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Logik erster Stufe
Help-Desk Diskrete Modellierung
February 20, 2013
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 1 / 17
Aufgabe 4 (a)(i)
Sei σ := {F , I , M, B, ˙Lzs} eine Signatur, wobei F ein 2-stelligesRelationssymbol, I , M, B jeweils 1-stellige Relationssymbole und ˙Lzs einKonstantensymbol ist. Sei A eine σ-Struktur mitA := (A, FA, IA, MA, BA, ˙LzsA), in der A die Menge der Studierenden istund ˙LzsA den Langzeitstudenten aus A bezeichnet, also die Person aus A,die schon am langsten studiert. Außerdem gilt fur alle x und y aus A:
(x , y) ∈ FA ⇐⇒ x und y sind miteinander befreundet
x ∈ IA ⇐⇒ x studiert Informatik
x ∈ MA ⇐⇒ x studiert Mathematik
x ∈ BA ⇐⇒ x studiert Bioinformatik
Beachten Sie, dass FA eine symmetrische Relation darstellt und niemandmit sich selbst befreundet ist.
i. Der Langzeitstudent studiert Mathematik.
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Aufgabe 4 (a)(i)
Sei σ := {F , I , M, B, ˙Lzs} eine Signatur, wobei F ein 2-stelligesRelationssymbol, I , M, B jeweils 1-stellige Relationssymbole und ˙Lzs einKonstantensymbol ist. Sei A eine σ-Struktur mitA := (A, FA, IA, MA, BA, ˙LzsA), in der A die Menge der Studierenden istund ˙LzsA den Langzeitstudenten aus A bezeichnet, also die Person aus A,die schon am langsten studiert. Außerdem gilt fur alle x und y aus A:
(x , y) ∈ FA ⇐⇒ x und y sind miteinander befreundet
x ∈ IA ⇐⇒ x studiert Informatik
x ∈ MA ⇐⇒ x studiert Mathematik
x ∈ BA ⇐⇒ x studiert Bioinformatik
Beachten Sie, dass FA eine symmetrische Relation darstellt und niemandmit sich selbst befreundet ist.
i. Der Langzeitstudent studiert Mathematik.
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 2 / 17
Aufgabe 4 (a)(i)
Sei σ := {F , I , M, B, ˙Lzs} eine Signatur, wobei F ein 2-stelligesRelationssymbol, I , M, B jeweils 1-stellige Relationssymbole und ˙Lzs einKonstantensymbol ist. Sei A eine σ-Struktur mitA := (A, FA, IA, MA, BA, ˙LzsA), in der A die Menge der Studierenden istund ˙LzsA den Langzeitstudenten aus A bezeichnet, also die Person aus A,die schon am langsten studiert. Außerdem gilt fur alle x und y aus A:
(x , y) ∈ FA ⇐⇒ x und y sind miteinander befreundet
x ∈ IA ⇐⇒ x studiert Informatik
x ∈ MA ⇐⇒ x studiert Mathematik
x ∈ BA ⇐⇒ x studiert Bioinformatik
Beachten Sie, dass FA eine symmetrische Relation darstellt und niemandmit sich selbst befreundet ist.
ii. Fur jedes der Facher Informatik, Mathematik und Bioinformatik gibtes jeweils einen Studierenden, der dieses Fach studiert.
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 3 / 17
Aufgabe 4 (a)(i)
Sei σ := {F , I , M, B, ˙Lzs} eine Signatur, wobei F ein 2-stelligesRelationssymbol, I , M, B jeweils 1-stellige Relationssymbole und ˙Lzs einKonstantensymbol ist. Sei A eine σ-Struktur mitA := (A, FA, IA, MA, BA, ˙LzsA), in der A die Menge der Studierenden istund ˙LzsA den Langzeitstudenten aus A bezeichnet, also die Person aus A,die schon am langsten studiert. Außerdem gilt fur alle x und y aus A:
(x , y) ∈ FA ⇐⇒ x und y sind miteinander befreundet
x ∈ IA ⇐⇒ x studiert Informatik
x ∈ MA ⇐⇒ x studiert Mathematik
x ∈ BA ⇐⇒ x studiert Bioinformatik
Beachten Sie, dass FA eine symmetrische Relation darstellt und niemandmit sich selbst befreundet ist.
iii. Jeder Studierende der Informatik ist mit dem Langzeitstudentenbefreundet.
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Aufgabe 4 (a)(i)
Sei σ := {F , I , M, B, ˙Lzs} eine Signatur, wobei F ein 2-stelligesRelationssymbol, I , M, B jeweils 1-stellige Relationssymbole und ˙Lzs einKonstantensymbol ist. Sei A eine σ-Struktur mitA := (A, FA, IA, MA, BA, ˙LzsA), in der A die Menge der Studierenden istund ˙LzsA den Langzeitstudenten aus A bezeichnet, also die Person aus A,die schon am langsten studiert. Außerdem gilt fur alle x und y aus A:
(x , y) ∈ FA ⇐⇒ x und y sind miteinander befreundet
x ∈ IA ⇐⇒ x studiert Informatik
x ∈ MA ⇐⇒ x studiert Mathematik
x ∈ BA ⇐⇒ x studiert Bioinformatik
Beachten Sie, dass FA eine symmetrische Relation darstellt und niemandmit sich selbst befreundet ist.
iv. Jeder Studierende der Bioinformatik ist mit einem Studierenden derBioinformatik befreundet.
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Aufgabe 4 (a)(ii)
Sei σ := {F , I , M, B, ˙Lzs} eine Signatur, wobei F ein 2-stelligesRelationssymbol, I , M, B jeweils 1-stellige Relationssymbole und ˙Lzs einKonstantensymbol ist. Sei A eine σ-Struktur mitA := (A, FA, IA, MA, BA, ˙LzsA), in der A die Menge der Studierenden istund ˙LzsA den Langzeitstudenten aus A bezeichnet, also die Person aus A,die schon am langsten studiert. Außerdem gilt fur alle x und y aus A:
(x , y) ∈ FA ⇐⇒ x und y sind miteinander befreundet
x ∈ IA ⇐⇒ x studiert Informatik
x ∈ MA ⇐⇒ x studiert Mathematik
x ∈ BA ⇐⇒ x studiert Bioinformatik
Beachten Sie, dass FA eine symmetrische Relation darstellt und niemandmit sich selbst befreundet ist.
i. ∃x ¬((
I (x) ∨ M(x))∨ B(x)
)Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 6 / 17
Aufgabe 4 (a)(ii)
Sei σ := {F , I , M, B, ˙Lzs} eine Signatur, wobei F ein 2-stelligesRelationssymbol, I , M, B jeweils 1-stellige Relationssymbole und ˙Lzs einKonstantensymbol ist. Sei A eine σ-Struktur mitA := (A, FA, IA, MA, BA, ˙LzsA), in der A die Menge der Studierenden istund ˙LzsA den Langzeitstudenten aus A bezeichnet, also die Person aus A,die schon am langsten studiert. Außerdem gilt fur alle x und y aus A:
(x , y) ∈ FA ⇐⇒ x und y sind miteinander befreundet
x ∈ IA ⇐⇒ x studiert Informatik
x ∈ MA ⇐⇒ x studiert Mathematik
x ∈ BA ⇐⇒ x studiert Bioinformatik
Beachten Sie, dass FA eine symmetrische Relation darstellt und niemandmit sich selbst befreundet ist.
ii. ∀x∀y((
M(x) ∧ B(y))→ ¬F (x , y)
)Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 7 / 17
Aufgabe 4 (a)(ii)
Sei σ := {F , I , M, B, ˙Lzs} eine Signatur, wobei F ein 2-stelligesRelationssymbol, I , M, B jeweils 1-stellige Relationssymbole und ˙Lzs einKonstantensymbol ist. Sei A eine σ-Struktur mitA := (A, FA, IA, MA, BA, ˙LzsA), in der A die Menge der Studierenden istund ˙LzsA den Langzeitstudenten aus A bezeichnet, also die Person aus A,die schon am langsten studiert. Außerdem gilt fur alle x und y aus A:
(x , y) ∈ FA ⇐⇒ x und y sind miteinander befreundet
x ∈ IA ⇐⇒ x studiert Informatik
x ∈ MA ⇐⇒ x studiert Mathematik
x ∈ BA ⇐⇒ x studiert Bioinformatik
Beachten Sie, dass FA eine symmetrische Relation darstellt und niemandmit sich selbst befreundet ist.
iii. ∃x∀y((
F (x , y) ∨ x =y)∨ ∃z
(F (x , z) ∧ F (z , y)
))Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 8 / 17
Aufgabe 4 (b) Seriendatenbank
Tabelle ˙DeutschASerien
:Serie Folge TitelThe Big Bang Theory 1 Penny und die PhysikerThe Big Bang Theory 2 Chaos-TheorieThe Big Bang Theory 3 Erregungsfaktor: NulThe Big Bang Theory 4 Die Leuchtfisch-IdeeThe Big Bang Theory 5 Die andere Seite der KrawatteThe Big Bang Theory 6 Das Mittelerde-ParadigmaThe Big Bang Theory 25 Schere, Stein, SpockDie Simpsons 7 Vorsicht, wilder HomerDie Simpsons 435 Auf der Jagd nach dem Juwel von SpringfieldDie Simpsons 508 How I Wet Your MotherMord mit Aussicht 1 Ausgerechnet EifelMord mit Aussicht 11 Todlicher LehrstoffMord mit Aussicht 15 Terror in Hengasch
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Aufgabe 4 (b) Seriendatenbank
Tabelle ˙EnglischASerien
:
Serie Folge TitelThe Big Bang Theory 1 PilotThe Big Bang Theory 2 The Big Bran HypothesisThe Big Bang Theory 3 The Fuzzy Boots CorollaryThe Big Bang Theory 4 The Luminous Fish EffectThe Big Bang Theory 5 The Hamburger PostulateThe Big Bang Theory 6 The Middle Earth ParadigmThe Big Bang Theory 25 The Lizard-Spock ExpansionThe Simpsons 508 How I Wet Your MotherThe Simpsons 435 Gone Maggie GoneThe Simpsons 430 The Burns and the BeesPrison Break 12 Odd Man Out
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Aufgabe 4 (b) Seriendatenbank
Tabelle ˙UbersetzungASerien
:
Originaltitel Deutscher TitelThe Big Bang Theory The Big Bang TheoryPrison Break Prison BreakThe Simpsons Die SimpsonsHome Improvement Hor mal wer da hammert
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Aufgabe 4 (b) Seriendatenbank
Welche der folgenden Anfragen lassen sich als FO[σSerien]-Formelbeschreiben, welche nicht?
1 Geben Sie alle w ∈ ASCII ∗ bis auf “How I Met Your Mother” aus.
2 Geben Sie alle “Prison Break” Folgen aus, deren Folgennummergroßer als 50 sind.
3 Geben Sie alle Serien aus, die exakt 26 Episoden haben, die in derDatenbank eingetragen sind.
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Aufgabe 4 (b) Seriendatenbank
Welche der folgenden Anfragen lassen sich als FO[σSerien]-Formelbeschreiben, welche nicht?
1 Geben Sie alle w ∈ ASCII ∗ bis auf “How I Met Your Mother” aus.
2 Geben Sie alle “Prison Break” Folgen aus, deren Folgennummergroßer als 50 sind.
3 Geben Sie alle Serien aus, die exakt 26 Episoden haben, die in derDatenbank eingetragen sind.
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 12 / 17
Aufgabe 4 (b) Seriendatenbank
Welche der folgenden Anfragen lassen sich als FO[σSerien]-Formelbeschreiben, welche nicht?
1 Geben Sie alle w ∈ ASCII ∗ bis auf “How I Met Your Mother” aus.
2 Geben Sie alle “Prison Break” Folgen aus, deren Folgennummergroßer als 50 sind.
3 Geben Sie alle Serien aus, die exakt 26 Episoden haben, die in derDatenbank eingetragen sind.
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 12 / 17
Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ
2 ∀xϕ |= ∃xϕ3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ8 ∀xϕ |= ∃xϕ9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
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Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ2 ∀xϕ |= ∃xϕ
3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ8 ∀xϕ |= ∃xϕ9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
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Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ2 ∀xϕ |= ∃xϕ3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)
4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ8 ∀xϕ |= ∃xϕ9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
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Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ2 ∀xϕ |= ∃xϕ3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)
5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ8 ∀xϕ |= ∃xϕ9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 13 / 17
Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ2 ∀xϕ |= ∃xϕ3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)
6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ8 ∀xϕ |= ∃xϕ9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 13 / 17
Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ2 ∀xϕ |= ∃xϕ3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ8 ∀xϕ |= ∃xϕ9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 13 / 17
Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ2 ∀xϕ |= ∃xϕ3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ
8 ∀xϕ |= ∃xϕ9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 13 / 17
Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ2 ∀xϕ |= ∃xϕ3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ8 ∀xϕ |= ∃xϕ
9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 13 / 17
Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ2 ∀xϕ |= ∃xϕ3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ8 ∀xϕ |= ∃xϕ9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 13 / 17
Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ2 ∀xϕ |= ∃xϕ3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ8 ∀xϕ |= ∃xϕ9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 13 / 17
Aufgabe 4 (c)
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt, welche nicht?
1 ∀xϕ ≡ ¬∃x¬ϕ2 ∀xϕ |= ∃xϕ3 ∃x(ϕ ∧ ψ) |= (∃xϕ ∧ ∃xψ)4 (∃xϕ ∧ ∃xψ) |= ∃x(ϕ ∧ ψ)5 (∃xϕ ∧ ∃xψ) ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ)6 (∀xϕ ∧ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
7 ∃xϕ |= ∀xϕ8 ∀xϕ |= ∃xϕ9 ∀x(ϕ ∨ ψ) |= (∀xϕ ∨ ∀xψ)
10 (∀xϕ ∨ ∀xψ) |= ∀x(ϕ ∨ ψ)
11 (∀xϕ ∨ ∀xψ) ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ)
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 13 / 17
Aufgabe 4 (d) (i)
Betrachten Sie die beiden σGraph-Strukturen A = (A, EA) undB = (A, EB), die durch die beiden Graphen in der nebenstehendenAbbildung reprasentiert werden. Geben Sie einen FO[σGraph]-Satz ϕ an, sodass A |= ϕ und B |= ¬ϕ gilt.
A:
d
a
b c
B:
d
a
b c
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Aufgabe 4 (d) (ii)
Geben Sie fur die FO[σGraph]-Formel
ϕ(x) := ∀y∀z( (¬y=z ∧ E (y , z)
)→
(E (y , x) ∧ E (x , z)
) )eine σGraph-Struktur A und zwei Interpretationen I1 = (A, β1) undI2 = (A, β2) an, so dass I1 |= ϕ und I2 |= ¬ϕ gilt.
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 15 / 17
Aufgabe 4 (d) (iii)
Sei σ = {E} eine Signatur mit einem 2-stelligen Relationssymbol E .Betrachten Sie die beiden σ-Strukturen A = (A, EA) und B = (A, EB),die durch die beiden folgenden Graphen reprasentiert werden.
A:
d
a
b c
B:
d
a
b c
Geben Sie einen FO[σ]-Satz ϕ an, so dass A |= ϕ und B |= ¬ϕ gilt.
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 16 / 17
Aufgabe 4 (d) (iv)
Geben Sie fur die σGraph-Formel
ϕ(x) := ∀y∃z((E (y , x)→ E (x , z)) ∨ x=y
)eine Struktur A und zwei Interpretationen I1 = (A, β1) und I2 = (A, β2)an, so dass I1 |= ϕ und I2 |= ¬ϕ gilt.
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 17 / 17
Aufgabe 4 (d) (v)
Fur welche der folgenden Grapheneigenschaften gibt es einenFO[σGraph]-Satz ϕ, sodass fur alle σGraph-Strukturen A gilt:
A |= ϕ⇔ A hat die Grapheigenschaft
1 Der Graph A besitzt einen Hamilton-Kreis der Lange 4.
2 Der Graph A besitzt einen Hamilton-Kreis.
3 Der Graph A besitzt einen Euler-Weg.
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 18 / 17
Aufgabe 4 (d) (v)
Fur welche der folgenden Grapheneigenschaften gibt es einenFO[σGraph]-Satz ϕ, sodass fur alle σGraph-Strukturen A gilt:
A |= ϕ⇔ A hat die Grapheigenschaft
1 Der Graph A besitzt einen Hamilton-Kreis der Lange 4.
2 Der Graph A besitzt einen Hamilton-Kreis.
3 Der Graph A besitzt einen Euler-Weg.
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 18 / 17
Aufgabe 4 (d) (v)
Fur welche der folgenden Grapheneigenschaften gibt es einenFO[σGraph]-Satz ϕ, sodass fur alle σGraph-Strukturen A gilt:
A |= ϕ⇔ A hat die Grapheigenschaft
1 Der Graph A besitzt einen Hamilton-Kreis der Lange 4.
2 Der Graph A besitzt einen Hamilton-Kreis.
3 Der Graph A besitzt einen Euler-Weg.
Help-Desk Diskrete Modellierung () Logik erster Stufe February 20, 2013 18 / 17
