ΘΕΜΑ Β (3761) - WordPress.com...Δ1. το μέτρο της συνισταμένης...

Φροντιστήρια Δημόκριτος- Κορυφή

1

ΘΕΜΑ Β (3761) Β1. Μικρή σφαίρα αφήνεται να πέσει από αρχικό μικρό ύψος Η, πάνω από το έδαφος και

εκτελώντας ελεύθερη πτώση πέφτει στο έδαφος.

Α. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση.

Η γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας (Κ) της σφαίρας σε συνάρτηση με το ύψος (y)

από το έδαφος, παριστάνεται σωστά από το διάγραμμα:

Η y

Κ

0

(I)

Η y

Κ

0

(II)

Η y

Κ

0

(III)

α. Ι β. II γ. III

Μονάδες 4

Β. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Μονάδες 8

Λύση

Η σωστή απάντηση είναι η ΙΙ .

Για την ελεύθερη πτώση ισχύει η ΑΔΜΕ . Σε τυχαία θέση που βρίσκεται σε ύψος y από το

έδαφος το σώμα έχει κινητική και δυναμική ενέργεια .

Ισχύει 𝛫 + 𝑈 = 𝐸 → 𝐾 = 𝐸 − 𝑚𝑔𝑦 (1ου βαθμού) για y=0 είναι 𝛫 = 𝛦

για y=H είναι 𝛫 = 0

Β2. Σε ένα σώμα μάζας m που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο ασκούμε

κατακόρυφη σταθερή δύναμη μέτρου F, οπότε το σώμα κινείται κατακόρυφα

προς τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α = 2g, όπου g η επιτάχυνση

της βαρύτητας.

Α. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση

Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος B του σώματος θα έχει μέτρο:

α. F β. 3F γ. F

3

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Λύση

Η σωστή απάντηση είναι η (γ)

Στο σώμα ασκούνται 2 δυνάμεις 1. Η δύναμη F και το βάρος του .Εφαρμόζουμε το θ.ν.

𝛴𝐹 = 𝑚 ∙ 2𝑔 → 𝐹 − 𝑚𝑔 = 2𝑚𝑔 → 𝐹 = 3𝑚𝑔

𝐹 = 3𝐵 → 𝐵 =𝐹

3

F

Τράπεζα θεμάτων Φυσικής Α λυκείου

2

ΘΕΜΑ Δ (3761)

Δύο κιβώτια Α και Β με μάζες mΑ = 5 kg και mΒ = 10 kg, κινούνται παράλληλα με έναν

οριζόντιο προσανατολισμένο άξονα Ox. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 s τα κιβώτια διέρχονται από

τη θέση x0 = 0 m, κινούμενα και τα δύο προς τη θετική φορά. Το κιβώτιο Α κινείται με σταθερή

ταχύτητα μέτρου υΑ = 10 m/s, ενώ το κιβώτιο Β έχει ταχύτητα μέτρου υ0 = 30 m/s, και κινείται

με σταθερή επιτάχυνση η οποία έχει μέτρο αΒ = 2 m/s2 και φορά αντίθετη της ταχύτητας 0 . Να

υπολογίσετε:

Δ1. το μέτρο της συνισταμένης δύναμης που ασκείται σε κάθε κιβώτιο,

Μονάδες 5

Δ2. τη χρονική στιγμή κατά την οποία τα κιβώτια Α και Β θα βρεθούν πάλι το ένα δίπλα στο

άλλο μετά τη χρονική στιγμή t0,

Μονάδες 6

Δ3. τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο κιβωτίων θα είναι ίσα,

Μονάδες 8

Δ4. τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε κιβωτίου από τη χρονική στιγμή t0 = 0 s, μέχρι τη

χρονική στιγμή κατά την οποία τα μέτρα των ταχυτήτων τους θα είναι ίσα για πρώτη φορά.

Μονάδες 6

Λύση

Δ1. Το κιβώτιο Α κινείται με σταθερή ταχύτητα (εοκ) άρα 𝛴𝐹 = 0

Το κιβώτιο Β κινείται με σταθερή επιτάχυνση (εοεκ) 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 = 10 ∙ 2 = 20𝑁

Δ2. Όταν ξαναβρεθούν τα κιβώτια στην ίδια θέση θα είναι 𝝌𝑨 = 𝝌𝑩 (1)

Οι εξισώσεις θέσης των 2 κινητών είναι

𝜒𝐴 = 𝜐𝐴 ∙ 𝑡 → 𝜒𝐴 = 10 ∙ 𝑡 (2)

𝜒𝐵 = 𝜐𝜊𝑡 −1

2|𝑎𝐵| ∙ 𝑡2 → 𝜒𝐵 = 30𝑡 −

1

22 ∙ 𝑡2 → 𝜒𝐵 = 30𝑡 − 𝑡2 (3)

Με αντικατάσταση στην (1) έχουμε 10 ∙ 𝑡 = 30𝑡 − 𝑡2 → 𝒕𝟐 − 𝟐𝟎𝒕 = 𝟎 (4)

Λύνοντας την (4) βρίσκουμε 2 λύσεις 𝑡 = 0 𝜅𝛼𝜄 𝑡 = 20𝑠

Δ3. Οι εξισώσεις ταχύτητας των 2 κινητών είναι

𝜐𝛢 = 10𝑚/𝑠

𝜐𝛣 = 30 − 2𝑡

Θέλουμε τα μέτρα τους να είναι ίσα ,έτσι έχουμε να λύσουμε την εξίσωση

|𝜐𝛢| = |𝜐𝛣| → ±10 = 30 − 2𝑡

2𝑡 = 30 ± 10 → 𝒕 = 𝟏𝟎𝒔 𝜼 𝒕 = 𝟐𝟎𝒔

Δ4. Το κιβώτιο Α κινείται με σταθερή ταχύτητα ,άρα η κινητική του ενέργεια παραμένει

σταθερή . 𝛥𝐾𝐴 = 0

Για το κιβώτιο Β έχουμε : Η αρχική του ταχύτητα έχει μέτρο 𝜐𝜊 = 30𝑚/𝑠 και η τελική

του ταχύτητα έχει μέτρο 𝜐 = 10𝑚/𝑠

Έτσι βρίσκουμε 𝛫𝛼𝜌𝜒 =1

2𝑚𝜐𝛼𝜌𝜒

2 =1

210 ∙ 900 = 4500𝑗

𝛫𝜏𝜀𝜆 =1

2𝑚𝜐𝜏𝜀𝜆

2 =1

210 ∙ 100 = 500𝑗

Αρα 𝜟𝜥𝜝 = −𝟒𝟎𝟎𝟎𝒋


3

ΘΕΜΑ Β (3763)

B1. Μια σφαίρα μάζας m βάλλεται από την επιφάνεια του εδάφους κατακόρυφα προς τα πάνω.

Η σφαίρα φτάνει στο μέγιστο ύψος h και επιστρέφει στο έδαφος.


Αν γνωρίζετε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή και η επίδραση του αέρα θεωρείται

αμελητέα τότε το έργο του βάρους της σφαίρας κατά τη συνολική κίνηση της είναι ίσο με:

α. mgh β. 0 γ. 2mgh

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Απάντηση

Σωστή πρόταση είναι η (β) Το βάρος είναι συντηρητική δύναμη ,οπότε το έργο σε κλειστή

διαδρομή είναι μηδέν.

B2. Αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο. Στη διπλανή

εικόνα παριστάνεται η γραφική παράσταση της τιμής της

ταχύτητας του αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο.


Η μετατόπιση του αυτοκινήτου κατά το χρονικό διάστημα από

0 s - 30 s είναι:

α. +300 m β. +600 m γ. –300 m

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Απάντηση

Από το διάγραμμα υ-t μπορούμε να υπολογίσουμε την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης

Από 0 έως 20s είναι 𝛥𝜒1 = 450𝑚 και από 20 έως 30s είναι 𝛥𝜒2 = −150𝑚

Άρα 𝛥𝜒 = 450 − 150 = 300𝑚

10 20 t (s)

υ (m/s)

0

30

30

–30


4

ΘΕΜΑ Δ (3763)

Μικρό σώμα μάζας m = 2 kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο

επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,5. Τη

χρονική στιγμή t0 = 0 s, στο σώμα αρχίζει να ασκείται σταθερή οριζόντια

δύναμη F μέτρου 30 Ν μέχρι τη χρονική στιγμή t = 3 s, οπότε παύει να

ασκείται η δύναμη F . Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2. Η επίδραση

του αέρα είναι αμελητέα. Να υπολογίσετε:

Δ1. το μέτρο της τριβής ολίσθησης,

Μονάδες 6

Δ2. το έργο της δύναμης F στη χρονική διάρκεια που ασκείται στο σώμα,

Μονάδες 6

Δ3. τη χρονική στιγμή που το σώμα θα σταματήσει να κινείται,

Μονάδες 6

Δ4. τη μετατόπιση του σώματος από τη χρονική στιγμή t0 = 0 s μέχρι να σταματήσει την κίνηση

του.

Μονάδες 7

Λύση

Δ1. Η τριβή ολίσθησης είναι 𝛵 = 𝜇𝛮 = 𝜇𝑚𝑔 = 10𝑁

Δ2. Για να βρούμε το έργο της δύναμης F πρέπει να βρούμε την μετατόπιση του σώματος από

0 έ𝜔𝜍 3𝑠 . Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο για να βρούμε την επιτάχυνση του σώματος.

𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝐹 − 𝑇 = 𝑚𝑎 → 30 − 10 = 2𝑎 → 𝒂 = 𝟏𝟎𝒎/𝒔𝟐

Από 0 έ𝜔𝜍 3𝑠 το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και ισχύουν οι

εξισώσεις.

𝜐 = 𝛼𝑡 για t=3s προκύπτει 𝜐 = 30𝑚/𝑠

𝑥 =1

2𝑎𝑡2 για t=3s προκύπτει 𝜒 = 45𝑚

Άρα το έργο της F θα είναι 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝜒 = 30 ∙ 45 = 1350𝑗

Δ3. Μετά τη χρονική στιγμή 𝑡 = 3𝑠 το σώμα κάνει ευθ. ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με

επιβράδυνση 𝛼΄ που τη βρίσκουμε πάλι από θεμελιώδη νόμο

𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 → −𝑇 = 𝑚𝛼′ → −10 = 2𝛼′ → 𝒂′ = −𝟓𝒎/𝒔𝟐

Η επιβραδυνόμενη κίνηση διαρκεί χρόνο 𝑡𝑚𝑎𝑥 μέχρι να σταματήσει το σώμα . Το 𝑡𝑚𝑎𝑥 το

βρίσκουμε με τον τύπο 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 𝜐𝜊

|𝛼| και προκύπτει 𝑡𝑚𝑎𝑥 =

30

5= 6𝑠

Ο ολικός χρόνος της κίνησης είναι : 𝑡𝜊𝜆 = 3 + 6 = 9𝑠

Δ4. Για να βρούμε το διάστημα που διανύει το σώμα μέχρι να σταματήσει μπορούμε να

υπολογίσουμε το 𝜒𝑚𝑎𝑥 της επιβραδυνόμενης κίνησης. 𝜒𝑚𝑎𝑥 = 𝜐𝜊

2

2𝛼 = 90𝑚

Η συνολική μετατόπιση του σώματος θα είναι 𝜒𝜊𝜆 = 135𝑚

Β τρόπος. Μπορούμε να εφαρμόσουμε ΘΜΚΕ για όλη την κίνηση . 𝛫𝛼𝜌𝜒 = 𝛫𝜏𝜀𝜆 = 0

𝛥𝛫 = 𝑊𝐹 + 𝑊𝑇 → 0 = 1350 − 𝑇 ∙ 𝑥 → 10 ∙ 𝑥 = 1350

𝜒 = 135𝑚

F


5

ΘΕΜΑ Β (3768)

B1. Δύο κινητά Α και Β κινούνται κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Ox και έχουν εξισώσεις

κίνησης xΑ = 6t (SI) και ΧΒ = 2t2 (SI) αντίστοιχα.


Τα κινητά θα έχουν ίσες κατά μέτρο ταχύτητες, τη χρονική στιγμή:

α. t = 2 s β. t = 1,5 s γ. t = 3 s

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Απάντηση

Σωστή απάντηση είναι η (β)

Το κινητό Α κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα 𝝊𝜜 = 𝟔𝒎/𝒔

Η εξίσωση του κινητού Β γράφεται 𝜒𝛣 =1

24𝑡2 άρα

Το κινητό Β κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα με

επιτάχυνση 𝛼 = 4𝑚/𝑠2 και έτσι η εξίσωση της ταχύτητας του θα είναι 𝝊𝜝 = 𝜶𝒕 = 𝟒𝒕

Θέλουμε να έχουν ίσες ταχύτητες δηλαδή να ισχύει 𝜐𝛢 = 𝜐𝛣 → 6 = 4𝑡 → 𝑡 = 1,5𝑠

B2. Μικρό σώμα είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε

λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται

οριζόντια δύναμη F της οποίας η τιμή

μεταβάλλεται με τη θέση όπως φαίνεται στο

παρακάτω διάγραμμα:


Η κινητική ενέργεια του σώματος

α. από τη θέση x0 = 0 m έως τη θέση xA παραμένει σταθερή.

β. από τη θέση xA έως τη θέση xB μειώνεται.

γ. από τη θέση x0 = 0 m έως τη θέση xB αυξάνεται.

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Απάντηση

Σωστή απάντηση είναι η (γ)

Επειδή το δάπεδο είναι λείο η δύναμη F θα είναι η συνισταμένη δύναμη.

από τη θέση x0 = 0 m έως τη θέση xB η αλγεβρική τιμή της δύναμης είναι συνέχεια θετική

,άρα και η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης θα είναι συνέχεια θετική 𝛼 > 0 ,οπότε η

ταχύτητα συνέχεια θα αυξάνει ,άρα θα αυξάνει και η κινητική ενέργεια.

Β ΤΡΟΠΟΣ με ΘΜΚΕ

𝛥𝛫 = 𝑊𝐹 > 0 άρα 𝛥𝛫 > 0 δηλαδή η Κ συνέχεια αυξάνει.

xA x

F

0 xB


6

ΘΕΜΑ Δ (3768)

Μεταλλικός κύβος έλκεται με τη βοήθεια ενός ηλεκτροκινητήρα, πάνω σε ένα οριζόντιο

διάδρομο. Στον κύβο ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη F και κινείται ευθύγραμμα με

σταθερή επιτάχυνση. Με τη βοήθεια συστήματος φωτοπυλών παίρνουμε την πληροφορία ότι το

μέτρο της ταχύτητας του κύβου τη χρονική στιγμή t0 = 0 s είναι ίσο με 2 m/s και τη χρονική

στιγμή t1 = 2 s είναι ίσο με 12 m/s. Η μέση ισχύς του ηλεκτροκινητήρα (ο μέσος ρυθμός

προσφερόμενης ενέργειας στον κύβο μέσω του έργου της δύναμης F ), στο παραπάνω χρονικό

διάστημα των 2 s είναι Ρμ = 98 W. Επίσης, έχει μετρηθεί πειραματικά ο συντελεστής τριβής

ολίσθησης μεταξύ του κύβου και του διαδρόμου και βρέθηκε μ = 0,2.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2 και ότι η επίδραση του αέρα θεωρείται

αμελητέα. Να υπολογίσετε:

Δ1. το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται ο κύβος,

Μονάδες 5

Δ2. την ενέργεια που μεταφέρθηκε στον κύβο μέσω του έργου της δύναμης F στο χρονικό

διάστημα των 2 s

Μονάδες 6

Δ3. το μέτρο της δύναμης F .

Μονάδες 7

Δ4. τη μάζα του κύβου.

Μονάδες 7

Λύση

Δ1. Την επιτάχυνση μπορούμε να τη βρούμε από τη σχέση 𝛼 =𝛥𝜐

𝛥𝑡 η από 𝜐 = 𝜐𝜊 + 𝛼𝑡

με αντικατάσταση βρίσκουμε 𝛼 = 5𝑚/𝑠2

Δ2. Η ενέργεια που μεταφέρθηκε στον κύβο είναι ίση με το έργο της δύναμης F. Το έργο της

δύναμης F θα το βρούμε από την μέση ισχύ.

𝑃𝜇 =𝑊

𝑡→ 𝑊 = 𝑃𝜇 ∙ 𝑡 = 98 ∙ 2 = 196𝑗

Δ3. Το μέτρο της δύναμης F θα το βρούμε από τον τύπο του έργου 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑥 (1)

αφού πρώτα υπολογίσουμε την μετατόπιση χ από την εξίσωση 𝜒 = 𝜐𝜊𝑡 +1

2𝑎𝑡2 και βγαίνει

𝜒 = 14𝑚 και η F θα προκύψει από την (1) 𝑭 = 𝟏𝟒𝑵

Δ4. Την μάζα του σώματος θα τη βρούμε από το θεμελιώδη νόμο . Η τριβή είναι 𝛵 = 𝜇𝑚𝑔

𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝐹 − 𝜇𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 → 𝐹 = 𝑚(𝑎 + 𝜇𝑔) → 𝑚 = 2𝑘𝑔


7

ΘΕΜΑ Β (3770)

B1. Μία μπίλια κινείται πάνω στον άξονα x'x και τη στιγμή

t = 0 s βρίσκεται στη θέση x0 = 0 m. Η τιμή της ταχύτητας

της μπίλιας σε συνάρτηση με το χρόνο παριστάνεται στο

διπλανό διάγραμμα.

Α. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Η μπίλια τη

χρονική στιγμή t = 30 s βρίσκεται στη θέση

α. 125 m β. 100 m γ. 75 m

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Απάντηση

Η σωστή πρόταση είναι η (γ)

Την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης τη βρίσκουμε από το διάγραμμα υ-t με εμβαδομέτρηση.

Από 0 έ𝜔𝜍 20𝑠 η μετατόπιση είναι 𝛥𝜒1 =20∙10

2= 100𝑚

Από 20 έ𝜔𝜍 30𝑠 η μετατόπιση είναι 𝛥𝜒2 =10∙(−5)

2= −25𝑚

𝛥𝜒𝜊𝜆 = 75𝑚

Αλλά 𝜒𝜊 = 0 και έτσι 𝛥𝜒 = 𝜒 − 0 = 𝜒 άρα θα είναι 𝜒 = 75𝑚

B2. Μία μεταλλική σφαίρα εκτελεί ελεύθερη πτώση. Σε σημείο Α της τροχιάς της έχει ταχύτητα

μέτρου υ και κινητική ενέργεια ίση με Κ. Σε ένα άλλο σημείο Β που βρίσκεται χαμηλότερα από

το Α το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας είναι ίσο με 2υ.

Α. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση

Η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας της σφαίρας από τη θέση Α στην θέση Β είναι ίση με:

α. –3Κ β. 2Κ γ. –4Κ

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Απάντηση

Από τον τύπο 𝐾 =1

2𝑚𝜐2 προκύπτει πως αν διπλασιαστεί η ταχύτητα η κινητική ενέργεια

τετραπλασιάζεται .

Στις θέσεις Α και Β το σώμα έχει κινητική ενέργεια 𝛫𝛢 = 𝛫 και 𝛫𝛣 = 4𝛫

είναι 𝛥𝛫 = 3𝛫 . Επειδή ισχύει η ΑΔΜΕ η δυναμική ενέργεια θα μειώθηκε κατά 3𝛫

δηλαδή θα είναι 𝛥𝑈 = −3𝐾

10 20 t (s)

υ (m/s)

030

10

–5

25


8

ΘΕΜΑ Δ (3770)

Σε κιβώτιο μάζας m = 10 kg, το οποίο αρχικά ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, αρχίζει την

χρονική στιγμή t0 = 0 s να ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη 1F μέτρου 20 Ν.

Δ1. Να υπολογισθεί το διάστημα που θα διανύσει το κιβώτιο από t0 = 0 s έως t1 = 10 s.

Μονάδες 6

Δ2. Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης Ρλ στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

Μονάδες 6

Έστω ότι την στιγμή t0 = 0 s εκτός από τη δύναμη 1F ασκείται στο κιβώτιο και μια δεύτερη

δύναμη 2F ίση με την

1F , δηλαδή οι δυνάμεις έχουν ίδιο μέτρο και κατεύθυνση.

Δ3. Να υπολογισθεί η επιτάχυνση του κιβωτίου όταν ασκούνται σε αυτό ταυτόχρονα και οι δύο

δυνάμεις 1F και

2F .

Μονάδες 5

Δ4. Να υπολογίσετε πάλι το έργο της δύναμης 1F από t0 = 0 s έως t1 = 10 s όταν ασκούνται

ταυτόχρονα και οι δύο δυνάμεις 1F και

2F .

Να συγκρίνετε αυτό το έργο με το έργο που υπολογίσατε στο ερώτημα Δ2.

Μονάδες 8

Λύση

Δ1. Επειδή το επίπεδο είναι λείο , η δύναμη F θα είναι η συνισταμένη και θα ισχύει

𝐹 = 𝑚𝑎 και το σώμα αποκτά επιτάχυνση 𝛼 = 2𝑚/𝑠2

Το διάστημα θα το βρούμε από τον τύπο 𝑠 =1

2𝑎𝑡2 = 100𝑚

Δ2. Το έργο της δύναμης είναι 𝑊𝐹 = 𝐹 ∙ 𝑥 = 2000𝑗

Δ3. Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο

𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝐹1 + 𝐹2 = 𝑚𝑎 → …. 𝑎 = 4𝑚/𝑠2

Δ4. Όταν ασκούνται και οι 2 δυνάμεις το σώμα σε χρόνο 10s θα διανύσει διάστημα 𝑠΄ = 200𝑚

έτσι το έργο της δύναμης 𝐹1 θα είναι 𝑊′𝐹1= 𝐹1 ∙ 𝑥′ = 4000𝑗


9

ΘΕΜΑ Β (3772)

B1. Δύο μεταλλικές σφαίρες Σ1, Σ2 έχουν βάρη μέτρων Β1 και Β2 αντίστοιχα

και κρέμονται ακίνητες με τη βοήθεια νημάτων αμελητέας μάζας από την

οροφή, όπως παριστάνεται στο σχήμα.

Α. Να μεταφέρετε το διπλανό σχήμα στο γραπτό σας και να σχεδιάσετε τις

δυνάμεις που ασκούνται στις σφαίρες Σ1 και Σ2.

Μονάδες 5

Β. Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που σχεδιάσατε, σε συνάρτηση με τα βάρη

1 και 2 των δύο σφαιρών.

Μονάδες 7

Απάντηση

Στο σώμα Σ2 ασκούνται 2 δυνάμεις : Το βάρος 𝛣2 και η τάση του νήματος 𝛵′

Λόγω ισορροπίας του σώματος θα είναι 𝛴𝐹 = 0 → 𝑇′ − 𝐵2 = 0 → 𝑇′ = 𝐵2 (1)

Στο σώμα Σ1 ασκούνται 3 δυνάμεις : Το βάρος 𝛣1 η τάση από το κάτω νήμα 𝛵′ και

τάση 𝛵 από το επάνω νήμα . Λόγω ισορροπίας και του Σ1 έχουμε

𝛴𝐹 = 0 → 𝑇 − 𝑇′ − 𝐵1 = 0 → 𝑇 = 𝑇′ + 𝐵2 αλλά 𝑇′ = 𝐵2 έτσι φτάνουμε στη σχέση

𝑇 = 𝐵1 + 𝐵2

B2. Σε αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητα μέτρου υ1, Ο οδηγός του

φρενάρει οπότε το αυτοκίνητο διανύει διάστημα d1 μέχρι να σταματήσει. Αν το αυτοκίνητο

κινείται με ταχύτητα διπλάσιου μέτρου, δηλαδή υ2 = 2υ1, τότε για να σταματήσει πρέπει να

διανύσει διάστημα d2.


Αν το αυτοκίνητο σε κάθε φρενάρισμα επιβραδύνεται με την ίδια επιβράδυνση, τότε ισχύει:

α. d2 = 2d1 β. d2 = 3d1 γ. d2 = 4d1

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Απάντηση

Σωστή πρόταση είναι η (γ)

Και στις 2 περιπτώσεις το αυτοκίνητο κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με την ίδια

επιτάχυνση.

Το διάστημα που διανύει μέχρι να σταματήσει είναι 𝑑 = 𝜐𝜊

2

2𝛼

Παρατηρούμε ότι " Αν διπλασιαστεί η αρχική ταχύτητα θα τετραπλασιαστεί το d"

άρα 𝑑2 = 4𝑑1

Σ1

Σ2


10

ΘΕΜΑ Δ (3772)

Ένα κιβώτιο με βιβλία συνολικής μάζας m = 50 kg είναι ακίνητο πάνω στο δάπεδο του

διαδρόμου ενός σχολείου. Την χρονική στιγμή t0 = 0 s δύο μαθητές, ο Πάνος και η Μαρία

αρχίζουν να σπρώχνουν μαζί το κιβώτιο. Οι δυνάμεις που ασκούν οι μαθητές στο κιβώτιο είναι

σταθερές οριζόντιες και ίδιας κατεύθυνσης. Η δύναμη που ασκεί ο Πάνος έχει μέτρο FΠ = 200 Ν

και η δύναμη που ασκεί η Μαρία έχει μέτρο FM = 50 Ν. Την χρονική στιγμή t1, που το κιβώτιο

έχει ολισθήσει 2 m πάνω στο δάπεδο, η Μαρία σταματά να σπρώχνει το κιβώτιο, ενώ ο Πάνος

συνεχίζει να το σπρώχνει.

Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου μ = 0,4 και η

επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.

Δ1. Να υπολογιστεί το μέτρο της τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου.

Μονάδες 6

Δ2. Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή t1 κατά την οποία η Μαρία σταμάτησε να σπρώχνει το

κιβώτιο.

Μονάδες 6

Δ3. Να γίνει σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα του μέτρου της ταχύτητας του κιβωτίου

συναρτήσει του χρόνου από t0 = 0 s έως t2 = 4 s.

Μονάδες 7

Δ4. Να υπολογιστεί η ενέργεια που πρόσφερε ο Πάνος στο κιβώτιο, μέσω του έργου της

δύναμης που του άσκησε, από την χρονική στιγμή t0 = 0 s έως την στιγμή t1, καθώς και ο

ρυθμός με τον οποίο ο Πάνος προσφέρει ενέργεια στο κιβώτιο όταν πλέον το σπρώχνει

μόνος του.

Μονάδες 6

Λύση

Δ1. Για την τριβή ισχύει ο τύπος 𝛵 = 𝜇𝑚𝑔 = 0,4 ∙ 50 ∙ 10 = 200𝑁

Δ2. Από τη στιγμή 𝑡 = 0 έ𝜔𝜍 𝑡1 το κιβώτιο κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με

επιτάχυνση α που τη βρίσκουμε από το θεμελιώδη νόμο. 𝛴𝐹 = 𝑚𝑎

𝐹𝛱 + 𝐹𝛭 − 𝛵 = 𝑚𝑎 → 200 + 50 − 200 = 50𝑎 → 𝒂 = 𝟏𝒎/𝒔𝟐

Αφού ξέρουμε την μετατόπιση ως τη στιγμή 𝑡1 θα πάμε

στην εξίσωση 𝜒 =1

2𝛼𝑡2 θα βάλουμε 𝜒 = 2𝑚 και θα

βρούμε 𝑡1 = 2𝑠

Δ3. Τη χρονική στιγμή 𝑡1 = 2𝑠 το σώμα έχει αποκτήσει

ταχύτητα 𝜐1 = 𝛼 ∙ 𝑡 = 2𝑚/𝑠

Στη συνέχεια ισχύει 𝛴𝐹 = 0 και το κιβώτιο θα κινείται

με σταθερή ταχύτητα 𝜐 = 𝜎𝜏𝛼𝜃 = 2𝑚/𝑠

Δ4. H ενέργεια που πρόσφερε ο Πάνος ισούται με το έργο της δύναμης που άσκησε ο Πάνος στο

κιβώτιο. 𝛦𝛱 = 𝐹𝛱 ∙ 𝜒 = 200𝛮 ∙ 2𝑚 = 400𝑗

Όταν ο Πάνος σπρώχνει μόνος του το κιβώτιο κάνει ευθύγραμμη ομαλή και ο ρυθμός με τον

οποίο προσφέρει ενέργεια ο Πάνος ισούται με την ισχύ της δύναμης 𝐹𝛱

𝑃𝛱 =𝑊𝐹𝛱

𝛥𝑡=

𝐹𝛱 ∙ 𝛥𝜒

𝛥𝑡= 𝐹𝛱 ∙ 𝜐 = 400𝑗/𝑠

2

2 4

υ(m/s)

t(s)


11

ΘΕΜΑ Β (3774)

B1. Δύο πέτρες Α, και Β αφήνονται αντίστοιχα από τα ύψη hA, hB πάνω από το έδαφος να

εκτελέσουν ελεύθερη πτώση.


Αν για τους χρόνους πτώσης μέχρι το έδαφος ισχύει η σχέση tA = 2tB, τότε τα ύψη hA και hB

ικανοποιούν τη σχέση:

α. hA = 2hB β. hA = 4hB γ. hA = 8hB

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Απάντηση

Σωστή πρόταση είναι η (β)

Στην ελεύθερη πτώση η σχέση που συνδέει το ύψος h με το χρόνο καθόδου είναι :

ℎ =1

2𝑔𝑡2

Παρατηρούμε ότι αν διπλασιαστεί ο χρόνος τότε τετραπλασιάζεται το ύψος.

Αφού είναι 𝑡𝐴 = 2𝑡𝐵 → ℎ𝐴 = 4ℎ𝐵

B2. Μία μεταλλική σφαίρα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω

καικατακόρυφαπρος τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση, το μέτρο

της οποίας είναι ίσο με α και στις δύο περιπτώσεις, όπως

φαίνεται στην εικόνα. Στην εικόνα παριστάνονται επίσης και οι

δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα σε κάθε περίπτωση.


Για τα μέτρα των δυνάμεων ισχύει η σχέση:

α. F1 + F2 = 2mg β. F1 – F2 = mg γ. F1 + F2 = mg

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Απάντηση

Σωστή απάντηση είναι η (α)

Εφαρμόζουμε θεμελιώδη εξίσωση για κάθε σώμα (Θεωρούμε θετική φορά προς τα πάνω)

Για την πρώτη περίπτωση . 𝐹1 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎

Για την δεύτερη περίπτωση 𝑚𝑔 − 𝐹2 = 𝑚𝑎

Τα δεύτερα μέλη είναι ίσα άρα και τα πρώτα μέλη . οπότε 𝐹1 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔 − 𝐹2 →

𝐹1 + 𝐹2 = 2𝑚𝑔

ΘΕΜΑ Δ (3774)

F1

F2α

mg

α

mg


12

Κιβώτιο μάζας m = 2 kg αρχικά ηρεμεί σε τραχύ οριζόντιο δρόμο. Τη χρονική στιγμή t = 0 s,

ασκείται στο κιβώτιο μεταβλητή οριζόντια δύναμη το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με τη

θέση του κιβωτίου σύμφωνα με τη σχέση F = 10 + 2x (S.I.). Θεωρήστε ως x = 0 m τη θέση που

βρισκόταν το κιβώτιο τη χρονική στιγμή t = 0 s και ότι το κιβώτιο κινείται προς τη θετική κατεύ-

θυνση του άξονα Ox. Η δύναμη F καταργείται όταν το μέτρο της γίνει ίσο με 50 Ν. Ο

συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κιβωτίου και δρόμου είναι 0,4.

Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίση με g = 10 m/s2 και η αντίσταση του αέρα θεωρείται

αμελητέα.

Να υπολογίσετε:

Δ1. Το μέτρο της δύναμης της τριβής που ασκείται στο κιβώτιο.

Μονάδες 5

Δ2. Την επιτάχυνση του κιβωτίου όταν βρίσκεται στη θέση x = 10 m.

Μονάδες 7

Δ3. Το έργο της δύναμης F για τη μετατόπιση του κιβωτίου από την θέση x = 0 m έως τη θέση

στην οποία καταργείται η δύναμη F .

Μονάδες 7

Δ4. Το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το κιβώτιο από τη χρονική στιγμή t = 0 s μέχρι να

σταματήσει.

Μονάδες 6

Λύση

Δ1. Για τη δύναμη τριβής ολίσθησης έχουμε τον τύπο 𝛵 = 𝜇𝑚𝑔 = 0,4 ∙ 2 ∙ 10 = 8𝑁

Δ2. Στην θέση 𝜒 = 10𝑚 η δύναμη έχει τιμή 𝐹 = 10 + 2 ∙ 10 = 30𝑁

Από θεμελιώδη νόμο :𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝐹 − 𝑇 = 𝑚𝑎 → 𝑎 =𝐹−𝑇

𝑚=

30−8

2= 11𝑚/𝑠2

Δ3. Το έργο της δύναμης θα το βρούμε από το διάγραμμα με

εμβαδομέτρηση.

Τη θέση στην οποία καταργείται η δύναμη τη βρίσκουμε

από τη σχέση 𝐹 = 50𝑁 → 𝜒 = 20𝑚

𝛦𝜌𝛾𝜊 = 𝛦𝜇𝛽𝛼𝛿ό𝜈 =(50 + 10) ∙ 20

2

𝑊𝐹 = 600𝑗

Δ4. Εργαζόμαστε με ΘΜΚΕ για ολόκληρη τη διαδρομή . Η αρχική και η τελική κινητική

ενέργεια είναι μηδέν.

𝛥𝛫 = 𝑊𝐹 + 𝑊𝑇 ⟶ 0 = 𝑊𝐹 − 𝑇 ∙ 𝜒 ⟶ 𝜒 =𝑊𝐹

𝛵 =75𝑚

20

10

50

F(N)

χ(m)


13

ΘΕΜΑ Β (4173)

B1. Μικρό σώμα μάζας m = 500 g κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα, με την

επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F μέτρου 10 Ν.

Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Αν διπλασιαστεί το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο σώμα, τότε το σώμα θα αποκτήσει

επιτάχυνση που θα έχει μέτρο:

α. 20 m/s2 β. 2 m/s2 γ. 0,2 m/s2

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Απάντηση

Η σωστή απάντηση είναι η (α)

Η δύναμη F είναι αντίθετη της τριβής 𝐹 = 𝑇 = 10𝑁

Από το θεμελιώδη νόμο γνωρίζουμε ότι 𝛼 = 𝛴𝐹

𝑚 όπου 𝛴𝐹 = 𝜂 𝜎𝜐𝜈𝜄𝜎𝜏𝛼𝜇έ𝜈𝜂 𝛥ύ𝜈𝛼𝜇𝜂

Αν διπλασιαστεί η F τότε θα είναι 𝛴𝐹 = 𝐹′ − 𝑇 = 20 − 10 = 10𝑁

αρα θα προκύψει 𝛼 = 20𝑚/𝑠2

B2. Σε μικρό σώμα ασκείται δύναμη σταθερής κατεύθυνσης της

οποίας η τιμή μεταβάλλεται με την μετατόπιση όπως φαίνεται

στο διάγραμμα.

Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Το έργο της δύναμης F για τη μετατόπιση του σώματος από τη

θέση x = 0 m στη θέση x = 2 m θα είναι:

α. 40 J β. 20 J γ. 80 J

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Απάντηση

Σωστή απάντηση είναι η (β)

Το έργο της μεταβλητής δύναμης το βρίσκω από το διάγραμμα με εμβαδομέτρηση.

𝑊 = 𝛦𝜇𝛽𝛼𝛿ό𝜈 =1

22 ∙ 20 = 20𝑗

2 x (m)

F (N)

20

0


14

ΘΕΜΑ Δ (4173)

Ομάδα μαθητών πραγματοποιεί στο εργαστήριο του σχολείου μια σειρά από πειραματικές

δραστηριότητες προκειμένου να μελετήσουν τη κίνηση με τριβή και την ισχύ ενός κινητήρα. Για

να πραγματοποιήσουν το πείραμα χρησιμοποιούν 1) ένα μεταλλικό κύβο, 2) ένα δυναμόμετρο,

3) ένα κινητήρα, 4) μετροταινία και χρονόμετρο, 5) ζυγό ισορροπίας και πραγματοποιούν τις

παρακάτω τρεις δραστηριότητες.

(Δραστηριότητα Α) Αρχικά χρησιμοποιώντας ζυγό προσδιορίζουν τη μάζα του κύβου, m = 2 kg.

(Δραστηριότητα Β)Με τη βοήθεια ενός κινητήρα (μοτέρ), ο οποίος ασκεί μέσω ενός

δυναμόμετρου οριζόντια δύναμη F στον κύβο πετυχαίνουν ο κύβος να κινείται αργά με σταθερή

ταχύτητα πάνω στο δάπεδο της τάξης. Κατά την κίνηση με σταθερή ταχύτητα η ένδειξη του

δυναμόμετρου είναι F = 4 Ν και οι μαθητές διαπιστώνουν με τη βοήθεια της μετροταινίας και

του χρονομέτρου ότι ο κύβος διανύει διάστημα ίσο με 1 m σε χρονική διάρκεια ίση με 4 s.

(Δραστηριότητα Γ) Ένας μαθητής εκτοξεύει από σημείο Α του δαπέδου τον κύβο με οριζόντια

ταχύτητα ώστε αυτός να ολισθήσει ευθύγραμμα πάνω στο δάπεδο. Οι μαθητές μετρούν το

διάστημα που διανύει ο κύβος από το σημείο Α μέχρι που σταματά και το βρίσκουν ίσο με 9 m.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2 και ότι η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα.

Να υπολογίσετε:

Δ1. την τριβή ολίσθησης, καθώς και το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ κύβου και

δαπέδου,

Μονάδες 6

Δ2. το ρυθμό με τον οποίο ο κινητήρας προσφέρει ενέργεια στον κύβο, κατά την κίνηση με

σταθερή ταχύτητα (δραστηριότητα Β),

Μονάδες 6

Δ3. το μέτρο της ταχύτητας με την οποία εκτοξεύει ο μαθητής τον κύβο στη δραστηριότητα Γ,

Μονάδες 7

Δ4. το μέσο ρυθμό με τον οποίο η κινητική ενέργεια του κύβου μετατρέπεται σε θερμότητα κατά

τη δραστηριότητα Γ.

Μονάδες 6

Λύση

Δ1. Επειδή ο κύβος να κινείται αργά με σταθερή ταχύτητα 𝜐 = 𝜎𝜏𝛼𝜃 = 0,25𝑚/𝑠 θα είναι 𝛴𝐹 =

0 → 𝐹 = 𝑇 άρα η τριβή ολίσθησης θα είναι 𝛵 = 4𝛮 και από τη σχέση

𝛵 = 𝜇𝛮 = 𝜇𝑚𝑔 βρίσκουμε το συντελεστή τριβής 𝜇 = 0,2

Δ2. Ο ρυθμός προσφοράς ενέργειας είναι η ισχύς του κινητήρα 𝑃 = 𝐹 ∙ 𝜐 = 1𝑊

Δ3. Για την κίνηση του κύβου ώσπου να σταματήσει μπορούμε να εφαρμόσουμε το ΘΜΚΕ

0 −1

2𝑚𝜐𝜊

2 = −𝛵 ∙ 𝑠 →1

2𝑚𝜐𝜊

2 = 𝜇𝑚𝑔 ∙ 𝑠 ⟶𝜐𝜊 = √2𝜇𝑔𝑠 = 6𝑚/𝑠

Δ4. Η επιβραδυνόμενη κίνηση διαρκεί χρόνο 𝑡𝑚𝑎𝑥 =𝜐𝜊

|𝛼|

Την επιβράδυνση την βρίσκουμε από τη σχέση 𝛴𝐹 = 𝑚|𝑎| → 𝑇 = 𝑚|𝑎| → 𝜇𝑚𝑔 = 𝑚|𝑎|

προκύπτει |𝑎| = 2𝑚/𝑠2 οπότε 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 3𝑠

Η θερμότητα ισούται με την κινητική ενέργεια που υπήρχε αρχικά 𝑄 =1

2𝑚𝜐𝜊

2 = 36𝑗

Αρα 𝑄𝜊𝜆

𝑡𝜊𝜆=

36

3= 12𝑗/𝑠


15

ΘΕΜΑ Β (4186)

B1. Μία μπάλα κινείται υπό την επίδραση μόνο του βάρους της και διέρχεται διαδοχικά από τα

σημεία Α, Β, Γ.

Α. Αφού μεταφέρετε τον παρακάτω πίνακα στην κόλλα σας να τον συμπληρώσετε. Στον πίνακα

δίνονται κάποιες από τις τιμές της κινητικής, της δυναμικής και της μηχανικής ενέργειας της

μπάλας στα σημεία Α, Β, Γ.

Σημείο Κινητική ενέργεια (J) Δυναμική ενέργεια (J) Μηχανική ενέργεια (J)

Α 80 100

Β 40

Γ 10

Μονάδες 4

Β. Να εξηγήσετε πως υπολογίσατε κάθε τιμή ενέργειας με την οποία συμπληρώσατε τον πίνακα.

Μονάδες 8

B2. Γερανός ασκεί σε κιβώτιο κατακόρυφη δύναμη F με την επίδραση της οποίας το κιβώτιο

κατεβαίνει κατακόρυφα με επιτάχυνση μέτρου g

2, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.


Αν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα, τότε για το μέτρο F της δύναμης F και το μέτρο Β

του βάρους του κιβωτίου ισχύει .

α. B

F2

β. F = 2Β γ. F = B

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Απάντηση

Σωστή επιλογή είναι η (α)

Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο , παίρνοντας σαν θετική φορά την

φορά της επιτάχυνσης

𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝐵 − 𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝐹 = 𝐵 − 𝑚𝑎

𝐹 = 𝐵 −𝐵

2

𝐹 =𝐵

2

α=g/2

F

Β


16

ΘΕΜΑ Δ (4186)

Στο διάγραμμα του σχήματος φαίνεται η γραφική παράσταση της

τιμής της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα σώμα που

κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο.

Δ1. Να υπολογίσετε τα μέτρα των επιταχύνσεων α1 και α2 με τις

οποίες κινείται το σώμα κατά τα χρονικά διαστήματα 0 s – 4 s

και 8 s – 10 s αντίστοιχα.

Μονάδες 5

Δ2. Να κατασκευάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της τιμής της

επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο, από τη χρονική

στιγμή t = 0 s έως και την χρονική στιγμή t = 10 s.

Μονάδες 6

Δ3. Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του σώματος κατά το χρονικό διάστημα 0 s – 10 s.

Μονάδες 7

Δ4. Αν Κ1 και Κ2 είναι οι τιμές της κινητικής ενέργειας του σώματος τις χρονικές στιγμές t1 = 2 s

και t2 = 9 s αντίστοιχα, να υπολογίσετε το λόγο 1

2

.

Μονάδες 7

Λύση

Δ1. Θα βρούμε τις επιταχύνσεις με τον τύπο 𝛼 =𝛥𝜐

𝛥𝑡

Από 0 έ𝜔𝜍 4𝑠 휀ί𝜈𝛼𝜄 𝛼1 =𝛥𝜐

𝛥𝑡=

10−0

4−0= 2,5𝑚/𝑠2

Από 0 έ𝜔𝜍 4𝑠 휀ί𝜈𝛼𝜄 𝛼2 =𝛥𝜐

𝛥𝑡=

20−10

10−8= 5𝑚/𝑠2

Δ2.

Δ3. Από το διάγραμμα της ταχύτητας βρίσκουμε την μετατόπιση ως εξής

Από 0 έως 4s είναι 𝛥𝜒1 = 20𝑚



𝛥𝜒𝜊𝜆 = 90𝑚 και η μέση ταχύτητα θα είναι 𝜐𝜇 =𝛥𝜒𝜊𝜆

𝛥𝑡𝜊𝜆=

90

10= 9𝑚/𝑠

Δ4. Τη χρονική στιγμή 𝑡1 = 2𝑠 το σώμα έχει ταχύτητα 𝜐1 = 𝛼1 ∙ 𝑡1 = 5𝑚/𝑠

ενώ τη στιγμή 𝑡2 = 9𝑠 το σώμα έχει ταχύτητα 𝜐2 = 10 + 𝛼2 ∙ 𝛥𝑡 = 10 + 5 ∙ 1 = 15𝑚/𝑠

Βλέπουμε ότι 𝜐2 = 3𝜐1 δηλαδή η ταχύτητα τριπλασιάστηκε ,άρα η κινητική ενέργεια θα

εννεαπλασιάστηκε και ισχύει 𝛫1

𝛫2=

1

9

4 8 t (s)

υ (m/s)

0

20

10

10

2,5

4 8

a(m/s2)

t(s)

5

10


17

ΘΕΜΑ Β (4980)

B1. Δύο μαθητές, ο Αντώνης (Α) και ο Βασίλης (Β) συναγωνίζονται με

τα ποδήλατατους ποιος από τους δύο μπορεί να φτάσει πρώτος να

κινείται με ταχύτητα ίση με 25 km/h. Για τον λόγο αυτό σταματούν στο

ίδιο σημείο ενός ευθύγραμμου οριζόντιου δρόμου και αρχίζουν τη

χρονική στιγμή t = 0 να κινούνται παράλληλα. Στο διπλανό διάγραμμα

φαίνεται η γραφική παράσταση ταχύτητας - χρόνου για τους δύο

μαθητές, που θεωρούμε ότι μπορούν να κινηθούν με σταθερή επιτάχυνση

τουλάχιστον μέχρι την στιγμή που θα "φτάσουν" τα 25 km/h.

Α. Από τις παρακάτω τρεις επιλογές, να επιλέξετε αυτήν που θεωρείτε σωστή.

Ο μαθητής που θα καταφέρει πρώτος να "φτάσει" τα 25 km/h, είναι:

α. ο Αντώνης

β. ο Βασίλης

γ. κανένας από τους δύο, αφού θα φτάσουν ταυτόχρονα να κινούνται με 25 km/h

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Απάντηση

Η σωστή πρόταση είναι η (α)

Κάποια τυχαία χρονική στιγμή παρατηρούμε ότι

𝜒𝛢 > 𝜒𝛣

έτσι κάθε στιγμή ο Α προηγείται του Β

B2. Δύο σώματα Σ1 και Σ2 έχουν ίσες μάζες και κινούνται στον ίδιο οριζόντιο δρόμο σε

αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες 1 και 2 αντίστοιχα.

Α. Από τις παρακάτω τρεις επιλογές, να επιλέξετε αυτήν που θεωρείτε σωστή.

Αν για τα μέτρα των ταχυτήτων ισχύει υ1 = 2υ2, τότε ο λόγος 1

2

των κινητικών ενεργειών των

σωμάτων Σ1 και Σ2, είναι ίσος με:

α. 4 β. –4 γ. 2

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Απάντηση

Σωστή πρόταση είναι η (α)

Οι κινητικές ενέργειες είναι πάντα θετικές.

Από τον τύπο 𝛫 =1

2𝑚𝜐2

Όταν το μέτρο της ταχύτητας διπλασιαστεί η κινητική ενέργεια τετραπλασιάζεται

t

υ

0

Α

Β


18

ΘΕΜΑ Δ (4980)

Τα κιβώτια Κ1 και Κ2 του διπλανού σχήματος έχουν

μάζες m1 = 3 kg και m2 = 5 kg αντίστοιχα και βρίσκονται

αρχικά ακίνητα σε οριζόντιο δάπεδο, με το οποίο

εμφανίζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής μ = 0,5. Τα

κιβώτια είναι δεμένα μεταξύ τους με ένα μη εκτατό νήμα αμελητέας μάζας, το οποίο είναι

οριζόντιο και τεντωμένο. Τη χρονική στιγμή t = 0 ένας εργάτης ασκεί στο κιβώτιο Κ1 οριζόντια

σταθερή δύναμη F στη διεύθυνση του νήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα και μετακινεί τα

κιβώτια με σταθερή επιτάχυνση α = 1 m/s2.

Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται σε καθένα κιβώτιο.

Μονάδες 6

Δ2. Να εφαρμόσετε το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής στο κιβώτιο Κ2 και να υπολογίσετε το

μέτρο της δύναμης που ασκείται στο κιβώτιο αυτό από το νήμα.

Μονάδες 6

Δ3. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης που ασκεί το νήμα στο κιβώτιο Κ1, από τη χρονική

στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική t1 = 4 s.

Μονάδες 6

Δ4. Να υπολογίσετε πόσο τοις εκατό από την ενέργεια που μεταβιβάζει ο εργάτης στα κιβώτια,

μεταφέρεται ως κινητική στο κιβώτιο Κ1.

Μονάδες 7

Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.

Λύση

Δ1. Για τις δυνάμεις τριβής 𝛵1, 𝛵2 ισχύουν οι τύποι.

𝛵1 = 𝜇𝛮1 = 𝜇𝑚1𝑔 = 0,5 ∙ 3 ∙ 10 = 15𝑁

𝛵2 = 𝜇𝛮2 = 𝜇𝑚2𝑔 = 0,5 ∙ 5 ∙ 10 = 25𝑁

Δ2. Στο κιβώτιο 𝛫2 ασκούνται 2 οριζόντιες δυνάμεις : Η τάση του νήματος 𝛵 και η τριβή 𝛵2

Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο:

𝛴𝐹 = 𝑚2𝑎 → 𝑇 − 𝛵2 = 𝑚2𝑎

𝑇 = 𝛵2 + 𝑚2𝑎 = 25 + 5 ∙ 1 = 30𝑁

Δ3. Τα κιβώτια κάνουν ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κ ίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα

και ισχύει η εξίσωση 𝜒 =1

2𝛼𝑡2 στην οποία αντικαθιστούμε το χρόνο με 𝑡 = 𝑡1 = 4𝑠 και

βρίσκουμε 𝜒 = 8𝑚 ( και έχουν αποκτήσει ταχύτητα 𝜐 = 𝛼𝑡 = 1 ∙ 4 = 4𝑚/𝑠)

Το έργο της τάσης 𝛵 που ασκείται στο 𝛫1 είναι αρνητικό και ίσο με

𝑊𝑇 = −𝑇 ∙ 𝜒 = −30 ∙ 8 = −240𝑗

Δ4. Ο εργάτης μεταβιβάζει ενέργεια ίση με το έργο της δύναμης F .

Την δύναμη F θα την βρούμε εφαρμόζοντας θεμελιώδη νόμο για το 𝛫1

𝛴𝐹 = 𝑚1𝑎 → 𝐹 − 𝑇 − 𝛵1 = 𝑚1𝑎 → 𝐹 = 𝑇 + 𝛵1 + 𝑚1𝑎 = 30 + 15 + 3 ∙ 1 = 48𝑁

Και το έργο της F θα είναι 𝑊𝐹 = 𝐹 ∙ 𝜒 = 48 ∙ 8 = 384𝑗

Ένα μέρος αυτής της ενέργειας γίνεται κινητική ενέργεια του 𝛫1

𝐾1 =1

2𝑚1𝜐2 =

1

23 ∙ 16 = 24𝑗

𝐾1

𝑊𝐹=

24

384= 0,0625 = 6,25%

FΚ2 Κ1


19

ΘΕΜΑ Β (4982)

B1. Ένας σκιέρ κινείται ευθύγραμμα. Η γραφική παράσταση της θέσης

του σκιέρ σε συνάρτηση με το χρόνο είναι παραβολή και παριστάνεται

στο διπλανό διάγραμμα.

Α. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Από το διάγραμμα αυτό

συμπεραίνουμε ότι το μέτρο της ταχύτητας του σκιέρ:

α. αυξάνεται. β. μειώνεται γ. δε μεταβάλλεται

Μονάδες 4


Μονάδες 8

Απάντηση

Σωστή πρόταση είναι η (α)

Από το διάγραμμα χ-t βλέπουμε ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. Άρα το

μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται.

B2. Από ένα σημείο του εδάφους εκτοξεύουμε μικρή μεταλλική σφαίρα κατακόρυφα προς τα

πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου υ0 και φτάνει σε μέγιστο ύψος ίσο με h πάνω από το έδαφος.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Α. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Για να φτάσει η σφαίρα σε μέγιστο ύψος ίσο με 2h, πρέπει

να εκτοξευτεί με ταχύτητα μέτρου:

α. 2υ0 β. 4υ0 γ. 0 2

Μονάδες 4


Μονάδες 9

Απάντηση

Σωστή πρόταση είναι η (γ)

Η μόνη δύναμη που ενεργεί είναι το βάρος ,έτσι ισχύει η ΑΔΜΕ.

Αρχικά το σώμα έχει μόνο κινητική ενέργεια ,η οποία στο μέγιστο ύψος έχει μετατραπεί σε

δυναμική ενέργεια.

𝛫𝛼𝜌𝜒 = 𝑈𝜏𝜀𝜆 →1

2𝑚𝜐𝜊

2 = 𝑚𝑔ℎ

ℎ =𝜐𝜊

2

2𝑔ℎ ⟶ 𝜐𝜊 = √2𝑔ℎ

Αν το ύψος γίνει ℎ′ = 2ℎ η ταχύτητα θα γίνει

𝜐′𝜊 = √2𝑔ℎ′ = √2𝑔2ℎ = √2𝑔ℎ ∙ √2 = 𝜐𝜊 ∙ √2

t

x

0

x1

t1


20

ΘΕΜΑ Δ (4982)

Ένα σώμα με μάζα 120 kg ολισθαίνει σε οριζόντιο ευθύγραμμο

δρόμο, που ταυτίζεται με τον άξονα x'x. Στο σώμα ασκείται

δύναμη F στη διεύθυνση της κίνησης του και τη χρονική στιγμή

t = 0, διέρχεται από τη θέση x0 = –25 m, κινούμενο προς τη

θετική κατεύθυνση του άξονα. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται

η γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της ταχύτητας του

σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και

του δρόμου είναι μ = 0,2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.

Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της οριζόντιας δύναμης F , που ασκείται στο σώμα, στη χρονική

διάρκεια 0 – 5 s.

Μονάδες 6

Δ2. Να υπολογίσετε το ρυθμό παραγωγής έργου από τη δύναμη F (ισχύ της δύναμης F ), τη

χρονική στιγμή t1 = 3 s.

Μονάδες 6

Δ3. Να προσδιορίσετε τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t2 = 10 s.

Μονάδες 6

Δ4. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F , στη διάρκεια του 4ου δευτερολέπτου της κίνησης

του σώματος.

Μονάδες 7

Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.

Λύση

Δ1. Η δύναμη τριβής είναι 𝛵 = 𝜇 ∙ 𝑚𝑔 = 240𝑁

Από το διάγραμμα φαίνεται ότι από 0 έ𝜔𝜍 5𝑠 σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση .

𝛴𝐹 = 0 → 𝐹 − 𝑇 = 0 → 𝐹 = 240𝑁

Δ2. 𝑃𝐹 = 𝐹 ∙ 𝜐 = 2400𝑗

𝑠

Δ3. Από το διάγραμμα 𝜐 − 𝑡 θα βρούμε την μετατόπιση του σώματος από 0 έ𝜔𝜍 10𝑠

𝛥𝜒 = 𝛦𝜇𝛽𝛼𝛿ό𝜈(1) + 𝛦𝜇𝛽𝛼𝛿ό𝜈(2) = 50 + 75 = 125𝑚

Είναι 𝛥𝜒 = 𝜒 − 𝜒𝜊 → 125 = 𝜒 − (−25) → 𝜒 = 125 − 25

𝜒 = 100𝑚

Δ4. Το τέταρτο δευτερόλεπτο ανήκει στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και σε κάθε s της εοκ το

σώμα διανύει διάστημα 𝑠 = 10𝑚/𝑠

Το έργο της F θα είναι 𝑊𝐹 = 𝐹 ∙ 𝑠 = 240 ∙ 10 = 2400𝑗

5 15 t (s)

υ (m/s)

0

20

10

10

ΘΕΜΑ Β (3761) - WordPress.com...Δ1. το μέτρο της συνισταμένης...

Documents

Transcript of ΘΕΜΑ Β (3761) - WordPress.com...Δ1. το μέτρο της συνισταμένης...