HMM

Περιγραφή ενός HMMN – πλήθος καταστάσεων

– Q = {q1, q2, …,qT} - set καταστάσεωνM – πλήθος συμβόλων

(παρατηρήσεις)– O = {o1, o2, …,oT} - set συμβόλων

Περιγραφή ενός HMMA – Πίνακας πιθανοτήτων

μετάβασης– aij = P(qt+1 = j|qt = i)

B- κατανομή πιθανοτήτων παρατήρησης – bj(k) = P(ot = k|qt = j) i ≤ k ≤ M

π – κατανομή αρχικών καταστάσεων

Περιγραφή ενός HMMΆρα ένα HMM περιγράφεται πλήρως

από την τριάδα:– λ = (A,B,π)

5

Markov Chains

Sunny

Rain

Cloudy

State transition matrix : The probability of the weather given the previous day's weather.

Initial Distribution : Defining the probability of the system being in each of the states at time 0.

States : Three states - sunny, cloudy, rainy.

6

Hidden Markov Models

Hidden states : the (TRUE) states of a system that may be described by a Markov process (e.g., the weather). Observable states : the states of the process that are `visible' (e.g., seaweed dampness).

7

Components of HMM

Output matrix : containing the probability of observing a particular observable state given that the hidden model is in a particular hidden state. Initial Distribution : contains the probability of the (hidden) model being in a particular hidden state at time t = 1. State transition matrix : holding the probability of a hidden state given the previous hidden state.

Προβλήματα μοντελοποίησης με HMM

Πρόβλημα 1 Αξιολόγηση:– Πιθανότητα εμφάνισης της

συγκεκριμένης ακολουθίας παρατήρησης, O = {o1,…,ok}, δεδομένου του μοντέλου

– P(O|λ)– Πολύπλοκο– κρυφές καταστάσεις– Χρήσιμο στο classification ακολουθιών

9

Problems With HMM

Scoring problem:Given an existing HMM and observed sequence , what is the probability that the HMM can generate the sequence

Προβλήματα μοντελοποίησης με HMM

Πρόβλημα 2Αποκωδικοποίηση:– Βέλτιστη ακολουθία καταστάσεων για

την παραγωγή δεδομένων παρατηρήσεων, O = {o1,…,ok}, δεδομένου του μοντέλου

– Κριτήριο βελτιστοποίησης– Χρήσιμο σε προβλήματα αναγνώρισης

11

Problems With HMM

Alignment ProblemGiven a sequence, what is the optimal state sequence that the HMM would use to generate it

Προβλήματα μοντελοποίησης με HMM

Πρόβλημα 3Μάθηση:– Καθορίστε το βέλτιστo μοντέλο,

λαμβάνοντας υπόψη τις παρατηρήσεις του συνόλου εκπαίδευσης

– Βρες λ, τέτοιο ώστε η P(O|λ) να μεγιστοποιείται

Πρόβλημα 1: απλοϊκή λύσηΑκολουθία καταστάσεων Q = (q1,…qT)Υποθέτουμε ανεξάρτητες παρατηρήσεις:

)()...()(),|(,|( 22111

TqTqqt

T

it obobobqoPqOP

Οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, δεδομένων των κρυμμένων καταστάσεων. (Η κοινή κατανομή των ανεξάρτητων μεταβλητών παραγοντοποιείται στις κατανομές των ανεξάρτητων μεταβλητών.)

Πρόβλημα 1: απλοϊκή λύσηΠαρατηρήστε ότι:

και:

qTqTqqqqq aaaqP 132211 ...)|(

q

qPqOPOP )|(),|()|(

Πρόβλημα 1: απλοϊκή λύσηΤελικά:

q

qPqOPOP )|(),|()|(

-Το πιο πάνω άθροισμα αφορά όλα τις διαδρομέςκαταστάσεων-Υπάρχουν NT διαδρομές καταστάσεων, όπου ηκαθεμία ‘κοστίζει’ O(T) υπολογισμούς, που δίνει πολυπλοκότητα O(TNT)

Πρόβλημα 1: Αποτελεσματική λύση

Ορίζουμε βοηθητική forward μεταβλητή α:

),|,...,()( 1 iqooPi ttt

αt(i) είναι η πιθανότητα παρατήρησης της μερικής ακολουθίας των παρατηρήσεων o1,…ot ώστε τη στιγμή t, η κατάσταση qt=i

Forward αλγόριθμος:

Πρόβλημα 1: Αποτελεσματική λύση

Αναδρομικός αλγόριθμος:– Αρχικοποίηση:

– Υπολογισμός:

)()( 11 obi ii

)(])([)( 11

1

tj

N

iijtt obaij

N

iT iOP

1

)()|(

Πολυπλοκότητα O(N2T)

Πρόβλημα 1: Εναλλακτική λύση

Ορίζουμε βοηθητική μεταβλητή β:

Backward αλγόριθμος:

),|,...,,()( 21 iqoooPi tTttt

t(i) είναι η πιθανότητα παρατήρησης τηςακολουθίας των παρατηρήσεων ot+1,…,oT δεδομένου τη στιγμή t, η κατάσταση qt=i

Αναδρομικός αλγόριθμος:– Αρχικοποίηση:

– Υπολογισμός:

1)( jT

Πολυπλοκότητα O(N2T)

1 11

( ) ( ) ( )N

t t ij j tj

i j a b o

N

i

iOp1

1 )()|( 1,...,1Tt

Πρόβλημα 1: Εναλλακτική λύση

Πρόβλημα 2: Αποκωδικοποίηση

Επιλέγουμε ακολουθία καταστάσεων για τη μεγιστοποίηση της πιθανότητας της ακολουθίας παρατήρησης

Ο Viterbi είναι επαγωγικός αλγόριθμος που κρατά την καλύτερο ακολουθία καταστάσεων σε κάθε περίπτωση

Πρόβλημα 2: Αποκωδικοποίηση

Ακολουθία καταστάσεων που μεγιστοποιεί το P(O,Q|):

Ορίζουμε βοηθητική μεταβλητή δ:

),|,...,( 21 OqqqP T

Viterbi αλγόριθμος:

)|,...,,,...,,(max)( 2121 ttqt oooiqqqPi

δt(i) το πιο πιθανό μονοπάτι που λήγει στηνκατάσταση qt=i

Πρόβλημα 2: Αποκωδικοποίηση

Αναδρομή:

Αλγόριθμος:– 1. Αρχικοποίηση:

)())((max)( 11 tjijtit obaij

)()( 11 obi ii Ni 1

0)(1 i

Για να πάρουμε την ακολουθία κατάστασεων, πρέπει να παρακολουθούμε τα ορίσματα που τη μεγιστοποιούν, για κάθεt και j. Γίνεται μέσω του πίνακα ψt(j).

Πρόβλημα 2: Αποκωδικοποίηση

– 2. Αναδρομή:

– 3. Τερματισμός:

)())((max)( 11 tjijtNit obaij

))((maxarg)( 11 ijtNit aij NjTt 1,2

)(max1

iP TNi

)(maxarg1

iq TNiT

P*: δίνει τη βέλτιστη πιθανότητα ως προς την κατάσταση

Q* βέλτιστη ακολουθία(Q* = {q1*,q2*,…,qT*})

Πρόβλημα 2: Αποκωδικοποίηση

– 4. Backtrack ακολουθία:

)( 11

ttt qq 1,...,2,1 TTt

O(N2T) πολυπλοκότητα

Πρόβλημα 3: ΜάθησηΕκπαίδευση του HMM ώστε να

κωδικοποιήσει ακολουθίες παρατηρήσεων ώστε να εντοπίσει μια παρόμοια ακολουθία στο μέλλον

Εύρεση λ=(A,B,π), που μεγιστοποιεί το P(O|λ)

Αλγόριθμος:– Αρχικοποίηση: λ0– Υπολογίζουμε νέο μοντέλο λ,

χρησιμοποιώντας τα λ0 και O– λ0λ– Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία εώς:

dOPOP )|(log)|(log 0

Πρόβλημα 3: Μάθηση

Έστω ξ(i,j) η πιθανότητα να είμαστε στην κατάσταση i τη στιγμή t και τη j όταν t+1, δεδομένου των λ και O

)|()()()(

),( 11

OP

jobaiji ttjijt

N

i

N

jttjijt

ttjijt

jobai

jobai

1 111

11

)()()(

)()()(

Baum-Welch αλγόριθμος Βήμα 1:

Πρόβλημα 3: Μάθηση

Δραστηριότητες που απαιτούνται για τον υπολογισμότης κοινής περίπτωση που το σύστημα βρίσκεται στηνκατάσταση Si για t και Sj για t+1

Πρόβλημα 3: Μάθηση

Έστω γt(i) η πιθανότητα να είμαστε στην κατάσταση i τη στιγμή t, δεδομένου του O

- αναμενόμενο πλήθος μεταβάσεων από i

- αναμενόμενο πλήθος μεταβάσεων

N

jtt jii

1

),()(

1

1

( )T

tt

i

1

1

( )T

tt

i

ji

Πρόβλημα 3: Μάθηση

αναμενόμενη συχνότητα κατάστασης i για t=1

Αναλογία αναμενομένων μεταβάσεων από την κατάσταση i στην j προς αναμενόμενες μεταβάσεις από i

Αναλογία αναμενόμενο πλήθος φορών που στην κατάσταση j παρατηρείται το k προς πλήθος φορών στη j

)(),(

ˆiji

at

tij

Baum-Welch αλγόριθμος Βήμα 2:

)(

)()(ˆ ,

j

jkb

t

kot t

jt

)(ˆ 1 i

Πρόβλημα 3: Μάθηση Baum-Welch αλγόριθμος χρησιμοποιεί τους

forward και backward αλγορίθμους για τον υπολογισμό των βοηθητικών μεταβλητών α, β

Ο BW είναι μια ειδική περίπτωση του αλγορίθμου EM:– E-βήμα: υπολογισμός των ξ και γ– M-βήμα: επαναληπτικός υπολογισμός των

Πρακτικά ζητήματα:– Μπορεί να κολλήσει σε τοπικά μέγιστα

ija )(ˆ kb j

31

HMMs in BiologyGene finding and predictionProtein-Profile AnalysisSecondary Structure predictionAdvantagesLimitations

32

Protein

mRNA

DNA

transcription

translation

CCTGAGCCAACTATTGATGAA

PEPTIDE

CCUGAGCCAACUAUUGAUGAA

Relationship Between DNA, RNA And Proteins

33

Protein Structure Primary Structure of Proteins

The primary structure of peptides and proteins refers to the linear number and order of the amino acids present.

34

Protein Structure

Secondary Structure

Protein secondary structure refers to regular, repeated patters of folding of the protein backbone. How a protein folds is largely dictated by the primary sequence of amino acids

35

What is a (protein-coding) gene?

Protein

mRNA

DNA

transcription

translation

CCTGAGCCAACTATTGATGAA

PEPTIDE

CCUGAGCCAACUAUUGAUGAA

36

In more detail(color ~state)

(Removed)

(Left)

37

Gene Finding HMMsOur Objective:

– To find the coding and non-coding regions of an unlabeled string of DNA nucleotides

Our Motivation:– Assist in the annotation of genomic data

produced by genome sequencing methods

– Gain insight into the mechanisms involved in transcription, splicing and other processes

38

Why HMMs

• Classification: Classifying observations within a sequence• Order: A DNA sequence is a set of ordered observations• Grammar : Our grammatical structure (and the beginnings of

our architecture) is right here:

• Success measure: # of complete exons correctly labeled • Training data: Available from various genome annotation

projects

HMMs for gene finding

An HMM for unspliced genes.x : non-coding DNAc : coding state

Training - Expectation Maximization (EM) Parsing – Viterbi algorithm

40

Protein Profile HMMsMotivation

– Given a single amino acid target sequence of unknown structure, we want to infer the structure of the resulting protein. Use Profile Similarity

What is a Profile?– Proteins families of related sequences and

structures– Same function– Clear evolutionary relationship– Patterns of conservation, some positions are more

conserved than the others

41

Aligned Sequences

Build a Profile HMM (Training)

Database search

Multiple alignments

(Viterbi)

Query against Profile HMM

database(Forward)

An Overview

A HMM model for a DNA motif alignments, The transitions are shown with arrows whose thickness indicate their probability. In each state, the histogram shows the probabilities of the four bases.

ACA - - - ATG TCA ACT ATCACA C - - AGCAGA - - - ATCACC G - - ATC

Building – from an existing alignment

Transition probabilitiesOutput Probabilities

insertion

43

• Given HMM, M, for a sequence family, find all members of the family in data base.

• LL – score LL(x) = log P(x|M)(LL score is length dependent – must

normalize or use Z-score)

Database Searching

Consensus sequence: P (ACACATC) = 0.8x1 x 0.8x1 x 0.8x0.6 x 0.4x0.6 x 1x1 x 0.8x1 x 0.8 = 4.7 x 10 -2

Suppose I have a query protein sequence, and I am interested in which family it belongs to? There can be many paths leading to the generation of this sequence. Need to find all these paths and sum the probabilities.

ACAC - - ATC

Query a new sequence

45

Multiple AlignmentsTry every possible path through

the model that would produce the target sequences – Keep the best one and its probability.– Output : Sequence of match, insert

and delete statesViterbi alg. Dynamic Programming

46

Building – unaligned sequences

Baum-Welch Expectation-maximization method– Start with a model whose length matches

the average length of the sequences and with random output and transition probabilities.

– Align all the sequences to the model.– Use the alignment to alter the output and

transition probabilities– Repeat. Continue until the model stops

changingBy-product: It produced a multiple

alignment

47

PHMM Example

An alignment of 30 short amino acid sequences chopped out of a alignment of the SH3 domain. The shaded area are the most conserved and were represented by the main states in the HMM. The unshaded area was represented by an insert state.

48

Prediction of Protein Secondary structures

Prediction of secondary structures is needed for the prediction of protein function.

Analyze the amino-acid sequences of proteins

Learn secondary structures – helix, sheet and turn

Predict the secondary structures of sequences

49

Advantages Characterize an entire family of sequences. Position-dependent character distributions

and position-dependent insertion and deletion gap penalties.

Built on a formal probabilistic basis Can make libraries of hundreds of profile

HMMs and apply them on a large scale (whole genome)

Demos Speech synthesis

http://www.cstr.ed.ac.uk/projects/festival/onlinedemo.html