Mathematik Trigonometrie

Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz

A5170-Trigonometrie B. Willimann Seite 1 / 3

Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz 19.02.2007

Herleitung der Flächenformel für allgemeine Dreiecke:

Gegeben ist von einem beliebigen Dreieck a, b und α .

Es gilt: cc

hsin ; h b sin

bα = = ⋅ α

Für die Dreiecksfläche ergibt sich nun:

cc h c b sin b cA sin

2 2 2

⋅ ⋅ ⋅ α ⋅= = = ⋅ α

Analog gilt mit zyklischer Vertauschung

Die Flächenformel für allgemeine Dreiecke b c c a a b

A sin sin sin2 2 2

⋅ ⋅ ⋅= α = β = γ

(Dieser Satz gilt auch für recht- und stumpfwinklige Dreiecke)

� Verallgemeinerung:

Die Dreiecksfläche liess sich bisher aus einer Seite mal deren Höhe geteilt durch zwei

berechnen. Oder anders gesagt galt für die Fläche "Seite mal Seite durch zwei" nur für

rechtwinklige Dreiecke. Nun lässt sich die Fläche für allgemeine Dreiecke berechnen aus

dem Produkt zweier beliebiger Seiten mal dem 'Korrekturfaktor' Sinus des

Zwischenwinkels.

Aus dieser Flächenformel folgt:

Herleitung des Sinus-Satzes:

b c a c

sin sin2 2

⋅ ⋅α = β / c

2

b sin a sin⋅ α = ⋅ β / : ( )sin sinα ⋅ β

a sin

b sin

α=β

Analog gilt mit zyklischer Vertauschung *)

Der Sinussatz a sin b sin c sin

; ;b sin c sin a sin

α β γ= = =β γ α

In Worten:

Im Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel (Dieser Satz gilt auch für recht- und stumpfwinklige Dreiecke)

*) Erklärung der zyklischen Vertauschung siehe nächste Seite

Mathematik Trigonometrie

Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz

A5170-Trigonometrie B. Willimann Seite 2 / 3

Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz 19.02.2007

Zyklische Vertauschung:

Eine Formel, die Winkel und Seiten beliebiger ebener Dreiecke in Beziehung setzt,

bleibt richtig, wenn man zyklisch vertauscht, d.h. wenn man jede Dreiecksgrösse durch

die nächste (alphabetisch, nach c fange wieder bei a an) ersetzt Dieses Vorgehen heisst deshalb zyklische Vertauschung, weil das Vertauschen anhand folgender Diagramme abläuft:

Herleitung des Cosinus-Satzes:

(Beachten Sie die Skizze auf der vorhergehenden Seite)

Nach dem Satz von Pythagoras gilt:

2 2 2c 1h b c= − und 2 2 2

c 2h a c= −

Durch Gleichsetzen ergibt sich: 2 2 2 2

1 2b c a c− = − / 21c+

2 2 2 21 2b a c c= + − / setze 1 2c c c= −

2 2 2 22 2b a (c c ) c= + − − / TU

2 2 2 2 22 2 2b a c 2 c c c c= + − ⋅ ⋅ + − / TU

2 2 22b a c 2 c c= + − ⋅ ⋅ es gilt: 2c

sina

β = ; 2c a sin= ⋅ β

damit erhalten wir: 2 2 2b a c 2 c a sin= + − ⋅ ⋅ ⋅ β / alfabetisch sortieren 2 2 2b a c 2 a c sin= + − ⋅ ⋅ ⋅ β

Analog gilt mit zyklischer Vertauschung

Der Cosinussatz 2 2 2

2 2 2

2 2 2

c a b 2 a b sin

a b c 2 b c sin

b a c 2 a c sin

= + − ⋅ ⋅ ⋅ α

= + − ⋅ ⋅ ⋅ γ

= + − ⋅ ⋅ ⋅ β

(Dieser Satz gilt auch für recht- und stumpfwinklige Dreiecke)

� Verallgemeinerung:

Der Cosinus-Satz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras!

Bisher galt 2 2 2c a b= + für rechtwinklige Dreiecke. Nun können wir diesen Satz auch auf

beliebige Dreiecke anwenden mit dem "Korrektur-Subtrahenden" 2absin− α . Für 090α =

gilt sin 0α = und damit 2absin 0− α = was dem guten alten Pythagoras entspricht.

Mathematik Trigonometrie

Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz

A5170-Trigonometrie B. Willimann Seite 3 / 3

Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz 19.02.2007

Anwendungen des Sinussatzes:

• Wenn von einem Dreieck eine Seite und zwei Winkel (und damit alle drei Winkel)

gegeben sind

• Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und der Gegenwinkel einer dieser Seiten

gegeben ist

Anwendungen des Cosinussatzes:

• Sind von einem Dreieck alle drei Seitenlängen bekannt, so notieren Sie zuerst den

Kosinussatz für diejenige Seite, welche dem gesuchten Winkel gegenüber liegt. Lösen

Sie diese Gleichung nach dem Cosinus des gesuchten Winkels auf. Aus diesem

Kosinuswert erhalten Sie den gesuchten Winkel mit dem Arcus-Cosinus

• Sind von einem Dreieck zwei Seiten und deren Zwischenwinkel bekannt, so liefert der

Kosinussatz direkt die dritte Seite (bzw. das Quadrat dieser Seite

• Sind von einem Dreieck zwei Seiten und ein anliegender Winkel (≠ Zwischenwinkel)

bekannt, so notieren Sie zuerst den Cosinussatz für diejenige Seite, welche dem

bekannten Winkel gegenüber liegt. Diese Gleichung ist eine quadratische Gleichung für die dritte Dreiecksseite

Beispiele:

Stellen Sie sich selber Aufgaben:

Nehmen Sie von den dreiecksbestimmenden Stücken (a, b, c, α , β , γ ) je 3 Stück und berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel.

Diskutieren Sie die Fälle, in denen die Auswahl nicht zu einer eindeutigen Lösung sondern

zu zwei oder sogar unendlich vielen Lösungen führt.

Machen Sie sich zuerst zu jeder Aufgabe ein paar Gedanken: Was muss/kann ich zuerst

berechnen, brauche ich nur den Sinus- oder Cosinussatz oder brauche ich beide?