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Kuhn-Tucker: ProblemstellungSattelpunktTheorem von Fritz John
g steht in D senkrecht auf den Isoquanten von g

g steht in D senkrecht auf den Isoquanten von g
g(x)=0
g(x)=
0
g(x)=
0
g(x)=0
g(x) 0
g(x) > 0
g(x) >
0
x
g(x)

Problemstellung

Problemstellung
Stetig differenzierbare Funktionen f : Rn R und g : Rn Rm.

Problemstellung
Problemstellung:

Problemstellung
Problemstellung:
f(x) max

Problemstellung
Problemstellung:
f(x) max
u.d.N. g(x) 6 0

Problemstellung
Problemstellung:
f(x) max
u.d.N. g(x) 6 0
Lagrange-Funktion des Problems

Problemstellung
Problemstellung:
f(x) max
u.d.N. g(x) 6 0
L (x,) := f(x) g(x)

Problemstellung
Problemstellung:
f(x) max
u.d.N. g(x) 6 0
L (x,) := f(x) g(x)
Zulssigkeitsbereich X := {x Rn | g(x) 6 0}.

Definition (Sattelpunkt)

(x,) heit Sattelpunkt der Funktion L (x,), wenn

x ist Maximum von L bzgl. x

x ist Maximum von L bzgl. x, d.h.
L (x,) 6 L (x,)

L (x,) 6 L (x,)
ist Minimum von L bzgl.

L (x,) 6 L (x,)
ist Minimum von L bzgl. , d.h.
L (x,) 6 L (x,)

L (x,) 6 L (x,)
L (x,) 6 L (x,)
Zusammen:

L (x,) 6 L (x,)
L (x,) 6 L (x,)
Zusammen:
L (x,) 6 L (x,) 6 L (x,)

Satz von Kuhn-Tucker

Satz von Kuhn-Tucker
Ist (x,) ein nichtnegativer Sattelpunkt der LagrangefunktionL (x,), so ist x eine Lsung des Max-problems.

Theorem von Fritz John

Ist x eine Lsung des Max-Problems, so existiert ein mitfolgenden Eigenschaften

1L
x(x,) = 0

1L
x(x,) = 0
2 L
(x,) = 0 (komplementrer Schlupf)

1L
x(x,) = 0
2 L
3 > 0

1L
x(x,) = 0
2 L
3 > 0
4L
(x,) > 0

Theorem von Fritz John: Graphik 1

g(x)=0
g(x
)=0g(x)=
0
g(x)=0
I={x
|f(x
)=f(x
)}
g(x) 0
g(x) > 0
g(x) >
0
x
f (x)
i
n

g(x)=0
g(x
)=0g(x)=
0
g(x)=0
I={x
| f(x)=f(x)}
Nivea
ulinienvonf
g(x) 0
g(x) > 0
g(x) >
0
xzunehmendeWertevonf
f (x)
g(x)

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