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2.1.8 Mohrscher Spannungskreis (M h 1882) (Mohr 1882) Drehung des Koordinatensystems (2D): ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ ′ ′ = ′ θ θ θ θ σ τ τ σ θ θ θ θ σ τ τ σ σ cos sin sin cos cos sin sin cos 22 12 12 11 22 12 12 11 íj ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 22 12 22 12 Ergebnis (allgemein): 2 12 2 22 11 2 12 2 22 11 11 2 2 τ σ σ τ σ σ σ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ′ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ′ ( ) r y x - x Form der Gleichung 2 2 2 0 = + ⇒ Kreis einem auf liegen ungen Schubspann und - Normal aus nen Kombinatio en äquivalent alle ⇒ nsystem Koordinate im 12 11 − ′ − ′ τ σ
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2.1.8 Mohrscher Spannungskreis(M h 1882)(Mohr 1882)
Drehung des Koordinatensystems (2D):
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′′′′
=′θθθθ
σττσ
θθθθ
σττσ
σcossinsincos
cossinsincos
2212
1211
2212
1211íj
⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ 22122212
Ergebnis (allgemein):
212
222112
12
22211
11 22τσστσσσ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=′+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−′
( ) ryx-x Formder Gleichung 2220 =+⇒
Kreis einem auf liegen ungenSchubspann und -Normal aus nenKombinatio enäquivalent alle ⇒
nsystemKoordinate im 1211 −′−′ τσ
Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises (2D):
τ
τmax
ττ12
σ2σ1
σ22σ11
2θσ
−τ12
Mohrscher Spannungskreis im Dreidimensionalenp g
Mit Hilfe von den drei gegebenen Hauptnormalspannungen (σ1 > σ2 > σ3)werden drei Mohrsche Spannungskreise konstruiert deren Radien den dreiwerden drei Mohrsche Spannungskreise konstruiert, deren Radien den drei möglichen Hauptscherspannungen entsprechen:
2
2
221
3331
2232
11σστσστσστ −
==−
==−
== rrr
Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf der Hauptspannungsachse:
σσσσσσ +++2
2
2
213
312
321
σσσσσσ +=
+=
+= MMM
Beachte: Im Dreidimensionalen ersetzt die Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises nicht die Hauptachsentransformation!!!
Im Dreidimensionalen ersetzt die Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises nicht die Hauptachsentransformation!!!Hauptachsentransformation!!! Hauptachsentransformation!!!
Konstruktion der Mohrschen Spannungskreise (3D):
τ
τ2=τmax
τ11
τ3
σσ3 σ2 σ1
Darstellung eines Spannungsvektors s(e) mit Hilfe der Mohrschen Spannungskreise:
ϕ Meridianwinkel
Flächenelement df(e) definiert durch:
e = ns(e)
ϕ Meridianwinkel
Breitenkreiswinkelϑeϕdf(e)
und für das entsprechende Koordinatensystem ergibt sich :eϑ
( ) { }( ) { }ϕϕϑϕ
ϑϕϑϕϑϑϕ0;cos;sin
,cos;sinsin;cossin,−=
=ee
( ) { }( ) { }ϑϕϑϕϑϑϕ
ϕϕϑϕ
ϑ
ϕ
sin;sincos;coscos,,0;cos;sin,
−=
=
ee
τK13
KϑK
K23
K12
Kϕ s(e)
2ϑ 2ϕ
σM23 M13 M12Mϕ
τK13
KϑK
K23
K12
Kϕ s(e)
|s(e)| |Ts(s(e))|
2ϑ 2ϕ
σM23 M13 M12Mϕα|Tn(s(e))|
2.2 VerzerrungstensorgDehnung
aber: Rotation istauszuschließen!
2due du22
22 dxe =
2
1
dxdu
Scherungd
d
1
2
dxdu
θ≈=21
21 dxdue
1
2
2
1
dxdu
dxdu
−=
2.2.1 DefinitionDer Verzerrungstensor beschreibt den Verzerrungszustand in einem Punkt desFestkörpers vollständig. Er ist in dieser Form nur für kleine Verschiebungen definiertdefiniert.
mit ui: i-Komponente der Verschiebung⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
=i
j
ji
ij xu
xu
21ε
⎠⎝ ∂∂ ij xx2
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ∂
+∂
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ∂
+∂∂ 31211 uu1uu1u
⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ∂
+∂∂
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ∂
+∂
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ ∂
+∂⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ ∂
+∂∂
= 3221213
31
12
21
11
ijuu1uuu1xx2xx2x
ε
⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜
∂⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ∂
+∂
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ∂
+∂
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ ∂
+∂∂⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ ∂
+∂
=
3231323221
ij
uuu1uu1xx2xxx2
ε
„Dehnungen“: ε11, ε22, ε33
⎟⎠
⎜⎝ ∂⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ ∂∂⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ ∂∂ 33231 xxx2xx2
„Dehnungen : ε11, ε22, ε33„Scherungen“: ε12, ε13, ε23, …
2.2.2 Besondere Verzerrungszustände
ebene Dehnung reine Scherung Dilatation
Technische Scherung ↔ Scherkomponente
(kein Tensor!)
2.2.3 Eigenschaften des Verzerrungstensorsg g
1) symmetrisch: εij = εji → 6 Komponentenj j
2) zerlegbar:
⎞⎛⎞⎛ 00 εεεεε
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
332313
23m2212
1312m11
m
m
ij00
0000
εεεεεεεεεεεε
εε
εε
⎠⎝ −⎠⎝ m332313m00 εεεεε
Dilatator Deviator
1wobei ( )332211m 3
1 εεεε ++=
Dil i “ ( l i V l ä d )„Dilatation“ (relative Volumenänderung):
V332211
ΔεεεΔ =++=V332211 εεεΔ =++=
3) D i t i t i l b i 5 i S h3) Deviator ist immer zerlegbar in 5 reine Scherungen
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛ 1312131211 0000 εεεεε
+⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝
+⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝
=⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ 13
12
332313
23221200000
00000
εε
εεεεεε
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
−+⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
−+⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
+ 3311
11
23 00000
0000
00000
εεε
ε⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝ 3323 0000000 εε
Folge:
Für beliebige Verformung sind 5 unabhängige Gleitsysteme nötigFür beliebige Verformung sind 5 unabhängige Gleitsysteme nötig.
4) Ermittlung der Hauptdehnungenanalog Ermittlung der Hauptspannungen,d.h. Lösung des Eigenwertproblems.
0det Eij =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − λε
Die Wurzeln λi des Polynoms entsprechen den drei Hauptdehnungen ε1, ε2, und ε3.
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
→⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
2
1
232221
1312110000
εε
εεεεεε
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 3
2
333231
23222100 εεεε
Im elastisch isotropen Feskörper fallen die Hauptspannungs- und die Hauptdehnungsachsen
Im elastisch isotropen Feskörper fallen die Hauptspannungs- und die Hauptdehnungsachsen
zusammen!zusammen!
2.3 Allgemeines Hookesches Gesetz2.3.1 Tensorschreibweise des Allgemeinen
Hookeschen Gesetzes
Das Allgemeine Hookesche Gesetz beschreibt den allgemeinsten li Z h i h S (S ) dlinearen Zusammenhang zwischen Spannung (Spannungstensor) und Verzerrung (Verzerrungstensor):
klijklCij εσ ⋅= klijklSij σε ⋅=
σij: Spannungstensor (Tensor 2. Stufe)εkl: Verzerrungstensor (Tensor 2 Stufe)εkl: Verzerrungstensor (Tensor 2. Stufe)Cijkl: Steifigkeitstensor (Tensor 4. Stufe)
(auch: Elastizitätstensor)S : Nachgiebigkeitstensor (Tensor 4 Stufe)Sijkl: Nachgiebigkeitstensor (Tensor 4. Stufe)
Vollständige Darstellung in Komponentenschreibweise:(9x9 Hypermatrix mi 81 Komponenten)(9 9 ype at 8 o po e te )
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
132313221321122312221221112311221121
131313121311121312121211111311121111CCCCCCCCCCCCCCCCCC
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
232221
131211
232323222321222322222221212321222121
231323122311221322122211212321122111
133313321331123312321231113311321131
232221
131211
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
εεεεεε
σσσσσσ
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎟⎠
⎜⎝ 333231
333333323331323332323231313331323131
332333223321322332223221312331223121
331333123311321332123211311331123111
233323322331223322322231213321322131333231
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC εεεσσσ
⎠⎝ 333333323331323332323231313331323131 CCCCCCCCC
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
132313221321122312221221112311221121
131313121311121312121211111311121111SSSSSSSSSSSSSSSSSS
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⋅⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
232221
131211
232323222321222322222221212321222121
231323122311221322122211211321122111
133313321331123312321231113311321131
132313221321122312221221112311221121
232221
131211SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
σσσσσσ
εεεεεε
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ 333231
232221
332333223321322332223221312331223121
331333123311321332123211311331123111
233323322331223322322231213321322131
232323222321222322222221212321222121
333231
232221
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
σσσσσσ
εεεεεε
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 333333323331323332323231313331323131
332333223321322332223221312331223121SSSSSSSSS
Spannungstensor und Verzerrungstensor sind symmetrisch. Deshalb gilt für die p g g y gKomponenten des Steifigkeitstensors und des Nachgiebigkeitstensors
jilkijlkjiklijkl CCCC ===
bzw.
jilkijlkjiklijkl CCCC ===
jilkijlkjiklijkl SSSS ===
⎟⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎜⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1333
13231322
131313121311
1233
12231222
121312121211
1133
11231122
111311121111
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⎠⎝⎠⎝⎠⎝
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
33
2322
131211
2333
23232322
231323122311
2233
22232222
221322122211133312331133
33
2322
131211
CCCCCC
CCCCCC
CCC
εεεεεε
σσσσσσ
⎟⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜⎜
⎝⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3333
33233322
331333123311
CCCCCC
Die Tensormultiplikation führt zu neun linearen Gleichungen der folgenden Form:
331133321132311131231123
22112221112113111312111211111111CCCC
CCCCCεεεε
εεεεεσ++++
+++++=
331233321232311231231223
22122221122113121312121211121112CCCC
CCCCCεεεε
εεεεεσ++++
+++++=
usw.
Unter Berücksichtigung der Symmetriebedingungen ergibt sich für die sechsUnter Berücksichtigung der Symmetriebedingungen ergibt sich für die sechs unabhängigen Komponenten des Spannungstensors:
( ) ( ) ( )2C2C2CCCC ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )12331213331323332333333322332211331133
12221213221323222333223322222211221122
12111213111323112333113322112211111111
2C2C2CCCC2C2C2CCCC
2C2C2CCCC
εεεεεεσεεεεεεσ
εεεεεεσ
+++++=+++++=
+++++=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
12131213131323132333133322132211131113
12231213231323232333233322232211231123
12331213331323332333333322332211331133
2C2C2CCCC2C2C2CCCCεεεεεεσεεεεεεσ
+++++=+++++=
( ) ( ) ( )12121213121323122333123322122211121112 2C2C2CCCC εεεεεεσ +++++=
2.3.2 Kontrahierte Notation nach Voigt( V i t h V i f h “)(„Voigtsche Vereinfachung“)
Der Spannungstensor lässt sich durch einen sechskomponentigen Vektor repräsentieren (dabei geht keine Information verloren).
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ 111 σσ
⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜
=⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜
→⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
3
2
33
22
232221
131211 σσ
σσ
σσσσσσ
⎟⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜⎜
⎟⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜⎜→
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝5
4
13
23333231
232221
σσ
σσ
σσσσσσ
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 612 σσ
In ähnlicher Weise wird ein sechskomponentiger Verzerrungsvektordefiniert:
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛ 111 εε
⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜
=⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜
→⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
3
2
33
22
232221
131211 εε
εε
εεεεεε
⎟⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜⎜=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜⎜→
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
5
4
13
23333231
232221
22
εε
εε
εεεεεε
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 6122 εε
Das Allgemeine Hookesche Gesetz erhält mit der Voigtschen Notation folgende Form:
6265254243232221212
6165154143132121111CCCCCC
CCCCCCεεεεεεσ
εεεεεεσ+++++=
+++++=
6465454443432421414
6365354343332321313
6265254243232221212
CCCCCCCCCCCCCCCCCC
εεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσ
+++++=+++++=
6665654643632621616
6565554543532521515
6465454443432421414
CCCCCCCCCCCC
εεεεεεσεεεεεεσ
+++++=+++++=
bzw.6665654643632621616
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛ 11615141312111 CCCCCC εσ
⎟⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎜⎛
⎟⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎜⎛
⎟⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎜⎛
3
2
1
363534333231
262524232221
161514131211
3
2
1
CCCCCCCCCCCCCCCCCC
εεε
σσσ
⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜⋅
⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜=
⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜
5
4
3
565554535251
464544434241
363534333231
5
4
3
CCCCCCCCCCCCCCCCCC
εεε
σσσ
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 6
5
666564636261
565554535251
6
5CCCCCCCCCCCC
εε
σσ
Durch Koeffizientenvergleich erkennt man
C1111 = C11 , C2211 = C21 , C3311 = C31 , C2311 = C41
usw.
Die Voigtsche Steifigkeitsmatrix Cij enthält die gleiche Information über dieDie Voigtsche Steifigkeitsmatrix Cij enthält die gleiche Information über die elastischen Eigenschaften des Festkörpers wie der Steifigkeitstensor. Die Steifigkeitsmatrix besitzt jedoch keine Tensoreigenschaften.
Die Steifigkeitsmatrix enthält 36 Komponenten.
A h di St ifi k it t i i t t i h d h ilt C CAuch die Steifigkeitsmatrix ist symmetrisch, d.h. es gilt: Cij = Cji. Dadurch vermindert sich die Anzahl der unabhängigen Komponenten der Matrix auf 21.
⇒ Im allgemeinsten Fall werden zur Beschreibung des linear-elastischen Verhaltens eines Festkörpers 21 elastische Konstanten benötigt.p g
Aufgrund der Kristallsymmetrie des Festkörpers wird dieAufgrund der Kristallsymmetrie des Festkörpers wird die Anzahl der unabhängigen Konstanten reduziert.
triklin 21monoklin 13monoklin 13orthorhombisch 9tetragonal 6ghexagonal 5kubisch 3
isotrop 2
2.3.3 Elastische Konstanten bei kubischer Symmetriey
Bei kubischer Symmetrie gilt:
665544
332211CCCCCC
====
Die restlichen Komponenten der Steifigkeitsmatrix sind alle gleich null.
231312 CCC ==
p g g
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
121112
121211000CCC000CCC
⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜
=44
111212
121112
00C000000CCC000CCC
kubijC
⎟⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜⎜
⎝ 44
44
44
C000000C000000C000.kubj
⎠⎝ 44C00000
Beziehungen zwischen Cij und Sij:Beziehungen zwischen Cij und Sij:
12111211 CCSSSC +=
+= ( )( ) ( )( )
1212
1211121111
1211121111
S
2 ,
2CSC
CCCCS
SSSSC
−=
−=
+−=
+−=
( )( ) ( )( )1211121112
1211121112
1S12
S ,2
C
CCCCSSSSC
==
+−=
+−=
4444
4444
1
S ,
CC
CSC ==
12111211
12CC
SSCC
+
−=−
12111211 2
2SS
CC+
=+
Das linear-elastische Verhalten eines kubischen Kristalls lässt sich somit durch die Angabe von drei unabhängigen Konstanten (z B C11 C12 und C44) vollständig beschreibenKonstanten (z.B. C11 , C12 und C44) vollständig beschreiben.
Ein Maß für die Anisotropie eines kubischen Kristalls ist der Anisotropiefaktor A der wie folgt definiert ist:Anisotropiefaktor A, der wie folgt definiert ist:
( )22 SSC ( )44
1211
1211
44 22S
SSCC
CA −=
−=
Je weiter A vom Wert 1 abweicht, umso ausgeprägter ist die Anisotropie des Kristalls.
= 1/A
Elastische Konstanten und Anisotropiefaktoren verschiedener kubischer KristalleZahlenwerte in GPa (ermittelt an Einkristallen)
α
A = E111/E100111 100
Bestimmung des E-Moduls in eine beliebige Richtung d:
Einachsiger Zug in Richtung d: σd
Spannungszustand in Kristallachsen: σ1 – σ6
Transformation in Kristallachsen
Sp u gs us d s c se : σ1 σ6
Hookesches Gesetz: εi = Sijσj
Dehnungszustand in Kristallachsen: ε1 – ε6
Rücktransformation
Dehnung in Richtung d: εd
Rücktransformation
E M d l i Ri ht d Ε /E-Modul in Richtung d: Εd = σd / εd
Anisotropie des E-Moduls:
( )[ ] ( )22222244121111 21 γβγαβα ++⋅−−−= SSSS
EEhkl
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )001,cos ,010,cos ,100,cosmit hklhklhkl === γβα [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )γβ
StandardorientierungsdreieckStandardorientierungsdreieck Beispiel Ni-basis-Superlegierung (PWA 1480)Beispiel Ni-basis-Superlegierung (PWA 1480)
Stereographische ProjektionP = Pol, Schnittpunkt der Flächennormale mit der Polkugel/Referenzkugel
P = Pol, Schnittpunkt der Flächennormale mit der Polkugel/ReferenzkugelPolkugel/ReferenzkugelPolkugel/Referenzkugel
E = EinkristallE = Einkristall
Standardprojektionp j
Anisotropie des E-Moduls:
( )[ ] ( )22222244121111 21 γβγαβα ++⋅−−−= SSSS
EEhkl
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )001,cos ,010,cos ,100,cosmit hklhklhkl === γβα [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )γβ
StandardorientierungsdreieckStandardorientierungsdreieck Beispiel Ni-basis-Superlegierung (PWA 1480)Beispiel Ni-basis-Superlegierung (PWA 1480)
2.3.4 Elastische Konstanten bei hexagonaler Symmetrie
Bei hexagonaler Symmetrie gilt:
( )55442211
1 ,
CCCCC
CCCC
−==
==
Die restlichen Komponenten der Steifigkeitsmatrix sind alle gleich null.
( )1211662313 2 , CCCCC ==
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ 131211
000000
CCCCCC
⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜
= 331313
131112
00000000000
CCCCCCC
hijC
⎟⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜⎜
⎝44
44
000000000000000.
CC
Chexij
⎟⎠
⎜⎝ 6600000 C
2.3.5 Elastische Konstanten bei Isotropiep
Bei isotropem elastischen Verhalten sind die drei Konstanten C11 , C12 und C44nicht mehr unabhängig voneinander.nicht mehr unabhängig voneinander.
Es gilt: ( ) 1A CC21C 121144 =⇔−=
Die drei Konstanten hängen unmittelbar mit dem Elastizitätsmodul E und der Poissonzahl ν zusammen:
( )( )( )
E1EC 211 =−
=ν
( )( ) ( )
( )( )EC
121211
12
211
=
−−−+
ννννν
( )( )
( )G
12EC
211C
44
12
==
−+ νν
( )1244 +ν
( ) E1E ν( )( )( ) ( )
E121
E211
1EC 211−−
=−+
−=
ννννν
ν
( )( )E
211EC12 −+
=νν
ν
( )G
12EC44 =+
=ν
Die Konstante C11 ist identisch mit dem bereits in Kap. 1 hergeleiteten d l f i h i h i C i h dModul für einachsige Dehnung. Die Konstante C44 entspricht dem
Schermodul G.
Anmerkung: Polykristalline texturfreie Materialien weisen unabhängig von ihrer Kristallstruktur in der Regel ein isotropes elastisches Verhalten auf,dieses Verhalten nennt man „Quasi-Isotropie“.„Q p
2.3.6 „Quasi-Isotropie“ von Polykristallen„Q p y
Das elastische Verhalten von Polykristallen ist zwar in jedem einzelnen Korn anisotrop, gemittelt über viele Körner ergibt sich jedoch ein „quasi-isotropes“anisotrop, gemittelt über viele Körner ergibt sich jedoch ein „quasi isotropes Verhalten. Für kubische Materialien lassen sich folgende Mittelwerte für den E-Modul und den Schubmodul berechnen:
Voigt-Mittel (Iso-Dehnung):
( )( ) ( )1244111211441211 3123 CCCGCCCCCE VV −+=
++−=
Reuss-Mittel (Iso-Spannung):
( )124411441211
35
,32
CCCGCCC
E VV +++
124411441211 4345 ,
235
SSSG
SSSE RR −+
=++
=
Im allgemeinen gilt:
VR EEE << VR EEE exp <<
2.4 Experimentelle Bestimmung vonl ti h K t telastischen Konstanten
Für die Bestimmung der elastischen Konstanten müssen so viele
voneinander unabhängige Experimente durchgeführt werden wie esvoneinander unabhängige Experimente durchgeführt werden, wie es
unabhängige Konstanten gibt, also z.B. 5 bei hexagonalen Kristallen,
3 bei kubischen Kristallen und 2 bei isotropen Festkörpern.
In der Regel wird das Ultraschallverfahren angewandt, bei dem an einem
kleinen Probenkörper (ca. 1 cm³) die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten
verschiedenartig angeregter Schallwellen gemessen wird g g g g
Versuchsaufbau Ultraschallmessung:g
Impulsgenerator/-verstärker
(T/R)
Ultraschall- Signal
(T/R)
TriggerKoppelmittel
Ultraschallprüfkopf
Signal Trigger
Probe Oszilloskop
p
tl
c2
=pt
c Schallgeschwindigkeit l Probendicke l Laufzeitc Schallgeschwindigkeit, lp Probendicke, lp Laufzeit
ul
xx
ut
Man unterscheidet zwischen Longitudinalwellen (Auslenkung u parallel zur Fortpflanzungsrichtung x) und Scher- bzw. Transversalwellen(A l k k ht F t fl i ht )(Auslenkung senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung).
Isotrope Materialien
Im einfachsten Fall, d.h. bei einem isotropen Festkörper, genügt zur vollständigen Charakterisierung die Messung der transversalen Schallgeschwindigkeit cT und der longitudinalen Schallgeschwindigkeit cLin jeweils beliebiger Raumrichtung.
Ist die Dichte ρ des untersuchten Festkörpers bekannt, so lassen sich die elastischen Konstanten aus folgenden Gleichungen berechnen (gilt so nur bei Isotropie!):(gilt so nur bei Isotropie!):
( )ν−1EC11 ( )( )( )νν
νρρ −+
==211
Cc 11L
( )νρρρ +===
121EGCc 44
T ( )
Anisotrope Materialien
Zur Bestimmung der elastischen Konstanten von anisotropen KristallenZur Bestimmung der elastischen Konstanten von anisotropen Kristallenmüssen Schallgeschwindigkeitsmessungen an einkristallinen Proben in verschiedenen definierten Gitterrichtungen durchgeführt werden.
Für genauere Erläuterungen zu diesem Thema wird auf einschlägige Lehrbücher verwiesen, z.B.
K.-H. Hellwege, Einführung in die Festkörperphysik, Springer-Verlag.
Schallwellen in kubischen Kristallen
Eine Schallwelle ist eine elastische Welle. Sie wird charakterisiert durch die Ausbreitungsrichtung (Wellenzahlvektor K mit dem Betrag 2π/λ) und die Polarisation (Auslenkungsrichtung u)
Verschiedene Wellenformen in einem kubischen Kristall. L – longitudinal, T – transversal.
