Μαθηματικά A Λυκείου -...

26
Α λυκειου αλγεβρα minimath.eu Μαθηματικά A Λυκείου Περιεχόμενα Νιοστές Ρίζες & Απόλυτες τιμές .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3 Ιδιότητες απόλυτων τιμών ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3 Ιδιότητες νιοστών ριζών ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 3 Ορισμός νιοστής ρίζας ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 3 Ιδιότητες ανισώσεων.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 3 Εξισώσεις ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4 Η εξίσωση x n = a ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4 Εξισώσεις με κλάσματα ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 4 Εξισώσεις με απόλυτες τιμές ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4 Εξισώσεις 2 ου βαθμού με έναν άγνωστο – Τύποι Vietta........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4 Ανισώσεις ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5 Ανισώσεις 1 ου βαθμού με απόλυτες τιμές ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5 Ανισώσεις 2 ου βαθμού............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5 Ανισώσεις γινόμενο & πηλίκο................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5 Ανισώσεις 2 ου βαθμου (γραφικη λυση) .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 6 Πρόοδοι........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7 Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7 Γεωμετρικός μέσος..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7 Αριθμητικός μέσος..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7 Συναρτήσεις .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8 Ορισμός συνάρτησης............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8 Γραφική παράσταση συνάρτησης.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8 Η συνάρτηση f(x) = ax + b (ευθεία) ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9 Πιθανότητες .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 10 Σύνολα ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 10 Πράξεις με σύνολα................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 10 Πείραμα τύχης - δειγματικός χώρος – ενδεχόμενα ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 11 Κλασσικός ορισμός πιθανότητας ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 11 Γενικες ιδιότητες της πιθανότητας .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 12 Γενικός (αξιωματικος) ορισμός πιθανότητας ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 12 Διαγραμματα Venn ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 12 Ασκησεις Aλγεβρας..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 14 Αποδεικτικες – Σωστο λαθος – Ερωτησεις κατανοησης .................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 14 Εξισωσεις που αναγονται σε δευτεροβαθμιες .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 15

Transcript of Μαθηματικά A Λυκείου -...

Α λυκειου αλγεβρα minimath.eu

Μαθηματικά A Λυκείου

Περιεχόμενα

Νιοστές Ρίζες & Απόλυτες τιμές .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3

Ιδιότητες απόλυτων τιμών ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3

Ιδιότητες νιοστών ριζών ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 3

Ορισμός νιοστής ρίζας ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 3

Ιδιότητες ανισώσεων.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 3

Εξισώσεις ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4

Η εξίσωση xn = a ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4

Εξισώσεις με κλάσματα ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 4

Εξισώσεις με απόλυτες τιμές ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4

Εξισώσεις 2ου βαθμού με έναν άγνωστο – Τύποι Vietta ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4

Ανισώσεις ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5

Ανισώσεις 1ου βαθμού με απόλυτες τιμές ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5

Ανισώσεις 2ου βαθμού ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5

Ανισώσεις γινόμενο & πηλίκο ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5

Ανισώσεις 2ου βαθμου (γραφικη λυση) .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 6

Πρόοδοι........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7

Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7

Γεωμετρικός μέσος ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7

Αριθμητικός μέσος..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7

Συναρτήσεις .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8

Ορισμός συνάρτησης ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8

Γραφική παράσταση συνάρτησης .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8

Η συνάρτηση f(x) = ax + b (ευθεία) ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9

Πιθανότητες .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 10

Σύνολα ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 10

Πράξεις με σύνολα ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 10

Πείραμα τύχης - δειγματικός χώρος – ενδεχόμενα ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 11

Κλασσικός ορισμός πιθανότητας ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 11

Γενικες ιδιότητες της πιθανότητας .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 12

Γενικός (αξιωματικος) ορισμός πιθανότητας ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 12

Διαγραμματα Venn ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 12

Ασκησεις Aλγεβρας..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 14

Αποδεικτικες – Σωστο λαθος – Ερωτησεις κατανοησης .................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 14

Εξισωσεις που αναγονται σε δευτεροβαθμιες .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 15

σελ. 2 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Παραμετρικες ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 16

Απολυτες τιμες ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 17

Συναρτησεις .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 18

Γεωμετρια ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 20

Στοιχεια τριγωνου .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 20

Κριτηρια ισοτητας τριγωνων ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 21

Παραλληλογραμμα .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 22

Εφαρμογες στα τριγωνα ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 23

Εφαρμογες στα ορθογωνια τριγωνα ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 24

Κυκλος.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 25

Λυσεις επιλεγμενων ασκησεων........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 26

σελ. 3 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Νιοστές Ρίζες & Απόλυτες τιμές

Ορισμός νιοστής ρίζας

Νιοστή ρίζα ενός αριθμού , 0x x είναι εκείνος ο

αριθμός , 0r r έτσι ώστε:

nr x για κάποιο , 0n n

Ο r γράφεται τότε ως

1

n nr x x

Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία:

n nr x x r

Παραδειγματα:

3 3

4 4

2 8 8 2

3 81 81 3

Σημείωση 1: Η νιοστή ρίζα είναι γενίκευση της τετραγωνικής

ρίζας. Την τετραγωνική ρίζα μπορούμε να τη γράψουμε και

ως

1

2 2x x x

Σημείωση 2: Οι νιοστές ρίζες είναι δυνάμεις με ρητούς

εκθέτες. Όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιους

εκθέτες (που έχουμε δει σε προηγούμενη τάξη) συνεχίζουν

να ισχύουν και για τις δυνάμεις με άρρητο εκθέτη.

Ιδιότητες νιοστών ριζών

1

( άρτιος)

, 0 , , , , , , 0

nn

nn

m

m mn nn

kn n

kn nkm mkm m

n n n

n

nn

m n mn

n n

n

x y n k m n k m

x x

x x

x x x

x x x x

x y x y

x x

yy

x x

x y x y

Ιδιότητες απόλυτων τιμών

2

, αρτιος)

τριγωνική ανισότητα

0 0

,

(

,

( )

ή

n nn n

x x

x y y x

xxx y x y

y y

x x

x y x y x y x y

x y x y x y

x y y x x y x y

Αν 0 τότε:

0 0 0

0 0 0

ή

ή

x x

x x x

x x x x x

x x x x x x

Ιδιότητες ανισώσεων

1 1( 0)

( , , , 0)

, ( , , 0)n n

a b a ba b

a ba c b d

c d

a bac bd a b c d

c d

a b a b n a b

σελ. 4 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Εξισώσεις

Η εξίσωση xn = a

0a 0a

n περιττός

Μοναδική λύση:

nx a

Μοναδική λύση :

nx a

n άρτιος

Δύο λύσεις:

nx a

Αδύνατη

Ως παράδειγμα, ας λύσουμε τις παρακάτω απλές

εξισώσεις:

3 333

3 33

4 444

4

27 27 3 3

27 27 27 3

16 16 2 2

16 αδύνατη

x x

x x

x x

x

Εξισώσεις 2ου βαθμού με έναν άγνωστο – Τύποι Vietta

Σε προηγούμενη τάξη μάθαμε να λύνουμε με διακρίνουσα την εξίσωση με γενική μορφή

2 0

, , , 0

x x

Αν η εξίσωση έχει 0 και άρα δύο διαφορετικές λύσεις 1 2,x x , τότε ισχύουν οι τύποι Vietta:

1 2

1 2

2 2 0

bS x x

a

cP x x

a

ax bx c x Sx P

Εξισώσεις με κλάσματα

Για να λύσουμε μια εξίσωση που περιέχει κλάσματα

ακολουθούμε συγεκριμένα βήματα. Ας τα δούμε με ένα

παράδειγμα:

2

4

1

x

x x x

1. Βρίσκουμε τις νόμιμες τιμές που μπορεί να πάρει το x :

21 0 και 0

1 και ( 1) 0

1 και 0

x x x

x x x

x x

2. Παραγοντοποιουμε τους παρονομαστες:

4

1 ( 1)

x

x x x

3. Απλοποιουμε και λυνουμε την εξισωση:

2

4

1 ( 1)

4

4

2

x

x x x

xx

x

x

Εξισώσεις με απόλυτες τιμές

Για να λύσουμε μια εξίσωση που περιέχει

απόλυτες τιμές συνήθως εφαρμόζουμε τις

παρακάτω ιδιότητες:

2

ή

ή

x a x a x a

x a x a x a

x x

Παραδειγμα:

2

2

2 1 3 5

( 1) 3 5

1 3 5

άρα:

1 3 5 2

ή

31 3 5

2

x x x

x x

x x

x x x

x x x

σελ. 5 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Ανισώσεις

Ανισώσεις 1ου βαθμού με απόλυτες τιμές

Για να λύσουμε τετοιες ανισωσεις χρησιμοποιούμε κατάλληλα

τις ιδιότητες των απόλυτων τιμών:

4 5

5 4 5

5 4 5 4

1 9

[ 1,9]

x

x

x

x

x

Ανισώσεις 2ου βαθμού

Έστω ότι έχουμε δύο ανισώσεις των οποίων το ένα μέλος είναι τριωνυμο και το άλλος μέλος 0:

2

2

4 5 0

6 0

x x

x x

Για να βρούμε που συναληθεύουν οι δύο ανισώσεις ακολουθούμε την παρακάτω

διαδικασία:

1. Βρίσκουμε τη διακρίνουσα των πολυωνύμων. Αν κάποιο έχει 0 αυτό σημαίνει ότι

το αντίστοιχο πολυώνυμο έχει σταθερό πρόσημο σε όλους τους πραγματικούς.

2. Αν και τα δύο πολυώνυμα έχουν 0 τότε τα παραγοντοποιούμε και σημειώνουμε τις

ρίζες τους. Στο παράδειγμά μας θα είναι:

2

2

4 5 5 1 0 ρίζες : 1, 5

6 2 3 0 ρίζες : 2, 3

x x x x

x x x x

3. Σχεδιάζουμε τους πίνακες προσήμων σημειώνοντας σε κάθε κουτί – διάστημα το αντίστοιχο πρόσημο όλων των παραγόντων που μας ενδιαφέρουν.

Τονιζουμε οτι στον οριζοντιο αξονα x τοποθετουμε τις ριζες του καθε πολυωνυμου.

4. Βρίσκουμε τις λύσεις της κάθε ανίσωσης και βλέπουμε σε ποιό

διάστημα συμπίπτουν:

Η 1η ανίσωση έχει ως λύσεις όλα τα x που ανήκουν στο διάστημα

( 1,5) .

Η 2η ανίσωση αληθεύει για όλα τα x που ανήκουν στο διάστημα

( , 2] [3, ) .

Οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν στο διάστημα [3,5) .

Ανισώσεις γινόμενο & πηλίκο

Μια ανίσωση της οποίας το ένα μέλος είναι γινόμενο ή πηλίκο

παραγόντων και το άλλο μέλος 0, λύνεται με κατάλληλο πίνακα

προσήμων.

Συχνα ειναι απαραιτητο να φερουμε την ανισωση στην

επιθυμητη μορφη. Για παραδειγμα:

2 4 2 44 4 0

1 1

4 12 40

1 1

2 4 4 10

1

6 80

1

x x

x x

xx

x x

x x

x

x

x

Τώρα μπορούμε να βρούμε τις λύσεις με κατάλληλο πίνακα

τιμών.

Υπενθυμιση: Αποφευγουμε να πολλαπλασιάσουμε ή

διαιρέσουμε μια ανίσωση με μεταβλητή γιατι υπάρχει σοβαρό

ενδεχόμενο να οδηγηθούμε σε λάθος.

σελ. 6 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Ανισώσεις 2ου βαθμου (γραφικη λυση)

Μπορουμε να λυσουμε μια ανισωση 2ου βαθμου με τη βοηθεια του παρακατω σχηματος:

Για παραδειγμα, εστω οτι θελουμε να βρουμε το προσημο του πολυωνυμου 2 6 5P x x . Τοτε:

1

2

0

9

5

1

x

x

Αρα:

0 για ( 5, 1)

0 για ( , 5) (1, )

P x

P x

Προσοχη: Η μεθοδος αυτη δουλευει μονο για ανισωσεις 2ου βαθμου και οχι για ανισωσεις γινομενο η πηλικο.

σελ. 7 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Πρόοδοι

Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος

1

1,2,3,,,

0

0

1

v

Αριθμητική πρόοδος

Γεωμετρική πρόοδος

Αναδρομικός τύπος 1 1

Ευθύς τύπος

1 1 1

1

Άθροισμα 1 1 1... 2 ( 1)2 2

v vS

1 1

1...

1S

«Τυπος ανατοκισμου»

Μια γεωμετρική πρόοδος που εμφανίζεται συχνά σε διάφορες εφαρμογές είναι

η εξής: Έστω ότι έχουμε ένα ποσό το οποίο αρχικά έχει την τιμή και αυξάνεται

(ή μειώνεται) με σταθερό ρυθμό , όπου κάποιο ποσοστό επί τοις εκατό. Σε

κάθε βήμα έχουμε:

1

2 1 1 1

3 2 2 2

1

1

1

....

1

Συνεπώς η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με ευθύ τύπο:

1 1

1 1 1 1

1

Αριθμητικός μέσος

Έστω μια αριθμητική πρόοδος και 3 διαδοχικοί

όροι της , , . Ο όρος ονομάζεται

αριθμητικός μέσος των , .

Αποδεικνύεται ότι 3 αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι

μιας αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν

2

Γεωμετρικός μέσος

Έστω μια γεωμετρική πρόοδος και 3

διαδοχικοί όροι της , , . Ο όρος

ονομάζεται γεωμετρικός μέσος μέσος των

, .

Αποδεικνύεται ότι 3 αριθμοί είναι διαδοχικοί

όροι μιας αριθμητικής προόδου αν και μόνο

αν

2

σελ. 8 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Συναρτήσεις

Ορισμός συνάρτησης

Συνάρτηση f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας

(τύπος) με τον οποίο κάθε στοιχείο x του Α αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα

στοιχείο ( )y f x του Β.

Το x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και τo y η εξαρτημένη μεταβλητή. Το

( )f x ονομάζεται και τιμή της f στο x .

Το σύνολο Α ονομάζεται σύνολο ορισμού και το σύνολο B σύνολο τιμών:

: να ορίζεται

( ) ( ) : A

x f

f f x x

Αν για κάποια συνάρτηση δεν είμαστε σίγουροι ποιό ακριβώς είναι το σύνολο

τιμών μπορούμε πάντα να θεωρήσουμε ότι .

Με βάση τον παραπάνω ορισμό απαγορεύεται μια συνάρτηση να έχει δύο

τιμές για το ίδιο x . Με άλλα λόγια δε μπορεί να ισχύει ( )f x a και

( )f x b με a b για κανένα x . Όμως μπορεί ένα συγκεκριμένο ( )f x να

αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά x .

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τη συνάρτηση 2( )f x x . Το x μπορεί να είναι

οποιοσδήποτε πραγματικός, άρα . Όποια τιμή και αν πάρει το x , το

( )f x θα είναι πάντα θετικός ή 0, άρα 2 : [0, )x x . Θα

γράψουμε λοιπόν:

2

: [0, )

( )

f

f x x

Παρατηρήστε ότι για τη συγκεκριμένη συνάρτηση δύο διαφορετικά x μπορεί

να αντιστοιχούν στο ίδιο y , πχ: 4 (2) ( 2)y f f .

Γραφική παράσταση συνάρτησης

Η γραφική παράσταση fC μιας συνάρτησης f στους άξονες είναι όλα τα ζευγάρια , ( ) :x f x x . Με άλλα λόγια, η γραφική

παράσταση είναι όλα τα σημεία ,x y στο επίπεδο που επαληθεύουν τον κανόνα της συνάρτησης.

Για να είναι μια καμπύλη γραφική παράσταση συνάρτησης πρέπει κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα y να τέμνει την καμπύλη το πολύ

σε ένα σημείο.

Στο διπλανό σχέδιο βλέπουμε πως μοιάζει μια καμπύλη που είναι συνάρτηση

(μπλέ χρώμα) και μια καμπύλη που δεν είναι συνάρτηση (κόκκινο χρώμα).

Έστω ότι έχουμε δύο συναρτήσεις ,f g . Τότε ισχύουν τα παρακάτω:

Η λύση της εξίσωσης ( ) ( )f x g x (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα x στα οποία τέμνονται οι καμπύλες ,f gC C .

Η λύση της ανίσωσης ( ) ( )f x g x (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα x για τα οποία η fC βρίσκεται κάτω από τη gC .

Αντίστοιχα για την ανίσωση ( ) ( )f x g x .

Η λύση της εξίσωσης ( ) 0f x (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα x στα οποία η fC τέμνει τον άξονα x .

Η λύση της εξίσωσης (0)y f (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα y στα οποία η fC τέμνει τον άξονα y .

Η λύση της ανίσωσης ( ) 0f x (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα x για τα οποία η fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα x .

Αντίστοιχα για την ανίσωση ( ) 0f x .

σελ. 9 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Η συνάρτηση f(x) = ax + b (ευθεία)

Σε προηγούμενες τάξεις είχαμε αναφερθεί στη συνάρτηση

( )y f x ax b

x

και είχαμε πει ότι η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία. Υπενθυμίζουμε ότι ο συντελεστής του x , το a , ονομάζεται κλίση της ευθείας ή συντελεστής διεύθυνσης.

Από την τριγωνομετρία προκύπτει ότι αν είναι η γωνία (κατά τη θετική φορά) που σχηματίζει η ευθεία με τν άξονα x , τότε:

Αν 00 τότε 0a και η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x .

Αν 0 00 ,90 (οξεία γωνία) τότε 0a .

Αν 0 090 ,180 (αμβλεία γωνία) τότε 0a .

Αν 090 (ορθή γωνία) τότε a (η κλίση είναι άπειρη) και η

ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y .

Σε κάθε περίπτωση, αν 1 1,x y και 2 2,x y είναι δύο οποιαδήποτε σημεία μιας ευθείας τότε ισχύει

2 1

2 1

εφy y

ax x

Τέλος, αν δύο ευθείες έχουν συντελεστές διεύθυνσης 1 2,a a ισχύουν τα παρακάτω:

Οι ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν 1 2a a .

Οι ευθείες είναι κάθετες αν και μόνο αν 1 2 1a a .

σελ. 10 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Πιθανότητες

Σύνολα

Σύνολο είναι μια ομάδα που περιέχει διάφορα στοιχεία. Για παράδειγμα:

{θετικοί ακέραιοι αριθμοί μαζί με το 0} {0,1,2,3,4,5,...}

{ακέραιοι αριθμοί} {...., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,....}

{πραγματικοί αριθμοί} {όλοι οι ρητοί και όλοι οι άρρητοι}

Ένα σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται ως {} .

Δύο σύνολα λέγονται ίσα αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία.

Αν ένα στοιχείο x ανήκει σε ένα σύνολο X , αυτό το συμβολίζουμε ως x X . Αν ένα στοιχείο x δεν ανήκει

σε ένα σύνολο X , τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό x X . Ο συμβολισμός αυτός είναι

πολύ χρήσιμος ως προς την εκφραση συνολων:

{ρητοί αριθμοί} : , , 0

άρρητοι { : }

aa b b

b

x x

Έστω ότι έχουμε δύο σύνολα, το σύνολο των ακέραιων και των φυσικών. Εφόσον κάθε φυσικός είναι και

ακέραιος (με άλλα λόγια κάθε στοιχείο του περιέχεται στο ) λέμε ότι το είναι υποσύνολο του και το

γεγονός αυτό το συμβολίζουμε ως .

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε όλα τα γνωστά σύνολα με ένα κατατοπιστικό διάγραμμα Venn:

Πράξεις με σύνολα

Ας πάρουμε δύο απλά υποσύνολα των φυσικών, τα Α = {1, 2, 3} και Β = {2, 3, 4, 5}.

Η τομή των Α, Β είναι ένα καινούργιο σύνολο που περιέχει όλα εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν και στο Α και

στο Β. Με άλλα λόγια, η τομή περιέχει (μόνο) τα κοινά στοιχεία των συνόλων και συμβολίζεται ως εξής:

{2,3}

Η ένωση των Α, Β θα είναι επίσης ένα καινούργιο σύνολο που περιέχει όλα τα κοινά στοιχεία και όλα τα μη

κοινά στοιχεία:

{1,2,3,4,5}

Το συμπλήρωμα (ή αντίθετο) του Α θα είναι εκείνο το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν

στο αλλά δεν ανήκουν στο Α:

{4,5,6,7,8,....}

Τα αντίστοιχα διαγράμματα Venn θα είναι:

Παρατηρήστε ότι , .

σελ. 11 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Πείραμα τύχης - δειγματικός χώρος – ενδεχόμενα

Σε ένα πείραμα τύχης (πχ ρίψη ζαριού 6 πλευρών), δειγματικός

χώρος Ω ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών

αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα αν ρίξουμε ένα ζάρι μια φορά ο

δειγματικός χώρος ειναι Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Αν ριξουμε το ζαρι δυο

φορες τοτε ο δειγματικος χωρος περιεχει 36 δυνατα ζευγαρια

αποτελεσματων:

Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ονομάζεται ενδεχόμενο. Για

παράδειγμα το ενδεχόμενο Α = { να φέρουμε τον ίδιο αριθμό και στις

δυο ρίψεις} είναι το υποσύνολο Α = { (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5),

(6,6) } . Λέμε ότι οι ευνοικές περιπτώσεις ώστε να πραγματοποιηθεί το

ενδεχόμενο Α είναι 6 και γραφουμε Ν(Α) = 6.

Ένα ενδεχόμενο που είναι απίθανο να πραγματοποιηθεί (πχ το

ενδεχόμενο να φέρουμε 7) λέγεται αδύνατο. Ένα αδύνατο ενδεχόμενο

είναι ίσο με το κενό σύνολο .

Ένα ενδεχόμενο που είναι αδύνατον να μην πραγματοποιηθεί (πχ να

φέρουμε αριθμό κάτω από 10 στο ζάρι) ονομάζεται βέβαιο. Το

βέβαιο ενδεχόμενο ισούται με το δειγματικό χώρο Ω.

Εφόσον τα ενδεχόμενα είναι σύνολα μπορούμε να πάρουμε την

ένωση, την τομή και το συμπλήρωμα ενδεχομένων.

Δύο ενδεχόμενα που δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο (η τομή τους

είναι το κενο συνολο ) ονομάζονται ασυμβίσβαστα ή ξενα μεταξυ

τους. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι αδύνατον να συμβούν

ταυτόχρονα.

Ενα ενδεχομενο Α λεγεται υποσυνολο ενος ενδεχομενου Β ( )

αν η πραγματοποιηση του Α συνεπαγεται την πραγματοποιηση του

Β. Στο παραδειγμα μας, αν Β = { το ενδεχομενο να φερουμε αθροισμα

ζυγο αριθμο } τοτε προφανως ισχυει .

Ειναι προφανες οτι για καθε δυο ενδεχομενα ισχυει

, .

Κλασσικός ορισμός πιθανότητας

Σε ένα πείραμα τύχης ορίζουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου ως εξής:

πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων αριθμός στοιχείων του Α ( )( )

πλήθος δυνατών περιπτώσεων αριθμός στοιχείων του ( )

NP

N

Αρα λοιπον η πιθανοτητα να φερουμε διπλες στο ταβλι (βλ. διπλα) ειναι ( ) 6

( ) 0,1666 16.7%( ) 36

NP

N

Θεωρουμε οτι ενα βέβαιο ενδεχόμενο έχει εξορισμου πιθανότητα 1 = 100 % και ενα αδύνατο ενδεχόμενο έχει εξορισμου πιθανότητα 0 = 0 % .

Για καθε δυο ενδεχομενα , ισχύουν τα εξής:

Το ενδεχομενο να συμβει τουλαχιστον ενα απο τα , Β ισουται με .

Το ενδεχομενο να συμβει ταυτοχρονα και το και το ισουται με .

Το ενδεχομενο να μην συμβει το ονομαζεται συμπληρωμα του και γραφεται .

Το ενδεχομενο να συμβει το και να μην συμβει το γραφεται ως .

Το ενδεχομενο να μην συμβει κανενα απο τα , γραφεται ως

To εδεχομενο να συμβει μονο το ή μονο το γραφεται ως

Προσθετικος νομος: ( ) ( ) ( ) ( )P P P P

( ) ( ) 1P P

P P P

Ας παρουμε ως παραδειγμα το του διπλανου παραδειγματος και = { το ενδεχομενο να φερουμε αθροισμα εως και 4 } = { (1,1), (1,2), (2,1),

(2,2) } . Τοτε:

6 4( ) , ( )

36 36P P

{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,1)} 8

( )36

P

{(1,1),(2,2)} 2

( )36

P

8 6 4 2( ) ( ) ( ) ( )

36 36 36 36

4{(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

36

4 6 2

36 36 36

P P P P

P

P P P

σελ. 12 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Διαγραμματα Venn

Οι βασικες πραξεις μεταξυ ενδεχομενων μπορουν να παρασταθουν με διαγράμματα

(Venn):

Γενικός (αξιωματικος) ορισμός πιθανότητας

Έστω ένας δειγματικός χώρος 1 2{ , ,... } του

οποίου τα στοιχεία δεν είναι κατανάγκη ισοπίθανα.

Αποδεικνύεται ότι κάθε απλό ενδεχόμενο της μορφής { }i

αντιστοιχεί σε κάποιον πραγματικό iP που ονομάζεται

πιθανότητα του ενδεχομένου { }i .

Επιπλέον ισχύουν τα εξής:

1

1 1

0 1

... 1

0

{ ,... } ...

i

k k

P

P P P

P

x x P X P x P x

Γενικες ιδιότητες της πιθανότητας

1

P P P P

P P P P

P P

P P

P P P

σελ. 13 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

σελ. 14 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Ασκησεις Aλγεβρας

Σωστο / Λαθος

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη σωστή (Σ) ή λάθος (Λ).

Η εξίσωση α x+β = 0 ειναι αδυνατη για β = 0 και α 0.

Αν α < 0 και β < 0 τότε |α + β | = |α| + |β|.

Για κάθε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει η σχέση |α β | = |α| |β|.

Αν 0 και *, τότε ισχύει

.

Αν για κάθε α , β ισχύει |α + β | = |α| + |β|, τότε α β > 0

Αν α ≠ β τοτε |α| |β| .

Για κάθε a ισχύει 2a a .

Αν α ≠ 0 ή β ≠ 0 η εξίσωση αx + β = 0 δεν είναι ταυτότητα

Αν η διακρινουσα ενος πολυωνυμου ειναι αρνητικη, τοτε το πολυωνυμο παιρνει μονο θετικες τιμες.

Η παρασταση 2

2 5 ισουται με 2 5 .

Προοδοι

Αν

4

84

2 , 2

1 3 1 3 1 3x y

, να συγκριθούν οι αριθμοί 1,x y .

Hint: Μπορούμε να θέσουμε 8 3z και να χρησιμοποιοήσουμε τον τύπο αθροίσματος όρων γεωμετρικής προόδου.

σελ. 15 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Εξισωσεις που αναγονται σε δευτεροβαθμιες

σελ. 16 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Παραμετρικες

.

Δίνεται η εξίσωση 2 1 0 ( 2)x x .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

β) Αν 1 2,x x ειναι οι ριζες της εξισωσης, να υπολογίσετε τις παραστάσεις 1 2x x και 1 2x x .

γ) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να ισχύει η ισοτητα 2 2

1 2 1 23 3 3x x x x

Δίνεται η εξίσωση 22 1 2 1 0x x .

Για ποιες τιμές του ειναι η ειναι εξίσωση 2ου βαθμού;

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε .

Λυστε την εξισωση για 2 .

Αν 1 2,x x είναι οι ρίζες της αρχικης εξισωσης να βρεθούν οι τιμές του

1

2 που ικανοποιούν την ανισότητα 21

21

311

xxxx

Δινεται η εξίσωση 2 24 4 2 36 0x x .

Να βρείτε, με τη βοήθεια των τύπων Vietta, για ποιές τιμές της παραμέτρου η εξίσωση έχει:

Δύο διαφορετικές ετερόσημες ρίζες (απάντηση: -6 < < 6)

Δύο διαφορετικές θετικές ρίζες (απάντηση: 6 < < 10)

σελ. 17 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Απολυτες τιμες

Δίνονται οι παραστάσεις Α = 21 x και Β= 12 x

Α. Να λυθούν οι εξισώσεις :

Α = 0

Β = -1

Β. Να βρείτε τις τιμές το x που ικανοποιούν τις παραστάσεις

Α ≤ 0

Β > 0

Γ. Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης Α = 2Β

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

21

4

2 8 6

5 9

2 21

3 5 2

x

x

x x

x x

x x

σελ. 18 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Συναρτησεις

Δίνεται η συνάρτηση

2

2

7 12( )

1

x xf x

x

Να βρείτε το συνολο ορισμου της f.

Να βρείτε τα σημεία τομής της f με τους αξονες.

Να βρείτε τις τιμές του x ώστε η γραφική παράσταση της f(x) να είναι κάτω από τον άξονα x.

Για τις παρακατω συναρτησεις να βρειτε

τα συνολα ορισμου και τα σημεια τομης

με τους αξονες (αν υπαρχουν):

2

2

2

4

3

3

2

2

6 3

2

2

2

2

2

2

( ) 4 16

( ) 2 7 4

( ) 6

( ) ( 2)( 3)

( ) 64

( ) 27

( ) 8

( ) 4 3 1

( ) 1

( ) 6 6

( ) 5

( ) 5

( ) 4

( ) 6 9

1( )

1( )

1

2( )

9

1( )

2 3

1( )

f x x

f x x x

f x x x

f x x x

f x x

f x x

f x x

f x x x

f x x x

f x x x

f x x

f x x

f x x

f x x x

f xx

f xx

f xx

f xx x

f x

2

( ) 1

8 1( )

4 3 1

x x

f x x x

xf x

x x

Για τα παρακατω ζευγαρια συναρτησεων

να βρειτε τα σημεια τομης τους (αν

υπαρχουν):

2

2

2

( ) 5 4

( ) 2 6

( ) 2 4 1

( ) 11 5

( ) 5 2 3

( ) 2 4

f x x x

g x x

f x x x

g x x

f x x x

g x x

Δίνεται η συνάρτηση

3

2

4( )

2

x xf x

x x

Να βρείτε το συνολο ορισμου και να την απλοποιησετε.

Βρειτε την τιμη του x για την οποια η τιμη της συναρτησης ισουται με το ετος γεννησης σας.

Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 2 2 2 , {2}f x x x

Να γραψετε το πεδιο ορισμου της συναρτησης.

Να αποδειξετε οτι για καθε επιτρεπτο η συναρτηση εχει δυο διαφορετικα σημεια τομης με τον αξονα x.

Για 4 :

Να λυσετε την εξισωση ( ) 2 2f x x

Να αποδειξετε οτι ο αριθμος

4 (5) 2

(4) 1 (0) 1

fa

f f

ειναι ρητος.

Βρειτε τα x για τα οποια η f βρισκεται πανω απο τη διχοτομο της 4ης και 2ης γωνιας των

αξονων.

Δίνεται η συνάρτηση

22 7 15 4 4( )

8 12

x x xf x

x

Να γραψετε το πεδιο ορισμου της συναρτησης και να την απλοποιησετε.

Να βρειτε τα x για τα οποια η f βρισκεται κατω απο τον οριζοντιο αξονα x

Να αποδειξετε οτι 3(3) 8 (4)

5 7 3(2) 3

f f

f

.

Δίνεται η συνάρτηση

2( ) 2 3 1f x x x

Να γραψετε το πεδιο ορισμου της συναρτησης.

Να βρειτε τα x για τα οποια η f ειναι αρνητικη.

Να Βρειτε τα x για τα οποια η f βρισκεται πανω απο την ευθεια 1y . .

σελ. 19 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

σελ. 20 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Γεωμετρια

Στοιχεια τριγωνου

σελ. 21 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Κριτηρια ισοτητας τριγωνων

σελ. 22 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Παραλληλογραμμα

σελ. 23 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Εφαρμογες στα τριγωνα

σελ. 24 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Εφαρμογες στα ορθογωνια τριγωνα

σελ. 25 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Κυκλος

σελ. 26 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu

Επιλεγμενες ασκησεις απο το βιβλιο

Ερωτησεις κατανοησης:

σελ. 99: 1, 3, 4, 5

σελ 103: 1,5

σελ 110 1, 2, 3, 4

Ασκησεις εμπεδωσης:

Σελ. 43, 3

Σελ. 111: 1, 2, 3, 4, 7

Αποδεικτκες ασκησεις:

σελ 43:

σελ. 111: Αποδεικτικες 2, 3 .

Συνθετα θεματα

σελ. 43: 3

σελ. 111: 5

Hints ακησεων βιβλιου

Κεφαλαιο 5, Ασκησεις σελ. 111 – 112

Αποδεικτικες

1. i) ΕΑΖ = ΕΔΖ

2. Φερτε και την αλλη διαγωνιο (κεντρο = Κ) και δουλεψτε στα τριγωνα ΔΒΓ και ΗΕΓ για να δειξετε οτι Η

μεσο ΚΓ.

3. Το τριγωνο ΜΑΓ ειναι ισοσκελες και το τριγωνο ΑΒΔ ειναι ορθογωνιο.

4. Το ΕΒΔΖ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες παραλληλες και ισες). Αν Τ σημειο τομης

ΔΕ, ΑΓ και Ρ σημειο τομης ΖΒ, ΑΓ, δουλεψτε στα τριγωνα ΔΤΓ, ΑΡΒ.

5. Οπως η 4.

6. Θεωρηστε το μεσο Ζ της ΕΓ και φερτε την ΜΖ. Δουλεψτε πρωτα στο τριγωνο ΒΕΓ και υστερα στο

ΑΜΖ.

7. i) Παρατηρηστε το τριγωνο ΑΔΕ.

ii) Αν Κ μεσο ΑΗ, φερτε την ΚΒ. Τοτε στο ΑΗΕ, ΚΒ // ΗΕ -> ΚΒ // ΗΖ. Απο τριγωνο ΚΒΓ και λογω i),

πρεπει Η μεσο ΚΓ.

8. i) ΑΜΔ ισοσκελες (γωνιες βασεις = 30)

ii) Εστω Ζ μεσο ΔΒ. Φερνουμε τη ΜΖ και παρατηρουμε οτι ΜΔΖ ισοπλευρο, αρα ΜΔ = ΑΔ = ΔΖ = ΖΒ.

9. Εστω οτι η ΚΖ τεμνει την ΕΗ στο Μ. Αρκει νδο οτο αθροισμα των αλλων δυο γωνιων του ΗΜΚ ειναι

90. Παρατηρηστε οτι τα ΗΕΒ και ΚΖΒ ειναι ισοσκελη, αρα ΜΗΚ γωνια = ΕΒΚ γωνια και ΖΚΒ γωνια =

ΚΒΖ γωνια. Επισης, ΗΚΜ γωνια = ΖΚΒ γωνια ως κατακορυφην. Τελος, ΑΒΓ γωνια = 90.

Συνθετα θεματα

1. Προεκτεινετε τη ΒΕ και παρατηρηστε οτι ΑΒΖ ισοσκελες (διχοτομος = υψος).

Αποδειξτε τις παρακατω προτασεις:

Το αθροισμα των γωνιων καθε τριγωνου

ισουται με 1800.

Καθε σημειο της διχοτομου μιας γωνιας

ισαπεχει απο τις πλευρες της γωνιας.

Καθε σημειο της μεσοκαθετου ενος

ευθυγραμμου τμηματος ισαπεχει απο τα ακρα

του ευθυγραμμουυ τμηματος.