FICHE TD 4 DESCRIPTION D’UN FLUIDE EN ECOULEMENT

EXERCICE 1

Dans un repère cartésien orthonormé, le champ des vitesses est de la forme : ( , )x y

v M t xe yeα α= +� ��� ���

. Trouver l’équation de la

ligne de courant passant par le point (0 0,x y ). Montrer que l’écoulement est irrotationnel, déterminer le potentiel des vitesses, φ .

On considère l’écoulement dont le champ des vitesses, en tout point hormis l’origine, a pour composantes en variables d’Euler :

2 2x

yv

x y=

+et

2 2y

xv

x y=

+ .L’écoulement est-il incompressible ? tourbillonnaire? Comment varie le module de la vitesse en

fonction de la distance à l’origine ?

Dans le repère précédent, le champ de vitesse est maintenant de la forme : ( , )x

v M t yeα=� ���

. L’écoulement est-il tourbillonnaire ?

Commentez le résultat.

EXERCICE 2

On admet que dans un cyclone, le champ eulérien des vitesses est de la forme suivante (en coordonnées cartésiennes) :

( , ) ( )v M t v r eθ θ= =� ���

reθω���

si r<R ou 2

Re

rθω���

si r>R ; R rayon de l’œil du cyclone, ω vitesse angulaire caractéristique.

1) L’écoulement est-il stationnaire ? incompressible ? tourbillonnaire?

2) Tracer le champ des vitesses du cyclone.

3) Montrer que le module de la vitesse passe par un maximum.

EXERCICE 3

On étudie la possibilité d’écoulements bidimensionnels, incompressibles et irrotationnels. On utilise, pour le repérage des

particules du fluide, les coordonnées polaires habituelles ( ,r θ ).

1) Montrer qu’il existe, pour cet écoulement, une fonction potentiel des vitesses ϕ ( ,r θ ), solution de l’équation aux

dérivées partielles de Laplace :

.

2) On étudie la possibilité de solutions élémentaires où le potentiel ne dépend soit que de r, soit que de θ : Si ϕ (r),

exprimer le champ des vitesses. Après avoir précisé la situation concrète à laquelle cette solution s’applique, calculer le

débit de l’écoulement. Si ϕ (θ ), exprimer le champ des vitesses. Préciser la situation concrète à laquelle cette solution

s’applique.

EXERCICE 4

Un fluide newtonien est réparti sur une hauteur e entre deux plaques horizontales très longues. La plaque du dessous st immobile

dans le référentiel du labo supposé galiléen, celle du dessus possède la vitesse horizontale constante : O x

v v e=� ���

.

1) Quelles sont les conditions aux limites vérifiées par l’écoulement ?

2) Déterminer l’expression du champ des vitesses dans l’hypothèse la plus simple d’un champ linéaire.

3) Quelle est la composante horizontale de la force exercée par le fluide, par unité de surface, sur la plaque supérieure ?

4) Un bloc parallélépipédique, de surface carrée de côté a=10cm et de masse 1kg, est posé sur un plan incliné d’angle

45α = ° par rapport à l’horizontale. Le plan incliné est lubrifié, enduit d’une huile de viscosité dynamique η . La

plaque se met en mouvement sous l’effet de son poids. Si on suppose que l’écoulement de l’huile peut être modélisé

comme précédemment sur une épaisseur e=1mm :

• Donner l’équation du mouvement du bloc

• Au bout d’un certain temps la vitesse se stabilise à la valeur vf=0,5m.s-1

, en déduire la valeur de la viscosité.

Quelle est la durée du régime transitoire ?