Application de la formule de Moivre : exercice résolu

Énoncé : Calculer S = 2 3 4 5 6 7cos cos cos cos cos cos cos7 7 7 7 7 7 7π π π π π π π+ + + + + + ,

puis simplifier l’expression obtenue.

Rappel : Pour simplifier les notations, on peut se souvenir qu’on peut écrire cos θ + i sin θ

sous la forme eiθ. Mais ce n’est pas obligatoire !

1. ( )ni ine eθ θ=

2. ie θ = e-iθ

3. eiθ . e-iθ = 1.

Dém : ( )nie θ = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ = ine θ vu la formule de Moivre ;

cos sinie iθ θ θ= + = cos θ - i sin θ = cos (-θ) + i sin (-θ) = e-iθ et

eiθ . e-iθ = (cos θ + i sin θ) (cos θ - i sin θ) = cos2 θ + sin2 θ = 1.

Solution :

La somme S est la partie réelle du nombre complexe

Z = 2 3 4 5 6 7

7 7 7 7 7 7 7i i i i i i i

e e e e e e eπ π π π π π π

+ + + + + + ,

qui est la somme des 7 premiers termes d’une suite géométrique de raison 7i

eπ

; elle vaut donc 7

7

7

7

1

1

i

i

i

ee

e

π

π

π

−

− = 7

7

1

1

ii

i

eee

π π

π−

− =

7

7

2

1

i

i

e

e

π

π

−par application de la formule de Moivre.

Il reste à déterminer la partie réelle de Z après avoir rendu le dénominateur réel :

1ère méthode :

on a Z = 72

1 cos sin7 7

ie

i

π

π π− − =

7

2

2

2sin 2 sin cos14 14 14

ie

i

π

π π π−=

72 .2sin sin cos

14 14 14

ie i

ii

π

π π π −

= 7

sin cos sin14 14 14

iie

i

π

π π π +

= 7

14sin14

i

i

ie

e

π

ππ =

7 14

14 14

.sin

14

i i

i i

ie e

e e

π π

π ππ

−

− =

7 14

sin14

iie

π π

π

−

= 14

sin14

iie

π

π

−

= cos sin

14 14

sin14

i iπ π

π

− + − =

cos sin14 14sin

14

i π π

π

− = -1 + i cotg

14π .

Par conséquent, la somme recherchée qui est la partie réelle de Z vaut –1 :

S = 2 3 4 5 6 7cos cos cos cos cos cos cos7 7 7 7 7 7 7π π π π π π π+ + + + + + = -1.

Le dernier terme de cette somme étant égale à –1, on peut conclure que

2 3 4 5 6cos cos cos cos cos cos7 7 7 7 7 7π π π π π π+ + + + + = 0.

2ème méthode :

on a Z = 7 7

7 7

2 1.1 1

i i

i i

e e

e e

π π

π π

−

−

−

− − =

7

7 7 7 7

2 1

1

i

i i i i

e

e e e e

π

π π π π− −

−

− − + =

7

7 7

2 1

1 1

i

i i

e

e e

π

π π−

−

− − +=

=

7

7

2 1

2 1

i

i

e

e

π

π

−

− ℜ

= 7

7

1

1

i

i

e

e

π

π−

− ℜ=

cos 1 sin7 7

1 cos7

iπ π

π

− +

−= -1 + i

sin7

1 cos7

π

π− = -1 + i cotg

14π si on

applique de manière adéquate quelques formules de trigonométrie.