dado K y que pasa a través

de algún punto ( )ooo zyx ,, es bastante fácil de deducir.

( , , )x y z

( , , )x y zo o orro

K

Figura (4.3.1)

Como se observa de la figura, poniendo:

( ) 0=⋅− Krr o (4.3.7)

Forzamos al vector ( )orr − a barrer un plano perpendicular a K . En coordenadas, escribimos,

( ) ( ) ( ) 0=−+−+− ozoyox zzkyykxxk ⇒ constante=++ zkykxk zyx

⇒ arK =⋅ (4.3.8)

El plano es entonces el lugar geométrico de todos los puntos cuya proyección en la dirección de

K es una constante. Podemos ahora construir un conjunto de planos sobre los cuales ( )rψ , por

ejemplo, varía sinusoidalmente.

( ) ( )( ) ( ) ( ) rKieAr

rKAr

rKAr ⋅=⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

⋅=ψ

ψ

ψ ~ocos

sin (4.3.9)

Como estamos manejando funciones armónicas, se deben repetir a sí mismas en el espacio

luego de un desplazamientoλ en la dirección de K.

La naturaleza especialmente repetitiva de estas funciones se puede expresar por:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

KKrr λψψ (4.3.10)

Donde se obtienen los mismo resultados para el valor que toma la longitud de ondaλ , a los de

la sección 4.1.3.



125

ψ( )r

K

λFigura (4.3.2)

Así definida, la perturbación está fija en el espacio. Para hacer que ( )rψ varíe en el tiempo,

debemos agregar la dependencia temporal de la misma forma que se hizo con la onda

unidimensional.

Luego, la onda plana se representa (en forma compleja) por:

( ) ( )trKieAtr ωψ ∓⋅=~,~ (4.3.11)

A medida que esta perturbación viaja, a cada punto en el espacio y en el tiempo podemos

asignarle una fase. En cualquier instante, las superficies que unen todos los puntos de igual fase

se conocen como frentes de onda. En nuestro caso actual, estos frentes son planos. Esto es ya

que A es constante sobre el frente. En general la amplitud es una función de la posición, y por lo

tanto no puede ser constante sobre todo el espacio o ni siquiera sobre un frente. En estos casos

se habla de que la onda es inhomogénea. Este caso se analizará más adelante en otro capítulo.

La solución encontrada para expresar una onda plana se encontró sin utilizar la ecuación de

onda, por lo que en realidad, de acuerdo a nuestra definición, no es una onda.

Para relacionarla con la sección previa, observemos que podemos escribir la fase como:

( ) tzyxKtzkykxktrK zyx ωγβαωω ∓∓∓ ++=++=⋅ (4.3.12)

La verificación de que dicha expresión satisface la ecuación de onda es trivial, por lo que la

expresión si cae dentro de nuestra definición.

Hay que observar, que la solución general como suma de 2 ondas viajeras se debe modificar

ahora a:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= tcr

KKqtcr

KKptr ,ψ (4.3.13)

Las coordenadas cartesianas son particularmente adecuadas para describir ondas planas. Sin

embargo, cuando aparecen otras simetrías, es conveniente utilizar otras coordenadas.



126

4.3.3. Ondas esféricas

Al arrojar una piedra a un estanque, las ondas superficiales que se generan se alejan del punto de

impacto en ondas circulares. Si extendemos esta imagen a tres dimensiones, logramos nuestro

cometido. Si por ejemplo tenemos una pequeña esfera pulsátil rodeada de un fluido, las

contracciones y expansiones se comportan como una onda esférica que se propaga hacia fuera.

La simetría de estos frentes esféricos resulta más tratable al tratar con coordenadas esféricas.

Recordando, el operador laplaciano en estas coordenadas se escribe,

( ) ( ) ( ) 2

2

222

22

sin11sin

sin111

φθθθ

θθ ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇rrr

rrr

(4.3.14)

Como estamos buscando una representación de frentes de onda esféricos, o sea, aquellos que no

dependen de los ángulos azimutales ni cenitales, de modo que:

( ) ( ) ( )trtrtr ,,,,, ψφθψψ == (4.3.15)

Entonces, la ecuación de onda para frentes esféricos es:

2

2

22

22 11

tcrr

rr ∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇ψψψ (4.3.16)

Al miembro izquierdo de la igualdad se lo puede escribir en forma diferente, observando,

( )ψψψψ rrrrrrr

rrr 2

2

2

22

2

121∂∂

=∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

(4.3.17)

Entonces, la ecuación de ondas se vuelve más simétrica,

( ) ( )2

2

22

2 1tr

cr

r ∂∂

=∂∂ ψψ (4.3.18)

Obsérvese que esta expresión es precisamente la ecuación diferencial de onda unidimensional,

donde la variable espacial es r, y la función de onda es el producto ψr . La solución general es

entonces:

( ) ( ) ( )tcrqr

tcrpr

tr ++−=11,ψ (4.3.19)

Y la onda esférica armónica es:

( ) ( )trKierAtr ωψ ∓~

,~ = (4.3.20)

Donde,

constanteˆ

ˆ==⋅⇒

⎩⎨⎧

==

rKrKrrKK

r

r

ee

, para cada tiempo.

Como cualquier onda esférica se ve atenuada por el factor 1−r , estas disminuirán de amplitud al

alejarse del origen.



127

4.3.4. Ondas cilíndricas

Ahora estudiaremos otro frente de onda idealizado, el cilindro circular infinito. Primero,

debemos recordar el laplaciano expresado en coordenadas cilíndricas (ver sección 3.3).

2

2

2

2

22 11

z∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∇φρρ

ρρρ

(4.3.21)

Nuevamente nos remitimos al caso sencillo en que el frente de onda exhibe simetría cilíndrica,

lo cual lleva a buscar una solución de onda como,

( ) ( ) ( )ttztr ,,,,, ρψφρψψ == (4.3.22)

Entonces, la ecuación de onda para frentes cilíndricos es:

2

2

22 11

tc ∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∇ψ

ρψρ

ρρψ (4.3.23)

Utilizando separación de variables, logramos transformar esta ecuación en una ecuación

diferencial ordinaria en ρ . Como se trató en las secciones con membranas, la ecuación

resultante es la ecuación de Bessel. Tendríamos entonces, que la solución a la parte espacial

sería una función de Bessel de primera especie (se incluye el origen).

( ) ( ) tio eKAt ωρρψ ∓J,~ =

Esta solución no nos permite extraer demasiada información, pero al observar el

comportamiento asintótico de las funciones de Bessel, vemos el comportamiento armónico que

adquieren, por lo que podríamos escribir para el frente de onda cilíndrico:

( ) ( )tKieAt ωρ

ρρψ ∓

~,~ ≅ (4.3.24)

Esto representa un conjunto de cilindros coaxiales que llenan todo el espacio y que viajan hacia

o fuera de una fuente lineal infinita.

No se pueden encontrar ahora soluciones en términos de funciones arbitrarias como las había

tanto para las ondas esféricas como para las planas.

4.3.5. Ondas escalares y vectoriales

Hay dos clasificaciones generales de ondas, longitudinales y transversales. La distinción entre

las dos proviene de una diferencia entre la dirección a lo largo de la cual ocurre la perturbación

y la dirección KeKK ˆ= , en la cual se propaga la perturbación. Esto es más fácil de visualizar

cuando se trata de un medio material deformable elástico. Una onda longitudinal ocurre cuando

las partículas del medio se desplazan de sus posiciones de equilibrio, en una dirección paralela a

Ke . Se origina una onda transversal cuando la perturbación, en este caso el desplazamiento del

medio, es perpendicular a la dirección de propagación.



128

Para el caso de ondas transversales (que hasta ahora ha sido el de mayor interés), el plano en

que el movimiento está confinado es llamado plano de vibración.

x

yψ

z

Plano de vibración

Figura (4.3.3)

Si el plano de vibración está fijo en el espacio al pasar el tiempo, se dice que la onda es

linealmente polarizada, o polarizada plana.

A fin de determinar por completo la onda, debemos ahora especificar la orientación del plano de

vibración (polarización), y también la dirección de propagación Ke . Esto es equivalente a

resolver la perturbación en componentes a lo largo de dos ejes mutuamente perpendiculares,

ambos normales a z (la dirección de propagación). Entonces, podemos escribir:

( ) ( ) ( ) ji ˆ,ˆ,, tztztz yx ψψψ += (4.3.25)

Donde por supuesto, la triada ( )kji ˆ,ˆ,ˆ son los vectores base unitarios en coordenadas

cartesianas.

Luego, una onda plana armónica escalar está dada por la expresión:

( ) ( )trKieAtr ωψ ∓⋅=, (4.3.26)

Y una onda plana armónica polarizada linealmente está dada por el vector de onda:

( ) ( )trKieAtr ωψ ∓⋅=, (4.3.27)

O en coordenadas cartesianas por,

( ) ( ) ( ) ( )trKizyx

trKi eAAAeAtr ωωψ ∓∓ ⋅⋅ ++== kji ˆˆˆ, (4.3.28)

Para este caso, donde el plano de vibración está fijo, también lo es la orientación de A .



129

5. ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Con las herramientas del capítulo anterior y la práctica que hemos adquirido al tratar con los

demás capítulos, desarrollaremos un campo en que las ondas juegan un papel muy importante.

Ya que el desarrollo formal y completo se escapa de nuestros propósitos, se tratará de encontrar

las ecuaciones de movimiento y las soluciones más conocidas.

5.1. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Comencemos por lo que son las ondas electromagnéticas (EM). Gracias a los trabajos de J. C.

Maxwell y desarrollos posteriores, se hizo evidente que la luz tiene naturaleza electromagnética.

La electrodinámica clásica, además, lleva a la idea de una transferencia continua de energía por

medio de ondas electromagnéticas.

5.1.1. Ecuación de ondas electromagnéticas

Las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial macroscópica para un medio son:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

+=×∇=⋅∇

∂∂

−=×∇=⋅∇

tDJHB

tBED

libre

libre

0

ρ (5.1.1)

Las cuales constituyen un set de ecuaciones en derivadas, acopladas. Una solución para

desacoplar dicho sistema de ecuaciones viene de la mano de las relaciones constitutivas, donde

los campos vectoriales son relacionados por medio de resultados experimentales.

Para medios lineales, de composición homogénea e isotrópica, tenemos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

EgJ

HB

ED

libre

µ

ε

, donde: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

dadconductivigmediodelmagnéticaadpermisivid

mediodeleléctricaadpermisividµε

(5.1.2)

Así entonces, las ecuaciones se transforman en,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

+=×∇=⋅∇

∂∂

−=×∇=⋅∇

tEEgBB

tBEE libre

εµµ

ερ

0 (5.1.3)

Ahora, como queremos hallar una ecuación de movimiento dinámica, debemos transformar las

mismas de forma de obtener una ecuación diferencial parcial de segundo orden para cada

campo. Para esto operaremos con las ecuaciones de los rotacionales.



130

Primero, hallemos la ecuación de movimiento para el campo eléctrico. Para esto utilicemos la

ley de Faraday diferencial,

tBE∂∂

−=×∇ ⇒ ( )tBE∂∂

×−∇=×∇×∇ Para campos diferenciables,

tEEgB∂∂

+=×∇ εµµ ( )Btt

B×∇

∂∂

=∂∂

×∇

⇒ ( ) 2

2

tE

tEgE

∂∂

−∂∂

−=×∇×∇ εµµ (5.1.4)

El rotacional de un rotacional tiene una igualdad diferencial que lo relaciona con el operador

laplaciano,

( ) ( ) 2∇−⋅∇∇=×∇×∇ (5.1.5)

Utilizando dicha identidad, la ecuación (5.1.4) toma la forma de:

( ) 2

22

tE

tEgEE

∂∂

+∂∂

=⋅∇∇−∇ εµµ (5.1.6)

Como nosotros nos concentraremos en regiones con materiales dieléctricos (materiales donde

no hay exceso de carga libre para reaccionar con el campo) y el vacío, según la ecuación

diferencial de Gauss, la divergencia del campo eléctrico es nula, por lo que, la ecuación de

ondas eléctricas para un material lineal e isotrópico, es:

2

22

tE

tEgE

∂∂

+∂∂

=∇ εµµ (5.1.7)

Análogamente podemos deducir una ecuación para el campo magnético, a partir de la ley de

Ampère-Maxwell,

tEEgB∂∂

+=×∇ εµµ ⇒ ( )tEEgB∂∂

×∇+×∇=×∇×∇ εµµ

Para campos diferenciables, ( )Ett

E×∇

∂∂

=∂∂

×∇

⇒ ( ) ( ) BBtB

tBgB 2

2

2

∇−⋅∇∇=∂∂

−∂∂

−=×∇×∇ εµµ (5.1.8)

Haciendo uso de la ecuación que expresa que las líneas de campo magnético son siempre

cerradas (divergencia nula), la ecuación de ondas magnéticas para un material lineal e

isotrópico, es:

2

22

tB

tBgB

∂∂

+∂∂

=∇ εµµ (5.1.9)

La cual como se ve, es idéntica a la del campo eléctrico.



131

Antes de continuar, hay que observar que aunque la ecuación de ondas para los campos

eléctricos y magnéticos fue derivada a partir de las ecuaciones de Maxwell, una solución

completamente general para las mismas no necesariamente satisfará las ecuaciones de Maxwell,

pero sin embargo, cualquier solución a dichas ecuaciones debe satisfacer la ecuación de onda

correspondiente. O sea, que a la hora de computar las soluciones de la ecuación de onda,

debemos ver si estas verifican las ecuaciones de Maxwell y observar que condiciones son

necesarias para que esto suceda.

5.1.2. Ondas EM monocromáticas planas

Como se observó de las secciones 4.2.1 y 4.2.2, las funciones: acotadas y con medida de

Jordan nula (cantidad de discontinuidades finitas), son representables como una serie o una

integral de Fourier, ya sea si son periódicas o no. O sea que son representables como

superposición de funciones trigonométricas elementales. De esta forma, podemos concentrarnos

en la búsqueda de soluciones para el caso monocromático (una única frecuencia), ya que

cualquier solución será representable en dichas soluciones.

Para simplificar los cálculos, utilizamos notación compleja, por lo que buscamos:

( ) ( ) ( ) trEtrEtzyxE ,~

Re,,,, == (5.1.10)

Para el caso de ondas planas, como se vio en la sección 4.3.2, una representación válida sería:

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅

=trKi

o eEtrEω∓

~~,

~ (5.1.11)

Análogamente, se puede pensar una expresión semejante para el campo magnético. Se supuso

en principio que el vector de ondas también puede ser una función compleja.

Pasemos a ver que condiciones debe cumplir esta solución para ser realmente parte de un campo

electromagnético. Para esto, debemos conocer su divergencia y rotacional.

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇×+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ×∇=×∇

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅∇=⋅∇

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅

trKi

o

trKi

o

trKi

o

trKi

o

eEeEtrE

eEeEtrE

ωω

ωω

∓∓

∓∓

~~

~~

~~,

~

~~,

~

(5.1.12)

Para el caso de polarización lineal, tenemos que la amplitud es fija, por lo que:

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇×=×∇

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅=⋅∇

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅

trKi

o

trKi

o

trKi

o

trKi

o

eKiEeEtrE

eKiEeEtrE

ωω

ωω

∓∓

∓∓

~~

~~

~~~,

~

~~~,

~

(5.1.13)

Entonces, se puede pensar como si el operador nabla transforma a, Ki~

∇



132

Habiendo obtenido las expresiones del rotor y la divergencia del campo eléctrico (idénticas a las

del campo magnético), pasamos a sustituirlas en las ecuaciones de Maxwell sin fuentes.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=×=⋅

=×=⋅⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

=×∇=⋅∇

∂∂

−=×∇=⋅∇

Ec

iBKiBKi

BiEKiEKi

tEBB

tBEE

~~~0

~~

~~~0

~~

0

0

2

ωω

εµ (5.1.14)

Entonces, las ecuaciones correspondientes a las divergencias indican que las ondas EM deben

ser perpendiculares al vector de ondas, o sea transversales. Las ecuaciones en los rotacionales,

nos agregan una última condición sobre los campos, y es que estos deben ser mutuamente

perpendiculares siempre, pero además, si K es real, estos deben estar en fase.

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

×=

=⋅

=⋅

=

EKB

BK

EK

cK

~~~

0~~

0~~

~22

2

ω

ω

(5.1.15)

Concluyendo, que siempre que computemos uno de los campos, mediante la última expresión

podemos establecer el otro. De ahí la naturaleza electromagnética de la onda; un campo

eléctrico genera un campo magnético, que a su vez genera un campo eléctrico, y así van creando

su propio medio de propagación19.

5.1.3. Ondas EM en materiales dieléctricos

Estos materiales son aquellos (idealmente) en que sus átomos se encuentran fuertemente ligados

en sus posiciones de equilibrio, y no poseen electrones de valencia que favorezcan la

conductividad. Por esto, 0=g para dichos materiales (al igual que en el vacío). Entonces, la

ecuación de onda para estos materiales (dentro de nuestras hipótesis), es:

2

22

tEE

∂∂

=∇ εµ (5.1.16)

La cual es una ecuación de onda para cada componente del campo, y se asocia una velocidad de

fase en el material igual a,

εµ=2

1c

(5.1.17)

A la velocidad de propagación de las ondas en el vacío se la notará por ( ) 1−= oooc εµ .

19 Por referencias: “Classical Electrodynamics” JACKSON JOHN D.



133

Si nos concentramos primeramente en las ondas de polarización lineal, podemos escribir al

campo eléctrico como:

( ) ( ) u,,,,,, tzyxEtzyxE = , con: ónpolarizacidevector=u (5.1.18)

Para ondas monocromáticas, podemos separar la variable temporal y escribir,

( ) ( ) u~,~

tiertrE ω−= E (5.1.19)

De forma que la ecuación de onda se convierte en:

( ) ( )

( )0~~

ˆ~~

1

ˆ~,~

222

2

2

2

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+∇⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂∂

∇=∇

−

−

EEE

E

cerct

Ec

ertrE

ti

ti

ωω ω

ω

u

u ⇒

⇒ 0~~ 22 =+∇ EE K (5.1.20)

La cual es la conocida ecuación de Helmholtz, donde sus soluciones ya fueron tratadas mediante

el método de separación de variables. Las condiciones de frontera de cada problema son las que

determinan los parámetros de la onda.

Para el caso de ondas planas, la solución será (tomando sólo la propagación en sentido

positivo):

( ) rKioeEr ⋅= ~~E (5.1.21)

Y para ondas esféricas,

( ) re~~ rKio er

Er ⋅=E (5.1.22)

Donde el vector de ondas para estos casos es una cantidad real (por lo que el campo magnético

estará en fase con el eléctrico) ya que por convención tomamos que 0>ω y que c es la

magnitud de la velocidad de propagación, siendo esta una cantidad positiva.

Los resultados aquí conseguidos son trasladables al caso de ondas EM en el vacío con sólo

cambiar la velocidad de propagación de la onda.

5.1.4. Ondas EM en materiales conductores

Ahora debemos volver a la ecuación de onda inicial para tomar en cuenta la parte dada por la

conductividad del material.

2

22

tE

tEgE

∂∂

+∂∂

=∇ εµµ (5.1.7)

Nuevamente, concentrémonos en ondas monocromáticas linealmente polarizadas,

( ) ( ) u~,~

tiertrE ω−= E (5.1.23)



134

De forma que la ecuación toma la forma de:

( ) ( ) 0~~ 22 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+∇ rgi

cr EE ωµω

(5.1.24)

Esta es la ecuación de Helmholtz, pero con un vector de ondas que lo redefino en forma

compleja. Esto es,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+=

ωµωωµω 222

222 1 cgic

gic

KKK imreal ⇒

ω

µω 2

1~ cgi

cK +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (5.1.25)

O sea, que este vector tendrá una parte real y una imaginaria, causando que la solución será una

exponencial compleja amortiguada o aumentada según el signo de la parte imaginaria del

vector.

( ) rKrKio

imreal eeEr ⋅−⋅= ~~E (5.1.26)

Cualitativamente, una onda plana que llega a un medio conductor se verá atenuada como en la

figura siguiente.

x

y

ConductorE

Figura (5.1.1)

Entonces los conductores constituyen un medio dispersivo para ondas electromagnéticas.

Para analizar cuantitativamente este vector complejo, pasemos a analizar el caso de radiación

EM en el rango óptico. Entonces,

110Hz1010

Hz10105,03

2

182172

156

>>≈⇒=≈

∝⇒×≈ −

ωµ

µµ

ωλ cgccg oo m

m (5.1.27)

Luego, podemos aproximar la raíz cuadrada a:

ω

µω 2~ cgic

K ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅ (5.1.28)

Utilizando que, ( )iei i +== 1224

π (5.1.29)



135

Entonces, el módulo del vector de ondas resulta en:

ω

µωω

µω22

22 cgc

icgc

K ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ⇒

22ωµωµ gigK +=

⇒ ( ) 22~~ rgirgo eeEr ⋅⋅−= ωµωµE (5.1.30)

La velocidad de propagación vendrá dada por:

gK

creal µ

ωωω 2)( == (5.1.31)

Se define la atenuación, como el inverso de la profundidad de penetración, o sea:

2

1 ωµδ

gKim == (5.1.32)

5.1.5. Coeficientes de energía

Una de las propiedades más significativas de la onda electromagnética es que transporta energía.

De la teoría electromagnética sabemos que la densidad de energía (energía por unidad de

volumen) para un campo eléctrico en un medio lineal es:

∗⋅== EEEuE

~~

222 εε

(5.1.33)

Y para un campo magnético,

∗⋅== BBBuB

~~

21

21 2

µµ (5.1.34)

De las secciones anteriores se deduce que BcE~~

= .

O sea que estas expresiones para la densidad de energía resultan idénticas cuando se sustituyen

estos valores. Entonces, la densidad de energía para una onda EM es:

2222 BEuuuuuu BEBE µε ==⇒==+= (5.1.35)

Generalmente, lo que interesa en un problema es el flujo de energía, o sea, cuanta energía

atraviesa las fronteras del problema. Para esto, se define una cantidad que simboliza el

transporte de energía por unidad de tiempo (la potencia) y de área. Entonces, cualitativamente

para un tiempo infinitesimal tendríamos que sólo un cilindro de energía atravesaría A,

( ) cu

tAAtcuS =

∆∆

= (5.1.36)

Utilizando (5.1.35) escribimos,

BEcuSµ1

== (5.1.37)



136

En forma completamente general, se define el vector de Poynting electromagnético como:

HES ×= (5.1.38)

Cuando el medio es lineal tenemos que este vector tendrá la misma dirección que el vector de

ondas y además poseerá un módulo similar a (5.1.37). De esta forma representaría el flujo de

energía electromagnética.

Para una onda plana, tenemos:

KK ee ˆ1ˆ11 2Ec

SBEBESµµµ

=⇒=×= ⇒ 21 Ec

Sµ

= ⇒

⇒ ( )ϕωµ

+−⋅= trKc

ES o 22

cos (5.1.39)

Ya que, como se ha hecho referencia, las cantidades importantes a la hora de realizar las

mediciones pertinentes son los promedios temporales, se define la intensidad de la onda EM

como:

T

SI = (5.1.40)

Por lo que para una onda plana la intensidad será la mitad de la expresión (5.1.39) sin el

coseno.

Debido a la conservación de la energía podemos afirmar que cuando una onda electromagnética

llega a una interfase deberá cumplir que la intensidad incidente sea igual a la transmitida más la

reflejada, lo que resulta en,

22

.2

11

.2

11

.2

cE

cE

cE transorefoinco

µµµ=− (5.1.41)

Donde los subíndices 1 y 2 indican al medio 1 y 2 respectivamente. Además, como la

permisividad magnética difiere poco de material a material, podemos escribir que se cumple,

2

.2

1

.2

1

.2

cE

cE

cE transorefoinco =− (5.1.42)

De esta forma podemos definir coeficientes de intensidad en función de la amplitud incidente, y

obtener ecuaciones como se tuvieron en la sección 4.1.5. Junto con las condiciones que deben

cumplir los campos en la frontera, estos forman un conjunto de ecuaciones que determina

cuanto de la onda se refleja y cuanto se transmite.

Como quizás se observó, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda,

por lo que: para ondas planas tenemos que es una constante, para ondas cilíndricas cae con la

distancia, y para ondas esféricas cae con la distancia al cuadrado. Esta última conclusión nos

recuerda las leyes de radiación de una fuente luminosa, donde se encuentra que la intensidad de

radiación cae con la distancia al cuadrado.



137

5.2. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN

Habiendo establecido la conservación de la energía para ondas electromagnéticas, pasamos a

analizar los fenómenos ópticos que suceden en la interfase entre dos medios para deducir las

conocidas ecuaciones de Fresnel.

5.2.1. Condiciones de frontera

De las ecuaciones de Maxwell,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

+=×∇=⋅∇

∂∂

−=×∇=⋅∇

tDJHB

tBED

libre

libre

0

ρ (5.1.1)

Se derivan las condiciones que deben cumplir los campos al cambiar de medio. Estas son:

( )( )( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=×−∂∂

+=×∇

=⋅−=⋅∇

=×−∂∂

−=×∇

=⋅−=⋅∇

librelibre

librelibre

jHHt

DJH

BBB

EEtBE

DDD

n

n

n

n

ˆ

0ˆ0

0ˆ

ˆ

12

12

12

12 σρ

(5.2.1)

Donde se tienen que tomar circuitos y “pastillas” de Gauss, infinitesimales, sobre la frontera,

como los de la figura siguiente (se supuso que las variaciones temporales en los campos no son

grandes).

n

^t1 t2

Medio 1

Medio 2

n

^t1 t2

Medio 1

Medio 2 Figura (5.2.1) 20

Para medios lineales, podemos realizar simplificaciones en las condiciones de frontera.

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⋅−

libre

libre

jBBH

EED

n

n

ˆ

ˆ

1

1

2

2

1122

µµ

σεε (5.2.2)

20 Para ver los detalles acerca de las deducciones de las condiciones de frontera, consultar: “Introduction to Electrodynamics” J. D. GRIFFITHS y “Fundamentos de la teoría Electromagnética” J.R. REITZ – F.J. MILFORD - R.W. CHRISTY, donde se encuentran además más ejemplos que analizan las condiciones de frontera resultantes.



138

Además, la ecuación de continuidad, resulta en:

0=∂∂

+⋅∇t

J ρ ⇒ ( ) ( ) nn ˆˆ 112212 ⋅−=

∂∂

=⋅− EgEgt

JJ libreσ (5.2.3)

Por lo que para ondas monocromáticas tenemos que para el campo eléctrico se cumple:

( )

( )⇒

=⋅−

=⋅−=∂

∂

libre

librelibre

EE

iEgEgt

σεε

σωσ

n

n

ˆ

ˆ

1122

1122

⇒ nn ˆˆ 22

211

1 ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + EgiEgi

ωε

ωε (5.2.4)

5.2.2. Ecuaciones de Fresnel Estas ecuaciones son las conocidas leyes de la reflexión y refracción. Son ampliamente

utilizadas en la óptica y aunque pueden ser derivadas de diferentes maneras (por ejemplo,

geométricamente), aquí trataremos de derivarlas utilizando las condiciones de frontera derivadas

de las ecuaciones de Maxwell y ondas incidentes monocromáticas planas.

Para mayor generalidad, comencemos con una onda incidente en forma oblicua. Debido a que

las ondas EM son transversales, existirán dos planos perpendiculares posibles para cada campo

en que se satisfagan dichas condiciones. Para nuestro caso actual, esto no es de importancia.

KI

KT

KR

zxMedio 1 Medio 2

ε ,µ1 1

θR

θI

Figura (5.2.2)

Siguiendo la figura, tenemos que los campos en ella esquematizados se pueden escribir como:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×=

=

−⋅

−⋅

trKioII

trKioII

I

I

ec

EB

eEE

ω

ω

1

,

,~

ˆ~

~~

IKe (5.2.5)

⇒

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×=

=

−⋅

−⋅

trKioRR

trKioRR

R

R

ec

EB

eEE

ω

ω

1

,

,~

ˆ~

~~

RKe , y

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×=

=

−⋅

−⋅

trKioTT

trKioTT

T

T

ec

EB

eEE

ω

ω

2

,

,~

ˆ~

~~

TKe (5.2.6)



139

Como se observó en otros capítulos, la frecuencia no cambia al atravesar de medio, y está

determinada por la fuente del campo. Entonces, se debe cumplir siempre que:

211 cKcKcK TRI ===ω ⇒ TRI KccKK

1

2== (5.2.7)

Lo cual se puede derivar de las condiciones de continuidad de los campos.

Ahora, de la superposición de los campos incidentes y reflejados se tiene una igualdad con los

campos transmitidos de la forma (dada por la continuidad en la frontera):

TRI EEE~~~

≈+ ⇒ ( ) ( ) ( )00 =

−⋅

=

−⋅−⋅ =+z

trKi

z

trKitrKi TRI eee ωωω (5.2.8)

Y una similar para los campos magnéticos. Como las exponenciales complejas son linealmente

independientes, y las cantidades entre corchetes no son nulas, debemos exigir que los

exponentes sean iguales en la interfase. Observando que la dependencia temporal se encuentra

en ambos miembros, la condición previa de traduce a:

000 ===

⋅=⋅=⋅zTzRzI rKrKrK ⇒

⇒ yKxKyKxKyKxK yTxTyRxRyIxI ,,,,,, +=+=+ (5.2.9)

Luego, como las coordenadas cartesianas también son independientes entre sí, debemos pedirle

a las componentes del vector de onda que cumplan,

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

yTyRyI

xTxRxI

KKKKKK

,,,

,,, (5.2.10)

Lo cual indica que los tres vectores son coplanares. Esta es la primera ley de Fresnel, la cual se

enuncia en óptica como: los rayos incidente, reflejado y transmitido están todos en el plano de

incidencia (el cual se determina mediante el vector de ondas incidente y la normal a la

superficie).

Las siguientes dos leyes se deducen fácilmente. Si elegimos el eje Ox como en la Figura (5.2.2)

pero tal que esté en la dirección del campo eléctrico incidente, entonces se tiene que,

0, =yIK (5.2.11)

Y por ende todas las demás componentes en esta dirección también son nulas. De esta forma,

(5.2.10) resulta en:

( )( )( )

( ) ( ) ( )TTRRII

TTxT

RRxR

IIxI

KKKKKKKKK

θθθθθθ

sinsinsinsinsinsin

,

,

,

==⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

(5.2.12)

Utilizando (5.2.7), podemos transformar esta expresión en las dos últimas leyes.

RI θθ = , y ( ) ( )TR cc θθ sinsin

2

1= (5.2.13)



140

La primera identidad es la ley de la reflexión, la cual enuncia que: los ángulos de incidencia y

reflexión son iguales. La segunda identidad es la ley de la refracción, o también conocida como

ley de Snell.

5.2.3. Ecuaciones de incidencia

Analizaremos el caso de una interfase plana entre dos medios diferentes, para cuando el frente

de onda incide en forma perpendicular, oblicua y a un cierto ángulo crítico. Trataremos sólo con

ondas monocromáticas planas. De esta forma deduciremos un conjunto de ecuaciones que

permiten cuantificar que cantidad de radiación se transmite y como.

1. INCIDENCIA NORMAL

EI

ER

ETBI

BR

BT

KI

KT

KR zx

Medio 1 Medio 2ε ,µ1 1 Figura (5.2.3)

Los campos entonces son los siguientes:

( )

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

−

−

j

i

ˆ~~

ˆ~~

1

,

,

tzKioII

tzKioII

I

I

ec

EB

eEE

ω

ω

(5.2.14)

⇒

( )

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

−

−

j

i

ˆ~~

ˆ~~

1

,

,

tzKioRR

tzKioRR

R

R

ec

EB

eEE

ω

ω

, y

( )

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

−

−

j

i

ˆ~~

ˆ~~

2

,

,

tzKioTT

tzKioTT

T

T

ec

EB

eEE

ω

ω

(5.2.15)

Donde ya tomamos en cuenta que la frecuencia al atravesar de medio no cambia.

De las condiciones de frontera tenemos que las componentes normales de los campos D y B

son continuas al atravesar la frontera, suponiendo que no existe carga superficial en la frontera.

Debido a que la incidencia es normal, esta condición no es de información (campo transversal).

Si la conductividad de ambos medios es finita, entonces, no habrá corriente superficial tampoco,

lo cual indica que las componentes tangenciales de los campos son continuas al atravesar la

interfase. Por lo que tenemos,

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

tgtg

tgtg

HH

EE

,2,1

,2,1 (5.2.16)



141

Por lo que, en 0=z estas condiciones resultan en:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+

22

,

11

,

11

,

,,,~~~

~~~

cE

cE

cE

EEE

oToRoI

oToRoI

µµµ

(5.2.17)

Definiendo el siguiente coeficiente,

22

11

cc

µµβ ≡ (5.2.18)

Sustituyendo en (5.2.17) y operando,

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

oToRoI

oToRoI

EEE

EEE

,,,

,,,~~~

~~~

β ⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

oRoI

oToI

EE

EE

,,

,,

~11~

~1

2~

ββ

β (5.2.19)

Si aproximamos las permisividades magnéticas a la del vacío, estas ecuaciones resultan en:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

oRoI

oToI

EccccE

Ecc

cE

,21

12,

,21

2,

~~

~2~

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

oRoI

oToI

EKKKKE

EKK

KE

,21

21,

,12

1,

~~

~2~

(5.2.20)

Las cuales son idénticas a las encontradas para los coeficientes de amplitud en la sección 4.1.4,

ecuaciones (4.1.41) (como era de esperar).

Análogamente se pueden pensar coeficientes de intensidad, o sea de potencia, los cuales serán

iguales a los que encontramos en la sección 4.1.5, ya que como se vio, la intensidad de una

onda electromagnética es proporcional al cuadrado de su amplitud.

El vector de Poynting era (para un medio no dispersivo, o sea lineal):

KK ee ˆ1ˆ11 2Ec

SBEBESµµµ

=⇒=×=

Entonces, para una onda plana, la intensidad es,

T

SI = ⇒ 2

21

oplana EcI ε= , y Kc 1∝

Y los coeficientes de energía son:

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

221

21

2

,

,

1

2

2

21

21

2

,

,

4~~

~~

KKKK

EE

KK

KKKK

EE

oI

oT

oI

oR

T

R

(5.2.21)



142

2. INCIDENCIA OBLICUA

Al incidir oblicuamente una onda EM, tenemos dos casos a analizar, como ya se mencionó.

Tomaremos sólo uno ya que la deducción para ambos es similar. Supongamos el que el campo

eléctrico es paralelo al plano de incidencia como en la figura siguiente.

EI

ER

ET

BI

BR BT

KI

KT

KR

zx

Medio 1

Medio 2

ε ,µ1 1

θR

θI

Figura (5.2.4)

Las condiciones de frontera sobre los campos serán entonces,

( )( )( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=×−=×∇

=⋅−=⋅∇

=×−=×∇

=⋅−=⋅∇

0ˆ0

0ˆ0

0ˆ0

0ˆ0

12

12

12

12

n

n

n

n

HHH

BBB

EEE

DDD

⇒

⇒

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

=+

===

===

yxoTyxoRyxoI

zoTzoRzoI

yxoTyxoRyxoI

zoTzoRzoI

BBB

BBB

EEE

EEE

,,2

,,,,1

0,0,0,

,,,,,,

0,20,10,1

~1~~1

~~~

~~~

~~~

µµ

εεε

(5.2.22)

Para nuestro caso, el campo magnético no tiene componente según z, por lo que la tercera

condición es satisfecha inmediatamente. Las demás, se pueden escribir como:

( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=+

−=+−

2

,

21

,

1

,

1

,,,

,2,,1

~1

~~1

00cos~cos~cos~

sin~sin~sin~

cE

cE

cE

EEE

EEE

oToRoI

ToTRoRIoI

ToTRoRIoI

µµ

θθθ

θεθθε

(5.2.23)

Definiendo un nuevo coeficiente,

( )( )I

T

θθα

coscos

≡ (5.2.24)



143

Podemos expresar de manera más simple este sistema de ecuaciones en las amplitudes de

campo. Tenemos:

( )( )

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

=+

−=+−

oToRoI

oTT

RoRoI

I

ToToRoI

EEE

EEE

EEE

,,,

,,,

,1

2,,

~~~

~coscos~~

sinsin~~~

β

αθθα

θθ

εε

(5.2.25)

Usando la ley de refracción,

( )( ) β

µµ

εε

εε

θθ

εε

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

22

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

sinsin

cc

cc

cc

cc

I

T (5.2.26)

Entonces,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

=−

oToRoI

oToRoI

oToRoI

EEE

EEE

EEE

,,,

,,,

,,,

~~~

~~~

~~~

β

α

β

(5.2.27)

Lo cual muestra que sólo necesitamos dos ecuaciones, las demás no son independientes. Al

final, tenemos que los coeficientes de amplitud para incidencia oblicua serán:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

oRoI

oToI

EE

EE

,,

,,

~~

~2~

βαβα

βα (5.2.28)

Donde, como se observa, comparando estos con los encontrados para la incidencia normal, se

encuentra un α donde antes se encontraba un 1. Lo cual es también demostrable si el ángulo de

incidencia es nulo.

3. ÁNGULO DE BREWSTER

Se define el ángulo de Brewster como aquel ángulo de incidencia donde la onda reflejada sólo

puede ser perpendicular al plano de incidencia.

zx

Medio 1

Medio 2

ε ,µ1 1

θR

θI

Figura (5.2.5)



144

Para el caso de ondas EM, no se tiene onda reflejada, ya que al ser estas, ondas transversales,

siempre habrá un campo dentro del plano de incidencia. Entonces, se debe pedir que,

0~, =oRE ⇔ βα = (5.2.29)

Según nuestras definiciones, esto es:

( )( ) 22

11

,coscos

cc

BI

T

µµ

θθ

= ⇒ ( )( )

( )( )BI

BI

BI

T cc

,2

,2

2

1

2

,2

22

cos

sin1

coscos

θ

θ

θθβ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

== (5.2.30)

Operando,

( )

( )BI

BIcc

,2

,2

2

1

2

2

sin1

sin1

θ

θβ

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

= ⇒ ( ) 1sin 22

1

22,

2 −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ββθ

cc

BI ⇒

⇒ ( ) 11sin 22

2

12

2,

2 −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− β

µµ

ββθ BI ⇒

⇒ ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2

2

14

22

,2 1sin

µµβ

ββθ BI (5.2.31)

Si tomamos la aproximación de que las permisividades magnéticas no varían mucho de medio a

medio (no trabajamos con ferro magnetos), entonces,

( ) ( )[ ]

( )( )( )11

11

1sin 22

22

4

22

,2

+−−

=−−

≅ββ

βββββθ BI ⇒ ( ) ( )1

sin 2

2

,2

+=

ββθ BI

⇒ ( ) ( )1cos1 2

2

,2

+=−

ββθ BI ⇒ ( ) ( )1

1cos 2,2

+=

βθ BI

De aquí, que muchas veces la definición del ángulo de Brewster se da por la identidad siguiente.

( )2

1,tan

cc

BI ≅= βθ (5.2.32)

5.3. POLARIZACIÓN Y DIFRACCIÓN

Ya hemos establecido que la luz se puede tratar como una onda EM transversal. Hasta ahora

sólo hemos considerado luz linealmente polarizada, es decir, para que la orientación del campo

sea constante, aunque su magnitud y signo varían con el tiempo. Ese plano fijo contenía tanto a

E como a K . Ahora analizaremos el caso más general donde el plano de vibración no

necesariamente está fijo en el espacio.



145

5.3.1. Polarización lineal, circular y elíptica

El tema a tratar es: en que dirección y como varía en el tiempo el plano de vibración de una

onda. Podemos representar dos perturbaciones ortogonales monocromáticas de igual frecuencia

correspondientes a dos ondas planas viajando en el mismo sentido como:

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

−

−

j

i

ˆ~,~

ˆ~,~

,2

,1

tzKiyo

tzKixo

eEtzE

eEtzEω

ω

(5.3.1)

Donde se tomaron a los ejes cartesianos de manera de coincidir con las direcciones de

oscilación. De esta manera, la perturbación resultante es una onda plana resultado de la

superposición de las anteriores.

El proceso resulta en una onda con cierta polarización, aunque, siempre podemos descomponer

una onda en sus componentes y logrando así el proceso inverso al que elegimos.

Comencemos analizando la polarización lineal de una onda plana. La onda con dicha

polarización debe tener un plano de vibración fijo, por lo que (5.3.1) sólo puede producir una

superposición de este tipo si, al tomar las partes reales, se cumple:

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

−=

j

iˆcos~,

ˆcos,

,

,

ϑω

ω

tzKEtzE

tzKEtzE

yoy

xox (5.3.2)

Donde, las perturbaciones se encuentran sobre los ejes coordenados y la fase ϑ representa la

fase relativa entre las dos, por lo que debe ser múltiplo de π . Esto, ya que:

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

−

−

j

i

ˆ~,~

ˆ~,~

,2

,1

tzKiyo

tzKixo

eEtzE

eEtzEω

ω

⇒ ( ) [ ] ( )tzKiiyo

ixoTot eeEeEtzE yx ωϑϑ −+= ji ˆˆ,

~,, ⇒

⇒ ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−±=+−−

±=+−+=

πϑϑω

πϑϑω

12:sicosˆˆ2:sicosˆˆ

,,,

,,

ntzKEE

ntzKEEtzE

xyoxo

xyoxoTot

ji

ji (5.3.3)

Donde n sólo puede tomar valores enteros, y xy ϑϑϑ −= . Esto, debido a que es la única

manera de que la cantidad entre corchetes resulte constante.

Otro caso de especial interés, es cuando ambas perturbaciones poseen igual amplitud y cumplen

cierta condición en la fase, tal que el resultado es que el campo resultante cambia dirección en

forma circular; entonces se habla de polarización circular. Volviendo a nuestras expresiones,

( ) ( )

( ) ( )( ) [ ] ( )tzKii

yoi

xoTottzKi

yo

tzKixo eeEeEtzE

eEtzE

eEtzEyx ωϑϑ

ω

ω−

−

−

+=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=ji

j

i ˆˆ,~

ˆ~,~

ˆ~,~

,,

,2

,1 ⇒



146

⇒ ( ) ( )[ ] ( )xxy tzKiioTot eeEtzE ϑωϑϑ +−−+= ji ˆˆ,

~ (5.3.4)

Para que suceda polarización circular entonces, debemos pedir que la fase relativa se tal que:

( )2

12 πϑϑϑ −==− nxy (5.3.5)

De esta forma, al tomar las partes reales, tenemos,

( ) ( ) ( )[ ]xxoTot tzKtzKEtzE ϑωϑω +−±+−= sinˆcosˆ, ji (5.3.6)

Donde se observa claramente el comportamiento rotacional del campo, con una frecuencia ω

vista por un observador hacia quien la onda se dirige. Cuando el signo dentro del paréntesis

recto es positivo, la onda gira en forma horaria, y al contrario cuando el signo es negativo.

Basta reorientar los ejes para hacer desparecer la dependencia con la fase xϑ y ocuparnos

solamente de la diferencia de fases. De esta forma, queda claro que por la expresión (5.3.6), el

plano de vibración da un giro completo luego de una longitud de onda.

Otra conclusión que podemos llegar es que, una onda linealmente polarizada puede obtenerse de

de dos ondas con polarización circular opuesta de igual amplitud. Por ejemplo, podemos sumar

las correspondientes a (5.3.6).

( ) ( )[ ]xoTot tzKEtzE ϑω +−= cosˆ2, i (5.3.7)

La última descripción es la de ondas de polarización elíptica. Por lo que a la descripción

matemática se refiere, tanto a la luz polarizada linealmente como circularmente se la puede

considerar como casos particulares de esta polarización. Por ello queremos decir que en general

el campo girará y cambiará su magnitud en el plano perpendicular al vector de ondas.

Recordando,

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

−

−

j

i

ˆ~,~

ˆ~,~

,2

,1

tzKiyo

tzKixo

eEtzE

eEtzEω

ω

⇒ ( ) ( )[ ] ( )xxy tzKiioTot eeEtzE ϑωϑϑ +−−+= ji ˆˆ,

~ (5.3.8)

Que tomando ejes tales que sólo tengamos que considerar la fase relativa,

( ) [ ] ( )tzKiioTot eeEtzE ωϑ −+= ji ˆˆ,

~ (5.3.9)

La ecuación que queremos hallar, es la que describe el campo en el plano perpendicular a K ,

por lo que debemos deshacernos de la parte temporal. Para esto, tomamos:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+−=

−=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

−

−

j

i

j

i

ˆcos,

ˆcos,

ˆ~,~

ˆ~,~

,

,

,

,

ϑω

ω

ω

ω

tzKE

tzE

tzKE

tzE

eEtzE

eEtzE

yo

y

xo

x

tzKiyoy

tzKixox

(5.3.10)



147

Desarrollando el coseno de la última expresión,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϑωϑωϑω sinsincoscoscos tzKtzKtzK −−−=+− (5.3.11)

Tenemos, que al combinarlas,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϑωϑ sinsincos,,

,,

tzKE

tzEE

tzE

xo

x

yo

y −−=− (5.3.12)

Y como de la primer ecuación de (5.3.10) se deduce que:

( ) ( ) ( )tzKtzK

EtzE

xo

x ωω −−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 22

2

,

sin1cos, (5.3.13)

Entonces,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϑϑ 2

2

,

2

,,

sin,1cos,,⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

xo

x

xo

x

yo

y

EtzE

EtzE

EtzE

⇒

⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϑϑ 2

,,

2

,

2

,

sincos,,2

,,=−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

yo

y

xo

x

yo

y

xo

x

EtzE

EtzE

EtzE

EtzE

(5.3.14)

La cual es la ecuación de una elipse que hace un ángulo υ respecto del sistema coordenado

( )yx EE , , tal que:

( ) ( )2

,2

,

,, cos22tan

yoxo

yoxo

EEEE−

=ϑ

υ (5.3.15)

La relación (5.3.14) debería ser más reconocible si los ejes principales de la elipse estuvieran

alineados con los ejes coordenados, o sea, para:

( )2

12 πϑ −= n (5.3.16)

En cuyo caso tendríamos,

( ) ( )1

,,2

,

2

,

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

yo

y

xo

x

EtzE

EtzE

Además, si,

222,, oyxoyoxo EEEEEE =+⇒== (5.3.17)

Lo cual, de acuerdo a nuestros resultados previos, es un círculo. Se observa entonces que se

pueden recuperar todas las conclusiones antes encontradas. El campo resultante de estas

consideraciones es:

( ) [ ] ( )tzKioTot eiEtzE ω−±= ji ˆˆ,

~ (5.3.18)



148

5.3.2. Polarizadores

Estamos ahora en posición de referirnos a una onda particular en términos de su estado

específico de polarización. Diremos que la luz linealmente polarizada está en un estado P ,

mientras que la circular en uno R (Right) o L (Left), según sea el caso de cómo esté rotando, y

así mismo la elíptica en E.

Una fuente de luz natural consiste en un número muy grande de emisores orientados al azar.

Cada átomo excitado emite un tren de onda polarizado durante aproximadamente s810−≈∆t .

Todas las emisiones con igual frecuencia se combinarán para dar una onda polarizada que no

persiste más de s810−≈∆t . Como se están generando nuevos trenes de onda casi

constantemente, el estado de polarización cambia en una forma totalmente impredecible.

El siguiente paso lógico, luego de entender la polarización, es desarrollar alguna idea acerca de

las técnicas necesarias para generar, cambiar y manipular la polarización. Un aparato óptico

cuya entrada es luz natural y cuya salida es alguna forma de luz polarizada, es llamado

razonablemente, un polarizador.

Un tipo de polarizador comúnmente usado es el que realiza polarización por dicroísmo, o sea,

absorción selectiva. En el sentido amplio del término, la absorción se da selectivamente para

una de las 2 componentes ortogonales del estado P . Por ejemplo, se puede construir en forma

de rejillas paralelas conductoras, de forma que la componente paralela a las rejillas del campo

incidente acelera los electrones constituyentes, y así, pierde intensidad (dependiendo de la

cantidad de líneas).

Un polarizador lineal ideal deja pasar inalterada la luz que se encuentra en el estado que

corresponde con el polarizador, y ninguna otra. Si suponemos dos polarizadores idénticos pero

girados uno respecto del otro un ángulo θ , por el último, el campo pasante será:

( )θcosoEE = (5.3.19)

Que para ondas EM, se traduce a una intensidad de:

( ) ( )θεθ 22 cos2 oEcI = (5.3.20)

Este resultado es conocido con el nombre de la ley de Malus, y cuantifica cuanto de la onda

pasa a través del polarizador.

Otra forma de polarizar una onda, como ya se vio, es mediante la incidencia sobre una

superficie sin carga libre, bajo el ángulo de Brewster (ver la sub-sección ÁNGULO DE



149

BREWSTER). De esta forma logramos que las ondas reflejadas sean solamente

perpendiculares respecto del plano de incidencia.

( )2

1,tan

cc

BI ≅= βθ (5.2.32)

Los coeficientes de amplitud encontrados en la sección anterior, fueron:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

oRoI

oToI

EE

EE

,,

,,

~~

~2~

βαβα

βα (5.2.28)

Los que corresponden al caso donde el campo eléctrico es paralelo al plano incidente. Ahora,

expresándolos en función de los ángulos,

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

=

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==

IT

IT

IT

I

oI

oR

oI

oT

cc

cc

cc

EE

EE

θθ

θθ

θθ

θτ

βαβα

βατ

coscos

coscos

coscos

cos2

~~

2~~

2

1

2

1

2

1

,

,

,

,

//

//

//

//

rr (5.3.21)

Como por la ley de Snell tenemos:

( )( )T

Ic

cθθ

sinsin

2

1 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ (5.3.22)

Entonces,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−

=

+=

IITT

IITT

IITT

TI

θθθθθθθθ

θθθθθθτ

cossincossincossinsincos

cossincossinsincos2

//

//

r

⇒

( ) ( )( ) ( )

( )( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−

=

−+=

TI

TI

TITI

TI

θθθθ

θθθθθθτ

tantan

cossinsincos2

//

//

r

(5.3.23)

Luego, el coeficiente //r se anula cuando los ángulos incidente y transmitido son iguales. Esta

es otra condición que se satisface para el ángulo de Brewster21.

5.3.3. Difracción

No hay distinción física significativa entre interferencia y difracción. Sin embargo, es común

aunque no siempre apropiado, hablar de interferencia cuando se está considerando la

superposición de solamente unas pocas ondas, y difracción cuando se habla de una gran número

21 Para observar una deducción más completa de los coeficientes de amplitud desde el punto de vista de las condiciones de frontera electromagnéticas, referirse: “Óptica” HETCH – ZAJAC.



150

de ondas. En general, se dice que hay difracción si para una onda en el transcurso del

encuentro con un obstáculo transparente u opaco se altera una región del frente de onda en

amplitud o fase. Con las técnicas que hemos desarrollado el progreso de un frente de onda o de

cualquier porción de ella a través del espacio presumiblemente se puede determinar. En

cualquier momento particular, la forma del frente de onda se supone que es la envolvente de las

onditas secundarias. El principio de Huyghens-Fresnel establece que cada punto sin

obstrucción de un frente de onda, en un instante de tiempo dado, sirve como una fuente de

onditas secundarias esféricas (de igual frecuencia que la primaria). La amplitud del campo

óptico en cualquier instante posterior es la superposición de todas estas onditas. La técnica, sin

embargo, es deficiente al calcular los frentes difractados.

En esta sección desarrollaremos la teoría escalar de la difracción de Kirchhoff. Aquí, nos

interesamos en la perturbación óptica escalar y sus derivadas sobre una superficie arbitraria

cerrada que rodea al punto donde queremos calcular el frente.

Suponemos que un análisis de Fourier puede separar a las frecuencias constitutivas de tal

manera que sólo necesitamos manejar una de tales. La perturbación óptica monocromática E es

una solución de la ecuación diferencial de onda

2

2

22 1

tE

cE

∂∂

=∇ (5.3.24)

Utilizando separación de variables, escribimos:

( ) ( ) tiertrE ω−=E~,~ (5.3.25)

Por lo que la ecuación de onda se transforma en la ecuación de Helmholtz,

0~~ 22 =+∇ EE K (5.3.26)

Hagamos una pausa, para llegar a la segunda identidad de Green, la cual será de utilidad para la

teoría de Kirchhoff.

Sean dos campos diferenciables escalares φ y ϕ ; entonces, se cumple la siguiente identidad

diferencial:

( ) ( ) ( ) ( )φϕφϕφϕ 2∇+∇⋅∇=∇⋅∇ (5.3.27)

Ahora, si intercambiamos los mismos y restamos las ecuaciones resultantes, tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )ϕφφϕϕφφϕ 22 ∇−∇=∇⋅∇−∇⋅∇ (5.3.28)

Integrando esta expresión en un volumen arbitrario cerrado, y utilizando el teorema de la

divergencia,

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∫ ∇−∇=⋅∇−∇VS

dVdS ϕφφϕϕφφϕ 22n (5.3.29)

Este resultado es conocido por el nombre de segunda identidad de Green.



151

Volviendo a nuestro cometido, unos de los campos escalares necesarios para (5.3.29), lo

tomaremos como la perturbación escalar que queremos hallar E. Para el segundo, utilizamos

una perturbación, solución de la misma ecuación de Helmholtz, conocida. Sea esta la

correspondiente a una fuente puntual ubicada en or . Entonces, la expresión para la misma es:

( )o

rrKi

rrer

o

−=

−

ψ~ (5.3.30)

De forma que esta perturbación no diverja, debemos obviar el punto or del volumen de

integración (si or no pertenece a la región de integración, no hay divergencia).

r

ro

oρ

S

S’

nS

nS

nS’

Figura (5.3.1)

Extraemos entonces una superficie, como en la figura, de radio ε centrada en la fuente puntual.

Como las dos perturbaciones satisfacen la ecuación de Helmholtz, entonces el segundo miembro

de la identidad de Green se anula, quedando sólo la integral de superficie.

( ) ( )[ ] 0ˆ =⋅∇−∇∫TotalS

dSnEE ψψ (5.3.31)

Donde,

( ) ooo

rrKi

oo

rrKi

o

rrKi

errrr

err

er −−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∇+

−∇

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∇=∇

1~ψ ⇒

⇒ ( ) ( )orrKi

oo

o eKirrrr

rrr −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

−−=∇

1~2ψ (5.3.32)

Haciendo un cambio de variables orr −=ρ ,

( ) ρ

ρρρψ ⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=∇ KieKir 1~

2 (5.3.33)

Luego, tenemos:

[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0ˆˆˆ'

=⋅∇−∇+⋅∇−∇=⋅ ∫ ∫∫S S

SSS

dSdSdSTotal

nnn EEEE ψψψψ



152

Ahora analicemos la integral de superficie interna,

( ) ( )[ ]

( )∫

∫∫

Ω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅∇−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

=Ω⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⋅∇−∇

⋅⋅

⋅⋅

'

22

'

22

'

ˆˆ1

ˆ1ˆ

SS

Ki

S

Ki

SS

KiKi

SS

deKie

deiKedS

εε

εεε

ε

εε

εεε

ψψ

εε

εε

nn

nn

EE

EEEE

Además,

εε −=⋅ sn ⇒ ( ) ( )∫∫ Ω−=Ω⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ⋅

⋅

''

22 1ˆ1

S

Ki

SS

Ki

dKiedKie εεεεεε

εε

EE n

rr een ˆˆˆ −⋅∂∂

=⋅∇rsEE ⇒ ∫∫ Ω

∂∂

=Ω⋅∇⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ⋅

⋅

''

2ˆS

Ki

SS

Ki

dr

ede εεε

εε EE n

Combinando estos resultados, tenemos:

( ) ( )[ ]∫ ⋅∇−∇'

ˆS

S dSnEE ψψ ⇒

⇒ ( ) ( ) ∫∫∫ Ω∂∂

+Ω−= ⋅⋅

'''

1S

Ki

S

Ki

S

dr

edKie εεε εε EE (5.3.34)

Como nos interesa todo el volumen inicial de integración, el paso a seguir es el de tomar límites

para la superficie interna para cuando 0→ε , e igualar el resultado a la integral en S.

Observando (5.3.34), vemos que como,

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂⋅

⋅

re

e

Ki

Ki

EE

ε

εε, son acotadas para 0→ε

Por lo que la única sobreviviente es:

[ ] ( )∫∫ Ω= ⋅

→→'

0'

0limlim

S

Ki

S

dedS ε

εεεE (5.3.35)

Para una integral de una superficie esférica, se cumple (en coordenadas esféricas)

( ) φθθ ddd sin=Ω (5.3.36)

Y como,

1lim0

→⋅

→

ε

ε

Kie

Tenemos que la integral de superficie sobre S’ resulta en:

[ ] ( ) ( )oS

oS

rdrdS EE πε

4lim''

0=Ω= ∫∫→

(5.3.37)



153

Ahora, esta integral es igual a la correspondiente integral sobre la superficie S, por lo que

concluimos que se cumple:

( ) ( )∫ ⋅⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∇−

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∇=

−−

Ss

oS

rrKi

oS

rrKi

So dSrr

err

erroSoS

n41 EEEπ

(5.3.38)

Donde oS rr − barre la superficie S. Esta integral constituye la integral de Kirchhoff, y

mediante la misma podemos reconstruir el frente de onda en cualquier punto or luego de que

sufriera una dispersión en algún punto de S.

5.3.4. Aproximación de Fresnel-Kirchhoff

Utilicemos la integral de Kirchhoff para obtener expresiones para estas difracciones.

Supongamos entonces, que llega un frente de onda plano monocromático a la superficie S,

donde se encuentra una abertura, que notaremos por VS , como en la siguiente figura.

x

y

z

SSV

SP

roK zo

Figura (5.3.2)

El frente de onda, es un campo escalar tipo ( )rφ y la abertura VS puede tener cualquier forma.

Las condiciones de frontera a pedir para este campo son:

En VS : ( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂

=∂∂

=

+−

+−

0,,ˆ

0,,ˆ

0,,0,,

yxn

yxn

yxyxφφ

φφ (5.3.39)

O sea, que queremos que el campo sea continuo al atravesar la abertura.

En PS : ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=∂∂

=

00,,ˆ

00,,

yxn

yxφ

φ y en S :

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂

≠∂∂

≠

+−

+−

0,,ˆ

0,,ˆ

0,,0,,

yxn

yxn

yxyxφφ

φφ (5.3.40)

Tal que la pared PS sea opaca para el campo, aunque no necesariamente para S .



154

Ahora, si usamos la integral de Kirchhoff, debemos tener en consideración las tres superficies.

Como en PS el campo es nulo, la integral resultante es solamente en las dos superficies

restantes. Ya que la contribución que nos interesa tratar es la de la abertura, podemos extender

la superficie S hasta infinito, y vemos que esta contribución también se elimina.

( ) ( )∫+

−−

⋅⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∇−

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∇=

V

oSoS

SSs

oS

rrKi

oS

rrKi

So dSrr

err

err n41 φφπ

φ ⇒

⇒ ( ) ( )∫+

−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∂∂

=V

oSoS

SS oS

rrKi

oS

rrKi

So dSnrr

err

en

rr φφπ

φ41

(5.3.41)

Cuando la superficie S tienda a infinito, la abertura se verá como un foco puntual, por lo que

tendremos R1∝φ . Tendremos esta misma proporcionalidad para la exponencial compleja, lo

cual hará, que los término entre corchetes sean de un orden mayor que el diferencial de área,

haciendo que la integral sobre S sea despreciable. Entonces,

( ) ( )∫⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∂∂

−=−−

V

oSoS

S oS

rrKi

oS

rrKi

So dSzrr

err

ez

rr φφπ

φ41

(5.3.42)

Ahora,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222ooooSoooo zyyxxrrzzyyxxrr +−+−=−⇒−+−+−=−

Y,

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=

−+

−−=

=−

−∂∂

−−

−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∂∂

−−−

−

=

−

==

−

iKrrrr

ezrr

ezrr

ezKi

rrezz

zrrerr

zKi

rre

z

oSoS

rrKi

ooS

rrKi

ooS

rrKi

o

oS

rrKi

zo

oS

rrKi

zo

zo

rrKi

oSoSoS

oSoSo

1

21

232

30

2

00

Como el frente de onda incidente suponemos es plano, el campo sobre VS todavía se puede

escribir, como un frente plano dado por:

( ) zKio ezyx φφ =,,~

(5.3.43)

Entonces, (5.3.42) resulta en:

( ) ∫⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∂∂

−=−−

V

oSoS

So

oS

rrKi

oS

rrKi

oo dSiKrr

err

ez

r φφπ

φ41

⇒

⇒ ( ) ∫⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−=

−−

V

oSoS

S oS

rrKi

oSo

oS

rrKio

o dSiKrr

err

iKzrr

er 14 2πφφ (5.3.44)



155

Como λπ2=K , para óptica, y aún para acústica, esta cantidad es mucho mayor que

oS rr −1 , lo cual nos permite despreciar este termino para nuestros propósitos. Luego, se

puede escribir en forma diferente observando que el cociente entre oz y orr − , no es más que

el coseno del ángulo cenital. Entonces, tenemos:

( ) ( )[ ]∫ ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=

−

V

oS

S oS

rrKio

o dSrr

eir θλφφ cos12

(5.3.45)

Donde φ puede ser cualquier campo escalar que cumpla con las hipótesis. A esta ecuación se la

conoce por el nombre de integral de Fresnel – Kirchhoff. El factor direccional ( )θcos1+ es el

que logra resolver el problema de la propagación del frente que sufría la teoría de Huyghens.

5.3.5. Difracción de Fresnel y Fraunhoffer

Utilicemos la ecuación (5.3.45) en la aproximación paraxial, en la forma:

( ) ( )[ ]∫ ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−

S

rrKi

dydxrr

eyxizyx '''

0,','2

,,'

φλ

φ (5.3.46)

Toda la óptica y la acústica, parten de esta ecuación para calcular frentes difractados

paraxialmente ( 1<<θ ). Nosotros, analizaremos los casos para el campo cercano y el lejano. O

sea, cuando se cumple que:

Campo cercano: Sz ≅

Campo lejano: Sz >>

Para el campo cercano, podemos aproximar

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒−+−

+=+−+−=−

≅

2

22222 ''1'''

zyyxxzzyyxxrr

Sz

⇒ ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≅−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−+≅−

zrr

zyyxxzKrrK

'

2''1' 2

22

(5.3.47)

Por lo que sustituyendo,

( ) ( )[ ]( ) ( )

∫⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+−

S

zyyxxKi

zKi dydxz

eyxeizyx ''0,','2

,,2

'' 22

φλ

φ ⇒



156

⇒ ( )( )

( )[ ]( ) ( )

∫ ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≅+

−++

S

zyyxxKi

zyxKi

zyxKizKi

dydxeeyxez

eizyx ''0,','2

,,''

2''

2

2222

φλ

φ (5.3.48)

La cual es la expresión que toma el campo cerca de la abertura, llamada, difracción de Fresnel.

Para el campo lejano, podemos aproximar

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒−+−

+=+−+−=−

>>

2

22222 ''1'''

zyyxxzzyyxxrr

Sz

⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≅−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

++≅−

zrr

zyyxx

zyxzKrrK

'

''2

1' 22

22

(5.3.49)

Por lo que sustituyendo,

( ) ( )[ ]( ) ( )

∫⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+−

S

zyyxxKi

zKi dydxz

eyxeizyx ''0,','2

,,2

'' 22

φλ

φ ⇒

⇒ ( )( )

( )[ ]( )

∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≅+

−+

S

zyyxxKi

zyxKizKi

dydxeyxez

eizyx ''0,','2

,,''

2

22

φλ

φ (5.3.50)

La cual es la expresión que toma el campo cerca de la abertura, llamada, difracción de

Fraunhoffer. Esta expresión puede escribirse levemente diferente, observando que la integral

no es más que la transformada de Fourier en dos dimensiones del campo sobre S.

( )( )

( )[ ]

( )( )[ ]∫∫

∫−−+

−−+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≅

''0,','2

''0,','2

,,

'2'22

''2

22

22

dyedxeyxez

ei

dydxeeyxez

eizyx

zyyi

zxxi

zyxKizKi

S

zyyKi

zxxKi

zyxKizKi

λπ

λπ

φλ

φλ

φ

(5.3.51)

Que como se observa, no es más que la transformada integral de cada coordenada cartesiana.

Entonces, la transformada integral bidimensional, es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vyuxvyuxi

vu yxfyxfeyxfdydxyxf ,,,, 2, ℑℑ==ℑ +−

+∞

∞−

+∞

∞−∫∫ π (5.3.52)

Para nuestro caso, tenemos:

( )( )

( ) z

yz

xzyxKizKi

yxez

eizyxλλ

φλ

φ ,2 0,',',,

22

ℑ=+

(5.3.53)

Esta expresión resulta mejor a la hora de computar un problema en particular, ya que lo

importante pasa a ser calcular la transformada de Fourier del campo en el plano de la pupila.



157

Esta última expresión, forma parte del teorema fundamental de la óptica de Fourier, que dice:

La distribución de amplitud en el plano focal de un sistema óptico es la Transformada de

Fourier de la distribución de amplitud en el plano de la pupila del sistema.

A modo de ejemplo, calculemos el frente de ondas plano luego de atravesar una ventana

rectangular. Ya que a la hora de realizar medidas experimentales lo que interesa es la intensidad,

tenemos que,

( )( )

( ) 2

,22 0,','1,,

zy

zxyx

zzyxI

λλφ

λφ ℑ=∝ (5.3.54)

Por lo que basta calcular la transformada de Fourier para resolver el problema.

x

y

z

S

SP

roK zoa/2

b/2

Figura (5.3.3)

Entonces, sea el campo escalar tal que:

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

∉∈

=SyxSyx

yx o

','si0','si

0,','φ

φ (5.3.55)

Luego,

( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ℑ+−

+

−

+

−∫∫

yyxxz

ib

b

a

ao

zy

zx edydxyx

''22

2

2

2

, ''',' λπ

λλφφ (5.3.56)

Como,

( ) ( )

( ) ( )

⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=−

−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ℑ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=−

−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ℑ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−+

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−+

−

∫

∫

zy

zyb

zyi

eeedyyx

zx

zxa

zxi

eeedxyx

bzyib

zyi

yyz

ib

bzyy

azxia

zxi

xxz

ia

azxx

λπ

λπ

λπ

φ

λπ

λπ

λπ

φ

λπ

λπ

λπ

λ

λπ

λπ

λπ

λ

sin

2'','

sin

2'','

22

22

'22

2

22

22

'22

2

⇒ ( ) z

yz

yb

zx

zxa

yx oz

yz

x

λπ

λπ

λπ

λπ

φφλλ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

=ℑsinsin

',' , (5.3.57)



158

Entonces, la intensidad en un punto ( )zyx ,, alejado de la ventana, será:

( ) 2

2

2

2

2

2 sinsin

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∝

zy

zyb

zx

zxa

zI o

λπ

λπ

λπ

λπ

λφ

(5.3.58)

De manera semejante, podemos calcular la intensidad para una obstrucción circular.

5.4. ÓPTICA DE RAYOS

En los capítulos anteriores se ha estudiado la propagación de ondas EM tanto en el vacío como

en los medios materiales lineales e isótropos. En ambos casos se ha encontrado una solución

básica sencilla de las ecuaciones de Maxwell para describir el comportamiento del campo EM:

la onda plana. Esto fue posible, debido a que el medio en todos esos casos se consideró

homogéneo, es decir, con las mismas propiedades en todos sus puntos. Cuando un medio

material no cumple esta condición, se habla de medios inhomogéneos. En los medios materiales

inhomogéneos, la solución rigurosa de la ecuación de ondas es bastante más complicada; pero

en muchas ocasiones se puede usar una aproximación que simplifica el tratamiento. Esta es

suponer que el medio es homogéneo en una región del tamaño de la longitud de onda. Por ello

es frecuente hablar de propagación de la luz en el caso límite en que 0→λ . Bajo estos

supuestos, se verá que la luz puede analizarse por medio de rayos, los cuales se tratan

esencialmente por medio de la geometría, de ahí, el nombre de aproximación geométrica.

5.4.1. Onda localmente plana

En el caso de una onda real, que se pueda considerar plana sólo aproximadamente, en general la

amplitud es función de las coordenadas y del tiempo, y la fase no tiene una forma tan sencilla

como la onda plana. Esto lo hacemos explícito escribiendo:

Onda monocromática plana Onda no plana

( ) ( )trKieAtr ωψ −⋅=~,~ ( ) ( ) ( )trietrAtr ,,~,~ Γ=ψ (5.4.1)

La aproximación geométrica, constituye el tomar la onda no plana como localmente plana. La

magnitud ( )tr ,Γ es llamada eikonal (imagen en griego), y debe ser una magnitud grande que

varíe en π2 en un intervalo muy pequeño como es λ , y desempeña el papel de una fase. En

estas condiciones se puede introducir las superficies de onda, de manera análoga a como se

hizo previamente, definiéndolas como aquellas en que todos los puntos de igual fase cumplen

( ) ., ctetr =Γ . El concepto de rayo, se deduce directamente, como la dirección perpendicular a

estas superficies (frentes de onda), o sea Γ∇Γ∇ . Al estudiar la luz por medio de rayos,

obviamos su comportamiento ondulatorio.



159

Las consideraciones anteriores pueden resumirse analíticamente en la forma siguiente, al

desarrollar la fase en serie de pequeños incrementos espacio-temporales, y quedarnos con la

parte lineal del desarrollo;

( ) ( ) ( ) tt

rtrtro

ooo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Γ∂

+⋅Γ∇+Γ≅Γ ,, (5.4.2)

Si ahora se compara con la fase de la onda plana,

( ) ϑωϕ +−⋅= trKtr , (5.4.3)

Entonces, la condición ( ) ( )trtr ,, Γ=ϕ , suponiendo que las derivadas se toman en el origen

local, implica que:

( ) ( )trrk ,Γ∇= ( ) ( )t

trt∂Γ∂

−=,ω (5.4.4)

Donde se pone de manifiesto que el vector de onda así definido varía en el espacio, y la

frecuencia hace otro tanto en el tiempo. La primera ecuación, expresa la condición de que la

dirección de propagación de la onda no plana, debe coincidir con el vector de onda ( )rk de la

onda plana a la que se aproxima en el punto r .

En el caso importante de una onda localmente plana que sea monocromática, el eikonal o fase

de la onda se puede escribir separando las variables de espacio y tiempo como:

( ) ( ) trLKtr o ω−=Γ , (5.4.5)

Donde cKo ω= , y el eikonal está determinado por la magnitud ( )rL que tiene dimensiones

de longitud, y que, por razones que se verán posteriormente, recibe el nombre de camino óptico.

En este caso, la primera de las ecuaciones (5.4.4) transforma en,

( ) ( )oKrkrL =∇ (5.4.6)

5.4.2. Ecuaciones fundamentales

Ahora, derivaremos la ecuación (5.4.6) a partir de la ecuación de ondas, la cual le dará un

significado más general a las componentes de la misma.

Al trabajar con una onda localmente plana monocromática, la ecuación a verificar será la de

Helmholtz modificada. Esto es:

( ) ( ) ( )[ ]trLKi oetrAtr ωψ −= ,~,~ ⇒ 0~~ 22 =+∇ ψψ k (5.4.7)

Entonces, comencemos a calcular las derivadas necesarias.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]trLKitrLKi oo etrAietrAtr ωωψ −− Γ∇+∇=∇ ,~,~,~ ⇒



160

⇒ ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] trLKi oetrAtrAtr ωψψ −Γ∇+∇⋅∇=∇=∇⋅∇ ,~,~~,~ 2 ⇒

⇒ ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]trLKi oeAAiAiA ωψ −Γ∇−Γ∇+Γ∇⋅∇+∇=∇ 2222 ~~~2~~

Sustituyendo en (5.4.7),

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] 0~~2~~~ 2222 =Γ∇+Γ∇⋅∇++Γ∇−∇ − trLKi oeAAiAkAA ω (5.4.8)

Como esta ecuación se debe cumplir para todo punto del espacio y tiempo, debemos tener que

cada miembro entre paréntesis recto sea nulo. Por lo que,

( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=Γ∇+Γ∇⋅∇

=+Γ∇−∇

0~~2

0~~~

2

222

AA

AkAA ⇒

( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∇+∇⋅∇

=+∇−∇

0~~2

0~~

2

2

22

2

2

LALA

KkL

AKA

oo (5.4.9)

Ahora, como la eikonal varía muy rápidamente con el tiempo ( π2 en una longitud de onda), y

la amplitud lentamente, entonces tenemos,

22.

22

2 4~~1

~~

opropo xd

AdA

KA

Aλπ

<<⇔<<∇ (5.4.10)

En secciones posteriores, se observó que la velocidad de propagación de la luz se podía escribir

como:

µε12 =c (5.4.11)

El cociente entre la velocidad de la luz en un medio lineal e isotrópico y la velocidad en el

vacío, define el índice de refracción del medio n .

oo

oc

cµε

µε==n (5.4.12)

Ahora, redefinimos este cociente en forma más general (como se verá, mediante esta definición

se recupera la antigua) como:

( )

oKrk

=n (5.4.13)

Por lo que (5.4.9) resulta en:

( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=Γ∇+Γ∇⋅∇

=∇

0~~2

n2

22

AA

L (5.4.14)

De la primera, se obtiene nuevamente (5.4.6), que es la ecuación de los rayos que queremos

hallar. Pero, antes de resolverla en términos de coordenadas, pasemos a analizar la segunda

ecuación. Observando que el término corresponde a la igualdad diferencial,

( )[ ] ( ) ( ) ( )Γ∇+Γ∇⋅∇=Γ∇⋅∇ 222 ~~~2~ AAAA (5.4.15)



161

Entonces, se tiene que utilizando el teorema de la divergencia, la igualdad se convierte en una

ley de conservación, ya que:

( )[ ] ( )[ ] 0ˆ0~ 22 =⋅Γ∇⇒=Γ∇⋅∇ ∫S

dSAA n

( ) ( )⇒==∇ un

oKrkrL ( )[ ] 0ˆˆn2 =⋅∫

So dSKA nu (5.4.16)

Donde el versor u es el versor de propagación. Entonces, tenemos para la figura siguiente,

u

L1 L2

δS1

δS2

Figura (5.4.1)

Que vale,

222211

21 nn SASA δδ = (5.4.17)

Como la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud, entonces esto no es

más que la conservación de la energía. A esta, se la conoce por la ley de intensidad de la óptica

geométrica.

Volviendo ahora a la primera ecuación, queremos llegar a expresarla de forma que esta sea más

sugerente a la hora de calcular el camino óptico. Para eso, comenzamos observando que si u es

el versor de propagación, este debe poder escribir como la dirección de la tangente a todo punto

del camino, o sea:

dsrd=u (5.4.18)

Sustituyendo,

( ) ( ) ( )[ ] ( )uu ˆnˆnsd

dsd

rLdK

rkrLo

=∇

⇒==∇ (5.4.19)

Pero al operador dsd lo podemos escribir aplicando la regla de la cadena,

( )

∇⋅∇

=∇⋅=∂∂

+∂∂

+∂∂

=nL

sdrd

sdzd

zsdyd

ysdxd

xsdd (5.4.20)

Luego,

( )[ ] ( ) ( ) LL

sdd

sdrLd

∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∇==

∇n

ˆn u ⇒



162

⇒ ( ) LL

sdrd

sdd

∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∇=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

n (5.4.21)

Utilizando la identidad diferencial,

( ) ( )[ ]2

21 fff ∇∇=∇∇⋅∇ (5.4.22)

La ecuación (5.4.21) resulta en:

( )[ ] [ ] nnnn2

1n2

1n 22 ∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒∇=∇∇=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdrd

sddL

sdrd

sdd

(5.4.23)

La cual constituye la ecuación de los rayos, y su solución es el camino óptico.

5.4.3. Casos excepcionales

Analicemos un par de ejemplos para verificar el comportamiento de las soluciones de la

ecuación de rayos.

Si: .n cte= ⇒ .n0nn ctesdxd

sdrd

sdd i =⇒=∇=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⇒

⇒ iii bsax +=

Lo cual es obvio, ya que si no hay cambios en el medio, esperamos que el camino óptico no se

vea afectado, por lo que será siempre una línea recta.

Si: )(nn z= (modelo atmosférico simple) ⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠=∂∂

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3si0

0n

ixn

xn

sdxd

sdd

i

i

i

⇒

⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

0)(

)planomovimiento(0)(

dsdxzn

sdd

sy ⇒

⇒ ( ) .sin)(n)(n ctezdsdxz z == θ

Por lo que obtenemos la ley de la refracción o ley de Snell a partir de esta igualdad, con sólo

hallar la constante, lo cual se puede realizar evaluando el índice y el seno a una altura de

referencia.



163

6. ONDAS ACÚSTICAS

Las ondas acústicas que producen la sensación de sonido son parte de una variedad de

perturbaciones de presión que se pueden propagar a través de un fluido compresible. Las ondas

acústicas en fluidos son ondas longitudinales: las moléculas se mueven de uno a otro lado en la

dirección de propagación. El cambio de presión que ocurre cuando un fluido se expande o se

comprime es la única fuerza restauradora que tomaremos capaz de propagar una onda.

6.1. ECUACIONES LINEALES

Las moléculas de un fluido no tienen posiciones medias fijas; aún sin la presencia de una onda,

están en constante movimiento, con velocidades promedio mucho mayores que la asociada a la

propagación de la perturbación acústica. Sin embargo, se puede tratar a un pequeño elemento de

volumen (con un número estadísticamente grande de moléculas) como una unidad permanente

sin cambio. En consecuencia, microscópicamente hablando, podemos hallar variables acústicas

acordes a las restricciones imponibles. Estas son, que el fluido se comporte elásticamente (no

hay disipación, lo cual indica que el medio no será dispersivo), sea homogéneo, isotrópico y no

se tomará en cuenta la fuerza gravitacional. La teoría lineal exige que la amplitud de la onda sea

relativamente pequeña, de tal manera que los cambios de densidad serán pequeños en

comparación con sus valores de equilibrio.

6.1.1. La ecuación de estado

La ecuación de estado de un fluido, relaciona las fuerzas restauradoras internas con las

deformaciones correspondientes, como se hizo para cuerdas y osciladores (es una especie de ley

de Hooke). Como antes, se buscará una relación lineal la cual restringe el grado de la

deformación. Para medios fluidos, deben relacionarse tres cantidades físicas que describen el

comportamiento termodinámico del fluido ( )TP ,,ρ . Por ejemplo, la ecuación de estado de un

gas perfecto es:

TRVmPTRmTRnVPµµ

=⇒== ⇒ TRP ρ= (6.1.1)

Donde, µ es la masa molar del elemento, R es una constante, ρ la densidad instantánea y P la

presión.

Se puede lograr una mayor simplificación si el proceso termodinámico es restringido. Por

ejemplo, si el fluido está contenido dentro de un recipiente cuyas paredes tienen una alta

conductividad térmica, entonces variaciones lentas en el volumen, darán por resultado un

intercambio de calor con el exterior. De esta forma, tanto el fluido como las paredes



164

permanecerán a temperatura constante. En este caso se habla de un proceso isotérmico, y la

ecuación de estado que describe el proceso es la del gas ideal,

ooP

Pρρ

= (6.1.2)

Donde el subíndice cero indica el estado de equilibrio.

Por otro lado, se encuentra que los procesos acústicos son casi adiabáticos: hay un intercambio

insignificante de energía térmica (calor) entre las partículas del fluido. En estas conclusiones, es

la entropía del fluido la que permanece constante, por lo que el comportamiento del gas ideal

viene dado por:

γ

ρρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ooPP

(6.1.3)

Donde γ es la razón de los calores específicos. Esto significa, que la conductividad térmica del

fluido y los gradientes de temperatura de la perturbación deben ser lo suficientemente pequeños

para que no halla un flujo térmico significativo durante el tiempo de la perturbación.

Para fluidos diferentes a un gas ideal, la ecuación de estado para un proceso adiabático es más

complicada. En esos casos, es preferible establecer una relación experimental, la cual podemos

hallar, calculando los coeficientes de la expansión de Taylor de la presión en función de la

densidad a una temperatura dada.

( ) ( ) …+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+= 22

2

21

oo

oo

oPPPP ρρρ

ρρρ

(6.1.4)

Si las fluctuaciones son pequeñas, se necesitan sólo los términos lineales, lo cual es lo que nos

concierne. De esta forma, escribimos:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⇒−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

≅−o

o

ooo

oo

PPPPρρρ

ρρρρ

ρp (6.1.5)

Donde se definió la sobre presión oPP −=p . Si definimos además,

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

o

o

ooT

PB

ρρρ

ρρχ

s

,

(6.1.6)

Donde B es el módulo adiabático de volumen que depende de la temperatura del proceso y de

la composición del fluido, y s es llamada la condensación, la cual no es más que la rarefacción

relativa que sufre el fluido. Así entonces, la ecuación de estado linealizada resulta en:

sp B= (6.1.7)

Donde la restricción esencial es que 1<<s .



165

6.1.2. Ecuación de continuidad

Para relacionar el movimiento del fluido a su compresión o dilatación, necesitamos una relación

fundamental entre la velocidad de la partícula u y la densidad instantánea ρ . Si consideramos

la visión de Euler, supongamos para el estudio un volumen infinitesimal en forma de

paralelepípedo rectangular dzdydxdV = el cual está fijo en el espacio. La rapidez neta con

que la masa fluye a través de la superficie, debe ser igual que el incremento de masa dentro del

volumen. Con referencia a la figura siguiente,

z

x

yρux ρux+ ( )δ ρ

δux

x

Figura (6.1.1)

Tenemos:

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )

( )dzdydx

xuuudzdyuuflujo

zyx

xzyxxzyxxzydxxxzyxxin

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

−−≅−=+

,,,,,,,,,,

ρρρρρ

⇒ ( )

( )dV

xuflujo

zyx

xxin

,,, ∂

∂−=

ρ (6.1.8)

Expresiones similares se encuentran para las demás coordenadas. Por lo que el influjo total debe

ser,

( ) ( ) ( ) ( )dVudV

zu

yu

xuflujo zyx

in ρρρρ⋅−∇=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−= (6.1.9)

La rapidez con que la masa aumenta en el volumen es,

inin flujodV

ttm

=∂∂

=ρ

δδ (6.1.10)

Por lo que, la ecuación de continuidad de la masa es:

( ) 0=⋅∇+∂∂ u

tρρ

(6.1.11)

Nótese que esta ecuación no es lineal, ya que el segundo término es el producto de dos

variables. Sin embargo, si se escribe ( )s+= 1oρρ y se usa el hecho de que la condensación es

muy pequeña, tenemos,

( ) 0=⋅∇+∂∂ u

ts

(6.1.12)



166

Antes de pasar a hallar una ecuación dinámica, relacionemos la ecuación de continuidad lineal

con la de estado. Si integramos esta última ecuación respecto del tiempo,

( ) .ctedtut

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∇+

∂∂

∫s (6.1.13)

Como estas son variables respecto de la posición de equilibrio, si no hay perturbación no hay

variación, por lo que la constante debe ser nula. Observando además, que:

( ) ( )[ ]

( )[ ]⇒

⋅∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅∇=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅∇=⋅∇

=⋅∇+⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∇+

∂∂

∫∫∫

∫∫

ξξξ dtt

dtt

dtu

dtudtut

00 ss

⇒ ξ⋅−∇=s (6.1.14)

Donde ξ es el desplazamiento de las partículas respecto del equilibrio. Combinando con la

ecuación de estado,

sp B= ⇒ ξ⋅∇−= Bp (6.1.15)

6.1.3. Ecuación dinámica de Euler

En fluidos reales, la existencia de viscosidad y el hecho de que los procesos acústicos no son

procesos adiabáticos perfectos, introducen términos disipativos. Sin embargo, puesto que se han

pasado por alto los efectos de la conductividad térmica en la ecuación de estado, también se

ignoran los efectos de la viscosidad.

Considerando un elemento de fluido de masa dm como en la Figura (6.1.1), pero esta vez desde

el punto de vista de Lagrange (el elemento se mueve con el fluido). Entonces, de acuerdo a la

segunda ley de Newton, la fuerza que experimentará en esa dirección es,

[ ] dzdydxxPdzdydxxPxPdFx ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−≅+−= )()( (6.1.16)

Donde se supuso conocida la definición de presión, como fuerza por unidad de área. Además, es

claro que se encuentran expresiones análogas para las dos direcciones restantes, por lo que, ya

que la fuera es una cantidad vectorial, tenemos:

dzdydxzP

yP

xPFd ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

−= ,, ⇒ dVPFd −∇= (6.1.17)

La aceleración que esta le impone, es la derivada temporal absoluta de la velocidad, sólo que

ahora, la velocidad es una función de la posición también, por lo que al calcular la aceleración

debemos hacer explícito este comportamiento usando la regla de la cadena de derivadas.



167

( )

⇒

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

zu

yu

xuu

uzuu

yuu

xu

tu

tdzd

zu

tdyd

yu

tdxd

xu

tu

tdud

zyx

zyx

⇒ ( )uutu

tduda ∇⋅+

∂∂

== (6.1.18)

Entonces, como conclusión tenemos que la ecuación de movimiento de un fluido es:

admFd = ⇒ ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇⋅+

∂∂

=∇− uutuP ρ (6.1.19)

La cual es llamada ecuación de Euler del fluido.

A esta, la podemos expresar levemente diferente haciendo uso de la igualdad diferencial,

( ) ( ) ( )uuuuu ∇⋅−∇=×∇× 2

21

(6.1.20)

La cual nos permite observar el comportamiento rotacional del fluido, al sustituirla en la

ecuación de movimiento. Esto es

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×∇×−∇+

∂∂

=∇− uuutuP 2

21ρ (6.1.21)

A fin de que esta ecuación sea lineal, debemos expresar la densidad en función de la

condensación al igual que la presión en función de la sobre presión. O sea,

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇⋅+

∂∂

+=∇− uutu

o sp 1ρ

Como el término en la velocidad es cuadrático, en una aproximación lineal debemos siempre

despreciarlo, por lo que tenemos, finalmente,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∇−tu

oρp (6.1.22)

La cual es la ecuación de fuerza no viscosa. Si aplicamos el rotacional a esta ecuación, tenemos

que esta se anula, por lo que la velocidad como consecuencia es irrotacional. De esta forma,

podemos escribir que la misma deriva de un potencial de velocidad como:

uu Φ∇= (6.1.23)

De esta forma el último término en (6.1.21) se anula para fluidos no viscosos e irrotacionales.

Volviendo a (6.1.22),

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

+∇⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∇∂

=∇−tt

uo

uo ρρ pp (6.1.24)



168

La cantidad entre paréntesis se anula si no hay excitación acústica por lo que los sumandos son

idénticos. De esta forma, encontramos una nueva relación, pero entre la sobre presión y el

potencial de velocidad.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

−=t

uoρp (6.1.25)

6.1.4. Ecuación de onda lineal Tenemos 3 variables lineales de interés, que como veremos, satisfacen la ecuación de onda.

Estas son uΦy, sp . Comencemos con la ecuación de onda para la presión.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅∇=−∇=∇⋅∇−tu

oρpp 2 (6.1.26)

Usando (6.1.12), la ecuación de continuidad linealizada,

( ) 00 2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅∇+∂∂

⇒=⋅∇+∂∂

tu

tu

tss (6.1.27)

Obtenemos,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∇ 2

22

tosp ρ (6.1.28)

Ahora, usando la ecuación de estado linealizada, (6.1.7),

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∇ 2

22

tBo pp ρ ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∇ 2

2

22 1

tcpp (6.1.29)

La cual es la ecuación de onda tridimensional linealizada para perturbaciones de presión. Así

mismo, podíamos haber obtenido la ecuación de onda para s.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∇ 2

22

tBo ss ρ

Además, si se sustituye

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

−=t

uoρp

En la ecuación de onda de presión, y se integra en el tiempo, se encuentra también una ecuación

de onda para el potencial de velocidad.

En todas, la velocidad de propagación de la onda es:

o

Bcρ

=2 , con: o

o

ooadiabático

PPBρ

γρ

ρ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= (6.1.30)

La cual, con valores típicos, ronda en los 300 metros por segundo.



169

6.1.5. Ondas acústicas planas e impedancia acústica

Trataremos con los casos más simples, o sea las monocromáticas. Ya que cualquiera de las

variables uΦy, sp , están relacionadas, podemos suponer una onda plana monocromática como

solución a la respectiva ecuación de onda. Sea esta, la del potencial de velocidad.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

=Φ∇ 2

2

22 1

tcu

u ⇒ ( ) ( )trKiou etr ω−⋅Φ=Φ ~,~ (6.1.31)

Y por lo tanto, la velocidad (respuesta acústica) es:

( ) utru Φ∇=, ⇒ ( ) ( )trKio eKitru ω−⋅Φ= ~,~

(6.1.32)

La sobrepresión, queda escrita como:

( )t

tr uo ∂Φ∂

−= ρ,p ⇒ ( ) ( )trKioo eitr ωωρ −⋅Φ= ~,p (6.1.33)

Las expresiones de la velocidad y la presión, hacen referencia a la respuesta y excitación

acústica que sufre el sistema. Como se definió anteriormente, la impedancia de un sistema es la

razón entre estas cantidades. Por lo que, se define la impedancia acústica tal que,

( )( )tru

trp,,

=Ζ (6.1.34)

Así entonces, para la onda plana monocromática tenemos,

cKi

io

o

oo ρωρ=Ζ⇒

Φ

Φ=Ζ ~

~ (6.1.35)

Además, podemos definir un vector de Poynting al igual que se hizo con las ondas

electromagnéticas, el vector acústico. A partir de considerar el flujo de energía por unidad de

tiempo y área,

uA

uFAt

E p=⋅

=δ

δδδ

δ ⇒ uS p= (6.1.36)

Así definido, se procede a definir la intensidad acústica,

T

SI = ⇒ Ζ

== T

2

T

pp uI (6.1.37)

El rango de intensidades de una onda acústica audible es de 2212 110 mm

WattaWatt− .

Como el oido es sensible a razones de intensidad, se suele expresar la magnitud del sonido en

una escala logarítmica, la cual es, los decibeles. Esta, se define por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

max

log10I

IdB , o ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

min

log10I

IdB (6.1.38)

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