Catatan Kuliah 12

Memahami dan Menganalisa Optimisasi dengan Kendala Ketidaksamaan

1. Non Linear Programming

Misalkan dihadapkan pada ilustrasi berikut ini :

(i) ( )1 2: , ,..., nMax U U x x x=

. : i is t p x B≤∑

0ix ≥ ; 1, 2,...,i n=

(ii) : K LMin C p K p L= +

0. :s t K L Qα β ≥

0 , , 0Q K L ≥ ; 0 0Q ≠

Secara umum, persoalan maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya untuk n

variabel dan m kendala ditulis dalam bentuk :

(i) ( )1 2: , ,..., nMax f x x xπ =

( )1 2. : , ,...,in is t g x x x r≤

dimana 1,2,...,i m=

(ii) ( )1 2: , ,..., nMin C f x x x=

( )1 2. : , ,...,in is t g x x x r≥

dimana 1,2,...,i m=

Apabila dalam kedua persoalan di atas fungsi kendala dan tujuan semua berbentuk

linear, maka dikenal dengan Linear Programming (LP). Sedangkan bila ada fungsi

kendala atau tujuan yang tidak linear, mka disebut Non Linear Programming (NLP)

Contoh 1 :

( ) ( )2 21 2: 4 4Min C x x= − + −

1 2. : 2 3 6s t x x+ ≥

1 23 2 12x x− − ≥ −

1 2, 0x x ≥

Solusi bagi persoalan di atas akan didekati dengan pendekatan grafik sbb :

Perhatikan bahwa fungsi tujuan berbentuk lingkaran yang berpusat di titik ( )4,4

dengan jari-jari r C=

2x

6 1 23 2 12x x− − ≥ −

4

2 1 22 3 6x x+ ≥

0 3 4 1x

Berdasarkan grafik di atas, solusi terletak antara persinggungan garis

1 23 2 12x x− − = − dengan lingkaran yang berpusat di titik ( )4,4 . Solusinya dapat

dicari melalui konsep jarak terdekat antara titik dan garis.

Perhatikan lingkaran pada grafik tersebut dimana dapat dinyatakan sebagai fungsi

implisit yaitu : ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2, 0 4 4 0F x x x x C= → − + − − =

Maka slope lingkaran : ( )( )

( )( )

1 12 1

1 2 2 2

2 4 42 4 4

x xdx Fdx F x x

− −= − = − = −

− −

Slope garis 1 23 2 12x x− − = − : ( )( )

2 1

1 2

3 32 2

dx Fdx F

− −= − = = −

−

Pada persinggungan, slope lingkaran = slope garis :

( )( )

1

2

4 34 2

xx−

− = −−

( ) ( )1 22 4 3 4x x− = −

1 22 8 3 12x x− = −

1 22 3 4x x− = − …(*)

Solusi dapat diperoleh dari eliminasi persamaan (*) dan 1 23 2 12x x− − = −

1 2

1 2

1

3 2 12 3

2 3 4 2

13 28

x x kali

x x kali

x

− − = − →

− = − →−

− = −

1 228 36* *13 13

x x= → =

Catatan :

Pengamatan pada daerah kendala dan fungsi tujuan :

Daerah kendala merupakan himpunan convex

Solusi yang diperoleh adalah solusi global

Fungsi tujuan adalah fungsi convex

Contoh 2 :

( ) ( )2 21 2: 4 4Min C x x= − + −

1 2. : 5s t x x+ ≥

1 6x− ≥ −

22 11x− ≥ −

1 2, 0x x ≥

2x 1 6x =

5,5 2 5,5x =

5

1 2 5x x+ = 0 5 6 1x

Solusinya adalah lingkaran yang berpusat di titik ( )4,4 dengan jari-jari 0r =

Contoh 3 :

1 2: 2Max x xπ = +

21 1 2. : 4 0s t x x x− + − ≤

1 22 3 12x x+ ≤

1 2, 0x x ≥

2x

4 1P 21 1 24 0x x x− + − =

1F

2P 1 22 3 12x x+ = 3P 0 2 4 2F 6 1x

Pengamatan :

(i) 1 2F F∪ bukan himpunan convex

(ii) 1P adalah titik optimal di 1F

(iii) Setiap titik di 2F nilainya lebih optimal dari 1P

(iv) 3P adalah maksimum global

(4,4)

•

Kesimpulan : ♦ Apabila set atau himpunan kendala tidak convex maka solusinya

belum tentu global dan bisa tidak unique.

♦ Apabila set atau himpunan kendala convex maka solusinya pasti

global.

2. Kondisi Kuhn Tucker

Konsep Kendala Non Negatif

( )1:Max f xπ =

1. : 0s t x ≥

Berdasarkan optimisasi di atas, kemungkinan solusinya adalah :

π π π A : solusi interior B : corner solution C C,D : bukan D titik stasioner 0 1 *x 1x 1 *x 1x 1 *x 1x

Berdasarkan pengamatan ketiga gambar di atas dapat diperoleh bahwa 1 *x

merupakan maksimum lokal dari π bila memenuhi salah satu dari ketiga syarat

berikut :

(i) ( )1' 0f x = dan 1* 0x > (titik A)

(ii) ( )1' 0f x = dan 1* 0x = (titik B)

(iii) ( )1' 0f x < dan 1* 0x = (titik C,D)

Secara matematis, tiga syarat di atas dapat dirangkum menjadi first order necessary

condition (FONC) maksimum lokal dengan kendala non negatif sbb :

( )1' * 0f x ≤ ; 1* 0x ≥ ; ( )1 1* ' * 0x f x =

Jadi ketika masalah optimisasi dengan n variabel :

( )1 2: , ,..., nMax f x x xπ =

. : 0js t x ≥

dimana 1,2,...,j n=

Maka FONC : 0jf ≤ ; 0jx ≥ ; 0j jx f = ( )1, 2,...,j n=

Secara khusus apabila kita bandingkan pada fungsi objektif dengan 3 variabel dan 2

kendala, maka permasalahan tersebut dapat ditulis sbb :

( )1 2 3: , ,Max f x x xπ =

( )11 2 3 1. : , ,s t g x x x r≤

( )21 2 3 2, ,g x x x r≤

1 2 3, , 0x x x ≥

atau dengan variabel dummy ( )1 2,s s dapat dinyatakan dengan :

( )1 2 3: , ,Max f x x xπ =

( )11 2 3 1 1. : , ,s t g x x x s r+ =

( )21 2 3 2 2, ,g x x x s r+ =

1 2 3 1 2, , , , 0x x x s s ≥

Apabila kendala non-negatif diabaikan, maka fungsi Lagrangenya dapat dinyatakan

sbb :

Fungsi Lagrange :

( ) ( ) ( )1 21 2 3 1 1 1 2 3 1 2 2 1 2 3 2' , , , , , ,Z f x x x r g x x x s r g x x x sλ λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

FONC :

1 2 3 1 2 1 2

' ' ' ' ' ' ' 0Z Z Z Z Z Z Zx x x s s λ λ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Karena ada syarat 0jx ≥ dan 0is ≥ , maka FONC menjadi :

(i) ' 0j

Zx∂

≤∂

; 0jx ≥ ; ' 0jj

Zxx∂

=∂

(ii) ' 0i

Zs

∂≤

∂ ; 0is ≥ ; ' 0i

i

Zss

∂=

∂

(iii) ' 0i

Zλ

∂=

∂

1, 21,2,3

ij=⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎝ ⎠

Selanjutnya dari syarat FONC tersebut, ingin dieliminasi variabel pembantu yaitu is .

Dari FONC (ii) : ' 0i

Zs

∂≤

∂ maka 0iλ− ≤ atau 0iλ ≥

' 0ii

Zss

∂=

∂ maka 0i is λ− = atau 0i is λ =

Sehingga FONC (ii) dapat dinyatakan dengan : 0iλ ≥ ; 0is ≥ ; 0i is λ =

Sedangkan dari FONC (iii) : ' 0i

Zλ

∂=

∂ maka ( )1 2 3, , 0i

i ir g x x x s− − =

atau ( )1 2 3, ,ii is r g x x x= −

Karena 0is ≥ maka ( )1 2 3, , 0ii is r g x x x= − ≥

Sehingga kombinasi dari FONC (ii) dan (iii) adalah:

( )1 2 3, , 0iir g x x x− ≥ ; 0iλ ≥ ; ( )1 2 3, , 0i

i ir g x x xλ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa FONC dari Kondisi Kuhn Tucker

(KKT) untuk masalah maksimisasi adalah :

' 0j

Zx∂

≤∂

; 0jx ≥ ; ' 0jj

Zxx∂

=∂

' 0i

Zλ

∂≥

∂ ; 0iλ ≥ ; ' 0i

i

Zλλ

∂=

∂

Sedangkan FONC dari Kondisi Kuhn Tucker (KKT) untuk masalah minimisasi

adalah :

' 0j

Zx∂

≥∂

; 0jx ≥ ; ' 0jj

Zxx∂

=∂

' 0i

Zλ

∂≤

∂ ; 0iλ ≥ ; ' 0i

i

Zλλ

∂=

∂

Contoh :

( ) ( )2 21 2: 4 4Min C x x= − + −

1 2. : 2 3 6s t x x+ ≥

1 23 2 12x x− − ≥ −

1 2, 0x x ≥

Jawab :

Fungsi Lagrange :

( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 1 2 2 1 2' 4 4 6 2 3 12 3 2Z x x x x x xλ λ⎡ ⎤= − + − + − + + − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

FONC :

( )1 1 21

' 2 4 2 3 0Z xx

λ λ∂= − − + ≥

∂ ; 1 0x ≥ ; 1

1

' 0Zxx

∂=

∂

( )2 1 22

' 2 4 3 2 0Z xx

λ λ∂= − − + ≥

∂ ; 2 0x ≥ ; 2

2

' 0Zxx∂

=∂

1 21

' 6 2 3 0Z x xλ∂

= − − ≤∂

; 1 0λ ≥ ; 11

' 0Zλλ∂

=∂

1 22

' 12 3 2 0Z x xλ∂

= − + + ≤∂

; 2 0λ ≥ ; 22

' 0Zλλ∂

=∂

Mencari solusi dengan coba-coba, karena ada 2 variabel dan 2 kendala maka jumlah

kombinasi penyelesaian yang mungkin adalah : 2 2 42 2 16+ = = kemungkinan.

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0; 0 0; 00; 0 0; 00; 0 0; 00; 0 0; 0

x xx xx xx x

λ λλ λλ λλ λ

= = = =⎧⎪= > = >⎪⎨> = > =⎪⎪> > > >⎩

Perhatikan grafik di bawah ini !

2x

6 1 23 2 12x x− − = −

4

2 1 22 3 6x x+ =

0 3 4 1x

Berdasarkan solusi grafik di atas diketahui bahwa 1 0x > dan 2 0x > , sehingga hanya

ada 4 solusi yang mungkin yaitu :

1 2

1 21 2

1 2

1 2

0; 00; 0

0; 00; 00; 0

x x

λ λλ λλ λλ λ

= =⎧⎪ = >⎪> > ⎨ > =⎪⎪ > >⎩

Misalkan solusi yang mungkin adalah : 1 2 1 20; 0; 0; 0x x λ λ> > = =

Karena 1 0x > dan 11

' 0Zxx

∂=

∂, maka ( )1 1 2

1

' 2 4 2 3 0Z xx

λ λ∂= − − + =

∂ …(1)

Karena 2 0x > dan 22

' 0Zxx∂

=∂

, maka ( )2 1 22

' 2 4 3 2 0Z xx

λ λ∂= − − + =

∂ …(2)

Karena 1 20; 0λ λ= = , maka dari persamaan (1) dan (2) diperoleh solusi :

1* 4x = dan 2* 4x =

Maka solusinya menjadi : 1 2 1 2* 4; * 4; * 0; * 0x x λ λ= = = =

Selanjutnya akan diperiksa apakah solusi ini memenuhi KKT atau tidak.

Karena 1 0λ = dan 11

' 0Zλλ∂

=∂

, maka 1 21

' 6 2 3 0Z x xλ∂

= − − <∂

…(3)

Substitusi 1* 4x = dan 2* 4x = ke persamaan (3), terbukti 1

' 0Zλ∂

<∂

Karena 2 0λ = dan 22

' 0Zλλ∂

=∂

, maka 1 22

' 12 3 2 0Z x xλ∂

= − + + <∂

…(4)

Substitusi 1* 4x = dan 2* 4x = ke persamaan (4), ternyata 1

' 0Zλ∂

>∂

Jadi, solusi 1 2 1 2* 4; * 4; * 0; * 0x x λ λ= = = = bukan solusi optimal yang memenuhi

KKT.

Misalkan solusi yang mungkin adalah : 1 2 1 20; 0; 0; 0x x λ λ> > = >

Karena 1 0x > dan 11

' 0Zxx

∂=

∂, maka ( )1 1 2

1

' 2 4 2 3 0Z xx

λ λ∂= − − + =

∂ …(1)

Karena 2 0x > dan 22

' 0Zxx∂

=∂

, maka ( )2 1 22

' 2 4 3 2 0Z xx

λ λ∂= − − + =

∂ …(2)

Karena 1 0λ = , maka persamaan (1) dan (2) menjadi :

( )1 22 4 3 0x λ− + = …(3)

( )2 22 4 2 0x λ− + = …(4)

Eliminasi persamaan (3) dan (4) menghasilkan :

1 24 6 8 0x x− + = …(5)

Karena 2 0λ > dan 22

' 0Zλλ∂

=∂

, maka 1 22

' 12 3 2 0Z x xλ∂

= − + + =∂

…(6)

Kemudian eliminasi persamaan (5) dan (6) menghasilkan :

113 28 0x − =

128*13

x =

Substitusi nilai 128*13

x = ke persamaan (5) sehingga diperoleh nilai 236*13

x =

Substitusi nilai 128*13

x = ke persamaan (3) sehingga diperoleh nilai 216*13

λ =

Maka solusinya menjadi : 1 2 1 228 36 16* ; * ; * 0; *13 13 13

x x λ λ= = = =

Selanjutnya akan diperiksa apakah solusi ini memenuhi KKT atau tidak.

Substitusi 128*13

x = , 1* 0λ = dan 216*13

λ = ke persamaan (2), terbukti 1

' 0Zx

∂=

∂

Substitusi 236*13

x = , 1* 0λ = dan 216*13

λ = ke persamaan (1), terbukti 2

' 0Zx∂

=∂

Karena 1 0λ = dan 11

' 0Zλλ∂

=∂

, maka 1 21

' 6 2 3 0Z x xλ∂

= − − <∂

…(7)

Substitusi 128*13

x = dan 236*13

x = ke persamaan (7), terbukti 1

' 0Zλ∂

<∂

Substitusi 128*13

x = dan 236*13

x = ke persamaan (6), terbukti 2

' 0Zλ∂

=∂

Jadi, solusi 1 2 1 228 36 16* ; * ; * 0; *13 13 13

x x λ λ= = = = merupakan solusi optimal yang

memenuhi KKT.

Soal :

Diketahui : ( ) 232R Q Q Q= −

( ) 2 8 4C Q Q Q= + +

0 18π =

Tentukan solusi dari optimisasi berikut yang memenuhi kondisi Kuhn Tucker :

( ):Max R Q

0. :s t C R π− ≤ −