Lista de Exercícios sobre Cálculo - inf.ufrgs.br leila/teaching/lista1- · INF05501 - eoriaT da…
lista1-solucao
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∇.uv = ∇v + v∇.u τ : uv =(τ.u).v uv.τ = u.(v.τ ) ∇.(sv)= v.∇s + s(∇.v) ∇× (∇.s)=0 ∇.(∇× v)=0 ∇.(τ.v)= τ : ∇v + v.(∇.τ ) τ (τ ij = τ ji ) sI : ∇v = s(∇.v) I I = δ ij ∇.uv = e i ∂ ∂x i .u j e j v k e k = ∂u j v k ∂x i e i .e j e k = ∂u j v k ∂x i δ ij e k = ∂u i v k ∂x i e k = u i ∂ ∂x i (v k e k )+ v k e k ∂u i ∂x i = u.∇v + v∇.u τ : uv = τ ij e i e j : u r e r v s e s = τ ij u r v s e i e j : e r e s = τ ij u r v s δ is δ jr = τ ij u j v i (τ.u).v = τ ij e i e j .u r e r .v s e s = τ ij u r v s e i e j .e r .e s = τ ij u r v s δ is δ jr = τ ij u j v i τ : uv = (τ .u).v
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Lista 1: Álgebra Tensorial
Para esta lista de exercícios, considerar r e s escalares, u,v,w vetores e T,S tensoresde segunda ordem.
Questão 1
Mostrar que:
1. ∇.uv = ∇v + v∇.u
2. τ : uv = (τ.u).v
3. uv.τ = u.(v.τ )
4. ∇.(sv) = v.∇s + s(∇.v)
5. ∇× (∇.s) = 0
6. ∇.(∇× v) = 0
7. ∇.(τ.v) = τ : ∇v + v.(∇.τ ) se τ for um tensor simétrico (τij = τji)
8. sI : ∇v = s(∇.v) onde I é o tensor identidade dado por I = δij (delta de Kröenecher)
(1)
∇.uv = ei∂
∂xi
.ujejvkek =∂ujvk
∂xi
ei.ejek
=∂ujvk
∂xi
δijek =∂uivk
∂xi
ek
= ui∂
∂xi
(vkek) + vkek∂ui
∂xi
= u.∇v + v∇.u
(2)
τ : uv = τijeiej : urervses
= τijurvseiej : eres
= τijurvsδisδjr = τijujvi
(τ.u).v = τijeiej.urer.vses
= τijurvseiej.er.es
= τijurvsδisδjr = τijujvi
Logo, τ : uv = (τ .u).v
2
(3)
uv : τ = u.(v.τ )
uiei.vjej : τrseres = uivjτrseiej : eres
= uivjτrsδjrδis = uivjτji
u.(v.τ ) = uiei.vjej.τrseres
= uivjτrsei.ej.eres
= uivjτrsδisδjr
= uivjτji
Logo, uv : τ = u.(v.τ )
(4)
∇.(sv) = v.∇s + s(∇.v)
ei∂
∂xi
.svjej =∂svj
∂xi
δij =∂svi
∂xi
= s∂vi
∂xi
+ vi∂s
∂xi
= s(∇.v) + v.∇s
(5)
∇× (∇.s) = 0
ei∂
∂xi
× ej∂s
∂xj
=∂2s
∂xi∂xj
ei × ej =∂2s
∂xi∂xj
εijkek
=
(∂2s
∂xi∂xj
εijk +∂2s
∂xi∂xj
εjik
)ek
εijk = −εjik
∇×∇s =
(∂2s
∂xi∂xj
− ∂2s
∂xj∂xi
)εijkek
Como∂2s
∂xi∂xj
=∂2s
∂xj∂xi
tem-se:
∇× (∇.s) = 0
3
(6)
∇.(∇× v) = 0
ei∂
∂xi
.ej∂
∂xj
× vkek =∂2vk
∂xi∂xj
ei.ej × ek
=∂2vk
∂xi∂xj
ei.εjkses =∂2vk
∂xi∂xj
δisεjks
=∂2vk
∂xi∂xj
εjki =∂2vk
∂xi∂xj
εijk
=
(∂2vk
∂xi∂xj
εijk +∂2vk
∂xj∂xi
εjik
)Como εjik = −εijk e
∂2vk
∂xi∂xj
=∂2vk
∂xj∂xi
tem-se que:
∇.(∇× v) = 0
(7)
∇.(τ.v) = τ : ∇v + v.(∇.τ )
∇.(τ.v) = ei∂
∂xi
.τrseres.vjej
=∂τrsvj
∂xi
ei.eres.vjej
=∂τrsvj
∂xi
δirδsj =∂τijvj
∂xi
= τij∂vj
∂xi
+ vj∂τij
∂xi
(a)
τ : ∇v = τijeiej : er∂
∂xr
vses
= τij∂vs
∂xr
eiej : eres
= τij∂vs
∂xr
δisδjr = τij∂vi
∂xj
= τij∂vj
∂xi
se τ for simétrico (b)
v.(∇.τ ) = viei.ej∂
∂xj
τrseres
= vi∂τrs
∂xj
ei.ej.eres = vi∂τrs
∂xj
δjrδis
= vi∂τji
∂xj
= vj∂τij
∂xi
(c)
(a) ↔ (b) + (c)
∇.(τ.v) = τ : ∇v + v.(∇.τ )
4
(8)
sI : ∇v = s(∇.v) sendo que I = δijeiej
sI : ∇v = sδijeiej : er∂vs
∂xr
er
= sδij∂vs
∂xr
eiej : eres
= s∂vs
∂xr
δijδisδjr
= s∂vi
∂xi
= s∇.v
Questão 2:
Utilizando álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coorde-nadas cartesianas.
1. v.∇ v
2. ∇× v
3. ∇ .v
4. ∇.τ
(1)
v.∇v = viei.ej∂
∂xj
vkek
= vi∂vk
∂xj
ei.ejek = vi∂vk
∂xj
= δijek
= vi∂vk
∂xi
ek
Na direção ex:
(v.∇v)x = vx∂vx
∂x+ vy
∂vx
∂y+ vz
∂vx
∂z
E similarmente para as direções de ey e ez.
(2)
∇× v = ei∂
∂xi
× vjej =∂vj
∂xi
ei × ej =∂vj
∂xi
εijkek
Na direção de ex (e1):
∂v2
∂x3
ε321 +∂v3
∂x2
ε231 =∂v3
∂x2
− ∂v2
∂x3
=∂vz
∂y− ∂vy
∂xz
5
(3)
∇.v = ei∂
∂xi
.vjej =∂vj
∂xi
ei.ej
=∂vj
∂xi
δij =∂vi
∂xi
∇.v =∂vx
∂x+
∂vy
∂y+
∂vz
∂z
(4)
∇.τ = ei∂
∂xi
.τjkejek
=∂τjk
∂xi
ei.ejek =∂τjk
∂xi
δijek
=∂τik
∂xi
ek na direção de ex tem-se:
(∇.τ )x =∂τxx
∂x+
∂τyx
∂y+
∂τzx
∂ze similarmente, nas direções ey e ez.
