Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο · 2013-09-17 · 2...

Βρέντζου Τίνα – Φυσικός –

Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd:

«Σπουδές στην εκπαίδευση»

Email : [email protected]

www.ma8eno.gr

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο

2

Βρέντζου Τίνα – Φυσικός – Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»


www.Ma8eno.gr

Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο

• Πρόσημο γινομένου της μορφής P(x) = Α(x) · B(x) ... Φ(x)

όπου Α(x), B(x), ... Φ(x), είναι πολυώνυμα Α’ Βαθμού ή τριώνυμα.

Μεθοδολογία

Βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα ξεχωριστά και κατόπιν το

πρόσημο όλου του γινομένου P(x).

Έστω ένα πολυώνυμο ν - βαθμού και P (χ) = P1 (χ) · P2 (χ)Ρκ (χ),

κ 𝜖 Ν*, όπου Ρ1 (χ), Ρ2 (χ), . . . , Ρκ (χ) είναι πολυώνυμα πρώτου ή δευτέρου

βαθμού, τότε Ρ (χ) = 0 [ρ (χ1) = 0 ή ρ (χ2) = 0 ή ή Ρκ (χ) = 0]

οπότε η λύση της πολυωνυμικής εξίσωσης ανάγεται στην λύση εξισώσεων

πρώτου και δεύτερου βαθμού.

Παράδειγμα 1ο

Να λυθεί η εξίσωση: 3x4 + x3 - 12x2 - 4x = 0.

Λύση

• Βήμα 1ο

Φέρνουμε το f(x) στην μορφή :

f(x) = ± (α1 x ±β1 ) ∙ (α2 x ±β2 )...(αν x ±βν ) με α1, α2, ...,αν > 0.

Συγκεκριμένα για το παράδειγμά μας έχουμε:

3χ4 + χ3 - 12χ2 - 4χ = 0 ( 3χ4 - 12χ2) + (χ3 - 4χ) = 0

3χ2 (χ2 - 4) + χ (χ2 - 4) = 0 χ (χ2 - 4) (3χ +1) = 0

Βρίσκουμε τις ρίζες

των πρωτοβάθμιων

παραγόντων

w w w . m a 8 e n o . g r

Σελίδα 2

mailto:[email protected]

http://www.ma8eno.gr/

3



www.Ma8eno.gr

+ χ(χ - 2)(χ + 2)(3χ +1) = 0 (x1 = 0 ή x2

= 2 ή x3 = -2 ή x4 = -1/3)

Βήμα 2ο

Δημιουργούμε τον πίνακα προσήμων βάζοντας στο πρώτο από δεξιά διάστημα

το πρόσημο + ή – που βρίσκεται μπροστά από τις παρενθέσεις του f(x) ενώ

στα επόμενα διαστήματα βάζουμε το πρόσημο εναλλάξ.

χ -∞ -2 -1/3 0 2 +∞

F(χ) + - + - +

Όταν έχουμε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων μπορούμε να βρούμε τα πρόσημο ως εξής:


Σελίδα 3



4



www.Ma8eno.gr

Παράδειγμα 2ο

Να βρεθεί το πρόσημο του f(x) = (2 - x)6 (x - 4)7 (3 - x)2002 (5 - x)2003

Λύση:

f(x) = (2 - x)6 (x - 4)7 (3 - x)2002 (5 - x)2003

Οι ρίζες των παραγόντων είναι:

x - 2 = 0 x = 2

x - 4 = 0 x = 4

x - 3 = 0x = 3

x - 5 = 0 x = 5

χ -∞ 2 3 4 5 +∞

F(χ) - - - + -

Παρατηρήσεις

1. Προσέχουμε την σειρά των ριζών που βάζουμε στην πρώτη γραμμή: από τις

μικρότερες προς τις μεγαλύτερες.

2. Στα - ∞ και +∞ βάζουμε πάντοτε ανοικτό διάστημα.

3. Τα πρόσημα μπορούμε να τα βρούμε και με δοκιμές: αντικαθιστούμε σε κάθε

παράσταση μια τιμή του x που να ανήκει στο διάστημα που μελετούμε και

βρίσκουμε το πρόσημο του αποτελέσματος.

4. Η παραπάνω μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί και σε περιπτώσεις που έχουμε

παραστάσεις που δεν είναι πολυωνυμικές.

Τις δυνάμεις με περιττούς

εκθέτες τις θεωρούμε σαν

δύναμη με εκθέτη το 1.

Στις δυνάμεις με άρτιους εκθέτες,

όταν θα τοποθετήσουμε στον πίνακα

προσήμων τις ρίζες, δεξιά και

αριστερά από τις ρίζες θα βάζουμε

το ίδιο πρόσημο.


Σελίδα 4



5



www.Ma8eno.gr

• Επίλυση ανισώσεων της μορφής : P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0.


Να λυθεί η ανίσωση F(x) = (2x - 1)(1- 5x)(x2 - 5x+ 6) ≤ 0

Βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου P(x) και κατόπιν εκείνα τα x για τα

οποία αληθεύει η κάθε μια από τις ανισώσεις

P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0

2x -1= 0 x = 1/2

1- 5x = 0 x = 1/5

x2 - 5x+ 6 = 0 x = 2 και x = 3

Έχουμε τον πίνακα προσήμων:

χ -∞ 1/5 1/2 2 3 +∞

2x -1 - - + + + 1- 5x + - - - - x2 - 5x+ 6 + + + - + F(χ) - + - + -

Άρα F(χ) ≤ 0 x∈ �−∞, 15� ∪ �1

2, 2� ∪ [3, +∞)

Παραδείγματα

Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου Ρ(x) = (2 –3x)( – x – 2)( – x + 1)

Λύση

2 –3x 0 –3x –2 x

Για το τριώνυμο – x – 2

Δ = 1 + 8 = 9 > 0 Ρίζες : 2 και –1

2x 2x

• ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ 23

• 2x


Σελίδα 5



6



www.Ma8eno.gr

– x – 2 > 0 x < –1 ή x > 2

Για το τριώνυμο – x + 1

Δ = 1 – 4 = –3 < 0 Άρα – x + 1 > 0 για κάθε χ𝜖ℝ

Πίνακας προσήμου

x – –1 2/3 2 +

2 – 3x + + 0 – 0 –

– x – 2 + 0 – – 0 +

– x + 1 + + + +

P(x) + 0 – 0 + 0 –

2.

Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου

Ρ(x) = (– + 4)( – 3x + 2)( + x + 1)

Λύση

Για το τριώνυμο – + 4

Δ – 0 + 4 = 4 > 0 Ρίζες : 2 και –2

– + 4 > 0 –2 < x < 2

Για το τριώνυμο – 3x + 2

Δ = 9 – 8 = 1 > 0 Ρίζες : 1 και 2

– 3x + 2 > 0 x < 1 ή x > 2

Για το τριώνυμο + x + 1

Δ = 1 – 4 = –3 < 0 Άρα + x + 1 > 0 για κάθε χ𝜖ℝ

2x ⇔

• 2x2x

∞ ∞

2x2x

2x 2x 2x

• 2x

2x ⇔

• 2x

2x ⇔

• 2x2x


Σελίδα 6



7



www.Ma8eno.gr


x – –2 1 2 +

2 – 3x – 0 + + 0 –

– x – 2 + + 0 – 0 +

– x + 1 + + + +

P(x) – 0 + 0 – 0 +

• Επίλυση ανισώσεων της μορφής :

α) 𝐀(𝛘)𝜝(𝝌)

> 0 οπότε Α (χ )∙ Β (χ ) > 0

β) 𝐀(𝛘)𝜝(𝝌)

≥ 0

γ) 𝐀(𝛘)𝜝(𝝌)

< 0 οπότε Α(χ)∙Β(χ)<0

δ) 𝐀(𝛘)𝜝(𝝌)

≤ 0

ε) Β(χ) ≠ 0

∞ ∞

2x2x

Φέρουμε όλους τους παράγοντες στο πρώτο μέλος ,κάνουμε τα

κλάσματα ομώνυμα και το κλάσμα που θα δημιουργηθεί το μετατρέπουμε

σε γινόμενο.

Προσοχή : Αν η λύση περιέχει

κλειστά διαστήματα πρέπει να

εξαιρούμε τις ρίζες του

παρονομαστή.


Σελίδα 7



8



www.Ma8eno.gr


Να λυθούν οι ανισώσεις:

𝜒 − 3

𝜒2 − 3𝜒 − 10< 0

ΛΥΣΗ

Περιορισμός :

𝜒2 − 3𝜒 − 10 ≠ 0 χ ≠ 5 𝜅𝛼𝜄 𝜒 ≠ −2

Μετατρέπουμε σε γινόμενο:

(𝜒 − 3) ∙ (𝜒2 − 3𝜒 − 10) < 0

Βρίσκουμε τις ρίζες των παραγόντων του γινομένου και φτιάχνουμε τον

πίνακα προσήμων :

χ-3= 0χ =3 και χ2 -3χ -10 = 0χ = 5 ή χ = -2

χ -∞ -2 3 5 +∞

χ2 -3χ -10 + - - + χ-3 - - + + F(χ) - + - +

Άρα χ∈ (−∞,−2) ∪ (3,5)


Σελίδα 8



9



www.Ma8eno.gr


Να λύσετε τις ανισώσεις

i) > 0 ii) 0

Λύση

i)

Περιορισμός : x + 1 0 x –1

> 0 (x – 2)(x + 1) x < –1 ή x > 2

ii)

Πεδίο ορισμού : x – 3 0 x 3

0 (2x + 1)(x – 3) 0 – x < 3

Να λύσετε την ανίσωση 0

Λύση

Πεδίο ορισμού : + x – 2 0

Δ = 1 + 8 = 9 > 0 Ρίζες –2 και 1 Άρα x –2

και x 1

0 ( – x – 2)( + x – 2) 0

Για το τριώνυμο – x – 2

Δ = 1 + 8 = 9 > 0 Ρίζες –1 και 2

– x – 2 > 0 x < –1 ή x > 2

Για το τριώνυμο + x – 2

+ x – 2 > 0 x < –2 ή x > 1

x 2x 1−+

2x 1x 3+−

≤

≠ ⇔ ≠

x 2x 1−+

⇔ ⇔

≠ ⇔ ≠

2x 1x 3+−

≤ ⇔ ≤ ⇔ 12

≤

2

2x x 2x x 2

− −+ −

≤

2x ≠

≠

≠

2

2x x 2x x 2

− −+ −

≤ ⇔ 2x 2x ≤

• 2x

2x ⇔

• 2x2x ⇔


Σελίδα 9



10



www.Ma8eno.gr


x – –2 –1 1 2 +

– x – 2 + + 0 – – 0 +

+ x –

2

+ – – + +

Γινόμενο + – 0 + – 0 +

Άρα –2 < x –1 ή 1 < x 2

• Επίλυση ανισώσεων της μορφής : 𝐀(𝛘)𝜝(𝝌)

≤ Γ(χ) , Β(χ) ≠ 0

Αν η κλασματική ανίσωση περιέχει και άλλα κλάσματα ή ακόμα και κάποιον

αριθμόεκτός της παράστασης 𝐀(𝛘)𝜝(𝝌)

δεν κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών.

Για να λύσουμε μία τέτοια ανίσωση εργαζόμαστε ως εξής:

· Παίρνουμε περιορισμούς (οι παρονομαστές διάφοροι του μηδενός).

· Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος της ανίσωσης και κάνουμε

ομώνυμα.

· Το πρώτο μέλος παίρνει τώρα την μορφή 𝐀(𝛘)𝜝(𝝌)

,οπότε λύνουμε την

ανίσωση που προέκυψε όπως τα προηγούμενα παραδείγματα , γινομένου.

∞

∞

2x

2x

≤ ≤

Ποτέ δεν πρέπει να κάνουμε

απαλοιφή παρονομαστών σε

όμοια ανίσωση.


Σελίδα 10



11



www.Ma8eno.gr


Να λυθεί η ανίσωση: 2𝜒−1𝜒2−4

≥ 1

Περιορισμοί

𝜒2 − 4 ≠ 0 χ≠ ±2 2𝜒−1𝜒2−4

-1 ≥ 0 (-χ 2 + 2χ + 3)(x2 - 4) ≥ 0

χ -∞ -2 -1 2 3 +∞

-χ2 +2χ +3 - - + + - χ2-4 + - - + + F(χ) - + - + - Άρα οι λύσεις είναι χ ∈ (−2,−1] ∪ (2,3]

Να λύσετε την ανίσωση + 2 0

Λύση

Πεδίο ορισμού : x – 1 0 x 1

+ 2 0 0

0

2x 3x 10x 1− −−

≤

≠ ⇔ ≠

2x 3x 10x 1− −−

≤ ⇔2x 3x 10 2x 2

x 1− − + −

−≤

2x x 12x 1− −−

≤

Η διπλή γραμμή στις τιμές -2 και 2 σημαίνει ότι οι τιμές αυτές δεν είναι δεκτές

γιατί μηδενίζουν τον παρονομαστή .


Σελίδα 11



12



www.Ma8eno.gr

(x – 1)( - x – 12) 0

Για την ανίσωση x – 1 > 0 x > 1

Για την ανίσωση –- x – 12 > 0

Δ = 1 + 48 = 49 > 0 Ρίζες = –3 , 4

– x – 12 > 0 x < –3 ή x > 4


x – –3 1 4 +

x – 1 – 0 – + 0 +

– x – 12 + – – +

Γινόμενο – 0 + – 0 +

Άρα x –3 ή 1 < x 4

Να λύσετε τις ανισώσεις

i) ii)

Λύση

i)

Πεδίο ορισμού : (3x – 5 0 και x – 1 0) (x και x 1)

– 0

0

0

0

(x – 2)(x – 5)(3x – 5)(x – 1) 0

2x ≤

• ⇔

• 2x

1 72±

2x ⇔

∞ ∞

2x

≤ ≤

x3x 5−

≤ 2x 1−

x2x 1−

≥ 3x 2+

≠ ≠ ⇔ ≠ 53

≠

x3x 5−

≤ 2x 1−

⇔ x3x 5−

2x 1−

≤

2x x 6x 10(3x 5)( x 1)− − +− −

≤

2x 7 x 10(3x 5)( x 1)

− +− −

≤

( x 2)( x 5)(3x 5)( x 1)

− −− −

≤

≤


Σελίδα 12



13



www.Ma8eno.gr

x – 1 5/3 2 5 +

γιν. + – + 0 – 0 +

Άρα 1 < x < ή 2 x 5

ii)

Πεδίο ορισμού : (2x – 1 0 και x + 2 0) (x και x –2)

– 0

0

0

0

(x – 1)(x – 3)(2x – 1)(x + 2) 0

x – –2 1/2 1 3 +

γινόμενο + – + 0 – 0 +

Άρα x < –2 ή x 1 ή x 3

4.

Να λύσετε την ανίσωση > 2

Λύση

Περιορισμός : x 0

> 2 < -2 ή > 2

+ 2 < 0 ή - 2 > 0

∞ ∞

53

≤ ≤

≠ ≠ ⇔ ≠ 12

≠

x2x 1−

≥ 3x 2+

⇔ x2x 1−

3x 2+

≥

2x 2x 6x 3(2x 1)( x 2)+ − +− +

≥

2x 4x 3(2x 1)( x 2)

− +− +

≥

( x 1)( x 3)(2x 1)( x 2)

− −− +

≥

≥

∞ ∞

12

≤ ≥

x 1x+

≠

x 1x+ ⇔ x 1

x+ x 1

x+

x 1x+ x 1

x+


Σελίδα 13



14



www.Ma8eno.gr

< 0 ή > 0

< 0 ή > 0

(3x + 1)x < 0 ή (x – 1)x < 0

– < x < 0 ή 0 < x < 1

x 1 2xx

+ + x 1 2xx

+ −

3x 1x+ x 1

x− +

13


Σελίδα 14



Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο · 2013-09-17 · 2...

Documents

Transcript of Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο · 2013-09-17 · 2...