Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μάθημα: Ανάλυση Ι

Εργασία 1: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Μαθηματική επαγωγή. Φύλλο Ασκήσεων 1 (A.M. 0 ή 1, Μετεγγραφή Α – Ε)

Α. Ιδιότητες Αριθμών 1. Που είναι το λάθος στην απόδειξη που ακολουθεί; Έστω 3 . Τότε

3   9 3 9   3 3 3 3   3 3  6 3  6 3.

2. Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις δίνοντας πλήρη αιτιολόγηση.

a) Αν οι α, β είναι ρητοί, είναι ο α+β ρητός; b) Αν ο α είναι ρητός και ο β άρρητος, είναι ο α+β άρρητος; c) Αν οι α, β είναι άρρητοι, είναι ο α+β άρρητος; d) Υπάρχει αριθμός α τέτοιος ώστε ο να είναι άρρητος αλλά ο να είναι ρητός;

3. Να αποδείξετε ότι ο √3 είναι άρρητος. B. Επαγωγή 4. Υποθέτοντας ότι η τριγωνική ανισότητα | | | | | | ισχύει για τυχόντες αριθμούς δείξτε ότι

| | | | | | | | για κάθε πλήθος αριθμών 2. 5. Δείξτε ότι 2 , για κάθε n φυσικό αριθμό με 5. 6. Να αποδείξετε χρησιμοποιώντας επαγωγή ότι ο αριθμός 7 3 διαιρείται με το 4 για κάθε φυσικό αριθμό n. 7. Χρησιμοποιείστε επαγωγή για να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n ισχύει:

11 · 2

12 · 3

11 1.

Γ. Supremum - Infimum 8. Έστω BA, δύο μη κενά, άνω φραγμένα υποσύνολα του R. Αποδείξτε ότι το BA+ είναι άνω 

φραγμένο και ότι  BABA supsup)(sup +=+ . 9. Βρείτε τα supremum, infimum, maximum, minimum (όπου υπάρχουν) των συνόλων:

i) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Ζ∈= }0{\,1

1 νν

A ii)⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈−= NA ν

ν,122 iii)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += NA ν

ν,11ln3

iv) QA ∩]15,3[4 = v)  ( ){ }NA ∈+−= ννν ,15 vi) }053:{ 26 ≥+−∈= xxRxA

vii) }0)2)(1(:{7 ≤−+∈= xxQxA