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CONCOURS 2006

Exercice 1

1) Etude d’une famille de fonctions

On considere les fonctions fα , ou α est un reel fixe, definies par :

∀x ∈]− 1,+∞[, fα(x) =αx

1 + x− ln(1 + x)

a) Etudier les variations des fonctions fα sur ]− 1,+∞[. On precisera les limites de fαaux bornes de l’intervalle ]− 1,+∞[.

b) Determiner les fonctions fα admettant un extremum local, et etudier le signe de fαen ce point.

c) Determiner le nombre de solutions x > −1 de l’equation fα(x) = 0.

2) Etude d’une fonction particuliere

On pose desormais f = f2, soit : ∀x ∈]− 1,+∞[, f(x) =2x

1 + x− ln(1 + x)

a) Montrer que l’equation f(x) = 0 admet exactement deux solutions a et b sur]− 1,+∞[, verifiant : −1 < a < b.Donner une valeur approchee de b a 10−2 pres.

b) Montrer que l’equation f(x) = x admet exactement une solution c > −1.

c) Montrer que : ∀x > −1, f(x) ≤ x.

3) Etude d’une suite recurrente

On considere la suite recurrente u = (un)n∈N, definie par

u0 ∈]− 1,+∞[

∀n ∈ N, un+1 = f(un) =2un

1 + un− ln(1 + un)

a) On pose I = [0, 1]. Montrer que I est stable par f .

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b) Soit u0 ∈ I fixe. Montrer que la suite u est bien definie, et que ∀n ≥ 0, un ∈ I.

c) Montrer que la suite u est monotone.

d) Demontrer que la suite u converge vers une limite `.

e) Determiner la valeur de `.

4) Etude d’une serie numerique

Soit la serie numerique∑n≥1

f

(1

n

). On pose Sn =

n∑

k=1

f

(1

k

).

a) Montrer que : ∀k ∈ N∗, ln(k + 1)− ln k ≤ 1

k

b) En deduire que : ∀k ∈ N∗, 2

k + 1− 1

k≤ f

(1

k

)

c) Quelle est la nature de la serie∑n≥1

f

(1

n

)?

5) Etude d’une nouvelle fonction

Soit la fonction ϕ definie sur R par :

{ϕ(0) = 0

∀t 6= 0, ϕ(t) =1

tln(1 + t2)

a) Montrer que ϕ est de classe C∞ sur R.

b) Pour t 6= 0, exprimer ϕ′(t) a l’aide de la fonction f .

c) Soit Φ definie par Φ(x) =

∫ x

0

ϕ(t)dt.

i) Quel est le domaine de definition de Φ ?

ii) Montrer que Φ est paire.

d) i) Soit x ∈ [1,+∞[, calculer

∫ x

1

2

tln tdt.

ii) En deduire : ∀x ≥ 1, Φ(x)− Φ(1) = (ln x)2 +

∫ x

1

1

tln

(1 +

1

t2

)dt.

iii) Justifier rapidement l’inegalite : ∀x ≥ 0, ln(1 + x) ≤ x, et en deduire :

∀x ≥ 1, 0 ≤∫ x

1

1

tln

(1 +

1

t2

)dt ≤ 1

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e) Donner un equivalent simple de Φ(x) en +∞.

f) Quelle est la nature de l’integrale impropre

∫ +∞

0

ϕ(t)dt ?

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Exercice 2

1) Recherche du Developpement en Serie de Fourier d’une fonction a l’aide deseries entieres

Dans tout l’exercice on designe par f l’application definie par

f(x) =1

8 cos x− 17

a) Justifier rapidement que f est de classe C∞ sur R.

b) On pose X = eix. Montrer qu’il existe une fonction rationnelle F telle que

∀x ∈ R, f(x) = F (X)

On rappelle qu’une fonction rationnelle est un rapport de deux fonctions polynomes.

c) On considere F la fonction rationnelle determinee a la question precedente. On noteD(F ) le domaine de definition de F , avec D(F ) ⊂ C. Determiner (a, b, r1, r2) ∈ R4

tels que :

∀z ∈ D(F ), F (z) =a

r1 − z +b

r2 − zd) Montrer qu’il existe deux series entieres S1 et S2 de rayon de convergence R > π,

telles que :

si1

R< |z| < R, F (z) = S1(z) + S2(z−1)

e) A partir de la decomposition precedente, determiner une suite (un)n∈N, telle que :

∀x ∈ R, f(x) =+∞∑n=0

un cos(nx)

f) Etudier la convergence de la serie de Fourier de f et preciser la valeur de la somme.On ne demande pas de calculer explicitement la serie de Fourier de f .

g) D’apres la question 1.e), quelle hypothese peut-on emettre sur l’expression des co-efficients de la serie de Fourier de f ?On ne demande pas de verifier cette hypothese, c’est l’objectif de la suite du probleme.

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2) Proprietes des coefficients de Fourier

Pour tout entier naturel n on note : an =1

π

∫ π

−πf(t) cos(nt)dt

a) Calculer a0. On utilisera le changement de variable : cos x =1− t21 + t2

ou t = tanx

2.

Exprimer a1 a l’aide de a0 et d’une integrale tres simple a calculer, puis determinerla valeur de a1.

b) Simplifier l’expression 4 cos(nx)+4 cos[(n+2)x

]en faisant apparaıtre cos

[(n+1)x

].

En deduire une expression de

4 cos(nx) + 4 cos[(n+ 2)x

]− 17 cos[(n+ 1)x

]

en fonction de cos[(n+ 1)x

]et cos x.

En deduire une relation de recurrence liant an+2, an+1 et an.

c) En posant Xn =

(an+1

an

), montrer que l’on a : ∀n ∈ N, Xn+1 =

(174−1

1 0

)Xn.

d) Montrer que M =

(174−1

1 0

)est diagonalisable, et en deduire une expression de

Xn en fonction de n.

e) L’hypothese de la question 1.g) est-elle verifiee ?

3) Calcul de sommes numeriques

a) A l’aide de la serie de Fourier de f calculer les sommes numeriques suivantes :

+∞∑n=1

1

4net

+∞∑n=1

(−1

4

)n

b) Verifier les resultats precedents a l’aide de series entieres ou numeriques de reference.

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Probleme

On rappelle que si on a P =d∑

k=0

akXk un polynome avec ad 6= 0, alors d est le degre de P et ad

est le coefficient dominant de P .Un polynome est dit unitaire si son coefficient dominant est egal a 1.Soit n ∈ N fixe dans tout le probleme. On rappelle que Rn[X] designe l’ensemble des polynomesa coefficients reels de degre inferieur ou egal a n.

A tout polynome P de Rn[X], on associe φ(P ) donne par

φ(P ) = P ′′ − 2XP ′

Partie I. Un endomorphisme de Rn[X].

1) Montrer que φ est un endomorphisme de Rn[X].

2) Ecrire sa matrice M dans la base canonique Bc = (1, X, . . . , Xn) de Rn[X].

3) On diagonalise ici l’endomorphisme φ.

a) Montrer que φ est diagonalisable. Donner les valeurs propres de φ.

b) En deduire que pour tout entier p ∈ {0, . . . , n}, il existe un unique polynome Hp deRn[X] unitaire, tel que

φ(Hp) = −2pHp (∗)4) On se place (uniquement dans cette question) dans le cas particulier n = 3.

Ecrire la matrice M dans ce cas particulier, et donner alors H0, H1, H2 et H3.

5) Soit p ∈ {0, . . . , n}. Notons d =deg(Hp).

En ecrivant Hp =d−1∑

k=0

akXk +Xd, et en utilisant (∗), montrer que

deg(Hp) = p, ap−1 = 0, ap−2 = −p(p− 1)

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Partie II. Une structure euclidienne sur Rn[X].

Pour tous polynomes P et Q de Rn[X], on pose

< P,Q >=

∫ +∞

−∞P (x)Q(x)e−x

2

dx

1) Montrer que < . , . > est un produit scalaire sur Rn[X].

2) a) Soient P et Q deux polynomes de Rn[X]. Calculer la derivee de x 7→ P ′(x)e−x2.

Montrer que< φ(P ), Q >= − < P ′, Q′ >

b) En deduire que pour tous polynomes P et Q de Rn[X],

< φ(P ), Q >=< P, φ(Q) >

c) Quelle est la nature de l’endomorphisme φ dans l’espace euclidien (Rn[X], < . , . >) ?

3) Une base orthogonale de l’espace euclidien (Rn[X], < . , . >).

a) Soient p et q deux entiers dans {0, . . . , n}. Deduire de II.2b que :

(p 6= q)⇒ < Hp, Hq >= 0

b) En deduire que (H0, . . . , Hn) est une base orthogonale de Rn[X].

4) Soit p ∈ {1, . . . , n}. Montrer que Hp ∈ (Rp−1[X])⊥.

Partie III. Quelques proprietes des polynomes Hp.

1) On etablit ici une relation de recurrence sur les polynomes Hp.Soit p ∈ {0, . . . , n}.

a) Soient P,Q,R trois polynomes de Rn[X]. Montrer que

< PQ,R >=< P,QR >

b) On suppose p > 2. Montrer que pour tout Q ∈ Rp−2[X], on a

< XHp, Q >= 0, puis < Hp+1 −XHp, Q >= 0

c) Justifier l’existence d’un p+ 1-uplet (α0, . . . , αp) ∈ Rp+1 tel que

Hp+1 −XHp =

p∑

k=0

αkHk

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d) En utilisant I.5 et III.1b, montrer que :

∀p ∈ {1, . . . , n}, 2Hp+1 − 2XHp + pHp−1 = 0

2) Montrer alors que si p est pair, alors Hp est pair, et que si p est impair, alors Hp estimpair.

3) On calcule ici la derivee de Hp.

a) Soit p ∈ {2, . . . , n}. Montrer que pour tout polynome Q ∈ Rp−2[X], < H ′p, Q >= 0.

b) En deduire, en decomposant H ′p suivant la base (H0, . . . , Hn), que

∀p ∈ {1, . . . , n}, H ′p = pHp−1

4) On pose U0 = 1, et pour tout p ∈ {1, . . . , n} :

Up(x) = exp(x2)dp

dxp[exp(−x2)]

a) Montrer que Up est un polynome de degre p. Calculer son coefficient dominant.

b) Calculer U ′p(x) et U ′′p (x) en fonction dedi

dxi[exp(−x2)], i ∈ {p, p+ 1, p+ 2}.

c) En deduire que

Hp =(−1)p

2pUp

Fin de l’enonce