GONIOMETRIA OSTRÉHO UHLA

Pravouhlý trojuholník, podobnosť trojuholníkov

C

B

A

c - prepona

b - odvesna

a - odvesna

α

β

γ222 bac

oo 9090

Pytagorova veta: Obsah štvorca nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad oboma

odvesnami.

Dva pravouhlé trojuholníly sú podobné, keď sa zhodujú aspoň v jednom ostrom uhle

Vnútorné uhly dvoch podobných trojuholníkov sú zhodné.

Úloha 5 / 2:

Δ ABC; a = 3cm, b = 4 cm, c = 5 cm

Δ KLM; k = 2a = 6cm, l = 2b = 8cm, m = 2c = 10cm

222 bac 222 435

16925 2525

222 lkm 222 8610

6436100 100100

Trojuholníky sú pravouhlé.

k : a = 6 : 3 = 2 : 1

l : b = 8 : 4 = 2 : 1

m : c = 10 : 5 = 2 : 1

Δ KLM ΔABC

uhol BAC = uhlu LKM a uhol ABC = uhlu KLM

Úlohy : 5/pr.1, 6/pr. 2, 7/úl. 3, 7/ úl. 4

C A

B

c = 10 cm

035

B´

C´

a

a=5,7cm

57,010

7,5

c

a

c

a

57,0......´

´

c

a

Δ ABC Δ AB´C´ a´ = k . a, b´= k . b, c´= k . c ; k >0

c

a

ck

ak

c

a

.

.

´

´

c

b

ck

bk

c

b

.

.

´

´b

a

bk

ak

b

a

.

.

´

´

AC

B

ac

b

a – protiľahlá odvesna k uhlu c - prepona

Pomer dĺžky protiľahlej odvesny k uhlu a dĺžky prepony je vo všetkých podobných pravouhlých trojuholníkoch s uhlom rovnaký

b – priľahlá odvesna k uhlu c - prepona

Pomer dĺžky priľahlej odvesny k uhlu a dĺžky prepony je vo všetkých podobných pravouhlých trojuholníkoch s uhlom rovnaký.

Pomer dĺžky protiľahlej odvesny k uhlu a dĺžky priľahlej odvesny k uhlu je vo všetkých podobných pravouhlých trojuholníkoch s uhlom rovnaký.

c

a

c

b

b

a

Úloha 9 /1:

L M

K

l

k

m

l - prepona

k – protiľahlá odvesna k uhlu

k – priľahlá odvesna k uhlu

m – priľahlá odvesna k uhlu

m – protiľahlá odvesna k uhlu

Úloha 9 / 4:

1m

60cm = 0,6 m 2,4 m

x

6,0

4,2

1x

6,0

4,2x

46

24x

Stĺp je vysoký 4 metre.

Výpočty v geometrii24 / 5:

C A

B

c

b

a

´2062,4,56 0 cmc

=

8857,0´2062sin 0

4,568857,0

a

4,56.8857,0acma 95,49

4643,0´2062cos 0

´4027´206290 000

c

a´2062sin 0

c

b´2062cos 0

4,564643,0

b

4,56.4643,0bcmb 19,26186,26

.19,26,95,49´,40270 cmbcma

Stúpanie ( klesanie) v doprave je v cestnej doprave vyjadrené v percentách, v železničnej doprave v promile.

Stúpanie 16% znamená, že cesta vo vzdialenosti 100 m meranej vodorovne, stúpne o 16 metrov

16 m

100 m

Aký je uhol stúpania na ceste, keď stúpanie je 16%?

Z tabuliek určíme 5́90

Uhol stúpania je 5́90

1600,0100

16tg

Ako ďaleko je spodná časť rebríka od múra, keď vo výške 3 metre zviera s múrom uhol ? Aký dlhý je rebrík ?´50210

3m

x m

y m

3

xtg

4006,0´50210 tg

34006,0

x

3.4006,0x

mx 2,1

222 bac 222 2,13 c

44,192 c

44,10c

mc 16,3

9283,0´5021cos 0

y

3cos

y

39283,0

9283,0:3y

my 2,3mc 2,3

Spodná časť rebríka je 1,2 metra od múra. Rebrík je dlhý 3,2 m.

Lanová dráha stúpa pod uhlom . Aká je dlhá a aký je výškový rozdiel dolnej a hornej stanice, keď vodorovná

vzdialenosť je 666 metrov?

040

040

666 m

xy

766,040cos 0

x

666cos

x

666766,0

766,0:666x

mx 8705,869

6428,040sin 0

x

ysin

8706428,0

y

870.6428,0y

my 559

Dĺžka lanovej dráhy je 870 metrov a výškový rozdiel staníc je 559 metrov.

24 / 4:

c = 5

b= 4

a = 3

5

3sin

6,0sin

037

00 3790 053

0000 180533790: Skúška

Uhly trojuholníka majú veľkosti: , , 037 053 090

24 /6:

48

x

040

8391,0400 tg

x

488391,0

8391,0:48x

mx 2,57

Turista stojí 57,2 m od rozhľadne.

24 / 8:

012 2126,0120 tg

%21100

212126,0

Stúpanie cesty je 21%.

24 / 7: 16‰ = 016,01000

16

016,0tg

´55 Stúpanie železničnej trate je približne 55´.

24 / 9:

12,8 m

6,4 m030 x m

5774,0300 tg4,6

5774,0x

4,6.5774,0x

mx 7,369536,3 Výška strechy je 3,7 m.

24/10:

A B

L

2 400

´30520

x

303,1´30520 tg

2400303,1

x

303,1.2400x

mx 2,3127

Lietadlo letí vo výške 3127 metrov

24/11:

100 m

060

x

866,060sin 0

100866,0

x

100.866,0x

mx 6,86

Šarkan vyletel do výšky 86,6 metra.

250cm

x

025400cm

x