FP: RELACIONES ARMÓNICAS

FP_4

Prof. José Juan Aliaga Maraver

Universidad Politécnica de Madrid

AA BBCC

Cuaternas de elementos: Razón armónica

aabb

cc

Armónica: (ABCD) Armónica: (ABCD) == (abcd)= (abcd)= --11

VV

dd

DD

Cuando la razón doble o cuaterna (ABCD) tiene por valor la Cuando la razón doble o cuaterna (ABCD) tiene por valor la unidad negativa, se denomina armónicaunidad negativa, se denomina armónica

AA y y BB separanseparan armónicamente a armónicamente a CC y y DD

Armónica:Armónica:(ABCD) (ABCD) == 1/(BACD)= 1/(BACD)= --11

Cuaternas armónicas: Bisectrices

αααα

ββ

ββ

aa bb

vv11

vv22

rr11

rr22

AA VV11 BB VV22

A’A’

VV11’’

B’B’

VV22’’

(abv(abv11’v’v22’)=r1(A’B’V’)=r1(A’B’V11’V’V22’)=r’)=r22(ABV(ABV11VV22))

== ==

(ABV(ABV11VV22) = (AV) = (AV11/AV/AV22)/(BV)/(BV11/BV/BV22)= )=

AVAV11/ BV/ BV11= (V= (V11AB)= -1AB)= -1

Cuadrilátero/Cuadrivértice completo

VV22

AA

D’D’

C’C’

B’B’

A’A’

DDCC BB

VV11

rr

ss

VV1 1 : r (A’ B’ C’ D’) = s (ABCD) : r (A’ B’ C’ D’) = s (ABCD)

VV2 2 : r (A’ B’ C’ D’) = s (BACD): r (A’ B’ C’ D’) = s (BACD)

(ABCD) = 1/(BACD) = -1(ABCD) = 1/(BACD) = -1

(ACD) > 0 (+)

(BCD) < 0 (-)

Circunferencias ortogonales

AA

OO11

TTOO22

DD

CC

BB

P

R

R

(ABCD)=-1

a

b

d

c

(abcd)=-1

Determinar el punto Y cuarto armónico de X: respecto de A y B

FP_4P_01Cuaternas

(ABXY) = -1

XX AA BB

Determinar los puntos de contacto de la circunferencia tangente al cuadrado (ABCD) , proyectado cónicamente sobre el plano del dibujo

FP_4P_02Proyección Cónica: Puntos Medios

A

B

C

D

Determinar los puntos medios de las aristas del ortoedro (ABCDEFGH)

FP_4P_03Proyección Cónica: Puntos Medios

A

B

C

D

F

G

H

Determinar el sólido resultante de sustraer al ortoedro (ABCDEFGH),otro semejante, de razón 1/4, situado coincidiendo con la esquina C

FP_4P_04Proyección Cónica: Puntos Medios

A

B

C

D

F

G

H