Nombre: Casamayor Espinoza Elvis Armando Código: 0201313009Fecha: 10/12/2015

1) Demuestre que la diferencia Δψs. en el valor de una función de corriente de Stokes, entre dos líneas de corriente para un flujo con simetría axial, es el caudal volumétrico entre las líneas de corriente.

Tenemos en cuenta Δψs =ψ2 –ψ1

∂ψ∂ x

dx+ ∂ψ∂ y

dy=0=∂ψ

−V y ∂ x+V X ∂ y=0 Ecuación para las líneas de corriente

La variación del valor de la función corriente, entre dos líneas de corriente, está relacionado con el caudal que pasa entre ellas

La ecuación de continuidad aplicada a la figura queda: ∂q =V x∂ y+V y ∂xIntroduciendo la función corriente:

Dq = ∂q=∂ψ∂ x

dx+ ∂ψ∂ y

d=∂ψ

Integrando entre ψ 1 y ψ2 se obtiene

q=∫ψ1

ψ2

∂q=∫ψ1

ψ2

∂ψ

q=ψ2−ψ1=Δψs

2.Demuestre que las líneas de Φ constante para un flujo irrotacional estacionario, con simetría axial son normales a las líneas de corriente. (2p)

Son normales entre sí, si se cumple que ∇∅ .∇ψ=0

Dado que es un flujo con sistema axial esto es característica de los flujos incomprensibles.

Permite escribir la ecuación de la siguiente manera:

u=(ux ;uy )=( δψδy ;−δψδx )

Dando ψ es una función corriente. El flujo debe cumplir la condición ∇u=0

El significado de la función de corriente se desprende de la propiedad que vamos analizar ahora

u .∇ψ=0

u .∇ψ=( δψδy ;− δψδx ) .( δψδx ; δψ

δy )= δ2ψδyδx

− δ2ψδxδy

=0

3. Demuestre que si tanto 1 como 2 son soluciones de la ecuación de Laplace, la suma es ( 1 + 2) también una solución.

1 + 2 = 3, ∇ 2φ=0 ,

∂2Φ∂ x2

+∂2Φ∂ y 2

=0

Si 1 y 2 son soluciones de la ecuación de Laplace, entonces 1 + 2 = 3 es una solución, entonces:

Como 1 y 2 son soluciones de la ecuación de Laplace,

⇒ ∇ 2 1= 0 ∇ 2 2 = 0

Sabemos que ∇ 2φ=0

⇒ ∇ 2 3= 0

Si 1 + 2 = 3

⇒ ∇ 2 3= 0

∇ 2( 1 + 2) = 0

∇ 2 1 + ∇ 2 2 = 0

0 + 0 = 0 lqqd.

Si 1 es solución de la ecuación de Laplace, entonces:

d2Ф1

d x2 + d2Ф1

d y2 = 0

Si 2 es solución de la ecuación de Laplace, entonces:

d2Ф2

d x2 + d2Ф2

d y2 = 0

Ahora

d2Ф3

d x2 + d2Ф3

d y2 = 0

Como 1 + 2 = 3

⇒ d2(Ф1+Ф2)d x2

+ d2(Ф1+Ф2)d y2

= 0

⇒ d2Ф1

d x2 + d2Ф2

d x2 +¿ d2Ф1

d y2 + d2Ф2

d y2 = 0

⇒ d2Ф1

d x2 + d2Ф1

d y2 +¿ d2Ф2

d x2 + d2Ф2

d y2 = 0

⇒ (0) + (0) = 0 lqqd.

4. una fuente de intensidad m se encuentra ubicado a una distancia h de una pared, como se muestra en la figura (4)

a). calcule en qué punto sobre la pared la velocidad del fluido es máximo

∅=q . ln (r )

2 πφ=q .θ

2π

1r∂φ∂θ

=Vr= q2 π .r

∂φ∂r

=0

Vt=Vr+Vθ

Vr= q2π . r

Vθ=−∂φ∂r

=0

V=√Vr2+Vθ2= q2π . r

V= m2π .h

5.- Sea la función compleja f (z)=a zπ∝, determinar lo siguiente: (5p)

La red de flujo conformada por la Función de corriente ψ y la función potencial Ø. Dibujar en el primer cuadrante.Solución

f (z)=a zπ∝ , z=r e iӨ, e iӨ ,=cosӨ+i senӨ,

f (z)=a(r e iӨ)π∝= ar

π∝ e

iӨ π∝ = ar

π∝ [cos(Ө π

∝ )+ i sen(Ө π∝ )]

f (z)=arπ∝ cos (Ө π

∝ )+iarπ∝ sen(Ө π

∝ ) Ø=ar

π∝ cos(Ө π

∝ ) , ψ=arπ∝ sen(Ө π

∝ )

Evaluar

ψ

2π>α>0

a) La magnitud de velocidad.Solución

Vr=dØdr = π∝ ar

π−α∝ cos (Ө π

∝ )Vө=

1rdØdr = 1

r (ar π∝ π∝ .−sen (Ө π

∝ ))=−a rπ−α∝ π∝ . sen(Ө π

∝ )|v|=√V r2+V 2ө= √¿¿

|v|= √¿¿

|v|= arπ−α∝ π∝

6.- La función corriente para el flujo sin circulación de un fluido perfecto alrededor de un cilindro está dado por: (5p)

Ψ=V 0(r−a2

r)sin θ

Donde:

a=1m , es el radio del cilindro y (r ,θ ) son las coordenadas de un punto cualesquiera del flujo.

Hallar la velocidad del flujo de un punto situado sobre la línea de corriente Ψ=27 para un ángulo θ=30° yV 0=54 s−1

Datos:

Ψ=27

V 0=54 s−1

a=1m

θ=30°

r=?

Solución

Ψ=V 0(r−a2

r)sin θ

dΨdθ

=V 0(r−a2

r)cosθ

V r=1rdΨdθ

=V 0(1−a2

r2 )cosθ

dΨdr

=V 0(1+ a2

r2 )sin θ

V θ=−dΨdθ

=−V 0(1+ a2

r2 )sin θ

Entonces:

¿V /¿√V r2+V θ

2

¿V /¿√(V ¿¿0 (r−a2

r)cosθ)

2

+(−V 0(1+ a2

r2 )sin θ)2

¿

¿V /¿V 0 √(r−a2

r)

2

¿¿¿

¿V /¿V 0 √(1+ a4

r 4 )(cos2θ¿¿❑+sin 2θ)−2 a2

r2 (cos2θ−sin 2θ)¿

¿V /¿V 0 √(1+ a4

r 4 )(1)❑

−2 a2

r 2 (cos2θ)

Reemplazamos los datos:

Ψ=V 0(r−a2

r )sinθ

27=54(r−12

r)sin 30 º

(r−12

r)=1

r=( 1+√52

)=1.618m

Finalmente:

¿V /¿V 0 √(1+ 14

1.6184 )(1)−2 a2

r2 (cos2θ)

V=54 √(1+ 14

1.6184 )(1)−2 12

1.6182 (cos2(30º ))

La velocidad para el punto en dicha posición será : V=46.952m /s