H ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

217

8.4 H ΘΕΩΡΙΑ ∆ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Ας υοθέσουµε ότι το λανητικό µας σύστηµα συνίσταται µόνον αό τον Ήλιο και τη Γη. Η µελέτη του συστήµατος των δύο αυτών σωµάτων µορεί να ειλυθεί και να ροσδιοριστεί ακριβώς η τροχιά της γης. Έχουµε δηλαδή ένα ακριβώς ειλύσιµο ρόβληµα. Όµως η κίνηση της γης εηρεάζεται και αό την αρουσία των άλλων λανητών. Θα θέλαµε αρχικά να ροσδιορίσουµε την είδραση, ας ούµε, του λανήτη ∆ία στην κίνηση της Γης, µιας και είναι ο µεγαλύτερος σε µάζα λανήτης. Στο αρχικό ρόβληµα τώρα ροστίθεται ένας ειλέον αράγοντας (η διαταραχή), η βαρυτική αλληλείδραση του ∆ία µε τη Γη, ου όµως σε σχέση µε τη βαρυτική αλληλείδραση Γης – Ήλιου είναι ολύ µικρή. Περιµένουµε συνεώς η νέα λύση να ροκύψει αό την γνωστή αρχική λύση µε την ροσθήκη µικρών διορθώσεων. Η θεωρία διαταραχών είναι η µέθοδος ροσδιορισµού αυτών των µικρών διορθώσεων. Προφανώς λοιόν η θεωρία διαταραχών εφαρµόστηκε στην µελέτη της κίνησης των λανητών, αοτέλεσε στη συνέχεια την βασική ροσεγγιστική µέθοδο στην Κβαντοµηχανική και γενικά εφαρµόζεται στα λεγόµενα µη γραµµικά συστήµατα. Η καλύτερη εισαγωγή στη θεωρία των διαταραχών γίνεται µε την εφαρµογή της στο ρόβληµα του εκκρεµούς. Ήδη διαθέτουµε αό τα ροηγούµενα κεφάλαια και την ακριβή λύση της ∆.Ε. της κίνησής του και την εξίσωση ου ροσδιορίζει την ερίοδό του. Έτσι, σε κάθε βήµα εφαρµογής της θεωρίας θα µορούµε να ελέγχουµε άµεσα την αοτελεσµατικότητα της.

8.4.1 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΩΝ ∆ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ Ας αρχίσουµε άλι αό τη ∆.Ε. ου εριγράφει την κίνηση του εκκρεµούς

( ) sin ( ) 0g

t tl

θ θ′′ + = ή

20( ) sin ( ) 0t tθ ω θ′′ + = (8.42)

όου 20

g

lω = . Ας υοθέσουµε ότι η λύση της εξ. (8.42) δεν είναι γνωστή και ότι

αναζητούµε έναν τρόο για να την ροσεγγίσουµε. Η δυσκολία στην είλυση της

εξίσωσης αυτής οφείλεται στον όρο sin ( )tθ . Γνωρίζουµε όµως το ανάτυγµα του

ηµιτόνου κατά Maclaurin

3 5 7

sin .........3! 5! 7!

θ θ θθ θ= − + − +

Μορούµε λοιόν να ααλλαχτούµε αό τον «δύσκολο» όρο sin ( )tθ αν

αντικαταστήσουµε στην εξ. (8.42) µερικούς όρους της σειράς. Το όσους όρους εξαρτάται αό τον βαθµό ακρίβειας ου ειζητούµε. Είναι βολικό να γράψουµε τη σειρά του ηµιτόνου ως εξής:



218

3 5 70 1 2 3sin .........

3! 5! 7!

θ θ θθ θ ε ε ε ε= − + − +

ή 3 5 7

2 3sin .........3! 5! 7!

θ θ θθ θ ε ε ε= − + − + (8.43)

O αράγοντας (δείκτης) ε εισάγεται για να καθορίσει την τάξη της ροσέγγισης και στο τέλος της διαδικασίας τίθεται ίσος µε την µονάδα. Για την ροσέγγιση µηδενικής

τάξης ( )0ε αό το ανάτυγµα του ηµιτόνου κρατάµε τον µόνο τον ρώτο όρο, για

ροσέγγιση ρώτης τάξης ( )1ε τους δύο ρώτους όρους, κ.ο.κ.

Έτσι στην ερίτωση ροσέγγισης µηδενικής τάξης έχουµε

sinθ θ= και η εξ. (8.42) γράφεται

20 0θ ω θ′′ + = (8.44)

Η λύση αυτής της γραµµικής εξίσωσης, ου ονοµάζεται αδιατάρακτη εξίσωση, είναι η γνωστή λύση της αρµονικής ταλάντωσης, ου την συµβολίζουµε µε

0 0 0cosA tθ ω= (8.45)

όου 0A η αρχική γωνία ταλάντωσης (λάτος).[Χρειάζεται άλι κάοια ροσοχή

στον συµβολισµό. Στα ροηγούµενα κεφάλαια η έκφραση 0θ συµβόλιζε την αρχική

γωνία, το λάτος δηλ. της ταλάντωσης. Στην συνέχεια µε 0θ συµβολίζεται η λύση

αδιατάρακτης εξίσωσης]. Αν τώρα θεωρήσουµε τους δυο ρώτους όρους του ανατύγµατος (8.43)

3

sin3!

θθ θ ε= −

τότε η εξ. (8.42) γράφεται

3

2 20 0 0

3!

θθ ω θ ω ε′′ + − = (8.46)

η οοία εριέχει σε σχέση µε την αδιατάρακτη εξίσωση (8.44) τον όρο της ρώτης

τάξης «διαταραχής» 3

20 3!

θω ε .

Η κεντρική ιδέα της µεθόδου των διαταραχών είναι να εκφράσουµε την λύση της «διαταραγµένης» εξίσωσης (8.46) ως

20 1 2θ θ εθ ε θ= + + +L (8.47)

Οι ρώτοι όροι της σειράς αυτής αοτελούν µια ροσεγγιστική λύση, την λεγόµενη

λύση των διαταραχών. Ο όρος 0θ όως αναφέρθηκε ροηγουµένως αοτελεί την

ροσέγγιση µηδενικής τάξης και ονοµάζεται όρος ρωτεύουσας τάξης ή ρωτεύων

όρος. Ο όρος 1θ αοτελεί την ροσέγγιση 1ης τάξης, ο 2θ την ροσέγγιση 2ης τάξης

κ.ο.κ. Οι διορθωτικοί αυτοί όροι αναµένεται να είναι µικροί σε σχέση µε τον ρωτεύοντα όρο. Εφόσον στην εξ. (8.46) θεωρήσαµε µόνον τους δύο ρώτους όρους του ανατύγµατος του ηµιτόνου, θα αναζητήσουµε την ροσέγγιση 1ης τάξης, δηλαδή αό την εξ. (8.47) θα κρατήσουµε τους δυο ρώτους όρους

0 1θ θ εθ= + (8.48)

Αντικαθιστώντας την εξ. (8.48) στην εξ.(8.46) και αγνοώντας τους όρους ου

εριέχουν το 2ε και ανώτερες δυνάµεις του δείκτη, ροκύτει η εξίσωση:



219

( )2

2 2 300 0 0 1 0 1 0 0

6

ωθ ω θ θ ω θ θ ε

′′′′+ + + − =

η οοία ισοδυναµεί µε το σύστηµα των εξισώσεων

( )0ε : 20 0 0 0θ ω θ′′+ =

( )1ε :2

2 301 0 1 0 0

6

ωθ ω θ θ′′ + − =

Όµως η λύση της ρώτης εξίσωσης (αδιατάρακτη) είναι: 0 0 0cosA tθ ω= .

Αντικαθιστώντας το 0θ στη δεύτερη έχουµε

2 3 3

2 0 0 01 0 1

cos

6

A tω ωθ ω θ′′ + = (8.49)

και µε χρήση γνωστής τριγωνοµετρικής ταυτότητας* καταλήγουµε στην

( )2 3

2 0 01 0 1 0 0cos3 3cos

24

At t

ωθ ω θ ω ω′′ + = + (8.50)

Οι αρχικές συνθήκες για την εξ. (8.50) είναι 1 1(0) (0) 0θ θ ′= = (τη χρονική στιγµή

0t = δεν έχουµε διόρθωση!). Στο σηµείο αυτό ολοκληρώνεται και η βασική ιδέα της µεθόδου των διαταραχών και τούτο διότι η εξ. (8.50) ειλύεται, οότε ροσδιορίζεται

και η διόρθωση 1ης τάξης 1θ .

Όµως τα ράγµατα δεν έρχονται άντα όως θα θέλαµε. Το δεύτερο µέλος της εξ. (8.50) µορεί να ιδωθεί ως ο εξωτερικός διεγέρτης ενός αρµονικού ταλαντωτή

ιδιοσυχνότητας 0ω , χωρίς αόσβεση. Εφόσον η συχνότητα 0ω εριέχεται στον όρο

0cos tω της έκφρασης του εξωτερικού διεγέρτη, τότε θα έχουµε το φαινόµενο του

συντονισµού Αυτό σηµαίνει ότι το λάτος της ταλάντωσης θα αυξάνεται µέχρι το άειρο, γεγονός βέβαια ου δεν ισχύει για την ελεύθερη ταλάντωση εκκρεµούς. Συνεώς η ροηγούµενη ανάλυση εριέχει κάοιο κενό. Τούτο είναι ότι η συχνότητα θεωρήθηκε λανθασµένα ότι αραµένει η ίδια, αρουσία του όρου διαταραχής. Οότε χρειάζεται διόρθωση και η συχνότητα. Ιστορικά η σωστή ροσέγγιση έγινε ρώτα αό τον M. Lindstedt† ου θεώρησε την συχνότητα ως

0 1ω ω εω= + [8.50(ι)]

την εόµενη αράγραφο θα ανατύξουµε την ροσέγγιση ρώτης τάξης µε τον ορθό τρόο ανάλυσης, ου στην βιβλιογραφία αναφέρεται ως µέθοδος Lindstedt – Poincare. Όµως ριν άµε στην εόµενη αράγραφο έχει ενδιαφέρον να ειλύσουµε

την εξ. (8.50) και να δούµε αν η διόρθωση 1ης τάξης 1θ ου θα ροκύψει έχει κάοιο

νόηµα. 8.4.2 Η ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞ. (8.50) Η (8.50) ανήκει στην κατηγορία των εξισώσεων της µορφής

1 2( ) ( ) ( ) ( )x t a x t a x t f t′′ ′+ + = (8.51)

Αρχικά θα βρούµε την λύση της εξ. (8.51). Η γενική λύση της οµογενούς ροσδιορίζεται µε τον τρόο ου εριγράφεται στο κεφάλαιο 2 ως

* 30 0 0

1cos (cos3 3cos )

4t t tω ω ω= +

† Lindstedt M. (1882) Astrom. Nach. 103, 211



220

1 2

1 2( ) t tx t C e C eρ ρ= +

όου 1ρ και 2ρ είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης

21 0 0a aρ ρ+ + =

Όµως ισχύει

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t a x t a x t f t x t x t x t f tρ ρ ρ ρ′′ ′ ′′ ′+ + = ⇒ − + + =

ή

( ) ( )1 2 1 ( )x x x x f tρ ρ ρ′′ ′− − − = (8.52)

Η εξ. (8.52) µορεί να ιδωθεί ως µια ρώτης τάξης εξίσωση για τη συνάρτηση

1x xρ′ − , οότε αίρνουµε την σχέση

2 2 1 11 1 1 1

0

( )t

t t tx x c e e e f t dtρ ρ ρρ −′ − = + ∫

όου 1 1(0) (0)c x xρ′= − . Αυτή είναι άλι µια ρώτης τάξης εξίσωση ως ρος ( )x t , µε

γενική λύση

1

1 1 1 1 2 1 2 1 2 22 1 1 2 2 1

0 0

( ) ( )t t

t t t t t tx t c e c e e c e e e f t dt dtρ ρ ρ ρ ρ ρ− −

= + + ∫ ∫

∆ιαχωρίζοντας τους όρους ου δεν εριέχουν την ( )f t έχουµε

1 1 1 1 2 1

1

1 2 1 1 2 2

ος

ος

2 1 10

( )2 2 1

0 0

1 όρος

2 όρος

( )

( )

tt t t t

t tt t t

x t c e c e e e dt

e e e f t dt dt

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

−

− −

= + +

+

∫∫ ∫

6444447444448

14444444244444443

(8.53)

Εκτελώντας το ολοκλήρωµα στον 1ο όρο και ενσωµατώνοντας τις σταθερές αίρνουµε

1 2os1 21 όρος t tc e c eρ ρ′ ′= +

ου είναι η γενική λύση της οµογενούς. Ολοκληρώνοντας κατά µέρη στον 2ο όρο ροκύτει

2 1 1 1( ) ( )ος

1 12 10

2 όρος ( )t t t t te e

f t dtρ ρ

ρ ρ

− −−=

−∫

Συνεώς η γενική λύση θα δίνεται αό την

2 1 1 1

1 2

( ) ( )

1 2 1 12 10

( ) ( )t t t t t

t t e ex t c e c e f t dt

ρ ρρ ρ

ρ ρ

− −−′ ′= + +−∫ (8.54)

Συγκρίνοντας τις εξ. (8.50) και (8.51) αρατηρούµε ότι, 1 0a = , 20 0a ω= , 1 0iρ ω= − ,

2 0iρ ω= και

( )2 3

0 00 0( ) cos3 3cos

24

Af t t t

ωω ω= +



221

Είσης η γενική λύση της οµογενούς 21 0 1( ) ( ) 0t tθ ω θ′′ + = , µε αρχικές συνθήκες

1(0) 0θ = και 1(0) 0θ ′ = , είναι η µηδενική λύση. Έτσι η γενική λύση της εξ. (8.50)

γράφεται

0 1 0 1( ) ( )

1 1 100

( ) ( )2

t i t t i t te et f t dt

i

ω ω

θω

− − −−= ∫

και χρησιµοοιώντας την ταυτότητα cos sinie iϕ ϕ ϕ= + έχουµε

[ ]0 1 1 10 0

1( ) sin ( ) ( )

t

t t t f t dtθ ωω

= −∫

Αντικαθιστώντας την ( )f t , µετά αό ολοκληρώσεις ροκύτει

( )3 3

0 0 01 0 0 0( ) cos cos3 sin

192 16

A A tt t t t

ωθ ω ω ω= − + (8.55)

Η «λανθασµένη» λύση των διαταραχών ου ροκύτει τελικά είναι σύµφωνα µε την εξ. (8.48)

3 3

0 00 1 0 0 0 0 0cos sin cos3

16 192

A AA t t t tθ θ θ ω ω ω ω

= + = + −

(8.56)

όου ο δείκτης ε αφού έκανε την δουλειά του εξισώθηκε µε την µονάδα και αοσύρθηκε. Στο σχήµα 1 συγκρίνεται η λύση των διαταραχών µε την ακριβή λύση της ∆.Ε. του εκκρεµούς.

1 2 3 4t

-300

-200

-100

100

200

300

θHtL θH0L= 90o

Σχήµα 1: Η διακεκοµµένη παριστάνει την ακριβή λύση της Δ.Ε. του εκκρεµούς που

προσδιορίστηκε στο κεφάλαιο 3:

( ) 2 20( ) 2arcsin sn ,t k K k t kθ ω = −

Θεωρούµε 0 2ω π= και 0 (0) 90oA θ= = , οπότε 2 2 0sin2

kθ

= ⇒ 2 1

2k = . Η µπλε καµπύλη

παριστάνει την λύση των διαταραχών (8.56). Παρατηρούµε ότι η εξ. (8.56) συµφωνεί µε την ραγµατική λύση µόνον για χρονικές στιγµές κοντά στο µηδέν και σίγουρα µικρότερες της εριόδου. Όµως καθώς ο χρόνος αυξάνεται η λύση των διαταραχών αοκλίνει αό την ραγµατική λύση.



222

Τούτο οφείλεται στον όρο* 3

00 0sin

16

At tω ω

ο οοίος για t →∞ αοκλίνει. Έχει

σηµασία να τονίσουµε ότι όρος αυτός οφείλεται στον αράγοντα 0cos tω ου

εριέχει η ( )f t ,

( )2 3

0 00 0( ) cos3 3cos

24

Af t t t

ωω ω= +

Η µέθοδος ου εριγράφεται στην εόµενη αράγραφο σκοό έχει να ααλείψει εξαρχής αυτόν τον αράγοντα ου οδηγεί σε µη φραγµένη λύση χωρίς φυσικό εριεχόµενο. 8.4.3 Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΡΩΤΗΣ

ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ∆Ο LINDSTEDT – POINCARE’

Η ιδέα της µεθόδου είναι να κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής t tτ ω→ = και η ( )tθ

να ιδωθεί ως ( ) ( )tθ θ ω θ τ= = και αράλληλα να θεωρήσουµε ότι 2

0 1 2ω ω ε ω ε ω= + + +L

όου 1ω η διόρθωση 1ης τάξης στη συχνότητα, 2ω η διόρθωση 2ης τάξης κ.ο.κ. Στην

ροσέγγιση 1ης τάξης θεωρούµε

0 1ω ω ε ω= +

∆εδοµένου ότι ισχύει

( ) ( ) ( )d

t t tdt

θθ ω θ ω ωθ ω′′= = =& &

και 2

22

( )d

tdt

θθ ω θ ω′′= = &&

όου οι τελείες δηλώνουν αραγώγιση ως ρος tτ ω= , η εξ. (8.49) γράφεται: 2 3

2 2 00

( )( ) ( )

3!

ω θ τω θ τ ω θ τ ε+ =&&

Χρησιµοοιώντας 1ης τάξης ροσεγγίσεις για τα µεγέθη ω και θ έχουµε: 2 3

2 2 0 0 10 1 0 1 0 0 1

( )( ) ( ) ( )

3!

ω θ εθω ε ω θ ε θ ω θ ε θ

++ + + + =&& &&

Εκτελώντας τις ράξεις και αγνοώντας του όρους ου εριέχουν µεγαλύτερες ή ίσες

δυνάµεις του 2ε , τότε οι όροι ου εριέχουν τον συντελεστή ε σχηµατίζουν την οµογενή εξίσωση

( )0ε : 0 0 0θ θ+ =&&

ενώ οι όροι ου εριέχουν τον συντελεστή ε

( )1ε : 2 2 2 30 1 0 1 0 0 1 0 0

12 0

6ω θ ω ωθ ω θ ω θ+ + − =&& &&

Όµως η λύση της οµογενούς είναι*: 0 0 cosAθ τ= και αντικαθιστώντας στην δεύτερη

εξίσωση ροκύτει

* Οι όρος αυτός ονοµάζεται secular που στην ελληνική βιβλιογραφία αποδίδεται ως αιώνιος

ή και θεϊκός



223

2 3 2 3

2 2 0 0 0 00 1 0 1 0 0 1( ) ( ) cos3 2 cos

24 8

A AA

ω ωω θ τ ω θ τ τ ω ω τ

+ = + +

&& (8.57)†

Ο όρος cosτ ου ροηγουµένως δηµιουργούσε την ανωµαλία ρέει να µηδενιστεί γεγονός ου συµβαίνει όταν:

21 0 0

1

16Aω ω= −

Η τιµή αυτή είναι και η 1ης τάξης διόρθωση της συχνότητας, οότε η εξ. (8.57) γίνεται:

3

01 1( ) ( ) cos3

24

Aθ τ θ τ τ+ =&& (8.58)

Η αραάνω εξίσωση λύνεται µε τον τρόο ου λύθηκε η εξ. (8.50) στην

ροηγούµενη αράγραφο. Έτσι, θεωρώντας ως αρχικές συνθήκες 1(0) 0θ = και

1(0) 0θ =& η λύση θα είναι:

( )3

01 cos cos3

192

At tθ ω ω= − (8.59)

µε tτ ω= . Συνεώς , η γενική λύση σε ροσέγγιση 1ης τάξης είναι:

( )3

00 cos cos cos3

192

AA t t tθ ω ω ω= + − (8.60)

και η αντίστοιχη συχνότητα:

20 1 0 0

1(1 )

16Aω ω ω ω= + = −

Είσης η ερίοδος θα είναι ίση µε:

2

0

12

11

16

lT

g Aπ

= −

(8.61)

* Υπενθυµίζεται ότι 0 0A θ≡ † Συγκρίνετε µε την εξ. (8.50)



224

1 2 3 4t

-75

-50

-25

25

50

75

θHtL θH0L= 90o

Σχήµα 2: Η διακεκοµµένη παριστάνει την ακριβή λύση της Δ.Ε. του εκκρεµούς

( ) 2 20( ) 2arcsin sn ,t k K k t kθ ω = − ( )0 4t≤ ≤


kθ

= ⇒ 2 1


παριστάνει την αντίστοιχη λύση των διαταραχών (8.60). Στο σχ. 2 φαίνεται η σύµτωση της λύσης των διαταραχών µε την ακριβή λύση. Αυτό όµως ισχύει για έναν εερασµένο αριθµό εριόδων. Συνεχίζοντας την σύγκριση των λύσεων για µεγαλύτερες χρονικές στιγµές αρατηρούµε (σχ. 3) ότι οι δυο λύσεις βρίσκονται εκτός φάσης.

201 202 203 204t

-75

-50

-25

25

50

75

θHtL θH0L= 90o

Σχήµα 3: Όπως και στο σχ. 2 αλλά για 100 104t≤ ≤ . Η διαφορά φάσης οφείλεται στο ότι η εξ. (8.61) δίνει µεν ροσεγγιστική έκφραση της εριόδου, όχι όµως και την ακριβή τιµή ου ροσδιορίστηκε στην §8.2. Η αόκλιση

για 0 90oA = είναι 0,17% .



225

0 20 40 60 80θ0 HdegL

1

1.025

1.05

1.075

1.1

1.125

1.15

1.175

TêTo

Σχήµα 3: Με κόκκινο χρώµα παριστάνεται ο λόγος 0T T συναρτήσει της γωνίας πλάτους

0 0A θ≡ , όπως προκύπτει από την ακριβή εξίσωση 0

22 ( )T K k

T π= . Με µαύρο χρώµα φαίνεται

ο λόγος 2

0 0

11 1

16T T A= −

που προκύπτει από την 1ης τάξης προσέγγιση µέσω της

θεωρίας διαταραχών. Η σύµπτωση της κόκκινης καµπύλης (ακριβής λύση) µε την µαύρη

(µέθοδος διαταραχών 1ης τάξης προσέγγιση) είναι εντυπωσιακή. Στις µεγάλες γωνίες η

περίοδος από την Θεωρία των διαταραχών υπερβαίνει κατά τι την πραγµατική περίοδο.



226

8.4.4 Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ∆ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Η λύση – ροσέγγιση 1ης τάξης της ροηγούµενης αραγράφου ξεκίνησε µε την

αντικατάσταση του ηµιτόνου στην ∆.Ε. του εκκρεµούς, 20( ) sin ( ) 0t tθ ω θ′′ + = , µε

τους δυο ρώτους όρους του ανατύγµατος 3 5 7

2 3sin .........3! 5! 7!

θ θ θθ θ ε ε ε= − + − +

Αν ειθυµούµε ακρίβεια µιας τάξης αραάνω, τότε ρέει να χρησιµοοιήσουµε τους τρεις ρώτους όρους του ανατύγµατος και να αναζητήσουµε µια λύση στην µορφή

20 1 2θ θ εθ ε θ= + + (8.62)

Κάνουµε άλι την αλλαγή µεταβλητής ( ) ( ) ( )t tθ θ ω θ τ→ = και θεωρούµε την

συχνότητα ως

20 1 2ω ω ε ω ε ω= + + (8.63)

Έτσι η ∆.Ε. του εκκρεµούς γίνεται

2 3 2 5

2 2 20 00

( ) ( )( ) ( )

3! 5!

ω θ τ ω θ τω θ τ ω θ τ ε ε+ = −&& (8.64)

Αντικαθιστώντας τις (8.82) και (8.63) στην αραάνω εξίσωση και αγνοώντας του

όρους ου εριέχουν µεγαλύτερες ή ίσες δυνάµεις του 3ε , τότε ροκύτει το σύστηµα των εξισώσεων

( )0ε : 0 0 0θ θ+ =&&

( )1ε : 2 2 2 30 1 0 1 0 0 0 1 0

12

6ω θ ω θ ω θ ω ωθ+ = −&& &&

( )2ε : 2 2 2 2 2 50 2 0 2 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 2 0

1 12 ( 2 )

2 5!ω θ ω θ ω θ θ ω θ ω ω θ ω ω ω θ+ = − − − +&& && &&

Όµως οι δυο ρώτες εξισώσεις ειλύθηκαν στην ροηγούµενη αράγραφο δίνοντας

0 0 cosAθ τ= , ( )3

01 cos cos3

192

Aθ τ τ= − και 2

1 0 0

1

16Aω ω= −

Αντικαθιστούµε τις αραάνω εκφράσεις στην τρίτη εξίσωση του συστήµατος και ροκύτει

5 5 55 30 0 0

2 2

5 50 2 0 0

0

9 3( ) ( ) cos cos cos3

160 96 512

2cos cos

256 1536

A A A

A A A

θ τ θ τ τ τ τ

ωτ τ

ω

+ = − + + +

+ −

&&

(8.65)

Χρησιµοοιώντας τις τριγωνοµετρικές ταυτότητες

( )5 1cos cos5 5cos3 10cos

16τ τ τ τ= + +

( )3 1cos cos3 3cos

4τ τ τ= +

έχουµε 5 5 50 0 2 0 0

2 20

3 2( ) ( ) cos5 cos3 cos

2560 384 1536

A A A Aωθ τ θ τ τ τ τ

ω

+ = − + + −

&&



227

Όµως ο τελευταίος όρος, είναι όρος συντονισµού και εξαιτίας του θα ροκύψει άλι µη φραγµένη λύση. Συνεώς ρέει να ααιτηθεί ο συντελεστής του όρου cosτ να µηδενίζεται*. Έτσι έχουµε ότι

50

2 03072

Aω ω= (8.66)

και την διαφορική εξίσωση 5 50 0

2 2

3( ) ( ) cos5 cos3

2560 384

A Aθ τ θ τ τ τ+ = − +&&

της οοίας η λύση µε αρχικές συνθήκες 2(0) 0θ = και 2(0) 0θ =& είναι

5 5 50 0 0

2 cos cos3 cos530720 12288 20480

A A At t tθ ω ω ω= − + (8.67)

όου

2 40 0

0 1 2 0 116 3072

A Aω ω ω ω ω

= + + = − +

(8.68)

Οότε, η γενική λύση µε 2ης τάξης ροσέγγιση είναι:

( )

0 1 2

30

0

5 5 50 0 0

cos cos cos3192

cos cos3 cos530720 12288 20480

AA t t t

A A At t t

θ θ θ θ

ω ω ω

ω ω ω

= + + =

= + − +

+ − +

(8.69)

ή

3 5 3 5 50 0 0 0 0

0 cos cos3 cos5192 30720 192 12288 20480

A A A A AA t t tθ ω ω ω

= + + − + +

(8.70)

όου αναδεικνύονται οι αρµονικές συνιστώσες ου συνιστούν την κίνηση του εκκρεµούς. Αό την εξ. (8.68) ροκύτει η βελτιωµένη εκδοχή της εξ. (8.61) για την ερίοδο

02 40 01

16 3072

TT

A A=

− + (8.71)

* Διαφορετικά η λύση που προκύπτει είναι της µορφής

2 1 2 3sin sin sin 2 sin sin 4C C Cθ τ τ τ τ τ τ= + +

Η υπογράµµιση δείχνει τον αιώνιο (secular) όρο.



228

0 20 40 60 80θ0 HdegL

1

1.025

1.05

1.075

1.1

1.125

1.15

1.175

TêTo

Σχήµα 4: Με κόκκινο χρώµα παριστάνεται ο λόγος 0T T συναρτήσει της γωνίας πλάτους

0θ , όπως προκύπτει από την ακριβή εξίσωση 0

22 ( )T K k

T π= . Με µαύρο διακεκοµµένο χρώµα

φαίνεται ο λόγος 0

2 4

0 0116 3072

TT

A A=

− +

που προκύπτει από την 2ης τάξης προσέγγιση µέσω της

θεωρίας διαταραχών (συγκρίνετε µε το σχήµα 3). Η απόκλιση από την ακριβή τιµή της

περιόδου για 0 90oA = είναι 0.066%!



229

0.5 1 1.5 2t

-75

-50

-25

25

50

75

θHtL θH0L= 90o

0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

0.5 1 1.5 2

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.06

Σχήµα 5: Το πρώτο διάγραµµα δείχνει την λύση 0 cosA tθ ω= της αδιατάρακτης εξίσωσης.

Το µεσαίο διάγραµµα την διόρθωση 1ης τάξης, ( )3

01 cos cos3

192

At tθ ω ω= − και το τελευταίο

την διόρθωση 2ης τάξης, 5 5 50 0 0

2 cos cos3 cos530720 12288 20480

A A At t tθ ω ω ω= − + .

(Παρατηρείστε την κλίµακα στους κατακόρυφους άξονες των διαγραµµάτων. Οι διορθωτικοί

όροι είναι σχεδόν αµελητέοι στην µορφή της λύσης)



230

Όως φαίνεται στα εόµενα σχήµατα αρότι η ροσέγγιση 2ης τάξης είναι καλύτερη, το γεγονός ότι δεν χρησιµοοιούµε την ακριβή ερίοδο στην λύση των διαταραχών δηµιουργεί µετά αό κάοιο χρονικό διάστηµα διαφορά φάσης σε σχέση µε την ακριβή λύση.

1 2 3 4 5 6t

-75

-50

-25

25

50

75

θHtL θH0L= 90o

1 2 3 4 5 6

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Σχήµα 6: Στο άνω διάγραµµα, η διακεκοµµένη παριστάνει την ακριβή λύση της Δ.Ε. του

εκκρεµούς

( ) 2 20( ) 2arcsin sn ,t k K k t kθ ω = − ( )0 6t≤ ≤


kθ

= ⇒ 2 1


παριστάνει την αντίστοιχη λύση των διαταραχών (8.70). Στο κάτω διάγραµµα φαίνεται η

διαφορά ακριβής λύση λύση διαταραχών

θ θ− .



231

1001 1002 1003 1004 1005 1006t

-75

-50

-25

25

50

75

θHtL θH0L= 90o

1001 1002 1003 1004 1005 1006

-150

-100

-50

50

100

150

Σχήµα 7: Όπως στο σχ. 6 αλλά για το διάστηµα ( )1000 1006t≤ ≤ . Παρατηρούµε ότι οι δυο

λύσεις παρουσιάζουν διαφορά φάσης. Η διαφορά ακριβής λύση λύση διαταραχών

θ θ− παίρνει τις µέγιστες

τιµές της. Τούτο οφείλεται στο ότι η περίοδος που προσδιορίστηκε µέσω της µεθόδου των

διαταραχών δεν ταυτίζεται µε την ακριβή περίοδο.



232

1792 1794 1796 1798 1800 1802t

-75

-50

-25

25

50

75

θHtL θH0L= 90o

1790 1800 1810 1820

-6

-4

-2

2

4

6

Σχήµα 8: Στο άνω διάγραµµα όπως στο σχ. 6 για 1800t . Στο κάτω διάγραµµα φαίνεται

η διαφορά ακριβής λύση λύση διαταραχών

θ θ− .

Συνεχίζοντας την µέθοδο διαταραχών, υολογίζουµε όλο και µεγαλύτερες ροσεγγίσεις τείνοντας ρος την ακριβή λύση και ερίοδο. Έτσι, µέχρι και την 4ης τάξης ροσέγγιση για την ερίοδο

02 4 6 80 0 0 023 2519

116 3072 737280 1321205760

TT

A A A A=

− + − −

Η αραάνω εξίσωση αν ανατυχθεί κατά Taylor ως ρος 0 0( )A θ≡ , το λάτος της

ταλάντωσης, δίνει

2 4 6 80 0 0 0

0

1 11 173 22931

16 3072 737280 13212057601

T

Tθ θ θ θ= + + + + +L

ου ταυτίζεται µε την εξ. (8.33) [ §8.2.6] στους ρώτους όρους.*

Η θεωρία των διαταραχών µας δίνει για το εκκρεµές µια λύση της µορφής

( )( ) cos 2 1m

m

t a m tθ ω= + ∑

* Υπενθυµίζεται ότι η εξ. (8.33) είναι η ανάπτυξη της ακριβούς εξίσωσης της περιόδου του

εκκρεµούς Taylor ως προς 0 0( )A θ≡

2 4 6 8 100 0 0 0 0

0

1 11 173 22931 1319183

16 3072 737280 1321205760 9512681472001

T

Tθ θ θ θ θ= + + + + + +L



233

και όταν χρησιµοοιούµε λίγους όρους αό την σειρά αυτή για να έχουµε συµφωνία φάσης µε την ραγµατική λύση για «άειρο» χρονικό διάστηµα, ρέει στην λύση των διαταραχών να χρησιµοοιήσουµε την ακριβή εξίσωση της εριόδου

2

0

2 ( )K kT T

π=

Αυτό φάνηκε στην §8.3.4 (σχήµατα 2 και 3), όου συγκρίθηκε η ροσέγγιση µηδενικής τάξης, αλλά µε την ακριβή τιµή της εριόδου

2 2

0 00

2 ( )cos

K kA t

T

πθ

=

µε την ακριβή λύση του εκκρεµούς

( ) 2 20( ) 2arcsin sn ,t k K k t kθ ω = −

Στο εόµενα σχήµατα θα κάνουµε το ίδιο για την 2ης τάξης ροσέγγιση, εξ. (8.70).

1 2 3 4t

-75

-50

-25

25

50

75

θHtL θH0L= 90o

1 2 3 4 5 6

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Σχήµα 9: Σύγκριση της ακριβούς λύσης (µαύρη διακεκοµµένη) µε την 2ης τάξης προσέγγιση

(8.70) της µεθόδου των διαταραχών για 0 90oθ = στην οποία όµως χρησιµοποιείται η

πραγµατική περίοδος2

0 0

2 ( ) 1, 1

2

K kT T k T

π = = =

. Στο κάτω διάγραµµα φαίνεται η

διαφορά των δύο λύσεων.



234

Στα εόµενα σχήµατα βλέουµε την χρονική συνέχεια του σχ. 9. Παρατηρούµε ότι η

διαφορά ακριβής λύση λύση διαταραχών

θ θ− αραµένει σταθερή σε λάτος.

1001 1002 1003 1004 1005 1006t

-75

-50

-25

25

50

75

θHtL θH0L= 90o

1001 1002 1003 1004 1005 1006

-0.2

-0.1

0.1

0.2

1792 1794 1796 1798 1800 1802t

-75

-50

-25

25

50

75

θHtL θH0L= 90o

1792 1794 1796 1798 1800 1802

-0.2

-0.1

0.1

0.2

H ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ

Documents

Transcript of H ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ