ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ -...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Πρόλογος 13

Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15

1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21

Χρήση στατιστικών τεχνικών στις επιχειρήσεις 21

Οι δυο έννοιες της λέξης στατιστική 22

Πληθυσμοί και δείγματα 23

Εφαρμογή της στατιστικής στις επιχειρήσεις 25

Σχέση μεταξύ πιθανοτήτων και στατιστικής 26

ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 28

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 29

2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 31

Μέτρα κεντρικής τάσης: μέσος, διάμεσος, και επικρατούσα τιμή 31

Μέσος 32

Διάμεσος 33

Επικρατούσα τιμή 35

Μέτρα διασποράς: διακύμανση και τυπική απόκλιση 36

Διακύμανση 39

Τυπική απόκλιση 40

Ιστογράμματα συχνοτήτων 46

Ομαδοποιημένα δεδομένα 49

Το ιστόγραμμα 54

Άλλα γραφήματα 57


ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 68


6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 75

Το στρίψιμο του κέρματος 75

Υπολογισμός των πιθανοτήτων 77

Χρήση παραγοντικών 80

Έλεγχος υποθέσεων 82

Η μηδενική υπόθεση και η εναλλακτική υπόθεση 83

Αποφυγή των σφαλμάτων τύπου Ι και τύπου ΙΙ 84




4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 97

Ερμηνείες των πιθανοτήτων 97

Η ερμηνεία των πιθανοτήτων από το χαρτοπαίκτη 98

Χώροι πιθανοτήτων 99

Πιθανότητα ενός ενδεχόμενου 102

Πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο 102

Πιθανότητα να μη συμβεί ένα ενδεχόμενο 104

Πιθανότητα μιας ένωσης 105

Πιθανότητα μιας τομής 107

Η πολλαπλασιαστική αρχή 112

Δειγματοληψία με επανάθεση 113

Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση 115

Μεταθέσεις 117

Συνδυασμοί 119




5 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 143

Υπολογισμός δεσμευμένων πιθανοτήτων 144

Ανεξάρτητα ενδεχόμενα 148




ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7

6 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 159

Συναρτήσεις πιθανοτήτων 161

Αναμενόμενη τιμή 166

Διακύμανση 169

Δόκιμες Bernoulli 172

Διακύμανση ενός αθροίσματος 174

Τυχαία δείγματα 177

Υπολογισμός της μέσης τιμής 181

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών 183




7 ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON

ΚΑΙ ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 189

Η διωνυμική κατανομή 190

Υπολογισμός της μαθηματικής ελπίδας και

της διακύμανσης μιας διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής 193

Εφαρμογές της διωνυμικής κατανομής 194

Υπολογισμός της αναλογίας των επιτυχιών 197

Η κατανομή Poisson 198

Εφαρμογή της κατανομής Poisson: Θεωρία ουρών 199

Άλλες εφαρμογές της κατανομής Poisson 200

Υπολογισμός της αναμενόμενης τιμής

και της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής Poisson 201

Η υπεργεωμετρική κατανομή 201




8 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 211

Η ομοιόμορφη κατανομή 211

Η καμπύλη με το σχήμα καμπάνας 213

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές 214

Συναρτήσεις συνεχών αθροιστικών κατανομών 215

Συναρτήσεις πυκνότητας συνεχών πιθανοτήτων 218


Ορισμός της συνάρτησης πυκνότητας

μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής 220

Αναμενόμενη τιμή και διακύμανση

μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής 222

Η κανονική κατανομή 222

Ιδιότητες της κανονικής κατανομής 222

Η αθροιστική ιδιότητα των κανονικών τυχαίων μεταβλητών 224

Η τυπική κανονική κατανομή 226

Το κεντρικό οριακό θεώρημα 232

Η κατανομή χ2 239

Η κατανομή t 241

Η κατανομή F 243




9 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΕ ΔΥΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 253

Από κοινού συναρτήσεις πιθανοτήτων 253

Περιθώριες συναρτήσεις πιθανοτήτων ανεξάρτητων

τυχαίων μεταβλητών 256

Συναρτήσεις δεσμευμένων πιθανοτήτων 258

Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές 260

Συνδιακύμανση και συσχέτιση 261

Συνδιακύμανση 261

Συσχέτιση 263

Τυχαίες μεταβλητές με τέλεια συσχέτιση 265

Διακύμανση ενός αθροίσματος 266

Χαρτοφυλάκια μετοχών 268




10 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ 279

Εκτίμηση του μέσου 280

Εκτιμήτριες μέγιστης πιθανοφάνειας 282

Συνεπείς εκτιμήτριες 283

Αμερόληπτες εκτιμήτριες 283





11 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 291

Υπολογισμός διαστημάτων εμπιστοσύνης του μέσου

όταν είναι γνωστή η διακύμανση 292

Υπολογισμός διαστημάτων εμπιστοσύνης

με χρήση της κατανομής t 295

Υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης της διακύμανσης 299

Υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης της διαφοράς

δυο μέσων 300




12 ΔΗΜΟΣΚΟΠΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΕΣ 309

Σφυγμομετρήσεις 309

Μέθοδοι για την επιλογή δείγματος 311

Χρήση της διωνυμικής κατανομής 313

Διαστήματα εμπιστοσύνης αναλογιών 314

Με χρήση της κανονικής κατανομής 314

Ανάλυση του ποσοστιαίου σφάλματος σε σχέση

με το μέγεθος του δείγματος 319

Είδη μεθόδων δειγματοληψίας 323

Δειγματοληψία κατά συστάδες 323

Στρωματοποιημένη δειγματοληψία 324

Ευκαιριακές δειγματοληψίες 324

Έρευνες αγοράς 326




13 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 333

Στατιστικά ελέγχου 335

Έλεγχος μιας μηδενικής υπόθεσης 336

Αποφυγή σφαλμάτων τύπου Ι και τύπου ΙΙ 336

Έλεγχος της τιμής του μέσου 340

Ο έλεγχος μιας ουράς 344


Έλεγχος υποθέσεων που αφορούν την πιθανότητα επιτυχίας 346

Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων 348

Το στατιστικώς σημαντικό είναι και άξιο λόγου; 351

Δείγματα κατά ζεύγη 353

Έλεγχος της διαφοράς δυο αναλογιών 354




14 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ Χ2 361

Ο πίνακας συνάφειας 361

Ανάπτυξη ενός κριτηρίου ελέγχου 362

Εφαρμογή του ελέγχου χ2 367

Έλεγχοι καλής προσαρμογής 369




15 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 381

Έλεγχος της ισότητας πολλών μέσων 381

Άθροισμα τετραγώνων 386

Ολικό άθροισμα τετραγώνων 387

Άθροισμα τετραγώνων των σφαλμάτων 389

Άθροισμα τετραγώνων των αγωγών 389

Μέση τετραγωνική διακύμανση 389

Πίνακας ANOVA 390

Δυο λεπτά σημεία στη χρήση ελέγχων ανάλυσης διακύμανσης 392

Ανάλυση διακύμανσης με δείγματα άνισων μεγεθών 392

Ανάλυση διακύμανσης δυο παραγόντων 394

Αθροίσματα τετραγώνων γραμμών, στηλών και σφαλμάτων 398

Πίνακας ANOVA δυο παραγόντων 399




16 ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 409

Η γραμμή παλινδρόμησης 410

Υπολογισμός μιας γραμμής παλινδρόμησης 417


Ακρίβεια της γραμμής παλινδρόμησης 422

Συσχέτιση 425

Στατιστική ανάλυση της παλινδρόμησης 428

Πρόβλεψη τιμών της μεταβλητής y 435

Τέσσερα σημεία που χρειάζονται προσοχή

κατά την πρόβλεψη τιμών 435

Πρόβλεψη των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής 438

Ανάλυση υπολοίπων 440

Μετασχηματισμοί με λογάριθμους 445

Εφαρμογή: Ανάλυση χαρτοφυλακίου 449




17 ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 457

Πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές 457

Ένα παράδειγμα χρήσης της πολλαπλής παλινδρόμησης 458

Δυο διαφορές μεταξύ της απλής παλινδρόμησης

και της πολλαπλής παλινδρόμησης 459

Αποτελέσματα της πολλαπλής παλινδρόμησης 461

Η τιμή R2 462

Η στατιστική F 465

Έλεγχος μεμονωμένων συντελεστών 466

Περαιτέρω ανάλυση των μοντέλων παλινδρόμησης 468

Παράρτημα: μαθηματικοί τύποι παλινδρόμησης 472




18 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 481

Προσημικός έλεγχος 482

Έλεγχος friedman Fr 483

Έλεγχος αθροίσματος βαθμίδων του Wilcoxon 486

Έλεγχος Kruskal−Wallis H 488

Προσημικός βαθμολογικός έλεγχος Wilcoxon 488





19 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ 501

Ακαθάριστο εγχώριο προϊόν 502

Οδηγίες για τον υπολογισμό του ΑΕΠ 503

Δείκτες τιμών 507

Ο δείκτης τιμών καταναλωτή 511

Ο δείκτης τιμών παραγωγού 513

Χρονολογικά δεδομένα 513

Συνιστώσες των χρονολογικών δεδομένων 516

Προσδιορισμός της τάσης με τον υπολογισμό κινητών μέσων 517

Προσδιορισμός της τάσης με την παλινδρόμηση 520

Εκθετική εξομάλυνση 523

Προσαρμογή λόγω εποχικότητας 526

Η ανάγκη για προσαρμογές λόγω εποχικότητας 526

Η μέθοδος του λόγου ως προς τον κινητό μέσο 529




20 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 537

Το δένδρο αποφάσεων 538

Αντικειμενικές μεταβλητές 540

Πίνακας αμοιβών 540

Αναμενόμενη αμοιβή 542

Ωφελεία και ρίσκο 545




ΠΑΡΑΡΤΗΜΑTA

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 Γλωσσάρι 553

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 Υπολογισμοί 573

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3 Στατιστικοί πίνακες 587

ΛΕΞΙΚΟ ΟΡΩΝ 597

EΥΡΕΤΗΡΙΟ 607

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Σε αυτό το βιβλίο θα μάθετε να χρησιμοποιείτε στατιστικές μεθόδους για να ανα-

λύετε δεδομένα. Το Κεφάλαιο 1 παραθέτει μερικούς από τους λόγους για τους ο-

ποίους οι στατιστικές μέθοδοι αποτελούν πολύτιμα εργαλεία στα χέρια όσων πρέ-

πει να παίρνουν αποφάσεις στον κόσμο των επιχειρήσεων. Θα καλύψουμε πολλές

στατιστικές τεχνικές με παραδείγματα υπολογισμών και επεξηγήσεις.

Για να μάθει κανείς στατιστική χρειάζεται μόνο ένα πράγμα: εξάσκηση. Κάθε

κεφάλαιο ξεκινά με μια λίστα των βασικών όρων, με τους ορισμούς τους, που θα

μάθετε στο συγκεκριμένο κεφάλαιο. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν ερωτή-

σεις κρίσης και ασκήσεις. Οι ερωτήσεις κρίσης σάς δίνουν την ευκαιρία να προ-

βληματιστείτε πάνω στις έννοιες που μάθατε σε κάθε κεφάλαιο και επεκτείνουν

την αντίληψή σας πάνω στις εφαρμογές αυτών των εννοιών. Οι ασκήσεις σάς επι-

τρέπουν να εξασκηθείτε στην εκτέλεση στατιστικών υπολογισμών. Στο τέλος κάθε

κεφαλαίου περιλαμβάνονται και οι απαντήσεις στις ερωτήσεις και τις ασκήσεις,

ενώ, όπου κρίνεται απαραίτητο, θα βρείτε και τις ολοκληρωμένες λύσεις ορισμέ-

νων προβλημάτων υπολογισμού. Σε άλλες περιπτώσεις δίνονται όλοι οι τύποι που

είναι απαραίτητοι για την επίλυση των προβλημάτων. Όπου υπάρχουν πολλά προ-

βλήματα του ίδιου τύπου, δίνονται ολοκληρωμένοι ή ενδεικτικοί υπολογισμοί για

το πρώτο πρόβλημα.

Στη στατιστική χρησιμοποιούνται πολλά σύμβολα, ανάμεσα στα οποία και

γράμματα του ελληνικού αλφάβητου. Για να εξοικειωθείτε με αυτά τα σύμβολα

μπορείτε να ανατρέξετε στην ενότητα "Κατάλογος συμβόλων και συντμήσεων",

που ακολουθεί. Επίσης, μπορείτε να μάθετε τις έννοιες των νέων όρων που πα-

ρουσιάζονται σε αυτό το βιβλίο με έντονη γραφή ρίχνοντας μια ματιά στο Γλωσ-

σάρι που θα βρείτε στο Παράρτημα 1.

Πολύ σύντομα θα διαπιστώσετε ότι θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε υπολογι-

στή για την εκτέλεση των υπολογισμών. Αν πρόκειται να ασχολείστε με τη στατι-

στική σε καθημερινή βάση, καλό θα ήταν να αποκτήσετε κάποιο πρόγραμμα στα-

τιστικής και να μάθετε να το χρησιμοποιείτε. Στο Παράρτημα 2 εξετάζονται ορι-

14 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

σμένα από τα βασικά χαρακτηριστικά των υπολογισμών, τα προγράμματα στατι-

στικής για υπολογιστές, και η εφαρμογή λογιστικών φύλλων Microsoft Excel.

Το Παράρτημα 3 περιέχει διαδεδομένους στατιστικούς πίνακες για την κανονι-

κή κατανομή, την κατανομή χ2, και τις κατανομές t και F.

Κατά την εκτέλεση στατιστικών υπολογισμών θα πρέπει πάντα να λαμβάνετε

υπόψη την επίδραση της στρογγυλοποίησης των αριθμών. Για παράδειγμα, ακόμη

και ένα απλό κλάσμα όπως το 1/3 δεν μπορεί να αποδοθεί με ακρίβεια ως δεκαδι-

κός αριθμός με πεπερασμένο πλήθος ψηφίων. Κατά συνέπεια, πολύ συχνά θα

χρησιμοποιούμε στο βιβλίο δεκαδικούς αριθμούς κατά προσέγγιση για να εκφρά-

ζουμε τις ποσότητες που θα υπολογίζουμε. Έτσι, αν δείτε για παράδειγμα, μια πα-

ράσταση του τύπου "1/3 = 0,333", θα πρέπει να έχετε κατά νου ότι πρόκειται για

μια συντόμευση της φράσης "το 0,333 είναι η δεκαδική προσέγγιση του κλάσμα-

τος 1/3 στρογγυλοποιημένη σε τρία δεκαδικά ψηφία". Στη συγκεκριμένη περίπτω-

ση, το αμέσως επόμενο δεκαδικό ψηφίο που δεν εμφανίζεται είναι μικρότερο από

το 5, γι' αυτό και δεν το γράφουμε. Αντίθετα, αν το αμέσως επόμενο δεκαδικό

ψηφίο που θα ακολουθούσε κανονικά ήταν μεγαλύτερο από το 5 (ή ίσο με 5), θα

έπρεπε να αυξήσουμε το προηγούμενο ψηφίο κατά μία μονάδα. Για παράδειγμα,

το κλάσμα 2/3 στρογγυλοποιημένο σε δεκαδικό με τρία δεκαδικά ψηφία ισούται

με 0,667.

Στην τέταρτη έκδοση έχουμε προσθέσει πολλά παραδείγματα χρησιμοποιώντας

το Excel για τους στατιστικούς υπολογισμούς. Επίσης, σε αυτήν περιέχονται πολ-

λές νέες εφαρμογές για τις επιχειρήσεις.

Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε στην ιστοσελίδα του βιβλίου,

στην ηλεκτρονική διεύθυνση http://myhome.spu.edu/ddowing/bstat.html

Στην ιστοσελίδα θα βρείτε συνδέσεις με πηγές δεδομένων, καθώς επίσης και

ασκήσεις πρακτικής εξάσκησης. Στα τελευταία κεφάλαια του βιβλίου οι ασκήσεις

απαιτούν εκτεταμένη χρήση υπολογιστή. Όμως δεν είστε υποχρεωμένοι να εισα-

γάγετε τα δεδομένα στον υπολογιστή σας, καθώς σας τα παρέχουμε έτοιμα στην

ιστοσελίδα μας. Μπορείτε να τα αντιγράψετε από τον Ιστό, να τα επικολλήσετε

στο λογιστικό φύλλο του Excell, και στη συνέχεια να ασχοληθείτε με τους υπολο-

γισμούς. Κάποια τμήματα αυτού του βιβλίου έχουν συμπεριληφθεί και σε ένα άλ-

λο βιβλίο μας, που έχει τον τίτλο Statistics the Easy Way, όπου το μαθηματικό μέ-

ρος της στατιστικής αντιμετωπίζεται με αναλυτικότερο τρόπο.

Douglas Downing

Jeffrey Clark

1

ΓΙΑΤΙ ΝΑ

ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ

ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ;

ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ

δείγμα (sample): μια ομάδα στοιχείων που έχουν επιλεγεί από τον πληθυσμό και

χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των ιδιοτήτων του πληθυσμού.

πληθυσμός (population): το σύνολο όλων των στοιχείων που μας ενδιαφέρουν.

ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ

ΣΤΙΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ

Μπορεί να αναρωτιέστε για ποιο λόγο ο μάνατζερ μιας επιχείρησης θα πρέπει να

γνωρίζει στατιστική. Σε αυτό το βιβλίο θα διδαχθείτε πανίσχυρες στατιστικές τε-

χνικές. Θα μάθετε πώς να αντλείτε σημαντικές πληροφορίες από σωρούς "ακατέρ-

γαστων" δεδομένων, να εξάγετε συμπεράσματα για τα χαρακτηριστικά ενός πλη-

θυσμού χρησιμοποιώντας παρατηρήσεις ενός δείγματος που έχει ληφθεί από αυ-

τόν τον πληθυσμό, να προβλέπετε τους ρυθμούς εμφάνισης τυχαίων ενδεχομένων

ή συμβάντων (events), και να κατανοείτε και να ερμηνεύετε στατιστικούς υπολο-

γισμούς που έχουν κάνει άλλοι.

Υπάρχουν φορές που οι στατιστικές φαίνεται να παίρνουν μαγικές διαστάσεις.

Πώς μπορούν οι εταιρείες δημοσκοπήσεων να κάνουν σχετικά ακριβείς προβλέ-

ψεις για τα αποτελέσματα μιας εκλογικής αναμέτρησης ρωτώντας μερικές εκατο-

ντάδες ψηφοφόρους, οι οποίοι δεν αποτελούν παρά ένα μικρό μόνο δείγμα του

εκλογικού σώματος που σε μερικές χώρες αριθμεί δεκάδες ή εκατοντάδες εκα-

22 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ;

τομμύρια ανθρώπους; Πώς γίνεται οι εταιρείες μέτρησης της τηλεθέασης να εκτι-

μούν το σύνολο των τηλεθεατών μιας εκπομπής βασιζόμενοι σε ένα μικρό δείγμα

επιλεγμένων νοικοκυριών; Σε αυτό το βιβλίο θα σας δείξουμε γιατί αυτές οι μέθο-

δοι είναι αποτελεσματικές.

Πολλοί θεωρούν τη στατιστική βαρετή και δύσκολη. Θα πρέπει να παραδε-

χθούμε, βέβαια, ότι ορισμένα μέρη της στατιστικής είναι αρκετά δύσκολα, αλλά

υπάρχουν και άλλα που είναι σαφή και ξεκάθαρα. Κατά ένα μέρος, η φήμη ότι η

στατιστική είναι δύσκολη χρονολογείται από την εποχή πριν την εμφάνιση των

υπολογιστών, όταν οι στατιστικολόγοι ήταν υποχρεωμένοι να εκτελούν επίπονους

υπολογισμούς με το χέρι. Τώρα έχουμε τη δυνατότητα να χρησιμοποιούμε τον υ-

πολογιστή για το μεγαλύτερο μέρος των κουραστικών και βαρετών εργασιών, με

αποτέλεσμα να έχουμε μεγαλύτερη ελευθερία για να κατανοούμε τη σημασία ό-

σων συμβαίνουν. Στα πρώτα σας βήματα στην καριέρα σας στη στατιστική θα

πρέπει να μάθετε να προγραμματίζετε έναν υπολογιστή ή να χρησιμοποιείτε ένα

πακέτο στατιστικής ή μια αριθμομηχανή με ενσωματωμένες στατιστικές λειτουρ-

γίες.

ΟΙ ΔΥΟ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΛΕΞΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Η λέξη στατιστική (statistics) έχει δύο διαφορετικές (αλλά και σχετικές μεταξύ

τους) έννοιες. Στην πιο συνηθισμένη της χρήση, η λέξη στατιστική σημαίνει "μια

συλλογή αριθμητικών δεδομένων". Για παράδειγμα, μπορεί να δείτε τη στατιστική

της απόδοσης μιας ποδοσφαιρικής ομάδας κατά τη διάρκεια του πρωταθλήματος,

τη στατιστική των γεννήσεων και των θανάτων μιας χώρας ή τη στατιστική που

περιγράφει τα χαρακτηριστικά ενός νέου κτιρίου. Υπάρχουν επίσης στατιστικά

στοιχεία εθνικής σημασίας τα οποία θα πρέπει να γνωρίζετε ⎯ όπως το ακαθάρι-

στο εγχώριο προϊόν και ο δείκτης τιμών καταναλωτή.

Η λέξη στατιστική αναφέρεται επίσης και στον τομέα των μαθηματικών που

ασχολείται με την ανάλυση στατιστικών δεδομένων. Στο Κεφάλαιο 2 θα μελετή-

σουμε την περιγραφική στατιστική (descriptive statistics), η οποία είναι η διαδι-

κασία της εξαγωγής σημαντικών πληροφοριών από σύνολα αριθμών που είναι συ-

νήθως πολύ μεγάλα για να εξάγουμε άμεσα συμπεράσματα. Αναμφίβολα γνωρίζε-

τε ήδη κάποιες πλευρές της περιγραφικής στατιστικής ⎯ για παράδειγμα, να υπο-

λογίζετε το μέσο όρο ενός συνόλου αριθμών. Στο μεγαλύτερο μέρος του υπόλοι-

που βιβλίου θα ασχοληθούμε με την επαγωγική στατιστική (statistical infer-

ence), δηλαδή τη διαδικασία κατά την οποία χρησιμοποιούμε τις παρατηρήσεις

ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 23

που έχουμε κάνει σε ένα δείγμα για να εκτιμήσουμε (να εξαγάγουμε συμπεράσμα-

τα ή να επαγάγουμε) τις ιδιότητες ενός μεγαλύτερου πληθυσμού.

ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΥΜΑΣΤΕ

1. Πανίσχυρες στατιστικές τεχνικές, με τη βοήθεια αριθμομηχανών και κατάλληλων

προγραμμάτων υπολογιστών, αποτελούν πολύτιμα εργαλεία για τις επιχειρή-

σεις.

2. Η λέξη στατιστική έχει δύο σημασίες: (1) ένα σύνολο αριθμητικών δεδομένων,

και (2) ένας τομέας των μαθηματικών, που περιλαμβάνει την περιγραφική στα-

τιστική και την επαγωγική στατιστική, ο οποίος ασχολείται με την ανάλυση στα-

τιστικών δεδομένων.

ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

Ο όρος πληθυσμός (population) αναφέρεται στο σύνολο των ανθρώπων ή των

αντικειμένων που ανήκουν στην ομάδα που μας ενδιαφέρει. Δείγμα (sample) είναι

μια ομάδα στοιχείων που έχουν επιλεγεί από τον πληθυσμό. Ακολουθούν μερικά

παραδείγματα:

• πληθυσμός: οι 31 γεύσεις παγωτού ενός ζαχαροπλαστείου που διαθέτει 31

γεύσεις παγωτού

δείγμα: οι πέντε γεύσεις παγωτού που έχετε δοκιμάσει προκειμένου να δια-

πιστώσετε αν το ζαχαροπλαστείο έχει καλό παγωτό

• πληθυσμός: όλοι οι Έλληνες ψηφοφόροι

δείγμα: οι 3.000 άνθρωποι που ερωτήθηκαν κατά τη διάρκεια μιας δημο-

σκόπησης για την πρόθεση ψήφου

• πληθυσμός: όλοι οι κάτοικοι της Ελλάδας που έχουν στο σπίτι τους συ-

σκευή τηλεόρασης

δείγμα: οι άνθρωποι που ερωτήθηκαν κατά τη διάρκεια μιας έρευνας τηλε-

θέασης

• πληθυσμός: όλοι οι κάτοικοι της Ελλάδας

δείγμα: οι 10.000 άνθρωποι που ερωτήθηκαν κατά τη διάρκεια μιας έρευνας

της Εθνικής Στατιστικής Υπηρεσίας


Θα αναρωτιέστε, ίσως, γιατί να μελετάμε δείγματα αντί για πληθυσμούς. Αν

τύχει να επιλέξουμε κάποιο δείγμα που δεν είναι και πολύ αντιπροσωπευτικό του

πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται, όταν προσπαθήσουμε να εκτιμήσουμε τα

χαρακτηριστικά του πληθυσμού βασιζόμενοι σε αυτό το δείγμα οι προβλέψεις που

θα κάνουμε θα είναι ανακριβείς. Θα μπορούσαμε να αποφύγουμε αυτόν τον κίν-

δυνο μελετώντας ολόκληρο τον πληθυσμό. Ωστόσο, υπάρχουν αρκετοί λόγοι για

τους οποίους μελετάμε δείγματα και όχι πληθυσμούς. Ο κυριότερος λόγος είναι το

τεράστιο κόστος ή/και η δυσκολία της μελέτης ολόκληρου του πληθυσμού. Κάθε

στέλεχος επιχείρησης επιφορτισμένο με τη λήψη αποφάσεων αντιμετωπίζει το

πρόβλημα των περιορισμένων πόρων που έχει στη διάθεσή του. Δεν θα ήταν ορ-

θολογικό από μέρους του να χρησιμοποιήσει πόρους για να καλύψει το κόστος της

μελέτης ολόκληρου του πληθυσμού, όταν ένα δείγμα θα του έδινε προβλέψεις με

την ίδια σχεδόν ακρίβεια. (Η ερώτηση-κλειδί που θα θέλατε, ίσως, να κάνετε σε

αυτό το σημείο είναι "πώς μπορούμε να γνωρίζουμε ότι ένα δείγμα αντιπροσω-

πεύει με ακρίβεια τον πληθυσμό;". Αυτή είναι μία από τις σημαντικότερες ερωτή-

σεις που θα βρουν απάντηση σε αυτό το βιβλίο.) Η κυβέρνηση κάθε κράτους έχει

να αντιμετωπίσει ανάλογους περιορισμούς. Προφανώς θα είχε μεγάλο κόστος για

μια κυβέρνηση να υπολογίσει το μηνιαίο δείκτη ανεργίας μετρώντας πραγματικά

το συνολικό αριθμό των ανέργων. Αντί γι' αυτό, ο δείκτης ανεργίας υπολογίζεται

κάθε μήνα από τη στατιστική υπηρεσία κάθε κράτους με βάση ένα δείγμα του

πληθυσμού. Υπάρχουν φορές, πάντως, που εξετάζεται ολόκληρος ο πληθυσμός.

Στην Ελλάδα, για παράδειγμα, κάθε 4 χρόνια το σύνολο των ψηφοφόρων εκφράζει

τις πολιτικές του προτιμήσεις, ενώ κάθε 10 χρόνια διεξάγεται απογραφή ολόκλη-

ρου του πληθυσμού.

Υπάρχουν, όμως, και άλλοι λόγοι για τους οποίους μελετάμε δείγματα και όχι

πληθυσμούς. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η διαδικασία εξέτασης ενός στοιχείου

προκαλεί την καταστροφή του. Υποθέστε, για παράδειγμα, ότι θέλετε να υπολογί-

σετε πόση πίεση μπορεί να αντέξει μια συγκεκριμένη δοκός πριν σπάσει. Είναι

προφανές ότι δεν μπορείτε να εξετάσετε το συνολικό πληθυσμό των δοκών γιατί

δεν θα σας έμενε ούτε μία άθικτη. Υπάρχουν εξάλλου φορές που δεν μπορούμε να

έχουμε πρόσβαση σε ολόκληρο τον πληθυσμό. Μερικές φορές μπορούμε να πετύ-

χουμε μεγαλύτερη ακρίβεια ασχολούμενοι με τα δεδομένα ενός δείγματος παρά με

ολόκληρου του πληθυσμού. Αν, για παράδειγμα, θέλετε να διεξαγάγετε μια έρευ-

να στην οποία τα άτομα που θα πάρουν τις συνεντεύξεις πρέπει να είναι ειδικά

εκπαιδευμένα, έχετε μεγαλύτερες πιθανότητες να πάρετε ακριβή αποτελέσματα

εκπαιδεύοντας μερικές χιλιάδες παρά μερικά εκατομμύρια ανθρώπους.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΙΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ 25


1. Επειδή η εξέταση ενός ολόκληρου πληθυσμού είναι μια διαδικασία με μεγάλο

κόστος, δύσκολη και, μερικές φορές, ανέφικτη), συνήθως επιλέγεται για μελέτη

ένα δείγμα του πληθυσμού.

2. Για να αποφύγουμε τις ανακριβείς προβλέψεις, πρέπει το δείγμα μας να είναι

αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΙΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα εφαρμογής της στατιστικής στις επιχειρήσεις:

• Μια εταιρεία που ετοιμάζεται να παρουσιάσει ένα νέο προϊόν χρειάζεται να

εκτιμήσει τις προτιμήσεις των καταναλωτών που ανήκουν στη σχετική αγο-

ρά. Αυτό μπορεί να το πετύχει συνήθως με μια έρευνα μάρκετινγκ η οποία

θα βασίζεται σε συνεντεύξεις κάποιων τυχαία επιλεγμένων νοικοκυριών.

Έτσι, τα αποτελέσματα της έρευνας θα μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη

συνέχεια για να εκτιμηθούν οι προτιμήσεις ολόκληρου του πληθυσμού.

• Για να ξεκαθαρίσουμε τις επιδράσεις διαφορετικών παραγόντων, χρησιμο-

ποιούμε στατιστικές τεχνικές. Για παράδειγμα, η ζήτηση του παγωτού σε

μια πόλη ενδέχεται να εξαρτάται από την τιμή του παγωτού, το μέσο εισό-

δημα των πολιτών, τον αριθμό των παιδιών, και τη μέση θερμοκρασία. Αν

έχετε στη διάθεσή σας παρατηρήσεις όλων των διαφορετικών παραγόντων

που εμπλέκονται σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε α-

νάλυση παλινδρόμησης για να βρείτε ποιοι παράγοντες επιδρούν περισσό-

τερο στη ζήτηση παγωτού.

• Δουλειά του ορκωτού λογιστή είναι να ελέγχει τα βιβλία μιας εταιρείας για

να βεβαιωθεί ότι ανταποκρίνονται απόλυτα στην οικονομική της κατάστα-

ση. Ο ορκωτός λογιστής θα πρέπει να ελέγξει στοίβες πρωτότυπων παρα-

στατικών όπως δελτία αποστολής, έντυπα παραγγελιών, και τιμολόγια. Εί-

ναι προφανές ότι για να ελέγξει ένα προς ένα όλα τα παραστατικά θα χρεια-

ζόταν πάρα πολλές ημέρες, αν όχι εβδομάδες. Αντί γι' αυτό, μπορεί να ελέγ-

ξει ένα δείγμα των παραστατικών, το οποίο θα επιλέξει με τυχαίο τρόπο, και

να καταλήξει σε συμπεράσματα για ολόκληρο τον πληθυσμό των παραστα-

τικών με βάση αυτό το δείγμα.


• Πριν κυκλοφορήσει στην αγορά ένα νέο φάρμακο είναι απαραίτητο να γί-

νουν εκτεταμένα πειράματα για να εξασφαλιστεί ότι το φάρμακο είναι α-

σφαλές και αποτελεσματικό. Ο καλύτερος τρόπος για να ελέγξει κανείς ένα

φάρμακο είναι να πάρει δύο ομάδες ανθρώπων που μοιάζουν μεταξύ τους

όσο το δυνατό περισσότερο, να χορηγήσει το φάρμακο μόνο στη μία από τις

δύο, και μετά να ελέγξει αν τα αποτελέσματα των δύο ομάδων διαφέρουν.

Η ομάδα στην οποία χορηγείται το φάρμακο ονομάζεται πειραματική ομάδα

ενώ η άλλη ονομάζεται ομάδα ελέγχου. Για να εξακριβωθεί αν οι όποιες

διαφορές που παρατηρήθηκαν οφείλονται πράγματι στη χορήγηση του φαρ-

μάκου ή μπορεί να προκλήθηκαν από άλλους παράγοντες απαιτείται στατι-

στική ανάλυση.

• Αν ένας έμπορος πρόκειται να παραλάβει μια μεγάλη ποσότητα αγαθών από

κάποιον προμηθευτή του, θα θελήσει οπωσδήποτε να βεβαιωθεί ότι πλη-

ρούνται οι προδιαγραφές που έχουν συμφωνηθεί μεταξύ τους. Δεν χωρά

αμφιβολία ότι το να κάνει ποιοτικό έλεγχο στα αγαθά που παρέλαβε ένα

προς ένα συνεπάγεται υπέρογκη δαπάνη. Και σε αυτή την περίπτωση οι

στατιστικές τεχνικές έρχονται να σώσουν την κατάσταση, επιτρέποντας

στον έμπορο να εξαγάγει συμπεράσματα για την ποιότητα ολόκληρης της

παρτίδας ελέγχοντας μόνο ένα τυχαία επιλεγμένο δείγμα αγαθών από αυτήν.

ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Για να μπορέσετε να καταλάβετε την επαγωγική στατιστική είναι απαραίτητο να

κατανοήσετε ορισμένες έννοιες που έχουν να κάνουν με τις πιθανότητες (prob-

ability). Οι πιθανότητες και η στατιστική σχετίζονται στενά μεταξύ τους επειδή

θέτουν αντίστροφα ερωτήματα. Στις πιθανότητες γνωρίζουμε πώς λειτουργεί μια

διαδικασία και θέλουμε να προβλέψουμε τα αποτελέσματά της. Στη στατιστική

δεν ξέρουμε πώς λειτουργεί μια διαδικασία αλλά μπορούμε να παρατηρήσουμε τα

αποτελέσματά της. Αυτό που θέλουμε στην πραγματικότητα είναι να χρησιμο-

ποιήσουμε τις πληροφορίες που αφορούν τα αποτελέσματα για να μάθουμε περισ-

σότερα για τη φύση της διαδικασίας.

Θα αναπτύξουμε τις έννοιες των πιθανοτήτων επικεντρώνοντας τη μελέτη μας

σε τυχαίες διαδικασίες που είναι οικείες σε όλους: τι συμβαίνει όταν στρίβουμε

ένα κέρμα, ρίχνουμε τα ζάρια ή τραβάμε χαρτιά από μια ανακατεμένη τράπουλα;

ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 27

Γνωρίζοντας τον τρόπο με τον οποίο εφαρμόζονται οι αρχές των πιθανοτήτων σε

καταστάσεις όπου γνωρίζετε πώς λειτουργεί μια διαδικασία θα μπορέσετε να κα-

ταλάβετε πώς χρησιμοποιούμε την επαγωγική στατιστική για να κατανοήσουμε

μια διαδικασία άγνωστη σε μας. Υποθέστε, για παράδειγμα, ότι σε μια γυάλα υ-

πάρχουν 40 μπλε βώλοι και 60 κόκκινοι και ότι εσείς τραβάτε στην τύχη 10 βώ-

λους από τη γυάλα. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία των πιθανοτήτων μπορείτε να

υπολογίσετε την πιθανότητα να είναι κόκκινοι ακριβώς 6 από τους 10 βώλους.

Υποθέστε τώρα ότι πριν από μια εκλογική αναμέτρηση ζητάτε από 1.000 τυχαία

επιλεγμένους ανθρώπους να σας αποκαλύψουν το κόμμα που θα ψηφίσουν. Σε

αυτή την περίπτωση δεν μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα να συμφωνεί το

60% των ατόμων του δείγματος με τις δικές σας πολιτικές πεποιθήσεις γιατί δεν

γνωρίζετε την πρόθεση ψήφου όλων των ανθρώπων που αποτελούν το εκλογικό

σώμα (τον πληθυσμό). Παρόλα αυτά, χρησιμοποιώντας επαγωγική στατιστική

μπορείτε να εκτιμήσετε την πρόθεση ψήφου του εκλογικού σώματος βασιζόμενοι

στις προτιμήσεις των ανθρώπων του δείγματός σας.

Δύο ειδών προβλήματα καθιστούν ένα δείγμα μη αντιπροσωπευτικό. Πρώτον,

μπορεί να υπάρχει λάθος στο σύστημα, ή μεροληψία. Για παράδειγμα, αν διεξάγε-

τε τη στατιστική σας έρευνα στο Διαδίκτυο, τότε εξαιτίας του συστήματος που

ακολουθείτε είναι πολύ πιθανό να συμπεριλάβετε μόνο άτομα που χρησιμοποιούν

το Διαδίκτυο, αφήνοντας τους υπόλοιπους απέξω. Καθώς οι απόψεις της συγκε-

κριμένης ομάδας πιθανότατα διαφέρουν από τον ευρύτερο πληθυσμό, το δείγμα

σας δεν θα είναι αντιπροσωπευτικό. Ωστόσο, αν η επιλογή του δείγματός σας γίνει

με πραγματικά τυχαίο τρόπο, ώστε κάθε μέλος του πληθυσμού να έχει τις ίδιες

πιθανότητες να συμπεριληφθεί σε αυτό, τότε μπορείτε να είστε βέβαιοι πως δεν

υπάρχει συστηματική μεροληψία. Όμως ακόμη και ένα τυχαίο δείγμα, είναι πιθα-

νόν να μην είναι αντιπροσωπευτικό επειδή υπήρξατε άτυχοι στην επιλογή σας.

Όταν το δείγμα είναι αρκετά μεγάλο, αυτή η πιθανότητα είναι σχετικά μικρή. Με-

λετώντας πιθανότητες σε αυτό το βιβλίο, θα αναπτύξουμε μια συγκεκριμένη με-

θοδολογία για να εξετάζετε αν και κατά πόσο το δείγμα σας είναι αντιπροσωπευ-

τικό του πληθυσμού.

Τα παραπάνω παραδείγματα δεν είναι παρά ένα μικρό δείγμα που επιλέξαμε

από το συνολικό πληθυσμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν τα στατιστικά

εργαλεία να φανούν χρήσιμα στον κόσμο των επιχειρήσεων.



1. Μερικά από τα παραδείγματα εφαρμογής των στατιστικών τεχνικών στις επιχει-

ρήσεις είναι η χρήση δειγμάτων για την εκτίμηση των προτιμήσεων ή την ποιό-

τητα ενός ολόκληρου πληθυσμού, και η χρήση της ανάλυσης παλινδρόμησης

για να διακρίνουμε τις επιμέρους επιδράσεις διαφόρων παραγόντων.

2. Η γνώση των εννοιών της θεωρίας των πιθανοτήτων μάς βοηθά στην πρόβλε-

ψη του αποτελέσματος μιας διεργασίας.

ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΞΕΡΕΤΕ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ;

Ελέγξτε αν κατανοήσατε τις έννοιες του Κεφαλαίου 1 απαντώντας στις παρακάτω

ερωτήσεις:

1. Γιατί οι στατιστικολόγοι μελετούν δείγματα αντί για πληθυσμούς;

2. Πώς μπορείτε να εξακριβώσετε αν ένα συγκεκριμένο δείγμα αντιπροσωπεύει

με ακρίβεια τον πληθυσμό από τον οποίο προέρχεται;

Για τις ερωτήσεις 3 έως 5 υποθέστε ότι διεξάγετε ένα πείραμα για τις ανάγκες

του οποίου θα χωρίσετε το αντικείμενο της μελέτης σας σε δύο ομάδες: μια πει-

ραματική ομάδα και μια ομάδα ελέγχου.

3. Γιατί θα πρέπει να προσπαθήσετε να διαμορφώσετε τις ομάδες έτσι ώστε να

μοιάζουν όσο το δυνατό περισσότερο;

4. Θα πρέπει τα άτομα να γνωρίζουν σε ποια ομάδα ανήκουν;

5. Ποιο είναι το καλύτερο σύστημα για να τους χωρίσετε σε δύο ομάδες;

ΟΡΟΙ ΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ

δείγμα

επαγωγική στατιστική

περιγραφική στατιστική

πιθανότητες

πληθυσμός

στατιστική


ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1. Ο κύριος λόγος για τον οποίο χρησιμοποιούμε δείγματα είναι ότι το κόστος

της διεξαγωγής ερευνών στο σύνολο του πληθυσμού είναι υπέρογκο.

2. Δεν υπάρχει κανένας τρόπος να γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι ένα δείγμα α-

ντιπροσωπεύει με ακρίβεια τον πληθυσμό, παρά μόνο κάνοντας απογραφή σε

ολόκληρο τον πληθυσμό. Παρόλα αυτά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις

μεθόδους της επαγωγικής στατιστικής για να εκτιμήσουμε την πιθανότητα να

είναι το δείγμα αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού.

3. Ας υποθέσουμε, καταρχήν, ότι οι δύο ομάδες διαφέρουν σημαντικά μεταξύ

τους. Σε αυτή την περίπτωση, αν από τη διεξαγωγή του πειράματος, παρατη-

ρήσετε διαφορετικά αποτελέσματα στις δύο ομάδες δεν θα μπορείτε να είστε

βέβαιοι ότι αυτές οι διαφορές οφείλονται στο ζήτημα που εξετάζετε.

4. Όχι. Οι αντιδράσεις των ανθρώπων μπορεί να είναι διαφορετικές αν γνωρίζουν

σε ποια ομάδα ανήκουν.

5. Στην ιδανική περίπτωση, οι ομάδες πρέπει να χωριστούν εντελώς τυχαία.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ -...

Documents

Transcript of ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ -...