IIR aproximace Gaussovy funkce

David Bařina

Fakulta informačních technologií VUT v Brně

26. června 2012

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 1 / 14

Gaussova funkce

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Gaussian

gσ(x) =1

σ√2π

e−x2

2σ2

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 2 / 14

Výpočet aproximací

ideální nelze – nosič (−∞,+∞)

filtr FIR s pravidlem 3σ, 4σ nebo 5σ – pomalé pro vyšší hodnoty σkaskáda uniformních filtrůkauzální a nekauzální filtr IIR – rychlé pro vyšší hodnoty σ

I Deriche1993I YoungVliet1995I Seeman2009

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 3 / 14

Kaskáda uniformních filtrů

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

uniform

h(k) = ⊗Mm=1unifN |k

unifN(k) =

{1/(2N + 1) |n| ≤ N0

N ≈ dσe M = 3

nevýhody: vysoká chyba aproximace

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 4 / 14

Kaskáda uniformních filtrů

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Gaussianuniform

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 5 / 14

Deriche1993 (IIR 4. řádu)

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

h-h+

H(z) = H+(z) + H−(z)

H+(z) =∑N−1

i=0 b+i z−i

1+∑N

i=1 aiz−iH−(z) =

∑Ni=1 b−

i z i

1+∑N

i=1 aiz iN = 4

výhody: vysoká přesnost, lze paralelizovat

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 6 / 14

Deriche1993 (IIR 4. řádu)

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

GaussianDeriche1993

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 7 / 14

YoungVliet1995 (IIR 5. řádu)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

h+

H(z) = H+(z) · H−(z)

H+(z) =α

1+∑N

i=1 biz−iH−(z) =

α

1+∑N

i=1 biz iN = 5

výhody: vysoká přesnostnevýhody: odezva delší než původní signál, iterativní výpočetkoeficientů, nelze paralelizovat

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 8 / 14

YoungVliet1995 (IIR 5. řádu)

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

GaussianVlietYoungVerbeek1998

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 9 / 14

Seeman2009 (3× IIR 1. řádu) symetricky mezi vzorky

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

h1-h2-h3-

H(z) =M∑i=1

H+i (z) + H−

i (z)

H+i (z) =

aiz−0

1+ biz−1 H−i (z) =

aiz1

1+ biz1 M = 3

výhody: lze paralelizovatnevýhody: vysoká chyba aproximace, střed posunut mezi vzorky

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 10 / 14

Seeman2009 (3× IIR 1. řádu) symetricky mezi vzorky

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Gaussian (+0.5)Seeman2009

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 11 / 14

Seeman2009 + H0 symetricky na vzorek

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

h1-h2-h3-h0

H(z) = H0(z) +M∑i=1

H+i (z) + H−

i (z)

H+i (z) =

aiz−1

1+ biz−1 H−i (z) =

aiz1

1+ biz1 H0(z) = 1 M = 3

výhody: lze paralelizovatnevýhody: vysoká chyba aproximace

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 12 / 14

Seeman2009 + H0 symetricky na vzorek

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

GaussianSeeman2009 + H0

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 13 / 14

Srovnání pro σ = 10.0

algoritmus MAC/vzorek LS chybaFIR s 5σ 2d5σe+ 1 0.000000000000000uniformní filtr 3× (2dσe+ 1) 0.000200200281533IIR Deriche1993 2× 8 0.000000004324169IIR YoungVliet1995 2× 6 0.000000033785211IIR Seeman2009 2× 6 0.000042220952108IIR Seeman2009 + H0 2× 6+ 1 0.000034187087227

David Bařina (FIT VUT v Brně) IIR aproximace Gaussovy funkce 26. června 2012 14 / 14