Homman nimi on matematiikka · 2020. 10. 14. · Homman nimi on matematiikka MA450 Tasogeometrian...

Homman nimi on matematiikka

MA450 Tasogeometrian laskuja

hommannimionmatematiikka.com3.2.1 14. lokakuuta 2020

Sisältö

MA451 Ympyrän peruskäsitteet A (b) 4Hopea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Kulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

MA452 Ympyrän kehän ja halkaisijan suhde π. A, B, C, D ja E(f, g) 7Pronssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Hopea (*T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Kulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

MA453 Ympyrän pinta-ala ja kehän pituus A, B, C, D ja E (f,g) 15Pronssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Hopea (*T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Kulta (*T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

MA454 (*V) Ympyrän kulma A ja B 23Pronssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Hopea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Kulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

MA455 (*V) Ympyrän kaaren pituus ja sektorin pinta-ala A, Bja C 28Pronssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Hopea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Kulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

MA456 Suorakulmion ja suunnikkaan pinta-alat ja piirien pi-tuudet A, B ja C 36Pronssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Hopea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Kulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

MA457 Neliön juuri ja puolisuunnikkaan pinta-ala A ja B 44Pronssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Hopea (*T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Kulta (*T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2

MA458 Kolmion pinta-ala A ja B 51Pronssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Hopea (*T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Kulta (*T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

MA459 Pinta-ala laskuja A, B ja C 58Pronssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Hopea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Kulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

MA460 Tukiopetus- ja kertaustehtäviä 64Pronssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Hopea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Kulta (*T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Esimerkkikoe 68

Kaavakokoelma 70

Kaavat kuvina 72

MA451 Ympyrän peruskäsitteet A (b)

Opettele kuvat, käsitteet ja kirjaintunnukset.

Kirjaintunnukset

Kirjaintunnuksilla lyhennetään käsitteiden nimet. Kirjaintunnuksia käytetäänlaskuissa. Opettele hyvin kirjaintunnukset p, r ja d.

Ympyrä nimetään keskipisteen mukaan.

Ympyrä O tai ympyrän keskipiste O.

Ympyrän on suljettu viiva, jonka jokainen piste on yhtä kaukana keskipis-teestä.

Kehä p tai piiri p.

Säde r on ympyrän kehän etäisyys keskipisteestä.

Jänne on jana, joka yhdistää kehän kaksi pistettä.

4

Halkaisija d on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta.

Kaari on osa ympyrän kehästä.

MA451 Hopea

Segmentti on alue, jonka jänne rajaa.

Sektori on kahden säteen rajaama alue.

Keskuskulma α on sektorin kulman asteluku. Kaaren asteluku on sama kuinkeskuskulman asteluku.

5

MA451 Kulta

Sekantti on suora, joka leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä.

Tangentti on suora, joka leikkaa ympyrän täsmälleen yhdessä pisteessä.

6

MA452 Ympyrän kehän ja halkaisijan suhde .

A, B, C, D JA E (f, g)

Johdantotehtävä

Lue ohjeet huolella ja tee tehtävä konkreettisesti WC-paperirullan pahvilla(hylsyllä).

Tarvikkeet

- WC-paperirullan hylsy- Viivoitin- Rullamitta tai naru

Ohjeet

1. Piirrä wc-paperin hylsyä käyttäen vihkoosi ympyrä. Piirrä ympyrään hal-kaisija mahdollisimman tarkasti.2. Mittaa halkaisija, ja merkitse tulos kuvaan.3. Piirrä ympyrään säde, ja mittaaa sen pituus.4. Mittaa mittanauhalla tai narun avulla wc-paperi hylsystä ympyrän kehä/piiri,ja merkitse tulos kuvaan.5. Repäise hylsy rikki, ja piirrä sen avulla piirin pituinen jana vihkoosi.6. Janan tulisi olla yhtä pitkä kuin ympyrän kehä. Mittaa janan pituus, jamerkitse se kuvaan.7. Laske laskimella ympyrän kehän ja halkaisijan suhde, eli piiri jaettuna hal-kaisijalla.8. Jos tuntuu, että et osaa näiden ohjeiden mukaan tehdä tehtävää, niin katsovideot.

Ympyrälaskuja

Kirjaintunnukset

Seuraavien kirjaintunnusten osaaminen on jatkossa oppimisen kannalta tärkeää.

d = halkaisijar = sädep = piiri/kehäπ = pii = 3, 14

7

Pii π (kaava 0)

Johdantotehtävässä huomattiin, että aina, kun ympyrän piiri p jaetaan hal-kaisijalla d, saadaan luku 3, 14. Tätä lukua merkitään pii:llä π, joka on kreik-kalainen aakkonen.

π = pd

Halkaisija d säteen r avulla (kaava 1)

Säde r on jana, joka kulkee ympyrän keskipisteestä kehälle. Halkaisija d onkaksi kertaa säde.

d = 2 · r (kaava 1)

Säde r halkaisijan d avulla (kaava 2)

Säde r on halkaisija d jaettuna kahdella.

r = d2(kaava 2)

8

Piiri p halkaisijan d avulla (kaava 3)

Kun muokataan kaavaa π = p/d, kertomalla molemmat puolet d:llä, saa-daan

p = dπ (kaava 3)

piiri = halkaisija · pii. Voidaan kirjoittaa myös muodossa piiri = pii · halkai-sija p = π · d

Johdanto 4 vaiheen laskemiselle

Olet tullut siihen vaiheeseen matematiikassa, jossa reitin kertominen on lähesyhtä tärkeä osa laskua, kuin itse vastaus. Jatkossa pinta-ala, tilavuus tai muuvastaava tehtävävä tehdään neljällä vaiheella.

Neljä vaihetta ovat

1. Kuva2. Tiedot3. Laskut4. Vastaus

Aluksi opetellaan rutiininomaisesti tekemään neljän vaiheen lasku. Siksi seu-raavat tehtävät eivät ole kovinkaan vaativia, ne vaativat kärsivällisyyttä jatyöntekoa.

Osattavat kaavat

Teoriavihkon takasivulle on koottu osattavat kaavat. Voit käyttää kaavojatehtävien laskemisessa apuna. Tavoite on kuitenkin osata laskea laskut ilman,että kaavoja tarvitsee katsoa.

9

4 vaiheen laskeminen

Esimerkki 1

Laske ympyrän piiri, kun halkaisija on 4 cm.

1. Kuva (Kokeessa tästä saat 0-1/6.)

Piirretää suuntaa antava kuva, ei mitata viivottimella. Voi halutesasi piirtääharpilla. Aikaa ei tähän uhrata.

2. Tiedot (Kokeessa tästä saat 1-2/6).

Sanallista tehtävää luetaan niin kauan, että saat suureita, ja niille arvoja.Mieti tehtävää lukiessasi, mitä kysytään, ja pyri vastaamaan siihen yhdelläsanalla.

d = 4 cm (halkaisija = 4 cm)p =? (piiri =?)p = πd (piiri = pii · halkaisija (kaava 3))

3. Laskut (Kokeessa tästä saat 2-3/6.)

p = π · d (aina alkuun kaava, jolla lasketaan)p = 3, 14 · 4 cm (jos lasket arvolla 3, 14 merkitset numeroin, muuten π)p = 12, |56 cmp ≈ 13 cm

4. Vastaus (Kokeessa tästä saat 0-1/6.)

Pyöristetään lähtöarvojen mukaisesti tai annetaan vastaus siihen mitä onkysytty!

Piiri on noin 13 senttimetriä. (3, 14 on kerroin, joten se ei vaikuta tarkkuu-teen. Vastaus annetaan senttien tarkkuudella.)

10

MA452 Pronssi

P1. Laske neljällä vaiheella ympyrän piiri, kun halkaisija on 5, 0 cm. Tehtävänmerkinnät on oltava kuten alla olevassa kuvassa.

P2. Laske neljällä vaiheella ympyrän piiri, kun halkaisija on 123 m.

P3. Laske neljällä vaiheella ympyrän piiri, kun säde on 23 m.

P4. Laske neljällä vaiheella ympyrän piiri, kun säde on 3, 21 cm.

P5. Laske neljällä vaiheella ympyrän halkaisija, kuna) säde on 5 cmb) säde on 0, 24 cm.

Valinnanpaikka

P6. Laske neljällä vaiheella ympyrän halkaisija, kun säde on 12 cm.

11

P7. Laske neljällä vaiheella ympyrän piiri, kun halkaisija on 29 cm.

MA452 Hopea (*T)

Pii π (kaava 4)

Ympyrän kehän p ja halkaisijan d suhde (jakolasku) on aina sama, ja sitämerkitään π (pii). Piin arvo on 3, 14.

π = pd(kaava 4)

Halkasija d piirin p avulla (kaava 5)

Halkaisija saadaan, kun piiri jaetaan piillä.d = p

π(kaava 5)

Esimerkki 1

Laske ympyrän säde, kun piiri on 32 cm.1. Kuva

2. Tiedot

d = pπ(halkaisija = piiri / pii)

r = d2(säde = halkaisija / 2)

p = 32 cm (piiri= 32 cm)d =? (halkaisija = ?)

3. Laskut

d = pπ(halkaisija = piiri / pii)

12

d = 32 cmπ

(halkaisija = 32 cm / pii)

Jos lasket π arvolla, kirjaa näin. Jos lasket arvolla 3, 14 kirjoitat sen.

d = 10, 1859 cm (halkaisija = 10, 1859 cm)

r = d2(säde = halkaisija / 2)

r = 10,1859 cm2

(säde = 10, 1859cm/2)

r = 5, |0929 cm≈ 5 cm (säde ≈ 5 cm)

4. Vastaus

Säde on 5 cm.

Lähtöarvo annettu sentin tarkkuudella, niin vastauskin annetaan sentin tark-kuudella.

Tehtävät

Tehtävät lasketaan neljällä vaiheella.

H1. Laske ympyrän halkaisija, kun piiri on 59 cm.

H2. Laske ympyrän halkaisija, kun kehä on 23 m.

H3. Laske ympyrän halkaisija, kuna) puoliympyrän kaaren pituus on 50 cmb) syöttölautasen säde on 30 cmc) kello 12 : 00 ja 15 : 00 tuntiviisarien välinen matka ympyrän kaarta

pitkin on 25 cmd) kuun ympärysmitta on 11000 km.

H4. Laske ympyräna) halkaisija, kun ympyrän piiri on 53 km.b) säde, kun ympyrän piiri on 34 cm.c) piiri, kun halkaisija on 439 cm.d) halkaisija, kun ympyrän kehä on 1368 cm.

H5. a) Maan ympärysmitta on 4 · 104. Laske maan halkaisija.

13

b) Yksi tuuma on 2, 54 cm. Polkupyörän 26 tuuman rengas pyörähtää 15kertaa. Kuinka monta metriä on kuljettu eteenpäin?

c) Kuinka pitkälle päästään 28 tuuman pyörällä, kun rengas pyörähtää15 kertaa?

d) Kuinka monta prosenttia pidemmälle päästään 28 kuin 26 tuuman ren-kaalla?

Valinnanpaikka

H6. Laske ympyräna) halkaisija, kun ympyrän piiri on 52 cmb) säde, kun ympyrän piiri on 4 cmc) piiri, kun halkaisija on 45 cmd) halkaisija, kun ympyrän kehä on 13 cm.

MA452 Kulta

Laske tehtävät neljällä vaiheella.

K1. Kuinka monta metriä aitaa on?a) Aita on suorakulmion muotoinen, jonka toinen sivu on 14 m ja toi-

nen 20 m. Aidassa on yksi 1 m aukko sekä autolle 4, 5 m aukko.b) Halkaisijaltaan metrin levyisen kaivon ympärille tehdään aita kuuden

metrin päähän kaivosta. Aidassa on 3/4 m kokoinen aukko.c) Vesitornin, jonka piiri on 200 m, ympärille tehdään aita. Aita sijaitsee

3 m päässä vesitornista. Aidassa on kaksi aukkoa, joista toinen on kaksi met-riä ja toinen kaksi kertaa pidempi kuin toinen aukko.

K2. Kuinka paljon kalkkia käytetään, kun viivan paksuus on 20 cm?a) Urheilukentälle piirretään pieni ympyrä, jonka säde on 3 m. Pienen

ympyrän ympärille piirretään isompi ympyrä, jonka halkaisija on 7 m.b) Urheilukentälle tehdään puoliympyrä, jonka ympyrän kaari on 50 m.

14

MA453 Ympyrän pinta-ala ja kehän pituus A,

B, C, D ja E (f, g)

Merkitsevät numerot

Merkitseviä numeroita ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Lisäksi nolla on merkit-sevä silloin, kun se on kahden merkitsevän numeron välissä 104 taidesimaaliluvun lopussa 2, 340.

Nolla ei ole merkitsevä sillon, kun se on desimaaliluvun alussa 0, 00023 tailuvun perässä 1200.

Esimerkki 1

Pyöristä luku kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

a) 344|345 e≈ 344000 e

Alkuperäisessä luvussa on kuusi merkitsevää numeroa. Kolme ensimmäistämerkitsevää numeroa lasketaan vasemmalta lähtien. Pyöristyksen jälkeen”poistetut”numerot korvataan nollilla (pilkkuun asti), ettei luvun suuruus-luokka muutu.

b) 0, 00453|6 cm ≈ 0, 00454 cm

Desimaaliluvun alussa olevat nollat eivät ole merkitseviä. Ensimmäinen mer-kitsevä numero on 4.

c) 0, 0230|000 m ≈ 0, 230 m

Desimaaliluvun perässä olevat nollat ovat merkitseviä. Koska vastaukseenhalutaan kolme merkitsevää numeroa, luku pyöristetään kolmannen merkit-sevän numeron jälkeen. Vastaukseen on annettava yksi nolla, jotta siinä olisikolme merkitsevää numeroa.

Piirin tarkkuus

Piiriä laskettaessa vastaus annetaan epätarkimman lähtöarvon mukaan.

Piiri lasketaan yhteenlaskuna ja yksiköllisten lukujen yhteenlaskusääntöjen

15

mukaisesti, vastaus annetaan tällöin epätarkimman lähtöarvon tarkkuudenmukaan.

Esimerkki 2

Epätarkin lähtöarvo on 9 cm. Vastaus pyöristetään samaan tarkkuuteen35 cm.

Pinta-alan tarkkuus

Pinta-alaa laskettaessa vastaus annetaan epätarkimman lähtöarvon merkit-sevien numeroiden tarkkuudella.

Pinta-alaa laskettaessa kerrotaan yksiköllinen luku yksiköllisellä luvulla. Yk-siköllisten lukujen kertolaskun sääntöjen mukaisesti, vastaus annetaan epätarkimmanlähtöarvon merkitsevien numeroiden mukaan.

Esimerkki 3

Epätarkin lähtöarvo 3, 02 on ilmoitettu kolmen merkitsevän numeron tark-kuudella. Pinta-ala ilmoitetaan myös kolmen merkitsevän numeron tarkkuu-della 23, 7.

Ympyrän pinta-alan kaavan johtaminen

Leikkaa ympyrä sektoreihin ja liimaa sektorit alla olevan kuvan mukaisestivihkoosi. Merkitse kuvaan suunnikkaan korkeus r ja leveys π · r.

16

Suunnikkaan pinta-ala on kanta kertaa korkeus. Kuvasta nähdään, että kan-ta on π · r ja korkeus r.

Ympyrän pinta-ala A on siis sama kuin suunnikkaan pinta-ala, eli A = π ·r ·r.

Ympyrän pinta-ala A (kaava 6)

Ympyrän pinta-ala saadaan, kun pii kerrotaan säteen neliöllä.

A = π · r2 (kaava 6)A = π · r · r

Esimerkki 4

Laske ympyrän pinta-ala, kun säde on 7 cm.

1. Kuva

17

2. Tiedot

A = π · r2 (pinta-ala = pii · säde · säde)r = 7 cm (säde = 7 cm)

3. Laskut

A = π · r2A = π · r · rA = π · 7 cm · 7 cmA = 1|53, 93804 cm2

Muista laskea ja merkitä vihkoon lasku samalla tavalla. Jos käytät laski-men π-merkkiä, merkitset myös sen vihkoon (kuten esimerkissä). Jos lasket3, 14 arvolla merkitset luvun 3, 14, π-merkin sijasta.

4. Vastaus

Pinta-ala on 200 cm2.

Lähtöarvo yhden merkitsevä numeron tarkkuudella.

MA453 Pronssi

Laskut lasketaan neljällä vaiheella.

P1. Laske ympyrän pinta-ala, kun säde on 5 cm.

P2. Laske ympyrän pinta-ala, kun halkaisija on 30 cm.

P3. Laske ympyrän pinta-ala, kuna) säde on 4, 2 mc) ympyrän halkaisija on 200 m.

18

P4. Laske kahden sisäkkäisen ympyrän väliin jäävä pinta-ala, kuna) ison ympyrän säde on 32 cm ja pienen 15 cm.b) pienen ympyrän säde on 3 m ja ison 350 cm.

P5. Neliön muotoisesta vanerikappaleesta leikataan mahdollisimman iso ym-pyrä, jolloin ympyrän halkaisija on 50 cm. Kuinka paljon vaneria meneenhukkaan?

Valinnanpaikka

P6. Laske ympyrän pinta-ala, kuna) säde on 57 cmb) halkaisija on 50 cm.

MA453 Hopea (*T)

H1. Laske ympyrän pinta-ala neljällä vaiheella, kuna) ympyrän piiri on 64 mb) ympyrän kehän pituus on 4, 2 m.

H2. Laske neljällä vaiheella ympyrän pinta-ala, kuna) säde on 300 mb) halkaisija on 525 kmc) piiri on 324 cmd) kehä on 5 m.

H3. Koripallokentän keskiympyrän reunukseen kuluu 25, 5 m teippiä. Mikäon keskiympyrän pinta-ala?

H4. Suolakurkkupurkin kannen halkaisija on 12 cm.a) Laske kannen pinta-ala.b) Kannen ympärille laitetaan lahjanarua kolmen kierroksen verran. Kuin-

ka monta senttimetriä narua kuluu?d) Narun hinta on 5 e/m. Laske paljonko naru maksaa?

H5. Tuuma on 2, 54 cm. Pyörän renkaan koko on 28, mikä tarkoittaa renkaanhalkaisijaa. Kuinka pitkän matkan rengas kulkee, kun

a) rengas pyörähtää 1 kerranb) rengas pyörähtää 10 kertaa?c) Kuinka monta pyörähdystä vaaditaan 1 km matkalle?

19

MA453 Kulta (*T)

Säde r pinta-alan A avulla (kaava 7)

Aloitetaan kaavasta A = πr2.

Kirjoitetaan kaava toisinpäin.

πr2 = A

π · r2 = A|| : π

Jaetaan yhtälön molemmat puolet π:llä.

r2 = Aπ

Otetaan neliöjuuri molemmilta puolilta. Neliöjuuren käsite tulee myöhemmin.Tässä vaiheessa riittää, että osaa laskimella laskea neliöjuuren.

r2 = Aπ||√

Saadaan kaava.

r =√

Aπ(kaava 7)

Esimerkki 1

Ympyrän pinta-ala on 100 cm2. Laske halkaisija.

1. Kuva

20

2. Tiedot

d = ? (halkasija = ? )A = 100 m2 (pinta-ala = 100 m2)

r =√

Aπ

d = 2r (halkaisija = 2·säde)r =? (säde = ?)

3. Laskut

r =√

Aπ

r =√

100π

r = 5, 64189 md = 2rd = 2 · 5, 64189 md = 1|1, 2837m ≈ 10 m

Epätarkimmassa lähtöarvossa (200) on yksi merkitsevä numero, joten vas-taukseen tulee yksi merkitsevä numero.

4. Vastaus

Halkaisija on 10 m.

Tehtävät

Laskut lasketaan neljällä vaiheella.

K1. Laskea) säde, kun pinta-ala on 300 m2

b) säde, kun pinta-ala on 525 km2

21

c) halkaisija, kun pinta-ala on 324 cm2

d) piiri, kun säde on 5 m.

K2. Laske pinta-ala.a) Suorakulmion kanta on 4 cm ja korkeus 50 cm.b) Kahden sisäkkäin olevan ympyrän väliin jäävä pinta-ala, kun ison ym-

pyrän säde on 32 cm ja pienen 15 cm.c) Kahden sisäkkäin olevan ympyrän väliin jäävä pinta-ala, kun pienen

ympyrän säde on 3 m ja ison 350 cm.d) Kahden sisäkkäin olevan ympyrän väliin jäävä pinta-ala, kun toisen

ympyrän piiri on 315 cm ja toisen halkaisija on 2340 mm.

K3. a) Ympyrän pinta-ala on 300 m2. Laske kuinka pitkän matkan ym-pyrä kulkee, kun se pyörähtää viisi kertaa?

b) Ympyrän säde on 7, 08 cm. Laske ympyrän pinta-ala.c) Neliön muotoisesta vanerikappaleesta leikataan mahdollisimman iso

ympyrä, jolloin ympyrän halkaisija on 50 cm. Laske kuinka monta prosenttiamenee vaneria hukkaan.

d) Kartongin hinta on 5 e/m2. Laske kuinka paljon maksaa ympyrä, jon-ka halkaisija on 30 cm. Kuinka paljon kartonki maksaisi, jos pitäisi ostaasuorakulmion muotoinen kappale?

22

MA454 (*V) Ympyrän kulmat, Thaleen lause

A ja B

Keskuskulma

Keskuskulman kärkipiste on ympyrän keskipisteessä ja kylkinä ovat ympyränsäteet.

Kehäkulma

Kehäkulman kärkipiste on ympyrän kehällä ja kylkinä ovat ympyrän jänteet.

Kehäkulman ja keskuskulman välinen suhde (kaavat 8ja 9)

Samaa kaarta (punainen) vastaava kehäkulma on puolet keskuskulman suu-ruudesta.

kehäkulma = keskuskulma2

β = α2(kaava 9)

23

keskuskulma = 2 · kehäkulmaα = 2 · β (kaava 8)

Kaaren asteluku

Kaaren asteluku on yhtäsuuri kuin keskuskulman suuruus.

Thaleen lause

Puoliympyrän muodostama kehäkulma on aina suora kulma.

Toisin sanoin.

Jos kolmion yksi sivu on puoliympyrän halkaisija ja yksi kärjistä on ym-pyrän kehällä, on tämä kulma aina suora kulma.

Jana AB on ympyrän halkaisija, joten kulma 6 BCA on suora kulma.

MA454 Pronssi

P1. Piirrä ympyrä ja nimeä siihena) halkaisijab) sädec) kehäd) piiri.

P2. Laske neljällä vaiheella.a) Ympyrän piiri, kun halkaisija on 349 cm.b) Ympyrän halkaisija, kun piiri on 349 cm.c) Ympyrän pinta-ala, kun säde on 349 cm.

P3. Piirrä ympyrä, jonkaa) kehäkulma on 100 astettab) keskuskulma on 25 astettac) säde on 6 cmd jonka piiri on 30 cm.

24

MA454 Hopea

H1. Laske neljällä vaiheella. Jos tehtävässä täytyy laskea aluksi säde, taijokin toinen muuttuja, laske sen arvo kolmen desimaalin tarkkuudella.

a) Ympyrän pinta-ala, kun säde on 5 cm.b) Ympyrän pinta-ala, kun piiri on 35 cm.c) Ympyrän kehä, kun säde on 5 cm.d) Ympyrän säde, kun pinta-ala on 2390 cm2.

H2. Laske neljällä vaiheellaa) Polkupyörän renkaan halkaisija on 50 cm. Rengas pyörähtää 20 kertaa.

Kuinka pitkän matkan rengas pyörii?b) Auton renkaan säde on 20 cm. Rengas pyörähtää 63 kertaa minuutissa.

Kuinka pitkän matkan auto kulkee eteenpäin kolmessa minuutissa?c) Ralliauton renkaan halkaisija on 0, 00030 km. Rengas pyörähtää 4001

kertaa minuutissa. Laske renkaan pyörimisnopeus (km/h).d) Tuulimyllyn lavan pituus on 35 m, ja se pyörii 15 kertaa minuutissa.

Laske lavan nopeus (m/s).e) Ympyrän halkaisija, kun pinta-ala on 349 cm.

H3. Laske keskuskulman suuruus, kuna) kaaren asteluku on 48o

b) kehäkulman asteluku on 28o

c) kehäkulman asteluku on 128o.

H4. Määritä kehäkulman suuruus.

a) b)

c) d)

25

MA454 Kulta

Tangenttikulma

Kahden tangentin leikkauspisteeseen muodostuu tangenttikulma beta.

Tangenttikulman β suuruus on 180o − keskuskulma α.

β = 180o − α

Keskuskulman α suuruus on 180o − tangenttikulma β.

α = 180o − β

Esimerkki 1

Laske kulman α suuruus.

Tangenttikulma tiedetään.

α = 180o − βα = 180o − 55oα = 125o

Keskuskulman suuruus on 125o.

26

Tehtävät

K1. Laske keskuskulman α suuruus.

a) b) c)

K2. Kakun säde on 20, 0 cm. Laske kakun palan pinta-ala, kun kakkua oste-taan

a) puolikasb) neljäsosac) kahdeksasosa.

K3. Ympyrän halkaisija on 28, 4 m. Kuinka pitkän matkan Jukka kävelee,kun hän kävelee kaarta pitkin

a) 180o

b) 90o?

27

MA455 (*V) Ympyrän kaaren pituus ja sekto-

rin pinta-ala A, B ja C

Ympyrän kaaren pituus (kaava 10)

Kaaren pituus saadaan selville keskuskulman asteluvun avulla. Keskuskul-man asteluku jaetaan ympyrän asteluvulla, jolloin saadaan kerroin, milläympyrän kehä kerrotaan.

ympyrän kaaren pituus = keskuskulma360o

· ympyrän piiri

Ympyrän kaaren kirjaintunnus on b, joten kaava voidaan esittää muodos-sa

b = α360o· p (kaava 10)

Esimerkki 1

Ympyrän kehä on 358 cm. Kuinka pitkä on kaari?

1. Kuva

2. Tiedot

b =? (ympyrän kaari = ?)

b = a360o· p (kaaren pituus = keskuskulma / 360o· piirin pituus.)

α = 180o (keskuskulman asteluku on 180 astetta)

p = 358 cm (piiri on 358 cm)

3. Laskut

28

b = a360o· p

b = 180o

360o· 358

b = 192|, 5 ≈ 193

4. Vastaus

Kaaren pituus on 193 cm.

Esimerkki 2

Puoliympyrän kaari on puolet ympyrän kehästä.

Esimerkki 3

Laske kaaren b pituus, kun piiri on 100 mm.

1. Kuva

2. Tiedot

b =? (kaaren pituus = ? )

b = α360o· p (kaaren pituus = keskuskulma/ 360o· piirin pituus)

α = 90o (keskuskulman asteluku on 90 astetta)

p = 100 mm

3. Laskut

b = α360o· p

b = 90o

360o· 100

r = 0, 25 · 100r = 25

29

4. Vastaus

Kaaren pituus on 30 mm. Epätarkimmassa lähtöarvossa on yksi merkitsevänumero.

Kaava säteen r avulla

Piiri on halkaisija kertaa pii (p = dπ). Halkaisija on kaksi kertaa säde (d =2r), joten kaava saa muodon

b = α360o· 2πr

Esimerkki 4

Laske neljällä vaiheella ympyrän kaaren b pituus, kun ympyrän piiri on 50 cm.

1. Kuva

2. Tiedot

α = 110o (keskuskulma = 110o)

b =? (kaaren pituus = ? )

b = α360o· p (kaaren pituus = keskuskulma / 360o· piirin pituus)

p = 50 cm (piiri = 50 cm)

3. Laskut

b = α3600· p

30

b = 1100

3600· 50

b = 15, 2777b ≈ 20

Merkitsevien numeroiden perusteella vastaus pyöristettäisiin kymmenen sen-tin tarkkuudella, mutta tässä voisi myös antaa vastaus yhden sentin tarkkuu-della 15 cm.

4. Vastaus

Ympyrän kaaren pituus on noin 20 cm.

Ympyrän sektorin pinta-ala As (kaavat 11 ja 12)

Sektorin pinta-ala saadaan keskuskulman suuruuden avulla.

Ympyrän pinta-alan Ay kaava on

Ay = π · r2.

Sektorin pinta-alan As kaava on

As =α

360o· Ay (kaava 11).

Kaavat yhdistämällä saadaan

As =α0

3600· πr2 (kaava 12)

As =α0

3600· π · r · r.

Esimerkki 5

Laske neljällä vaiheella sektorin pinta-ala, kun ympyrän pinta-ala on 532 cm2.

1. Kuva

31

2. Tiedot

α = 265, 4o (keskuskulma = 265, 4o)

Ay = 532cm2 (ympyrän pinta-ala = 532 cm2)

As =? (sektorin pinta-ala = ?)

As =α

360o· Ay (sektorin pinta-ala = keskuskulma / 360o· ympyrän pinta-ala)

3. Laskut

As =α

360o· Ay

As =265,4o

360o· 532

As = 392, |20222As ≈ 392

4. Vastaus

Ympyrän sektorin pinta-ala on 392 cm2.

MA455 Pronssi

Laske laskut neljällä vaiheella.

P1. Laske ympyräna) piiri, kun halkaisija on 50 cmb) pinta-ala, kun säde on 9 cmc) piiri, kun säde on 6 cmd) pinta-ala, kun halkaisija on 15 cm.

P2. Laske ympyrän kaaren pituus, kun

32

a) keskuskulma on 45o ja piiri on 120 cmb) keskuskulma on 145o ja piiri on 320 cmc) kehäkulma on 53o ja piiri on 43, 2 md) kehäkulma on 124, 4o ja piiri on 43, 2 m.

P3. Laske sektorin pinta-ala, kun keskuskulma ona) 34, 5o ja pinta-ala on 100 m2

b) 42, 5o ja pinta-ala on 15 m2

c) 34, 5o ja ympyrän säde on 6 cmd) 154, 5o ja ympyrän piiri on 500 cm.

MA455 Hopea

Laske laskut neljällä vaiheella.

H1. Laske ympyräna) sektorin pinta-ala, kun säde on 6, 5 m ja keskuskulma on suora kulmab) pinta-ala, kun sektorin keskuskulma on 90o ja pinta-ala on 500 m2

c) kaaren pituus, kun piiri on 63 cm ja kehäkulma on 35 astettad) pinta-ala, kun piiri on 359 cm.

H2. a) Olli piirtää 5, 5 m köyden avulla maahan ympyrän sektorin kaaren,jonka kulma on 15 astetta. Kuinka suuri Ollin piirtämän ympyrän sektoripinta-ala on?

b) Olli piirtää 5, 5 m köyden avulla maahan ympyrän sektorin, jonkakulma on 15 astetta ja kaaren pituus on 3, 1 cm. Kuinka suuri Ollin piirtämänympyrän sektori pinta-ala on?

c) Piirrä oikeassa mittakaavassa ympyrä, jonka kehän pituus on 30 cm.(Laske säde kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.)

d) Piirrä oikeassa mittakaavassa ympyrä, jonka sektorin pinta-ala on30 cm2. (Laske säde kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.)

MA455 Kulta

Ympyrän kaaren kaavasta voidaan ratkaista myös pinta-ala tai keskuskulmansuuruus.

Esimerkki 1

Keskuskulman suuruus piirin ja kaaren pituuden avulla.

33

b = α360o· p|| : p

bp= α

360o|| kerrotaan ristiin

360o · b = p · α|| : p

α = 360o·bp

Esimerkki 2

Pinta-ala sektorin ja keskuskulman avulla.

As =α

360o· Ay|| : Ay

AsAy

= α360o|| kerrotaan ristiin

Ay · α = As · 360o || : α

Ay =As·360o

α

Tehtävät

K1. Laske ympyräna) säde, kun pinta-ala on 350cm2

b) pinta-ala, kun halkaisija on 63 mc) piiri, kun kaaren pituus on 24 cm ja keskuskulma on 39 astettad) piiri, kun kaaren pituus on 32 cm ja kehäkulma on 59 astetta.

K2. Laske

a) uloimman kaaren pituus

b) sinisen alueen pinta-ala

34

c) oranssin alueen pinta-ala

d) sektorin pinta-ala.

K3. Polkupyörän keskirattaan säde on 12 cm. Kun keskiratas pyörähtää kaksikertaa, niin pieni takaratas pyörähtää kolme kertaa.

a) Laske takarattaan piiri.b) Kuinka monta astetta iso ympyrä pyörähtää, kun pikkuympyrä pyörähtää

yhden kerran?

K4. Laske ympyräna) säde, kun keskuskulma on 85o ja sektorin pinta-ala on 234 m2

b) halkaisija, kun keskuskulma on 125o ja sektorin pinta-ala on 2356 cm2

c) pinta-ala, kun keskuskulma on 235o ja sektorin pinta-ala on 6445 m2

d) sektorin kaaren pituus, kun keskuskulma on 85o ja sektorin pinta-alaon 234 m2.

35

MA456 Suorakulmion ja suunnikkaan pinta-

alat ja piirien pituudet A, B ja C

Suorakulmiossa on neljä suoraa kulmaa. Vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät,ja yhdensuuntaiset.

Suunnikas saadaan suorakulmiosta, kun kuviota kallistetaan niin, että kul-mat eivät ole enää suoria.

Korkeus muuttuu! Korkeus mitataan kohtisuorasti kantaa vasten.

Piiri p

Piiri saadaan, kun lasketaan kaikki sivut yhteen. Piiri on kappaleen ympärikävelty matka tai piiri = kynällä piirretty matka.

Suorakulmion ja suunnikkaan piiri (kaava 14)

Lasketaan kaikkien sivujen pituuksien summa.

36

p = a+ a+ b+ bp = 2a+ 2b (kaava 14)

Esimerkki 1

Laske suorakulmion piiri, jossa sivujen pituudet ovat 5 cm ja 3 cm.

1. Kuva

2. Tiedot

p = ?p = 2a+ 2ba = 5 cmb = 3 cm

a:n ja b:n voit valita kummin päin vain.

3. Laskut

p = 2a+ 2bp = 2 · 5 + 2 · 3p = 10 + 6

37

p = 16

4. Vastaus

Suorakulmion piiri on noin 16 cm.

Piiriä laskettaessa lasketaan yksiköllisten lukujen yhteenlaskua, joten vas-taus annetaan epätarkimman lähtöarvon tarkkuudella.

Suorakulmion ja suunnikkaan pinta-ala (kaava 13)

Pinta-ala saadaan, kun kerrotaan kanta a korkeudella h. ”Pinta-ala on kap-paleen peittämä alue.”

A = a · h (kaava 13)

tai

A = a · b

Muista, että kanta ja korkeus pitää olla samassa yksikössä!

Esimerkki 2

Laske suunnikkaan pinta-ala.

1. Kuva

38

2. Tiedot

A =? (A = pinta-ala)A = a · h (pinta-ala = kanta · korkeus)a = 5 cm (kanta = 5 cm)h = 2, 8 cm (korkeus = 2, 8 cm)

3. Laskut

A = a · hA = 5 · 2, 8A = 14

4. Vastaus

Pinta-ala on noin 10 cm2. Kyseessä on yksiköllinen luku kertaa yksiköllinenluku, joten vastaus annetaan epätarkimman lähtöarvon (5 cm) merkitseviennumeroiden tarkkuudella. Tehtävän vastauksen mielekkyydestä riippuen voi-si antaa vastaukseksi myös 14 cm2.

MA456 Pronssi

P1. Laske neljällä vaihella suorakulmion pinta-ala, kun leveys on 3 m ja kor-keus 237 m.

P2. Laske neljällä vaihella suunnikkaan pinta-ala, kun leveys on 23 m jakorkeus 247 m.

P3. Laske neljällä vaiheella suorakulmion piiri, kun leveys on 23 m ja korkeus247 m.

P4. Laske neljällä vaiheella suunnikkaan piiri, kun leveys on 0, 6 km ja toisensivun pituus on 247 m.

Valinnanpaikka

39

P5. Laske kuvien pinta-alat neljällä vaiheella.

a) b)

P6. Laske neljällä vaiheellaa) suorakulmion pinta-ala, kun leveys on 21 m ja korkeus 37 mb) suunnikkaan piiri, kun leveys on 546 m ja sivujana on 45 mc) suunnikkaan pinta-ala, kun leveys on 92 m ja korkeus 72 mb) suorakulmion piiri, kun leveys on 56 m ja sivujana 435 m.

P7. Laske neljällä vaiheellaa) suunnikkaan piiri, kun leveys on 435 m ja sivujana on 243 mb) suorakulmion piiri, kun leveys on 23 m ja korkeus on 247 mc) suunnikkaan pinta-ala, kun leveys on 83 m ja korkeus 12 md) suorakulmion pinta-ala, kun leveys on 8 m ja korkeus 732 m.

MA456 Hopea

H1. Laske neljällä vaiheellaa) suorakulmion pinta-ala, kun leveys on 210 cm ja korkeus 37 mb) suunnikkaan piiri, kun leveys on 5406 mm ja toinen sivu on 45 m.

H2. Laske kuvan pinta-ala neljällä vaiheella.

H3. Laske ympyrän pinta-ala neljällä vaiheella.

40

Valinnanpaikka

H4. Laske neljällä vaiheellaa) suorakulmion piiri, kun leveys on 560 m ja korkeus 4, 35 kmb) suunnikkaan pinta-ala, kun leveys on 9, 2 km ja korkeus 720 m.

H5. Laske kuvien pinta-alat neljällä vaiheella.

MA456 Kulta

Suorakulmion korkeuden kaava pinta-alan ja sivun avul-la (kaava 15)

Kun suorakulmion tai suunnikkaan pinta-ala ja toinen sivu tiedetään, saa-daan korkeus selville kaavalla

h = Aa(kaava 15)

Suorakulmion sivun kaava pinta-alan ja korkeuden avul-la (kaava 16)

Vastaavasti toinen sivu saadaan korkeuden avulla selville

a = Ah(kaava 16)

Kaavat on saatu ratkaisemalla haluttu suure seuraavasti

41

A = ah|| : h (jaetaan molemmat puolet h:lla)

Ah= a (käännetään yhtälö toisinpäin)

a = Ah

Esimerkki 1

Laske suunnikkaan kannan pituus, kun korkeus on 5 cm, ja suunnikkaanpinta-ala on 59 cm2.

1. Kuva

2. Tiedot

a = ? (kanta = ?)

a = A/h (kanta = pinta-ala/korkeus)

A = 59cm2 (pinta− ala = 59 cm2)

h = 5 cm (Korkeus = 5 cm)

3. Laskut

a = Ah

a = 59 cm2

5 cm

a = 1|1, 8 cm ≈ 10 cm

4. Vastaus

Kannan pituus on 10 cm. Pyöristys epätarkimman lähtöarvon (5 cm) mer-kitsevien numeroiden tarkkuudella.

Tehtävät

K1. Laske neljällä vaiheella.a) Suorakulmion pinta-ala on 300 m2. Laske leveys, kun korkeus on 37 m.b) Suorakulmion pinta-ala on 345 m2. Laske korkeus, kun leveys on 24 m.

K2. Laske neljällä vaiheella.

42

a) Suunnikkaan pinta-ala on 3021 m2. Laske leveys, kun korkeus on 52km.

b) Suunnikkaan pinta-ala on 3245m2. Laske korkeus, kun leveus on 0,37m.

K3. Neliön sivun pituus on 6 m.a) Laske ympyrän pinta-ala neljällä vaiheella.b) Kuinka paljon menee pahvia hukkaan, kun ympyrä leikataan irti?

K4. Ympyrän säde on 6 cm.a) Laske neljällä vaiheella ympyrän sektorin pinta-ala.b) Kuinka paljon paperia menee hukkaan, kun sektori leikataan irti ne-

liöstä?

K5. Laske suunnikkaan pinta-ala.

43

MA457 Neliön juuri ja puolisuunnikkaan pinta-

ala A ja B

Neliön juuri, eli neliöjuuri

Kun neliön pinta-ala tiedetään, voidaan sivun pituus päätellä. Neliön pinta-ala on kanta kertaa korkeus. Neliössä kanta ja korkeus ovat yhtä suuret.

A = x · x

Juuri tarkoittaa yhtälön ratkaisua.

Esimerkki 1

a) x · x = 4, mitä x on?

x = 2

Merkitään lyhyesti√4 = 2

b) x · x = 9, mitä x on?

x = 3


c) x · x = 16, mitä x on?

44

x = 4


d) x · x = 18, mitä x on?

Tiedetään, että x on 4 ja 5 välillä, koska 42 = 16 ja 52 = 25, joten 16 <18 < 25.

Laskimesta saadaan neliöjuuren likiarvo.

Merkitään lyhyesti√16 <

√18 <

√25.

Laskimesta riippuen laskimeen laitetaan 18 ja√

tai√

ja 18. Kokeile koulunlaskimella oikea tapa.

√18 = 4, 2426...

Kun luvusta otetaan neliöjuuri, on vastaus aina positiivinen.

Neliöjuuri yhtälössä

Kun ratkaistaan yhtälöä, niin myös negatiivinen arvo hyväksytään.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö x2 = 18.

Yhtälö ratkeaa, kun otetaan yhtälön molemmilta puolilta neliöjuuri.

45

x2 = 18||√

x = ±4, 2426...

Kun ratkaisu voi olla sekä postitiivinen että negatiivinen, se merkitään ±merkillä.

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö x2 = 81.

x2 = 81||√

x = ±9

Tarkistus

(−9)(−9) = 81

81 = 81

ja

9 · 9 = 81

81 = 81.

Neliöjuuri pinta-alan laskemisessa

Pinta-alan laskuissa vastaukseksi hyväksytään vain positiivinen arvo. Nega-tiivinen arvo käy vastaukseksi vain yhtälöissä!

Esimerkki 4

Laske ilman laskinta.

a)√9

b)√81

46

c)√−49

d) −√36

Ratkaisut

a)√9 =√3 · 3 = 3

Ratkaisu löytyy, kun mietitään mikä luku kertaa sama luku on 9. Tässäon käytävä mielessä / paperilla eri vaihtoehtoja.

b)√81 =

√9 · 9 = 9

c)√−49 =

√−7 · 7→ ei määritelty

Neliöjuuren sisällä oleva luku ei voi olla koskaan negatiivinen. Negatiivis-ta pinta-alaa ei ole olemassa!

d) −√36 = −

√6 · 6 = −6

Miinus on koko neliöjuurilausekkeen edessä, ja neliöjuuren sisällä on posi-tiivinen luku. Lasku on laskettavissa, ja tulos on negatiivinen.

MA457 Pronssi

P1. Laske ilman laskinta.a)√4

b)√81

c)√16

d)√49

P2. Laske ilman laskinta.a)√0

b) −√25

c)√121

d)√36

P3. Laske ilman laskinta.a)√4+√9

b)√20 + 5

c)√75 + 25

47

d)√9 · 9

P4. Laske laskimella. Anna vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella.a)√8

b) −√20

c)√20

d)√15

P5. Laske laskimella. Anna vastaus sadasosien tarkkuudella.a)√222

b)√14

c)√5

d) −√90

P6. Neliön pinta-ala on 1000 m2. Kuinka pitkä ona) sivub) piiri?

MA457 Hopea (*T)

Puolisuunnikkaan pinta-ala (Kaava 17)

Lasketaan yhdensuuntaisten janojen a ja b summa, ja jaetaan kahdella (kes-kiarvopituus). Kerrotaan osamäärä puolisuunnikkaan korkeudella.

A = a+b2· h (kaava 17)

tai jaetaan puolisuunnikas kahdeksi kolmioksi ja lasketaan kolmioiden pinta-alojen summa.

48

Puolisuunikkaan pinta-ala on sinisen kolmion pinta-ala + ruskean kolmionpinta-ala.

Apuolisuunnikas = Asininen kolmio + Aruskea kolmio =b·h2+ a·h

2

Tehtävät

H1. Puolisuunnikkaan korkeus on 54 cm ja yhdensuuntaiset sivut ovat 300cm ja 643 cm. Laske kappaleen pinta-ala neljällä vaiheella.

H2. Laske neljällä vaiheella kuvan kappaleen pinta-ala.

H3. Puolisuunnikkaan korkeus on 4 m, ja yhdensuuntaiset sivut ovat 32 mja 64 m. Laske kappaleen pinta-ala neljällä vaiheella.

H4. Puolisuunnikkaan korkeus on 45 cm, ja yhdensuuntaiset sivut ovat 2, 0m ja 444 cm. Laske kappaleen pinta-ala neljällä vaiheella.

MA457 Kulta (*T)

Neliöjuuren laskutoimituksia

Muistetaan laskujärjestykset. Neliöjuuren sisällä oleva lauseke lasketaan, ku-ten se olisi sulkeiden sisällä.

Esimerkki 1

a) 2√4 + 5

= 2√9

= 2 · 3= 6

b) 2√4 · 16

= 2√64

= 2 · 8

49

= 16

c) −2√−2 · (−12, 5)

= −2√25

= −2 · 5= −10

d) 3√9 +√49

= 3 · 3 + 7= 9 + 7= 16

e) 2√16 +

√69 + 12

= 2 · 4 +√81

= 2 · 4 + 9= 8 + 9= 17

Tehtävät

K1. Laske.a) 2√81 + 4

√69

b) 2√10 + 6− 6

√29 + 20

c) −6√40− 4− 9

√81

K2. Laske.a) 2

√√100 +

√36− 14

√81

a) 2(√100)2 +−14 · (−2)

50

MA458 Kolmion pinta-ala A ja B

Kolmion pinta-ala (kaava 18)

Kolmion pinta-ala on puolet suunnikkaan pinta-alasta.

Kolmion pinta-alan kaava

A = a·h2

(kaava 18)

a = kanta (leveys)h = korkeus

Kolmio nimetään sen mukaan miten kolmio on pystyssä ”pöydällä”. Korkeuson kolmion kohtisuora korkeus. Kanta on kolmion sivu, joka on ”alhaalla”.

Esimerkki 1

Kolmion korkeus on 10, 5 cm ja kanta 13 cm. Laske pinta-ala.

1. Kuva

2. Tiedot

51

A =? (pinta-ala = ?)

A = a·h2

(pinta-ala = (kanta · korkeus) / 2 )

a = 13 cm (kanta = 13 cm)

h = 10, 5 cm (korkeus = 10,5 cm)

3. Laskut

A = a·h2

A = 13·10,52

A = 136,52

A = 68, 25

4. Vastaus

Pinta-ala on 68 cm2. Pyöristetään vastaus lähtöarvojen mukaiseen tulokseen.Epätarkemmassa lähtöarvossa on kaksi merkitsevää numeroa.

MA458 Pronssi


P1. Laske kolmion pinta-ala, kun korkeus on 15 cm ja kanta on 30 cm.

P2. Laske kuvan kolmion pinta-ala.


52


Valinnanpaikka

P5. Laske pinta-ala, kun korkeus on 78, 3 cm ja kanta on 23 cm.

P6. Laske kuvan kolmoin pinta-ala.

P7. Laske kuvan kolmoin pinta-ala.


53


MA458 Hopea (*T)

Ennen laskemista suureiden yksiköt on muutettava samaan kerrannaisyk-sikköön. Käytä apuna lorua.

millimetri, senttimetri, desimetri, metri, dekametri, hehtometri, kilometri

Tehtävät


H1. Kolmion kanta on 5 m ja korkeus 53 dm. Laske kolmion pinta-ala.

H2. Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 41, 2 cm. Laske kolmion piiri.

H3. a) Piirrä kolmio, joka ei ole suorakulmainen. Kolmion kanta on 5 cmja toinen sivu 7, 5 cm.

b) Mittaa kolmannen sivun pituus.c) Piirrä kolmioon korkeusjana.d) Laske neljällä vaiheella kolmion pinta-ala.

Valinnanpaikka

H4. Piirrä teräväkulmainen kolmio, mittaa tarvittavat suureet ja laske pinta-ala.

54

H5. Piirrä tylppäkulmainen kolmio, mittaa tarvittavat suureet ja laske pinta-ala.

H6. Piirrä suorakulmainen kolmio, mittaa tarvittavat suureet ja laske pinta-ala.

MA458 Kulta (*T)

Tasasivuinen kolmio

Tasasivuisessa kolmiossa kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kulmat yhtä suuret.Kolmion kulmien summa on 1800, joten jokainen kulma on

1800

3= 60o.

Tasakylkinen kolmio

Tasakylkisessä kolmiossa kaksi kylkeä ovat yhtä suuret. Kolmiossa kaksi kul-maa ovat yhtä suuret, ja niiden nimi on kantakulmat. Kolmas kulma onnimeltään huippukulma.

55

Kolmion kanta pinta-alan ja korkeuden avulla (kaava 19)

Kolmion korkeus mitataan aina kohtisuorana etäisyytenä kantaa tai sen jat-ketta vastaan.

Kolmion kannan a tai korkeuden h ratkaiseminen. Kun kolmion pinta-alaA ja korkeus h tiedetään, voidaan kanta a laskea seuraavasti

A = ah2|| · 2

2A = ah|| : 2

a = 2Ah

(kaava 19)

Kolmion korkeus pinta-alan ja kannan avulla (kaava 20)

h = 2Aa

(kaava 20)

Esimerkki 1

Laske kolmion kanta, kun pinta-ala on 500 m2 ja korkeus on 100 m.

1. kuva

2. Tiedot

a = ?a = 2A

h

A = 500 m2

h = 100 m

56

3. Laskut

a = 2Ah

a = 1000 m2

100 m

a = 10 m

4. Vastaus

Kolmion kanta on 10 m.

Tehtävät


K1. Kolmion pinta-ala on 235 m2 ja kanta 35 m. Laske kolmion korkeus.

K2. Kolmion pinta-ala on 4525 m2 ja kanta 358 cm. Laske kolmion kor-keus.

K3. Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 6, 3 cm. Laske kolmion piiri.

K4. Tasakylkisen kolmion kyljen pituus on 6, 3 cm ja piiri 15 cm. Kuinkapitkä on kanta?

K5. Tasakylkisen kolmion kanta on 5, 7 cm korkeus 4, 6 cm. Laske kolmionpinta-ala.

K6. Tasakylkinen kolmio, jonka kylki on 4, 7 cm on kaatunut kyljelleen. Kyl-kien välinen pisin etäisyys on 2, 3 cm. Laske kolmion pinta-ala.

K7. Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 3, 75 mm ja korkeus 8 mm. Laskekolmion pinta-ala.

K8. Tasakylkisen kolmion pinta-ala on 52, 1 cm2 ja kanta 120,5 mm. Las-ke kolmion korkeus.

K9. Tasasivuisen kolmion pinta-ala on 16, 0 cm2 ja korkeus 7, 00 cm. Las-ke kolmion sivun pituus.

57

MA459 Pinta-ala laskuja A, B ja C

Yhdistettyjen kappaleiden pinta-ala lasketaan laskemalla osa-kappaleiden pinta-alat, ja sen jälkeen yhdistetään pinta-alat.

Esimerkki 1

Suorakulmion muotoisesta paperista, jonka leveys on 8 cm ja korkeus 7 cmleikataan pois 4 cm säteinen ympyrä. Laske kuinka paljon paperia jää jäljelle.

1. Kuva

Kuvan ei tarvitse olla mittasuhteessa. Riittää, että kuvasta saa selville mitälasketaan.

2. Tiedot

Suorakulmion pinta-ala As

As = ? (suorakulmion pinta-ala = ?)

As = a · h (suorakulmion pinta-ala = kanta · korkeus)

a = 8 cm (kanta = 8 cm)

h = 7 cm (korkeus = 7 cm)

Ympyrän pinta-ala Ay

Ay = ? (ympyrän pinta-ala = ?)

Ay = 3, 14 · r · r (ympyrän pinta-ala = 3, 14· säde · säde)

58

r = 4 cm (säde = 4 cm)

Jäljelle jäävän osuuden pinta-ala Akok

Akok = As − Ay (kokonaispinta-ala = suorakulmion pinta-ala − ympyränpinta-ala)

Akok = a ·h−3, 14 ·r ·r (Kokonaispinta-ala = kanta ·korkeus −3.14·säde·säde

3. Laskut

Akok = a · h− 3, 14 · r · rAkok = 7 · 8− 3, 14 · 4 · 4Akok = 56− 50, 24Akok = 5, |76 ≈ 6

4. Vastaus

Paperista jää jäljelle noin 6 cm2

Vastaus pyöristetään lähtöarvojen tarkkuudella. Koska kyseessä on kerto-lasku, niin vastaus annetaan epätarkimman lähtöarvon merkitsevien nume-roiden tarkkuudella eli 7 cm, yhden merkitsevän numeron tarkkuus.

Esimerkki 2

Laske kuvan kappaleen pinta-ala.

Kappale voidaan leikata kahteen osaan, jollon muodostuu kaksi suorakul-miota. Sivujen pituudet pitää päätellä kuvan avulla.

59

Lasketaan kappaleiden pinta-alat

Pieni A1

A1 = a · hA1 = 5, 0 · 6, 0A1 = 30, 0

Iso A2

A2 = a · hA2 = 10, 0 · 8, 0A2 = 80, 0

Kappaleen kokonaispinta-ala on

Akok = A1 + A2Akok = 30, 0 cm

2 + 80, 0 cm2 = 110 cm2

Akok = 110 m2

MA459 Pronssi

Laske tehtävät neljällä vaiheella

P1. Laskea) suorakulmion pinta-ala, kun korkeus on 6 cm ja leveys 8 cmb) kolmion pinta-ala, kun korkeus on 6 cm ja leveys 5 cm.

60

c) Kuinka paljon jää pahvia jäljelle, kun suorakulmiosta leikataan kol-mion kokoinen palanen?

P2. Laskea) ympyrän kehän pituus, kun halkaisija on 4, 5 cmb) suorakulmion piiri, kun suorakulmion leveys on 6 cm ja korkeus 6, 5

cm.c) Kuinka monta senttiä pidempi on suorakulmion piiri verrattuna ym-

pyrän piiriin?

P3. Laskea) ympyrän pinta-ala, kun halkaisija on 7 cmb) suunnikkaan piiri, kun korkeus on 5 cm, leveys 8 cm ja pystysivu 7 cm.

MA459 Hopea

Laske tehtävät neljällä vaiheella

H1. Laske mustan alueen pinta-ala, kun suunnikkaan korkeus on 4, 2 cmja mustan kolmion kanta on 1, 9 cm.

H2. Laske sinisen alueen pinta-ala, kun pienen ympyrän säde on 4, 2 cm.

H3. Laske valkoisen alueen pinta-ala, kun neliöön mahtuu tasan neljä mustaapalloa.

61

H4. Laske neliön mustan alueen pinta-ala, kun harmaan ympyrän halkai-sija on 7, 2 m.

H5. Suunnikkaasta on leikattu irti ympyräsektori, jonka keskuskulma on15 astetta, ja koko ympyrän halkaisija on 13 cm. Suunnikkaan leveys on 15cm ja korkeus 5, 0 cm. Laske jäljelle jäävän suunnikkaan pinta-ala.

MA459 Kulta

K1. Laske valkoisen alueen pinta-ala, kun ympyrät ovat neliössä. Kuinka pal-jon maksaa ympyrät, kun neliöhinta on 1, 35 e/m2.

K2. Laske valkoisen alueen pinta-ala, kun kyseessä on neliö. Kuinka pal-jon rahaa menee hukkaan, kun paperi maksaa 0, 25 snt/cm2 ?

K3. Laske valkoisen alueen pinta-ala. Kuinka paljon harmaa ympyrä maksaa,kun sen neliöhinta on 8 e?

62

K4. Laske harmaan alueen pinta-ala, kun harmaan ympyrän säde on 3, 25cm.

63

MA460 Tukiopetus- ja kertaustehtäviä

MA460 Pronssi

P1. Laske kuvan kappaleen pinta-ala ja piiri neljällä vaiheella. Nimeä kappale.





P6. Laske kuvan kappaleen piiri neljällä vaiheella. Nimeä kappale.

64

P7. Laske kuvan kappaleen pienemmän sektrorin pinta-ala ja piiri neljällävaiheella.

P8. Muunna suluissa olevaan yksikköön.a) 345 m (hm)b) 23 a (m2)c) 2345 dm (m)d) 6 ha (dm2)e) 5 l (dm3)f) 5250 cm3 (dm3)g) 235000 m (km)

P9. Laske.a√100

b)√49

c)√25

d)√64

P10. Mikä on neliön sivun pituus, kun pinta-ala ona) 100 m2

b) 225 cm2

c) 500 ad) 1 ha?

MA460 Hopea

H1. Ympyrän säde on 5, 9 m. Laske puoliympyrän pinta-ala ja kaaren pituusneljällä vaiheella.

65

H2. Laske neljällä vaiheella kappaleen pinta-ala ja piirin pituus.

H3. Laske neljällä vaiheella kaaren pituus, kun ympyräna) kaaren asteluku on 30o ja säde on 4, 8 cmb) halkaisija on 56 m ja keskuskulma on 67o.

H4. Skeittiparkin raili on tehty puoliympyrän muotoisesta putkesta. Skeitti-rampin korkeus on 3, 2 m. Lautailija kulkee rampin toiselta puolelta toisellepuolelle mahdollisimman lyhyttä reittiä pitkin. Kuinka pitkä on tämä reitti?

H5. Äitienpäiväkortiksi tehdään ympyrän muotoinen kortti. Kortin pinta-alan täytyy olla 325 cm2. Kuinka pitkä on tämän ympyrän säde?

H6. Laske kuinka suuren pinta-alan kellon viisarit peittävät, kun kellon vii-sarit kulkevat klo 12 : 00 − 15 : 00 välisen matkan. Minuuttiviisarin pituuson 45 cm ja tuntiviisarin pituus on 40 cm.

H7. Koripallokentän kolmenpisteen kaarien halkaisija on 12 m. Laske kuinkapitkä on maalattavan kaaren pituus.

H8. Neliön pinta-ala on 49 cm. Neliön sisään piirretään mahdollisimman suu-ri ympyrä. Laske kuinka paljon paperia menee hukkaan.

MA460 Kulta (*T)

Esimerkki 1

a) Kuinka paljon talon päädyssä on maalattavaa pintaa?

66

Maalattavaa pinta-alaa on 63 m2.

b) Maalia kuluu 0, 1 l/m2, kuinka monta litraa maalia tarvitaan?

63 m2 · 0, 1 l/m2 = 6, 3 l ≈ 7 l

Vastaus voidaan pyöristää seuraavaan kokonaiseen, koska yleensä maaliamyydään kokonaisina litroina.

Vastaus: Noin seitsemän litraa.

Tehtävät

K1. Ympyrän kehän pituus on 62, 5 cm. Laske kehäkulman suuruus, kun kaa-ren pituus on 24 cm.

K2. Jalkapallokentän keskiympyrän piiri on 57 m. Laske keskiympyrän pinta-ala.

K3. Sektorin keskuskulman suuruus on 64 astetta. Laske sektorin piiri japinta-ala, kun ympyrän säde on 6, 0 m.

K4. Virvoitusjuomatölkin ymprärysmitta on 12, 2 cm Kuinka monta tölkkiämahtuu vierekkäin pahvilaatikkoon, jonka leveys on 15 cm.

K5. Taulun leveys on 32 cm ja korkeus 15 cm. Tauluun on maalattu kol-mio, jonka korkeus on 6, 3 cm ja leveys 12 cm sekä ympyräsektorin muotoi-nen kuu, jonka keskuskulma on 35 astetta ja halkasijia 7, 9 cm. Kuinka paljontaulun pinta-alasta on maalaamatta?

67

Esimerkkikoe

1. Muunnaa) 500 cm2 neliömetriksib) 0, 053 km2 hehtaareiksic) 5200 m2 aareiksi.

2. Laskea) keskuskulman suuruus, kun kehäkulma on 120 astetab) ympyrän kehän pituus.

3. Laske pinta-ala.

a) b)

4. Suunnikkaan muotoisen pihan pituus on 43 m ja leveys 55 m. Laske tontinpinta-ala aareina.

5. Kolmion pinta-ala on 300 m2. Mikä on kolmion korkeus, kun sen kantaon 52 m?

6. Ympyrän halkaisija on 5, 0 cm ja keskuskulma on 32o. Mikä on keskus-kulmaa vastaavan

a) kaaren pituusb) sektorin pinta-ala?

7. Laske kaukalon pinta-ala, kun päädyt ovat puoliympyrän muotoiset. Kuin-ka monta neliömetriä on kaukalon reunaa maalattavana, kun kaukalon kor-keus on 1 m?

68

8. Suorakulmion muotoisen rakennuksen leveys on 15 ja pinta ala on 200 m2.Rakennuksen ympärille tehdään pihakivetys siten, että kivetyksen ulkoreunaon aina kolmen metrin päässä rakennuksesta.

a) Kuinka paljon pihakiviä on ostettava?b) Kuinka paljon kivetys tulee maksamaan, kun kivien hinta on 2, 5 e/m2?

69

Kaavakokoelma

Osattavat kaavat

Voit käyttää kaavoja tehtävien laskemisessa apuna. Tavoite on kuitenkinosata laskea laskut ilman, että kaavoja tarvitsee katsoa.

d = 2r (kaava 1)

r =d

2(kaava 2)

p = dπ (kaava 3)

π =p

d(kaava 4)

d =p

π(kaava 5)

A = πr2 (kaava 6)

r =

√A

π(kaava 7)

α = 2β (kaava 8)

β =α

2(kaava 9)

b =α

360o · p(kaava 10)

As =α

360o· πAy (kaava 11)

As =α

360o· π · r2 (kaava 12)

A = a · h (kaava 13, suunnikkaan pinta-ala)

p = 2a+ 2b (kaava 14, suunnikkaan piiri)

70

h =A

a(kaava 15)

a =A

h(kaava 16)

A =a+ b

2· h (kaava 17, puolisuunnikkaan pinta-ala)

A =a · h2

(kaava 18, kolmion pinta-ala)

a =2A

h(kaava 19, kolmion pinta-ala)

h =2A

a(kaava 20, kolmion pinta-ala)

α on keskuskulma ja β on kehäkulma.

As on sektorin pinta-ala ja b on kaaren pituus.

71

Kaavat kuvina

72

Homman nimi on matematiikka · 2020. 10. 14. · Homman nimi on matematiikka MA450 Tasogeometrian...

Documents

Transcript of Homman nimi on matematiikka · 2020. 10. 14. · Homman nimi on matematiikka MA450 Tasogeometrian...