GEOTECNICA! LEZIONE!4! …. Principio delle... · 4 INTRODUZIONE* Latensione!totale!verDcale!...

1

GEOTECNICA

LEZIONE 4 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

Ing. Alessandra Nocilla

2

INTRODUZIONE

Il numero di contaA fra le parDcelle è molto grande; ad esempio in un cm3 di sabbia fina esistono diverse cenDnaia di migliaia di contaA ed è pressoché impossibile derivare le relazioni fra tensioni e deformazioni sulla base dello studio dei conta<.

Nell’ipotesi di terreno saturo con piano campagna orizzontale, indefinitamente esteso, si ha una distribuzione delle tensioni semplice e ad essa conviene riferirsi per estendere anche ai mezzi parDcellari il conceOo di tensione (in effeA legato al conceOo di conDnuo). Si immagini, alla generica profondità z dalla superficie topografica, una superficie “ondulata” di area “A” passante per i punD di contaOo fra i grani. Si ipoDzzi la superficie libera della falda (o piano dei carichi idrostaDci luogo dei punD con pressione intersDziale pari a quella atmosferica) coincidente con la superficie topografica.

Il numero di contatti fra le particelle è molto grande; ad esempio in un cm3 di sabbia fina

esistono diverse centinaia di migliaia di contatti ed è pressochè impossibile derivare le

relazioni fra tensioni e deformazioni sulla base dello studio dei contatti.

In effetti è praticamente “impossibile” descrivere il comportamento di un terreno analizzando

la risposta del singolo contatto e poi di tutti i contatti fra le particelle e valutando gli sforziintergranulari.Nell’ipotesi di terreno saturo con piano campagna orizzontale, indefinitamente esteso, si ha

una distribuzione delle tensioni semplice e ad essa converrà riferirsi per estendere anche ai

mezzi particellari il concetto di tensione (in effetti legato al concetto di continuo).

Si immagini, alla generica profondità z dalla superficie

topografica, una superficie “ondulata” di area “A”

passante per i punti di contatto fra i grani.

Si ipotizzi la superficie libera della falda (o piano deicarichi idrostatici luogo dei punti con pressioneinterstiziale pari a quella atmosferica) coincidente conla superficie topografica.

Superficie ondulata passante per i

punti di contatto fra i grani

Piano campagna

area A

z

Geotecnica. A cura del prof. Nocilla

SUPERFICIE ONDULATA A

3

INTRODUZIONE

La σg puo assumere valori elevaD anche quando le pressioni totali nel terreno sono piccole perchè le aree di contaOo sono molto modeste pari ad esempio, ad un millesimo della superficie del grano o anche minori.

! tensione totale

!g tensione intergranulare

!’ tensione effettiva

u tensione interstiziale

superficie A Contorno bagnato Aw

Superficie ondulata A

passante per i punti di

contatto fra i grani

Area di contatto fra grani Ag in

corrispondenza della quale agisce lapressione intergranulare !g.

La !g può assumere valori elevati anche quando le pressioni

totali nel terreno sono piccole perchè le aree di contatto

sono molto modeste pari ad esempio, ad un millesimo della

superficie del grano o anche minori.

!

A = Aw + Ag;

Aw >>Ag

!

A

A=1 =

Aw + Ag

A= aw + ag

Si definiscono:


! tensione totale

!g tensione intergranulare

!’ tensione effettiva

u tensione interstiziale

superficie A Contorno bagnato Aw

Superficie ondulata A

passante per i punti di

contatto fra i grani

Area di contatto fra grani Ag in

corrispondenza della quale agisce lapressione intergranulare !g.

La !g può assumere valori elevati anche quando le pressioni

totali nel terreno sono piccole perchè le aree di contatto

sono molto modeste pari ad esempio, ad un millesimo della

superficie del grano o anche minori.

!

A = Aw + Ag;

Aw >>Ag

!

A

A=1 =

Aw + Ag

A= aw + ag

Si definiscono:


Si definiscono:

σ  tensione totale

σg tensione intergranulare

σ’ tensione efficace

u tensione intersDziale

4

INTRODUZIONE

La tensione totale verDcale σv è la tensione che registrerebbe, alla profondita z, un elemento sensibile orizzontale capace di registrare le azioni dei grani e del fluido intersDziale.

!

"v

=P

A=z # A # $

sat

A= z # $

sat

Nell’ipotesi di terreno saturo con piano campagna orizzontale, indefinitamente esteso gli

sforzi tangenziali sono nulli sui piani orizzontali e verticali. Sulla sezione orizzontale A

agirà lo sforzo risultante

P= N + pw Aw

con pw = !w z ed N risultante degli sforzi intergranulari pari a

N = "g Ag.

La risultante degli sforzi intergranulari N agenti sulla superficie A divisa per l’area A è latensione effettiva o efficace !’v:

La tensione totale verticale !v è la tensione che registrerebbe, alla profondità z, un

elemento sensibile orizzontale capace di registrare le azioni dei grani e del fluido

interstiziale.

!

"v

= " 'v+u

!

" 'v =N

A=" g #Ag

A

Per la tensione totale verticale !v si ha quindi:

!

"v

=P

A=N + p

w#A

w

A= " '

v+p

w#(1$ a

g) con

!

pw"(1# a

w) = u pressione interstiziale


Nell’ipotesi di terreno saturo con piano campagna orizzontale, indefinitamente esteso gli sforzi tangenziali sono nulli sui piani orizzontali e verDcali. Sulla sezione orizzontale A agira lo sforzo risultante

!

"v

=P

A=z # A # $

sat

A= z # $

sat




P= N + pw Aw


N = "g Ag.




interstiziale.

!

"v

= " 'v+u

!

" 'v =N

A=" g #Ag

A


!

"v

=P

A=N + p

w#A

w

A= " '

v+p

w#(1$ a

g) con

!

pw"(1# a



Dove:

!

"v

=P

A=z # A # $

sat

A= z # $

sat




P= N + pw Aw


N = "g Ag.




interstiziale.

!

"v

= " 'v+u

!

" 'v =N

A=" g #Ag

A


!

"v

=P

A=N + p

w#A

w

A= " '

v+p

w#(1$ a

g) con

!

pw"(1# a



!

"v

=P

A=z # A # $

sat

A= z # $

sat




P= N + pw Aw


N = "g Ag.




interstiziale.

!

"v

= " 'v+u

!

" 'v =N

A=" g #Ag

A


!

"v

=P

A=N + p

w#A

w

A= " '

v+p

w#(1$ a

g) con

!

pw"(1# a



La risultante degli sforzi intergranulari N agenD sulla superficie A divisa per l’area A è la tensione effeAva o efficace σ’v:

!

"v

=P

A=z # A # $

sat

A= z # $

sat




P= N + pw Aw


N = "g Ag.




interstiziale.

!

"v

= " 'v+u

!

" 'v =N

A=" g #Ag

A


!

"v

=P

A=N + p

w#A

w

A= " '

v+p

w#(1$ a

g) con

!

pw"(1# a



Per la tensione totale verDcale σv si ha quindi:

!

"v

=P

A=z # A # $

sat

A= z # $

sat




P= N + pw Aw


N = "g Ag.




interstiziale.

!

"v

= " 'v+u

!

" 'v =N

A=" g #Ag

A


!

"v

=P

A=N + p

w#A

w

A= " '

v+p

w#(1$ a

g) con

!

pw"(1# a



!

"v

=P

A=z # A # $

sat

A= z # $

sat




P= N + pw Aw


N = "g Ag.




interstiziale.

!

"v

= " 'v+u

!

" 'v =N

A=" g #Ag

A


!

"v

=P

A=N + p

w#A

w

A= " '

v+p

w#(1$ a

g) con

!

pw"(1# a



ovvero:

5

TENSIONI NEI TERRENI

I terreni sono cosDtuiD da parDcelle solide e fluido intersDziale, per questo i carichi trasmessi da un terreno ad un muro di sostegno, ad esempio, derivano da una combinazione delle tensioni (o sforzi) nello scheletro solido e della pressione nel fluido intersDziale. In assenza di scheletro solido, le sollecitazioni trasmesse sarebbero pari alla sola pressione dell’acqua (es.: chiglia di una nave). In assenza di fluido intersDziale, invece, sarebbero quelle che derivano dal solo peso proprio dello scheletro solido (es.:sforzo verDcale sul fondo di un baraOolo di zucchero).

Nel caso dei terreni si pone il problema di stabilire quale sia la combinazione dello stato tensionale nello scheletro solido e della pressione del fluido intersDziale che CONTROLLA il comportamento meccanico dell’insieme.

TENSIONI TOTALI

Le tensioni totali σ su un piano qualsiasi di un elemento di terreno, si definiscono come la forza per unità di area trasmessa in direzione normale a tale piano, immaginando il materiale solido (cosDtuito solo da una fase).

Le tensioni verDcali σv (o σz) nel terreno a una data profondità sono dovute al peso della colonna di materiale -‐ terreno, acqua, fondazioni – sovrastante l’elemento di terreno alla profondità in esame.

Le tensioni verDcali σv nel terreno aumentano con la profondità.

in genere

P P

6

RELAZIONI TRA SFORZI E DEFORMAZIONI NELLE TERRE

Consideriamo un elemento cubico con il sistema delle tensioni totali sulle varie facce indicato in figura. In genere, soOo un piano campagna vi è simmetria rispeOo all’asse verDcale e si può porre che le tensioni verDcali e orizzontali siano tensioni principali:

σx= σy e τxy = τyz = τzx= 0

p.c.

Dalla Scienza delle Costruzioni abbiamo visto come sia possibile rappresentare questo stato di tensione in un piano di Mohr. In generale le tensioni che agiscono in qualsiasi direzione dello spazio possono essere calcolate dalla geometria del cerchio.

7

σz = γ z

TENSIONI TOTALI

Dove γ è il peso dell’unità di volume del terreno.

σz = γ z + γw zw

σz = γ z +q

In presenza di una successione di straD, per l’elemento di terreno posto alla base dei tre straD di figura, la tensione verDcale totale è pari a:

σz = γ1 z1 + γ2 z2 + γ3 z3

z1 γ1

z2

z3

γ2

γ3

8

u = γw zw

PRESSIONI INTERSTIZIALI

La pressione del fluido intersDziale (u, pw) è la pressione del fluido che riempie lo spazio dei vuoD tra le parDcelle solide all’interno di un elemento di terreno.

N.B. La relazione su citata è valida SOLO in CONDIZIONI IDROSTATICHE!!!!

TENSIONI EFFICACI

La tensione efficace (σ’) su un piano qualsiasi di un elemento di terreno, rappresenta la tensione trasmessa aOraverso le sole parDcelle solide.

N.B. σ’ NON PUO’ ESSERE MISURATA DIRETTAMENTE

L’osservazione che la deformazione e la roOura di un terreno di fondazione possano essere causate da variazioni dello stato tensionale totale è abbastanza ovvia. Meno ovvia è forse la constatazione del faOo che gli stessi fenomeni possono essere determinaD da variazioni delle pressioni intersDziali.

Se la compressibilità e la resistenza di un terreno possono variare in dipendenza di modifiche dello stato tensionale totale o del regime delle pressioni intersDziali è lecito supporre che vi sia una combinazione di σ e u che governa il comportamento meccanico del terreno.

Questa combinazione è chiamata tensione efficace proprio perché è quella che determina il comportamento meccanico del terreno.

OSSERVAZIONI

9

TENSIONI NEI TERRENI E PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

Principio delle tensioni efficaci (Terzaghi, 1923)

Il comportamento meccanico dei terreni è influenzato sia da variazioni di stato tensionale totale che da variazioni delle pressioni intersDziali.

TuA gli effeA misurabili di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza a taglio, sono dovuD esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci. La tensione efficace σ’ è pari alla differenza tra la tensione totale e la pressione intersDziale.

HP: terreno saturo d’acqua (S=1), grani solidi e fluido intersDziali incomprimibili

σ’ = σ -‐ u

In figura sono rappresentaD i cerchi di Mohr delle tensioni totali ed efficaci. I due cerchi hanno lo stesso diametro.

I punD T ed E rappresentano lo stato tensionale totale ed efficace agente sullo stesso piano: è chiaro che le tensioni tangenziali totali ed efficaci sono uguali fra loro. Ovvero τn =τn’. Talvolta, quindi, quando ci si riferisce alla tensioni efficaci tangenziali (o deviatoriche) è prassi comune non uDlizzare l’apice.

Basato su osservazioni sperimentali

10

IMPORTANZA DELLE TENSIONI EFFICACI

Principio delle tensioni efficaci (Terzaghi, 1923)

PermeOe di unificare l’interpretazione della risposta meccanica dei terreni a variazioni di stato tensionale totale o di pressione intersDziale.

Il principio, così come formulato da Terzaghi, non è stato ancora smenDto dalle osservazioni, almeno per i terreni saturi e per i livelli tensionali comunemente incontraD nelle applicazioni dell’ingegneria civile, e viene acceOato come un assioma base della meccanica delle terre.

σz = γsat z

u = γw z

σz’ = (γsat –γw ) z

σz = γsat z + γw zw

u = γw (z + zw)

σz’ = (γsat –γw) z

σz = γsat z + q

u = γw z

σz’ = (γsat-γw) z + q

ESEMPI Falda in condizioni idrostaDca

La differenza γsat – γw viene spesso indicata con il termine γ’.

11

INFLUENZA DELLE TENSIONI EFFICACI

Principio delle tensioni efficaci (Terzaghi, 1923) Δσ’ = Δσ - Δu

La figura (a) mostra i cedimenD Δρ dovuD all’incremento di tensione totale Δσ trasmesso al terreno da una fondazione a pressioni intersDziali costanD. La figura (b) mostra il cedimento Dr causato da pompaggio di acqua dal soOosuolo: l’operazione di pompaggio abbassa la falda e crea un Du negaDvo mantenendo costanD le tensioni totali.

Il principio delle tensioni efficaci ci assicura che, se la variazione Δu dovuta all’abbassamento della falda, è uguale all’incremento di tensione totale Δs al di soOo della fondazione, a essa corrisponde lo stesso cedimento Δρ.

È solo il cambiamento di tensioni efficaci che influenza il cedimento del terreno.

In questa forma l’equazione mostra che le tensioni efficaci possono variare, causando effeA misurabili, sia cambiando le pressioni neutre (o intersDziali) a tensioni totali costanD sia cambiando le tensioni totali e mantenendo inalterate le pressioni intersDziali. Inoltre, se gli incremenD di tensione totale e neutre sono uguali tra loro, le tensioni efficaci restano invariate.

Scrivendolo in termini incrementali

12

VARIAZIONI DI VOLUME E CONDIZIONI DI DRENAGGIO

Δσ’ → ΔV

Poiché le parDcelle che cosDtuiscono lo scheletro solido sono relaDvamente rigide, la variazione di volume dei grani solidi è trascurabile e le variazioni di volume sono dovute essenzialmente alla RIORGANIZZAZIONE SPAZIALE delle parDcelle e alla conseguente variazione degli spazi interparDcellari. Poiché il volume dei grani solidi resta costante, si ha:

L’applicazione (o la rimozione) di sollecitazioni a un terreno provoca variazioni dello stato tensionale efficace accompagnate, in generale, da variazioni di volume.

ΔV = ΔVw

(HP: S=1)

S e l a p r e s s i o n e intersDziale rimane costante u0 = cost

Nei terreni saturi le variazioni di volume avvengono a spese dell’espulsione dell’acqua dagli spazi interparDcellari.

13

VARIAZIONI DI VOLUME E CONDIZIONI DI DRENAGGIO

Nei terreni saturi le variazioni di volume avvengono a spese dell’espulsione dell’acqua dagli spazi interparDcellari. In sito l’acqua espulsa dai pori raggiunge il piano campagna o, laddove esistano, altri straD più permeabili al di soOo del p.c..

In figura è mostrato un rilevato costruito su una strato di argilla interposto tra due straD di sabbia che s i comportano come or izzonD drenanD. Via via che il rilevato viene costruito l’acqua contenuta nello strato di argilla viene espulsa fino a raggiungere i due straD di sabbia come indicato in figura.

Evidentemente, perché l’acqua nei pori possa abbandonare il terreno, consentendo in questo modo alle deformazioni di volume di avere luogo, occorre un certo tempo; se l’acqua non può abbandonare rapidamente il terreno la pressioni intersDziale cambia.

La velocità con cui vengono applicaD i carichi, la velocità di filtrazione dell’acqua nel terreno, la compressibilità nel terreno e la variazione di pressione intersDziale sono legate fra loro.

Le velocità relaDve con cui vengono applicate le tensioni totali al terreno e con cui hanno luogo i processi di filtrazione hanno una importanza fondamentale nel determinare il comportamento del terreno.

14

CONDIZIONI DRENATE

La figura illustra il caso di un incremento di tensione totale Δs applicato lentamente. In questo caso l’acqua ha il tempo di abbandonare il terreno mentre il carico viene applicato.

Di conseguenza non si hanno variazioni di pressione intersDziale e i cambiamenD di volume avvengono contemporaneamente all’applicazione del carico. Da momento che le u0 rimangono costanD, quindi Δu = 0.

Per il principio delle tensioni efficaci:

Δσ’ = Δσ - Δu si ha

Δσ’ = Δσ

Questo processo di carico, relaDvamente lento, viene deOo drenato perché il drenaggio dell’acqua avviene simultaneamente all’applicazione del carico. Le condizioni drenate sono caraOerizzate dal faOo che le pressioni intersDziali rimangono costanD e pari al valore di regime u0.

15

CONDIZIONI NON DRENATE

La figura illustra il caso di un incremento di tensione totale Ds applicato così velocemente che l’acqua non ha il tempo di abbandonare il terreno mentre il carico viene applicato. Il volume del terreno durante l’applicazione del carico resta costante ΔV = 0.

Se l’incremento di tensione totale è isotropo (non vi sono deformazioni distorsionali) ed è applicato in condizioni non drenate (ΔV = 0), il terreno non si accorge della variazione di tensione totale. Dal p.d.t.e. discende che non si hanno variazioni di tensione efficace (solo nel caso di carico applicato in condizioni edometriche!) e quindi si ha:

Δσ’ = Δσ – Δu = 0 si ha

Δu = Δσ

Questo incremento di pressione intersDziale provoca una sovrappressione intersDziale iniziale, in eccesso rispeOo al valore di regime.

Una tale condizione di carico, relaDvamente veloce, viene deOa non drenata perché non c’è drenaggio d’acqua dal terreno all’aOo dell’applicazione del carico. Un processo di carico in condizioni non drenate è caraOerizzato dal faOo di avvenire a VOLUME COSTANTE (ΔV = 0).

consolidazione

16

VELOCITA’ DI APPLICAZIONE DEL CARICO E CONDIZIONI DI DRENAGGIO

Nell’analisi di qualsiasi problema di ingegneria geotecnica è assolutamente fondamentale decidere se si intende prendere in esame condizioni drenate o condizioni non drenate; le procedure di analisi che si uDlizzano nei due casi sono completamente diverse. Questa scelta dipende dalla velocità relaDva di applicazione dei carichi e di filtrazione (coefficiente di permeabilità).

A rigore, nessuna delle due condizioni è perfeOamente soddisfaOa. In genere si assume che, per terreni a grana grossa, il carico e lo scarico tensionale avvengano sempre in condizioni drenate mentre, per terreni a grana fina all’aOo di applicazione dei carichi si realizzino sempre condizioni non drenate.

GEOTECNICA! LEZIONE!4! …. Principio delle... · 4 INTRODUZIONE* Latensione!totale!verDcale!...

Documents

Transcript of GEOTECNICA! LEZIONE!4! …. Principio delle... · 4 INTRODUZIONE* Latensione!totale!verDcale!...