gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

161

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8Ο : TO ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ

Θα ήταν µεγάλη αράλειψη αν αό την µελέτη ταλαντώσεων ου γίνεται στο βιβλίο αυτό έλλειε η ιο δηµοφιλής ταλάντωση, η ταλάντωση του αλού εκκρεµούς. Ως αλό εκκρεµές θεωρούµε µια σηµειακή µάζα δεµένη στο άκρο αβαρούς νήµατος, του οοίου το άλλο άκρο αναρτάται αό ακλόνητο σηµείο έτσι ώστε το σύστηµα να εκτελεί ταλαντώσεις σε κατακόρυφο είεδο. Παρότι το αλό εκκρεµές είναι αό τα αλούστερα φυσικά συστήµατα η ακριβής µελέτη της κίνησής του είναι µαθηµατικά ερίλοκη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η διαφορική εξίσωση ου εριγράφει την κίνηση του εκκρεµούς

δεν είναι γραµµική*.

8.1 H ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ Θα ροσδιορίσουµε τη διαφορική εξίσωση ου καθορίζει την κίνηση του αλού εκκρεµούς και θα δούµε ότε µορούµε να την ταυτίσουµε µε την εξ.

(1.1) της αρµονικής ταλάντωσης. Έστω αλό εκκρεµές µήκους l και µάζας m . Αοµακρύνοντας την µάζα αό την κατακόρυφη θέση ισορροίας και αφήνοντάς τη ελεύθερη να κινηθεί, η µάζα υό την είδραση της βαρύτητας

ταλαντώνεται διαγράφοντας τόξο κύκλου ακτίνας l .

Αν θεωρήσουµε ότι δεν υάρχουν τριβές στο σηµείο στήριξης ούτε αντίσταση του αέρα τότε το εκκρεµές θα εκτελεί αµείωτη ταλάντωση. Η κίνηση αυτή

* Υπενθυµίζεται ότι στις γραµµικές διαφορικές εξισώσεις αν έχουµε δυο ανεξάρτητες λύσεις

1( )x t και 2 ( )x t τότε και ο γραµµικός συνδυασµός 1 2( ) ( )a x t b x t+ , µε ,a b σταθερές,

αποτελεί επίσης λύση της διαφορικής εξίσωσης. Αυτή η ιδιότητα δεν ικανοποιείται από την

διαφορική εξίσωση του απλού εκκρεµούς.

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

162

χρειάζεται µια µόνο συντεταγµένη για να εριγραφεί, την γωνία θ ου σχηµατίζει το νήµα µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Συνεώς ένα ζήτηµα ου θα µας αασχολήσει στη συνέχεια είναι ο ροσδιορισµός της γωνίας αυτής ως

συνάρτηση του χρόνου, θ = θ(t) . Όταν η µάζα αοµακρύνεται αό τη θέση ισορροίας της τότε η συνισταµένη δύναµη ου δέχεται το σώµα είναι Σ = − θF mgsin και

σύµφωνα µε τον 2ο νόµο του Newton έχουµε

Σ = − θυ

⇒ + θ =υΣ =

F mgsin (t)d

m mgsin 0ddtF m

dt

Όµως η γραµµική ταχύτητα σχετίζεται µε την γωνιακή µέσω της σχέσης

υ = ωl και αντικαθιστώντας έχουµε ω+ θ =l

d gsin 0

dt και δεδοµένου ότι

θω =d

dt, ροκύτει η διαφορική εξίσωση του εκκρεµούς:

′′θ + θ =l

g(t) sin (t) 0 (8.1)

Η εξίσωση της ταλάντωσης του αλού εκκρεµούς εµφανίζει δυσκολία ως ρος

την είλυσή της εξαιτίας του όρου θsin (t) . Προς το αρόν θα ξεεράσουµε αυτή τη δυσκολία χρησιµοοιώντας το ανάτυγµα του ηµιτόνου κατά Maclaurin

θ θ θ

θ = θ − + − +LL

3 5 7

sin3! 5! 7!

Θεωρώντας µικρές γωνίες ταλάντωσης τότε ισχύει η ροσέγγιση θ ≈ θsin ,

εφόσον* θ 1 . Σύµφωνα µε την ροσέγγιση η διαφορική εξ. (8.1) γίνεται

′′θ + θ =g

(t) (t) 0l

και θέτοντας ω =l

0

g,

′′θ + ω θ =2

0(t) (t) 0 (8.2)

Η ερίοδος της ταλάντωσης θα είναι η γνωστή εξίσωση της εριόδου του εκκρεµούς:

π

= = πω

l

0

0

2T 2

g

Η εξ. (8.2) είναι ανοµοιότυη µε την εξ. (1.1) της αλής αρµονικής

ταλάντωσης. Η λύση για αρχικές συνθήκες θ = θ0

(0) και ′θ =(0) 0 έχει τη

µορφή

θ = θ ω0 0

(t) cos t (8.3)

* Η γωνία µετρείται σε ακτίνια