Υπολογισμός Τριγωνομετρικών και Γενικευμένων Ολοκληρωμάτων

Ολοκλήρωμα Συνθήκες Τύπος

1.

∫ 2π

0

f (cos θ, sin θ) dθ Η f είναι ρητή συνάρτηση και δεν έχει 2πi∑

{των ολοκληρωτικών

πόλους πάνω στο μοναδιαίο κύκλο |z| = 1. υπολοίπων της F στο εσωτερικότου μοναδιαίου κύκλου}, όπουF (z) = 1

iz f(

12

(1 + 1

z

), 1

2i

(1− 1

z

)).

2.

∫ ∞−∞

f (x) dx Η f έχει πεπερασμένο αριθμό πόλων 2πi∑

{των ολοκληρωτικών

στο C, δεν έχει πόλους στον πραγματικό υπολοίπων της f στο άνωάξονα και για μεγάλα |z| είναι ημιεπίπεδο} .|f (z)| ≤ M/ |z|r , r > 1(ή f = p/q, όπου τα p, q είναι πολυώνυμαμε deg q ≥ 2 + deg p και το q δεν έχειπραγματικές ρίζες).

3.

∫ ∞−∞

f (x) eiλx dx Η f έχει πεπερασμένο αριθμό πόλων 2πi∑

{των ολοκληρωτικών

(λ > 0) στο C, δεν έχει πόλους στον πραγματικό υπολοίπων της f (z) eiλzστο άνω

άξονα και είναι limz→∞

|f (z)| = 0 ημιεπίπεδο} .(ή f = p/q, όπου τα p, q είναι πολυώνυμαμε deg q ≥ 1 + deg p και το q δεν έχειπραγματικές ρίζες).

4. P.V.∫ ∞−∞

f (x) dx ΄Οπως και στην περίπτωση 2. ΄Ομως η f 2πi∑

{των ολοκληρωτικών

έχει πεπερασμένο αριθμό απλών πόλων υπολοίπων της f στο άνωστον πραγματικό άξονα. ημιεπίπεδο}

+πi∑

{των ολοκληρωτικώνυπολοίπων της f στον πραγματικόάξονα} .

5. P.V.∫ ∞−∞

f (x) eiλx dx ΄Οπως και στην περίπτωση 3. ΄Ομως η f 2πi∑

{των ολοκληρωτικών

(λ > 0) έχει πεπερασμένο αριθμό απλών πόλων υπολοίπων της f (z) eiλzστο άνω

στον πραγματικό άξονα. ημιεπίπεδο}+πi

∑{των ολοκληρωτικών

υπολοίπων της f (z) eiλzστον

πραγματικό άξονα} .

Σημείωση: Αν η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε υποδιάστημα [−R,R] (R > 0) του R,

1

η κύρια τιμή κατά Cauchy της f στο (−∞,∞) ορίζεται ως εξής

P.V.∫ ∞−∞

f (x) dx := limR→∞

∫ R

−R

f (x) dx .

Επομένως, αν τα γενικευμένο ολοκλήρωμα∫∞−∞ f (x) dx (αντίστοιχα

∫∞−∞ f (x) eiλx dx) συγκλίνει, τότε

P.V.∫∞−∞ f (x) dx =

∫∞−∞ f (x) dx (αντίστοιχα P.V.

∫∞−∞ f (x) eiλx dx =

∫∞−∞ f (x) eiλx dx).

2