Προσδιοριστικές...

Click here to load reader

  • date post

    21-May-2020
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Προσδιοριστικές...

  • Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας

    1

    The Product Mix Problem

    Τα προβλήματα αυτά αναφέρονται σε συστήματα τα οποία εκμεταλλευόμενα τους περιορισμέ- νους πόρους που έχουν στη διάθεσή του, παράγουν διάφορα προϊόντα. Η (βέλτιστη) απόφαση που αναζητείται αφορά τον εντοπισμό του πλήθους των τεμαχίων που πρέπει να παράγονται από το κάθε προϊόν -επιλογή συνδυασμού παραγωγής προϊόντων- ώστε να βελτιστοποιείται κάποιο κριτήριο επίδο- σης (π.χ. μεγιστοποίηση των κερδών του συστήματος για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο).

    Μια εταιρεία παράγει τέσσερις τύπους κορνιζών για φωτογραφίες οι οποίες διαφέρουν μεταξύ τους ως προς το σχήμα, το μέγεθος και το υλικό από το οποίο κατασκευάζονται. Για την κατασκευή τους, πέ- ραν φυσικά του χρόνου εργασίας, απαιτείται επίσης μέταλλο και γυαλί:

    Είδος Κορνίζας Ανθρωποώρες Μέταλλο Γυαλί Τύπος Α 2 4 6 Τύπος Β 1 2 2 Τύπος Γ 3 1 1 Τύπος Δ 2 2 2

    Για την εβδομάδα που έρχεται, η εταιρεία έχει εξασφαλίσει 4000 ανθρωποώρες, 6000 κιλά μετάλλου και 10000 κιλά γυαλιού, ενώ ξέρει ότι η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερες από 1000 κορνίζες τύπου Α, 2000 κορνίζες τύπου Β, 500 κορνίζες τύπου Γ και 1000 κορνίζες τύπου Δ. Αν το κέρδος (: τιμή πώλησης μείον κόστος παραγωγής και διάθεσης) από την κάθε κορνίζα τύπου Α ανέρ- χεται στις 4 χρηματικές μονάδες, από την κάθε κορνίζα τύπου Β στις 2 χ.μ., από την κάθε κορνίζα τύπου Γ στις 4 χ.μ. και από την κάθε κορνίζα τύπου Δ στις 3 χ.μ. υποδείξτε τη γραμμή παραγωγής η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος. Λύση

    Ας είναι x1 ο αριθμός των κορνιζών τύπου Α που θα κατασκευαστούν, x2 ο αριθμός των κορνι- ζών τύπου Β, x3 ο αριθμός των κορνιζών τύπου Γ και x4 ο αριθμός των κορνιζών τύπου Δ. Τότε το συνολικό κέρδος ανέρχεται σε

    4x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 χρηματικές μονάδες, και φυσικά θα πρέπει να μεγιστοποιηθεί.

    Οι περιορισμοί του προβλήματος προκύπτουν αφενός μεν από τη διαθεσιμότητα των αναγκαίων πόρων για την κατασκευή των τεσσάρων τύπων φωτογραφικών κορνιζών (χρόνος εργασίας, ποσότητα μετάλλου, ποσότητα γυαλιού), αφετέρου δε από την απορροφητικότητα της αγοράς. Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, για την εβδομάδα τη βέλτιστη γραμμή παραγωγής της οποίας αναζητάμε, υπάρχουν διαθέσιμες 4000 ανθρωποώρες, 6000 κιλά μετάλλου και 10000 κιλά γυαλιού. Συνεπώς θα πρέπει:

    2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 4000 διαθέσιμες ανθρωποώρες 4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 ≤ 6000 διαθέσιμη ποσότητα μετάλλου, κιλά 6x1 + 2x2 + x3 + 2x4 ≤ 10000 διαθέσιμη ποσότητα γυαλιού, κιλά

    Αναφορικά τώρα με την απορροφητικότητα της αγοράς, υπάρχει η δυνατότητα για την πώληση το πολύ 1000 κορνιζών τύπου Α, 2000 κορνιζών τύπου Β, 500 κορνιζών τύπου Γ και 1000 κορνιζών τύ- που Δ:

    x1 ≤ 1000 μέγιστες πωλήσεις κορνιζών τύπου Α x2 ≤ 2000 μέγιστες πωλήσεις κορνιζών τύπου Β x3 ≤ 500 μέγιστες πωλήσεις κορνιζών τύπου Γ x4 ≤ 1000 μέγιστες πωλήσεις κορνιζών τύπου Δ

    ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 28/05/2007

  • Θέματα Εργασίας Γραμμικού Προγραμματισμού

    2

    Επιπλέον, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η μη αρνητικότητα των μεταβλητών : x1, x2 , x3, x4 ≥ 0

    Συνοψίζοντας, το γραμμικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζει η εταιρεία αφορά τον :

    Η μεταφορά του μοντέλου αυτού σ’ ένα φύλο εργασίας του Excel θα πρέπει να γίνει με την ίδια λογι- κή που αναπτύχθηκε και στο χαρτί (εικόνα 1):

    Στα κελιά C6:F8 τοποθετούνται τα δεδομένα του προβλήματος που αφορούν την κατανάλωση σε πρώτες ύλες μιας μονάδος του κάθε διαφορετικού προϊόντος (: τύπος φωτογραφικής κορνίζας Α, Β, Γ ή Δ). Στα κελιά J6:J8 βρίσκονται οι διαθέσιμες ποσότητες των τριών πρώτων υλών που χρησιμοποιούνται στη διαδικασία παραγωγής, ενώ στα κελιά C20:F20 η μέγιστη απορροφητικό- τητα της αγοράς ανά προϊόν.

    Οι μεταβλητές απόφασης, το πλήθος από τον κάθε τύπο κορνίζας που πρέπει να κατασκευαστεί, βρίσκονται στα κελιά C18:F18.

    Οι απαιτήσεις σε χρόνο εργασίας για την κατασκευή των x1 κορνιζών τύπου Α, x2 κορνιζών τύ- που Β, x3 κορνιζών τύπου Γ και x4 κορνιζών τύπου Δ βρίσκονται στο κελί Η6: = SUMPRODUCT(C6:F6;C18:F18)

    Ανάλογες σχέσεις έχουν δοθεί και για τις υπόλοιπες πρώτες ύλες (μέταλλο και γυαλί) στα κελιά Η7:Η8.

    Το συνολικό κέρδος που πρέπει να μεγιστοποιηθεί, προκύπτει από τη σχέση του κελιού Η11: = SUMPRODUCT(C11:F11;C18:F18)

    Το μέγιστο δυνατό κέρδος ανέρχεται σε 7200 χ.μ. και προκύπτει από την παραγωγή 1000 κορ-

    νιζών τύπου Α, 800 κορνιζών τύπου Β, 400 κορνιζών τύπου Γ και 0 κορνιζών τύπου Δ. Το κέρδος από κάθε κορνίζα τύπου Δ θα πρέπει να αυξηθεί κατά 0.2 χρηματικές μονάδες1 προκειμένου να ξεκινήσει η παραγωγή του. Η βέλτιστη λύση αφήνει ανεκμετάλλευτα 200 κιλά γυαλιού ενώ ο αντικειμενικός συντελεστής c1 συμπίπτει με το κάτω άκρο του εύρους αριστότητάς του. Κατά συνέπεια το πρόβλημα έχει εναλλακτική βέλτιστη λύση. 1 Στο Excel, ως κόστος ευκαιρίας θεωρείται η μείωση που θα υποστεί η τιμή Ζ της αντικειμενικής συνάρτησης αν εξαναγκάσουμε κάποια μεταβλητή να συμμετάσχει στη βέλτιστη λύση: γι αυτό και το αρνητικό πρόσημο -0.2.

    προσδιορισμό εκείνων των τιμών για τις μεταβλητές x1, x2, x3, x4 οι οποίες επιτυγχάνουν να maximize Ζ = 4x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4

    κάτω από τους περιορισμούς: 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 4000 4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 ≤ 6000 6x1 + 2x2 + x3 + 2x4 ≤ 10000

    x1 ≤ 1000 x2 ≤ 2000

    x3 ≤ 500 x4 ≤ 1000

    x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0

    ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 28/05/2007

  • Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας

    3

    Εικόνα 1. Οι οθόνες μοντελοποίησης, επίλυσης και ανάλυσης ευαισθησίας ενός ‘product mix’ παραδείγματος στο περιβάλλον του Excel.

    ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 28/05/2007

  • Θέματα Εργασίας Γραμμικού Προγραμματισμού

    4

    Media Selection

    Το πρόβλημα της επιλογής της (άριστης) σύνθε