4ei** kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr

Entwurf elektrischerMaschinen

1. Grundlagen

1.1. Großen

magnetische Großen

Durchflutung (magnetische Spannungsquelle) Θ [A]

Fluss Φ [Vs]

verketteter Fluss Ψ [Vs]

mag. Flussdichte B[

Vs

m2

]mag. Feldstarke H

[Am

]magnetische Spannung Vm [A]

magnetischer Widerstand Rm

[AVs

]Streuziffer σ [1]

elektrische Großen

Stromdichte s[

A

m2

]dielektrische Verschiebung D

[As

m2

]el. Feldstarke E

[Vm

]Strombelag a

[Am

]spezifischer Widerstand ρ [Ωm]

mechanische Großen

Drehmoment M [Nm]

Massentragheitsmoment J[kgm2

]Spulenwindungszahl wSp [1]

effektive Windungszahl weff [1]

Luftspalthohe δ [mm]

scheinbarer Luftspalt δ′ [mm]

effektiver Luftspalt δ′′ [mm]

Anzahl der Leiter pro Nut ZN [1]

Zahl der Einzelspulen (Kommutatorsegmente) ZK [1]

ideelle Eisenlange li [m]

bewickelbare Nutflache AN

[m2]

magnetisch aktiver Winkel βM [rad]

Drehzahl n[1s

]Rotornutenzahl N [1]

Rotornutenzahl pro Pol Q [1]

Anzahl paralleler Zweige a [1]

Naherungsfaktoren

Carterfaktor kC [1]

Eisenfullfaktor kFe [1]

Eisenfaktor (Magnnetisierungsbedarf Eisen) kµ [1]

Nutfullfaktor kQ [1]

Permeabilitat µ0 = 4π · 10−7 V sAm

Permittivitat ε0 = 8,854 · 10−12 A sV m

1.1.1. Allgemeine Maschinenbegriffe - Durchmesser

Achshohe

Dδm

δ

DI2

DA1

DA2

DI1 Maße

Stator Außend. DA1

Stator Innend. DI1

Rotor Außend. DA2

Rotor Innend. DI2

Mittl. Luftspaltd.D

Dδm

Luftspalthohe δ

1.1.2. Allgemeine Maschinenbegriffe - Abmessungen

hJJoch

Pol

Pol

Zahn

Nut

τN

τpbN

hN

Maße

Nutzahl N [1]

Nutteilung τN [cm]

Polpaarzahl p [1]

Polteilung τp [cm]

Nuthohe hN [cm]

Nutbreite bN [cm]

Jochhohe hJ [cm]

τN = π·DN

τp = π·D2p

1.2. Grundlegende Gleichungen1.2.1. Maxwell

rot H = s + ∂D∂t rot E = − ∂B

∂trot H = s (< 10kHz)

div B = 0 div D = γ

1.2.2. Durchflutungs- und Induktionsgesetz

Durchflutungsgesetz Induktionsgesetz

¸LA

H dl =˜AL

s dA =

Σi = Θ

ui =∂Ψ(t)

∂t= ∂

∂t

(˜A B dA

)¸L E dl + ui = 0

1.2.3. Kenngroßen

magnetische Großen elektrische Großen

Φ =˜

B dA I =˜

s dA

Vm =´H dl U =

´E dl

Θ = w · IRm = Vm

Φ= l

µ·A R = UI

= ρ lA

B = µ · H D = ε · EΨ = Φ · w = L · i

Φ

Rm VΘ

I

R UU

magnetisch wirksame Flache

A = kFe · Ageometrisch

1.3. Entstehung des Drehmoments1.3.1. Lorenzkraft

FL = I · (l × B)

1.3.2. Drehmoment

MD = F · r = ML + MR + Jdωdt

md(t) =

(D

2

)2

·ˆ li

2

− li2

ˆ 2π

0a(ϑ, z, t)Bδ(ϑ, z, t) dϑ dz

1.3.3. Strombelag

a =

ˆs dl =

∂∑

i

∂l=

∂

∂l

[¨A

s dA

]= −

∂Θ

∂l

mittlerer Strombelag Amplitude

am =bNτN

· AN =∑

ΘNτp

AN =ZN ·ibN

=ΘNbN

1.3.4. Felderregerkurve

V (ϑ) = Θ(ϑ) = −D

2

ˆages(ϑ) dϑ

1.4. Effektiver LuftspaltMagnetfeld wegen Nuten inhomogen. Ausgleich durch Carterfaktor kC(ungenutet kCi

= 1):

δ′ = kC · δ kC = kC1Stator

· kC2Rotor

kCi=

τNiτNi

−γi·δ

δ′′ = kµ · kAbfl · δ′ γi =

(bNiδ

)2

5+

(bNiδ

) kµ = 1 +VmFe

2·Vmδ′

1.5. Streuung1.5.1. PolstreuungΦE: Gesamtfluss durch PolspuleΦEh: HauptflussΦEσ : Streufluss

σE =ΦEσΦEh

ΦE = ΦEh + ΦEσ = (1 + σE) · ΦEh

1.5.2. Nut- und ZahnkopfstreuungΦN: Gesamtfluss der in Nuten gebetteten SpulenΦNh: HauptflussΦNσ : Streufluss (Nut- & Zahnkopfstreuung)

σN =2·ΦNσΦNh

ΦN = ΦNh + 2ΦNσ = (1 + σN) · ΦNh

1.5.3. StirnstreuungΦS: Gesamtfluss StirnstreuungΦSh: Hauptfluss StirnstreuungΦSσ : Streufluss Stirnstreuung

σS =ΦSσΦSh

gesamte Streuziffer: σges =Φσ,gesΦSh

ΦS = ΦSh + Φσ,ges = (1 + σges) · ΦSh

1.5.4. Induktivitaten

Hauptinduktivitat: Lh =Ψhi

Gesamte Streuinduktivitat: Lσ = Ψσi

= σ · Lh

Totale Induktivitat: Lges =Ψges

i= (1 + σ) · Lh

1.6. Spulen

Spulenwindungszahl wSp =ZN2·u

Nebeneinanderliegende Spulenseiten pro Nut u =ZKN

Wellenwicklung a = 2

Schleifenwicklung a = 2 · p

1.7. Verluste1.7.1. Kupferverluste

PCu = R · I2

1.7.2. Reibungsverluste• Ventilationsverluste (Verwirbelung im Kuhlmittel,

Stromungsverluste)

• Lagerreibung

• Reibung an Kontaktflachen (z.B Schleifringe, Kommutator)

1.7.3. Hystereseverluste

PFeH = mFe · v15H · f50Hz

· ( B1,5T

)2

Verlustziffer: v15H(f = 15Hz, B = 1,5T)[Wkg

](Herstellerangabe)

1.7.4. Wirbelstromverluste

PFeW = mFe · v15W · ( f50Hz

)2 · ( B1,5T

)2

Verlustziffer: v15W(f = 15Hz, B = 1,5T)[Wkg

](Herstellerangabe)

1.7.5. Gesamte Eisenverluste

PFe = mFe · vFe15·f

50Hz· ( B

1,5T)2

1.8. Leistung1.8.1. mechanische Leistung

Pm = 2π · n · Mi = ωm · Mi

1.8.2. elektrische Leistung

Pel = U · I

1.9. Wirkungsgrad

η =PabP auf

ηMotor = PmPel

ηGenerator = P elPm

2. Permannentmagnete

2.1. Großen

Remanenzflussdichte Br [T]

kritische Feldstarke (aus Kennlinie ablesen) HM,krit

[Am

]Steigung Scherungsgerade kSG [1]

Luftspalthohe Permanentmagnet δM [mm]

Lange der Magnete lM [m]

Hohe Permanentmagnete hM [m]

Sicherheitsfaktor γkrit [1]

2.2. Allgemein

βA

βM

βA

βM

DA2 DI1 DA1

hJ

hM

δM

δ

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2.2.1. Flussdichte

Luftspalt Bδ = −µ0hMδ′′ HM = BM

AMAδ

(1 − σ)

Permanentmagnet BM = −hMδ′′

AδAM

µ01−σ

HM = −kSG · HM

2.2.2. Fluss

Luftspalt Φδ = (1 − σ)ΦM = BδAδ

Permanentmagnet ΦM = BMAM

2.2.3. Flache

Luftspalt Aδ = βMD2li = βM

D2l2 · kFe

Permanentmagnet AM = βMDI12

lM

Leiterquerschnitt AL =AN ·kQ

ZN

2.2.4. Materialgroßen

σ = kσ1 · kσ2

2.2.5. Effektiver Luftspalt

δ′ = kC2 · (δ + δM )

δ′′ = (1 + kµ) kµ =Vµ

2·Hδ·δ′

2.3. Scherungsgerade

Arbeitspunktbestimmung

1. Scherungsgerade: BM = −kSG · HM

2. Materialkennlinie: BM = µ0µrHM + Br

3. Schneiden von Materialkennlinie und Scherungsgerade

4. ⇒Arbeitspunkt: HM = − 1µ0µr+kSG

Br

Luftspaltfluss im Arbeitspunkt:

ΦδP = (1 − σ) ·kSG

µ0µr + kSG

· Br · lM ·DI1

2· βM

Maximal zulassiger Ankerstrom:

I2,max =2π · (hM + δ′′)

ω2 · βM

·

∣∣∣∣∣(H′′M −HM )

µ0µr + kSG

kSG

1

1 + δ′′hM

∣∣∣∣∣Maximal zulassige Feldstarke: H′′

M = γkrit · HM,krit

3. Gleichstrommaschine

3.1. Großen

Maschinenkonstante (Spannung) kU [1]

Maschinenkonstante (Drehmoment) kM [1]

Flusskonstante kΦ

[VsA

]Erregerstromkonstante kE [1]

Ankerwindungszahl w2 [1]

Burstenubergangsspannung UB [V]

Kommutatorsegmentspannung US [V]

3.2. Systemgleichungen

UA = RA,res · IA + Ui + 2 · UB w2 =N2 · ZN

2a

ΦE = kΦ · IE kU = 4p · w2

Ui = kU · ΦE · n kM =kU

2π

Mi = kM · ΦE · IA

Mi = MR + ML + Jdω

dt

3.3. Verhalten

IA

ΦE

IN

I < IN → Reihenschlussverhalten

I > IN → Nebenschlussverhalten

3.4. Gleichstrom-Nebenschlussmaschine3.4.1. ESB

IARA LA

Ui

UB

UA

RE

IE

UE

ΦE

3.4.2. Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie

n =UA − 2 · UB

kU · ΦE

−2π · RA,res

(kU · ΦE)2· Mi

3.4.3. Wichtige Betriebspunkte

Anlaufmoment: (n = 0) Mi,An = kM · ΦE · IA,An

Leerlaufdrehzahl: (Mi = 0) n0 =UA − 2 · UB

kU · ΦE

Anlaufstrom: (n = 0) IA,An =UA − 2 · UB

RA,res

n = n0 ·(1 −

Mi

Mi,An

)Mi = Mi,An ·

(1 −

n

n0

)

3.5. Gleichstrom-Reihenschlussmaschine3.5.1. ESB

IA

RV

RA LEH LEσ

UB

Ui

LAσLAHRE

IE

UA

RP

RA,res = RV + RA + RE ||RP

3.5.2. Systemgleichungen

IE = kE · IA mit kE =

1 fur RP → ∞0 fur RP = 0

Rp

Rp + RE

sonst

ΦE = kΦ · IE = kΦ kE · IA

Mi = kM · ΦE · IA = kM kΦ kE · IA2

Ui = kU · ΦE · n = kU kΦ kE · IA · n

3.5.3. Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie

Mi = kM kΦ kE ·(UA − 2 · UB)2

(kU kΦ kE · n + RA,res)2

Anlaufmoment: (n = 0) Mi,An = kM kΦ kE ·(

UA

RA,res

)2

3.6. Permanenterregte Gleichstrommaschine3.6.1. ESB

RA LA

UB

UIU1

3.6.2. Systemgleichungen

Maximaler Ankerstrom: IA,max = IL · a = S · AL · aMaximale Ankerspannung: UA,max = US · ZK

2·p

4. Wechselfeld - Drehfeld

4.1. Großen

Stator Index 1

Rotor Index 2

Ordnungszahl der Oberwellen ν [1]

elektrische Frequenz f [Hz]

elektrische Kreisfrequenz ω[rads

]ω = 2πf

mechanische Kreisfrequenz ωm

[rads

]Phasenwinkel φ [rad]

Strangachsenwinkel ϑ [rad]

Strangspannung U1 [V]

Strangstrom I1 [A]

komplexe Scheinleistung S [VA]

Wirkleistung P [W]

Blindleistung Q [Var]

Strangzahl m [1]

Windungszahl pro Strang w1 [1]

Lochzahl (Nuten pro Pol und Strang) q [1]

Nutwinkel αN [rad]

Spulenwinkel αSp [rad]

Polwinkel αp [rad]

Spulenweite WSp [cm]

Zonungsfaktor ξZ [1]

Sehnungsfaktor ξS [1]

Nutschlitzbreitenfaktor ξN [1]

Schragungsfaktor ξSchr [1]

4.2. Stern & Dreieckschaltung

Sternschaltung Dreiecksschaltung

U1 =UN√

3U1 = UN

I1 = IN I1 =IN√

3

4.3. Allgemeines zu Wechselgroßen

aν = ejν 2π

3 a0 + a1 + a2 = 0

a2 = a∗ = ej 4π

3 = e−j 2π

3

x(t) =√

2 · X · cos(ωt + φ)

x(t) =1

3·[xA(t) + a · xB(t) + a

2 · xC(t)]=

√2

2· X · ejωt

X = X · ejφ

4.3.1. Wechselfeld

B(ϑ, t) = B · cos(ϑ − ϑ0) · cos(ωt − φ)

4.3.2. Drehfeld

B(ϑ, t) = B · cos((ϑ − ϑ0) − (ωt − φ))

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4.4. Einfluss realer Luftspalt

Wicklungsfaktor: ξ(ν) = ξZ(ν) · ξS(ν) · ξN(ν)

weff = wSp · ξ(ν)

αN = 2πN

αSp = WSp(absolut) · αN αp = 2π2p

4.4.1. ZonungErhohung der Lochzahl q(Beschrankt durch Nmax = Dπ

τN,min) mit τN,min ≈ 1 cm

weff = q · wSp · ξZ(ν)

ξZ(ν) =sin(q · ν αN

2p)

q · sin(ν

αN2

p) =

sin(ν π

2qQ

)q · sin

(ν π

21Q

)4.4.2. SehnungKurzung der Spulenweite WSp (nicht bei Einschichtwicklung moglich)

weff = q · wSp · ξS(ν)

ξS(ν) = sin

(νπ

2

WSp

τp

)= sin

(ναSp

αp

π

2

)

4.4.3. Nutschlitzbreite

weff = wSp · ξN(ν)

ξN(ν) =sin(ν

bND

)ν

bND

5. Synchronmaschine

5.1. Großen

Erregerstrom I2 [A]

induzierte Polradspannung U iP [V]

synchrone Reaktanz Xd [Ω]

Selbstinduktivitat L [H]

Koppelinduktivitat (von Rotor nach Stator) M21 [H]

Polradwinkel ϑ [rad]

Phasenwinkel von Z1 φZ1 [rad]

Netzleistung (Wirkleistung) P1 [W]

innere elektrische Leistung PW [W]

Drehfeldleistung Pδ [W]

mechanische Leistung Pm [W]

Erregerleistung PE [W]

Leerlaufkurzschlussstrom IK0 [A]

Dreistrangiger Dauerkurzschlussstrom IKIII [A]

Leerlaufkurzschlussverhaltnis (LKV)IK0IN

[1]

Verketteter Fluss Permanentmagnet ΨPM [Vs]

5.2. ESB

I1

R1(= 0) jXd

U iPU1

U1 = Z1 · I1 + U iP

Z1 = R1 + jXd

Xd = X1h + X1σ = 2πf · (L1h + L1σ)∣∣U iP

∣∣ = UiP = ωM21

√2 · I2

σ =L1σ

L1h

5.3. Systemgleichungen

u1 = R1 · i1(t) +∂Ψ1(t)

∂t

Ψ1 = L1 · i1(t) + M21 · i′2(t)

u2 = R2 · i2(t) +∂Ψ2(t)

∂t

Ψ2 = L2 · i2(t) + 3 · M21 · (i1(t)e−jpϑm + i

∗1(t)e

jpϑm )

5.4. Wichtige Gleichungen5.4.1. Synchrone Drehzahl Luftspaltfeld

nsyn = nN =f1p

5.4.2. Drehmoment

MK ∼ U1f1

Mi = −3p

ω1

·[U1 · UiP

Z1

· sin (ϑ − φZ1) +UiP

2

Z1

· sin (φZ1)

]

Kippmoment:

MK =3p

ω1

·U1 · UiP

Z1

=3p

ω1

· U1 · IKIII

R1 = 0 ⇒ φZ1 = 0 ⇒ Mi = −MK · sin(ϑ)

5.4.3. Leistung

S1 = m1 · U1 · I∗1P1 = S1 · cos (φ) = m1 · U1 · I1 · cos (φ)

PW = 3 · UiP · I1 · cos (φ)

Pδ = ωm · Mi = PW − 3 · R1 · I12

Pm = 2π · n · (Mi − MR) = ωm · (Mi − MR) = Pδ − PR

PE = U2 · I2

η =Pm

P1 + PvE

5.5. BetriebsbereicheBei Leerlauferregung (I2 = I20): ⇒ U1 = UiP

Bei linearer Leerlaufkennlinie (Xd = const.): I2 = I20 · UiPU1

5.5.1. Leerlauf (I1 = 0)

I20 =UiP

ωM21√2

=U1

ωM21√2

5.5.2. Kurzschluss (U1 = 0)

IKIII =U iP

Z1

IK0 = IKIII(I20) =U1

Z1

5.5.3. Betriebsarten

ϑ zwischen dem Zeiger von U1 nach U iPφ zwischen dem Zeiger von I1 nach U1I2 eilt U iP um 90 nach

Phasenschieberbetrieb: ϑ = 0 (R1 = 0 VZS - Betrieb am starren Netz)

• Betrieb im Leerlauf

• reine Blindleistungsabgabe bzw. -aufnahme

• cos(φ) = 0 ⇒– untererregt: ⇒ φ = 90

– ubererregt: ⇒ φ = −90

Motorbetrieb: ϑ < 0 (R1 = 0 VZS - Betrieb am starren Netz)

untererregt φ > 0

ϑU1

UXdU iP

I1

φ

ubererregt φ < 0

ϑ

U1

UXd

U iP

I1

φ

Generatorbetrieb: ϑ > 0 (R1 = 0 VZS - Betrieb am starren Netz)

untererregt φ > 0

ϑ

U1

UXd

U iP

I1

φ

ubererregt φ < 0

ϑ

U1

UXd

U iP

I1

φ

5.6. Zeigerdiagramm

Im

Re

.

.

I1

U1

U iP

jXd · I1

I2

ϑφ

5.7. Stromortskurve

I1 = IK0 − IKIII

IKIII =UiP

U1

· IK0 · ejϑ

IK0 = −U1

Z1

· j ejφZ1

Stromortskurve

1. U1 auf reelle Achse legen

2. Richtung von U iP einzeichnen

3. IK0 einzeichnenbei R1 = 0 : IK0 eilt U1 um 90 nach

4. konstante Erregung: Kreis um Spitze von IK0 mit Radius IKIII

5. Richtungen von IKIII und I1 festgelegt durch φ bzw. ϑ

6. bei R1 = 0: Verlangerung von U iP ⊥ IKIII

Im

Re

P

M

ubererregt

IKIII > IK0

untererregt

IKIII < IK0

Motor

GeneratorRe(I1) = |I1| · cos(φ)

U1

UZ1U iP

IK0

IKIII

I1

ϑ

φ

−ϑ

Spannungsdreieck

Stromdreieck

PW konstant

stabil instabil

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5.8. dq-Darstellung

Zeigerdiagramm

1. U1 auf reelle Achse legen

2. I1 einzeichnen

3. Richtung von UiP legt d und q Achse fest(ϑ = unbekannt ⇒ weiter bei Trick)

4. Zerlegung von I1 in Id und Iq5. Spannungsabfall an Xd = |Xd · Id|6. Spannungsabfall an Xq =

∣∣Xq · Iq∣∣

7. U iP = U1 − jXd · Id − jXq · Iq

Trick

1. ϑ = arg(U1 − jXq · I1) ⇒ Richtungsgerade vonUiP(||jXdId)

2. U iP = Senkrechte von U1 − jXd · Id auf Richtungsgerade

5.8.1. Systemgleichungen

Ud = R1 · Id − ω1Lq · Iq

Uq = R1 · Iq + ω1Ld · Id +√2 · UiP

UiP =√

2 · ω1M21 · I2U2 = R2 · I2Mi = 3 · p · M21 · I2 · Iq

5.8.2. Zeigerdiagramm

Im

Re

jXqI 1

.

d

q

Iq

I1

Id

U1

U iP

jXqIq

jXdId

jXdI1×A

×B

jXdI1 = [BU1]

jXqI1 = [AU1]

ϑφ

5.9. Schenkelpollaufer5.9.1. Drehmoment (R1 = 0)

M′i = −

m1 · pω1

U1

[UiP

Xd

sin(ϑ) +U1

2

(1

Xq−

1

Xd

)sin(2ϑ)

]

Reluktanzmoment (Reaktionsmoment):

Mr = −m1 · pω1

·U1

2

2

(1

Xq−

1

Xd

)sin(2ϑ)

Vollpollaufer entwickeln kein Reluktanzmoment wegen Ld = Lq .Maximales Reluktanzmoment bei |ϑ| = 45.5.9.2. Systemgleichungen

U1 = Ud + Uq + U iP

= jXd · Id + jXq · Iq + U iP

I1 = Id + Iq

5.10. Permanenterregte Synchronmaschine5.10.1. Betriebsverhalten

Ψ1 = L1I1 + ΨPM ΨPM = ξ · w1 · Φδ

Ψd = LdId + ΨPM Ψq = LqIq

UiP =√2ω1 · ΨPM

5.10.2. Drehmoment

MD =m1

2· p ·

[ΨPM · Iq + (Ld − Lq) · Id Iq

]aquvalent zu MD Schenkelpollaufer

5.10.3. Betriebsarten• symetrischer Betrieb

• EC-Betrieb als BLDC

6. Asynchronmaschine

6.1. Großen

Ubersetzungsverhaltnis..u [1]

Schlupf s [1]

Kippschlupf sK [1]

Kippmoment MK [Nm]

Bezogener Statorwiderstand ρ1 [1]

Bezogener Rotorwiderstand ρ2 [1]

Hilfsgroße ∆ρ1 [1]

Rotor-Statorwarmeverluste PCu [W]

Magnetisierungsstrom I1µ [A]

Rotor-Vorwiderstand R2V [Ω]

6.2. ESB

I1

RFe =3·U1

2

PFe

R1(= 0) jω1L1σ

jω1L1hU1i

I1µ

jω1L′2σ

R′2,ges

I′2

R′2,ges ·

1−ss

U1

6.2.1. UbersetzungsverhaltnisBei Schleifring-ASM gilt: M21 = M12 = M

..u =

L1h

M=√

m1m2

· w1ξ1w2ξ2

· 1ξSchr

=√

m1m2

·w1,effw2,eff

· 1ξSchr

R′2,ges =

..u2 · R2,ges R′

2,ges = R′2 + R′

2V

U2 = 1..u

· U1i L′2σ =

..u2 · (L2σ + L2Schr)

I′2 = 1..u

· I2

6.3. Systemgleichungen

u1 = R1 · i1 +∂Ψ1

∂t, Ψ1 = L1 · i1 + M · i2 · ejpϑm

0 = R2,ges · i2 +∂Ψ2

∂t, Ψ2 = L2 · i2 + M · i1 · e−jpϑm

Jdω

dt= Mi − MR − ML

6.4. Wichtige Großen6.4.1. Schlupf

s =nsyn−n

nsyn=

ωsyn−ωmωsyn

=ω1−p·ωm

ω1=

ω2ω1

Gegenstrombremse Motor Generator

s > 1 1 > s > 0 s < 0

6.4.2. Drehzahl

synchrone Drehzahl Nenndrehzahl

nsyn = fp

nN = ns(1 − sN )

6.4.3. Leistung

S1 = m1 · U1 · I∗1P1 = S1 · cos (φ) = m1 · U1 · I1 · cos (φ)

PNetz = m1 · U1 · I1 · cos (φN ) = P1 + PFe

Pδ = 2π · nsyn · Mi = P1 − PCu1 − PFe

Pmi = (1 − s)Pδ = Pδ − PCu2 − P2V = ωm · Mi

Pm = 2π · n · (Mi − MR) = ωm · (Mi − MR) = Pmi − PR

PCu2 = s · Pδ = m2 · R2 · I22

6.4.4. Phase

ASM immer induktiv ⇒ φ > 0

φ = φ1Z − φ1N

φ =

arctan( b

a) fur a > 0

arctan( ba) + π fur a < 0, b ≥ 0

arctan( ba) − π fur a < 0, b < 0

6.4.5. Weitere Parameter

L1σ = σ1 · L1h L1 = L1h + L1σ

L′2σ = σ2 · L1h L′

2 = L1h · (1 + σ2)

Lσ = σ · L1 = L1σ +ξSchr1+σ2

L′2σ

ρ1 =R1

ω1L1ρ2 =

R2,gesω1L2

=R′

2,ges

ω1L′2

∆ρ1 =

√1 +

(ρ1σ

)2·√

1 + ρ12

σ = 1 − 1(1+σ1)·(1+σ2)

= 1 − M2

L1L2

6.5. Statorstrom

I1 =U1

ω1L1

·ρ2 + js

ρ1 · ρ2 − σ · s + j(ρ2 + s · ρ1)

Anlaufstrom:

I1A = |I1|(s = 1) =U1

ω1Lσ

√√√√ 1+ρ22(

1− ρ1·ρ2σ

)2+

(ρ1+ρ2

σ

)2Ideeller Kurzschlussstrom:I1Ki = |I1|(s → ±∞) =

U1ω1Lσ

· 1√1+( ρ1

σ

)2Leerlaufstrom:I10 = |I1|(s = 0) =

U1ω1L1

· 1√1+ρ1

2

6.5.1. Magnetisierungsstrom

Iµ =ρ2 + j · s · (σ − σ1 · (1 − σ))

ρ1 · ρ2 − σ · s + j · (ρ2 + s · ρ1)·

U1

ω1L1

6.6. Zeigerdiagramm

Zeigerdiagramm

1. U1 auf reelle Achse legen und I1 einzeichnen

2. R1I1 (gleiche Phasenlage wie I1)jω1L1σI1 (eilt I1 um 90 voraus)

3. U1i = U1 − R1I1 − jω1L1σI1

4. I1µ =U1i

jω1L1h(eilt U1i um 90 nach)

5. I′2 = I1µ − I1

6. R′2,gesI

′2 (parallel zu I′2)

7. jω1L′2σI′2 (eilt I′2 um 90 voraus)

8. R′2,ges ·

1−ss

· I′2 = −U1i − R′2,ges I

′2 − jω1L

′2σI′2

−Im

Re

U1

I1

I1µ

I′2

U1i

jω1L1σ · I1

R1 · I1 jω1L′2σ · I′2

R′2ges · I′2

R′2ges · 1−s

s· I′2

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6.7. Stromortskurve

bei R1 = 0 tan(µ) = sK

Stromortskurve R1 = 0 ∧ RFe = 0

1. U1 auf reelle Achse legen ⇒ φ1U = 0

2. R1 = 0 ⇒ I10 und I1Ki haben keinen Realteil

3. Kreismittelpunkt auf Im-Achse zwischen I1Ki und I104. µ zwischen P0 und PA

−Im

Re

M×

U1

I1N

PN

I1A

PA

I1Ki P∞I10 P0

I′2N1+σ1

PN

µ

φ1N

6.7.1. Schlupfgerade

Schlupfgerade R1 = 0 ∧ RFe = 0

1. (Bei RFe = 0) Mittelpunkt M auf -Im Achse

2. Schlupfgerade an beliebiger Stelle einzeichnen

3. gesuchtes s aus Langenverhaltnis zu bekanntem Schlupf bestimmen

−Im

Re

×

U1

M

PN•

PA•

P∞•

S0

•

P0

•

PK•

PK•

×s0

×sK

×−sK

×sN

sA

Schlupfgerade

6.7.2. Maßstab

Strommaßstab mI

[Acm

]Leistungsmaßstab mP = m1 · U1 · mI

[Wcm

]Drehmomentmaßstab mM =

mP2π·nsyn

[Nmcm

]

6.7.3. Ablesbare Werte

R1 = 0 ∧ RFe = 0

Aufgenommene elektrische Leistung P1 = PD · mP

Eisenverluste Stator PFe = CD · mP

Kupferverluste Stator PCu1 = BC · mP

Kupferverluste Rotor PCu2 = AB · mP

Abgegebene mechanische Leistung Pm = PA · mP

Inneres Drehmoment Mi = PB · mM

Definition Punkt D: Orthogonale Projektion von P auf Im-Achse

R1 = 0 B = C und M auf Hohe von P0

RFe = 0 C = D und P0 auf -Im Achse

−Im

Re

Drehmomentlin

ie

Leistu

ngslini

e

•

•

.×

•

•

•

•

••••

U1

PN

PA

M

PK

PK

P∞

P0

ABC

D

6.8. Drehmoment

MK ∼(

U1f1

)2MN ∼ Φδ

U1f1

Mi = MR + ML + J∂ω

∂t

6.8.1. Drehmomentgleichung

Mi = 3p(1−σ)U1

2

ω12Lσ

s · sK∆ρ1sK

2 + 2ρ1σ

(1 − σ)sKs + ∆ρ1s2

Kippmoment:

MK = Mi(sK) = 32p · (1 − σ)

U12

ω12Lσ

(1

∆ρ1+ρ1σ

(1−σ)

)

(R1 = 0) : MK =m1U1

I1Ki−I102

2π·ns

Kippschlupf: sK =ρ2σ

√1+ρ1

2

1+( ρ1

σ

)2sK > 0 Motor sK < 0 Generator

6.8.2. Klossche Gleichung (Annahme R1 = 0)

Mi

MK

=2 · sK · ssK

2 + s2

s1,2 = sKMK

Mi

±

√(sK

MK

Mi

)2

− sK2

Nur echte Losung wenn gilt: s < sK

6.9. Symmetrische Komponenten

sm + sg = 2 sm = s = ns−nns

sg = ns+nns

6.9.1. Spannungen Mit- und Gegensystem

Mitsystem Um = 13

· (Uu + a · Uv + a2 · Uw)

Gegensystem Um = 13

· (Uu + a2 · Uv + a · Uw)

Nullsystem Um = 13

· (Uu + ·Uv + ·Uw)

Nullsystem verschwindet bei Dreiecksschaltung oder Sternschaltung ohneherausgefuhrten Sternpunkt

6.9.2. Drehmoment mit Kompensation (Kippschlupf andert sich)

Mges = Mm − Mg

M = 3p ·(1−σ) ·U1

2

ω2L1

·ρ2 · s

(ρ1 · ρ2 − σ · s)2 + (ρ2 + s · ρ1)2

7. Universalmotor

7.1. Großen

Drehmoment zeitinvarianter Anteil MD [Nm]

Pendelmoment (doppelte Speisefrequenz) mp [Nm]

Phasenverschiebungswinkel Strom φI [rad]

7.2. ESBR1 jX1 R2 jX2

UiU

7.3. SystemgleichungenVergleiche Systemgleichungen Gleichstrom-Reihenschlussmotor

U = (Rges + jXges) · I + Ui

Φδ = kΦ · i k′U = kU kΦ

mD = kM · Φδ · i

i =√2 · I · cos(ω1t + φI )

Ui =n

nsyn· k′

U · I

7.4. Drehmoment

mD(t) = MD +mp(t) = kM kΦ ·I2 ·( 1︸︷︷︸MD

+cos (2ωt + 2φI )︸ ︷︷ ︸mp

)

7.4.1. Drehmoment-Drehzahl-Gleichung

MD = kM kΦ ·(U1 − 2 · UB)2(

Rges + k′U

· nnsyn

)2+ Xges

2

Synchrone Drehzahl: nsyn = fp

7.5. Zeigerdiagramm

Im

Re

U

I

jXges I

Rges I

Ui

φ

7.6. Stromortskurve

Im

Re

U

IN IAn

Imax

n

φN

7.6.1. Strom

I =U(

nnsyn

· k′U

+ Rges

)+ jXges

Leerlaufstrom:I0 = I(n → ∞) = 0

Anlaufstrom:

IAn = I(n = 0) =U

Rges + jXges

7.6.2. Phase

tanφ =Xges

nnsyn

· k′U

+ Rges

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8. Entwurf elektrischer Maschinen

8.1. Großen

Essonziffer C[TAm

]ideeler Polbogenwinkel βpi [rad]

ideele Polbogenlange bpi [m]

Rotorstrombelag A2

[Am

]mittlerer Statorstrombelag A1

[Am

]relative Lange λ [1]

Nutfullfaktor (Stator) κN1 ≈ 0,5

8.2. Uberblick Entwurfsprozess

Entwurfsprozess

1. Anforderungsprofil: meist Nennleistung und Nenndrehzahl

2. Grobentwurf: Hauptabmessungen, Wicklungsschema, Satorent-wurf, Rotorentwurf

3. Nachrechnung: Berechnung uber analytische Gleichungen (FEM)

4. Optimierung: Anpassung des Grobentwurfs

8.3. Grobentwurf

Grobentwurf

1. Drehmoment im Nennbetrieb aus P und n bestimmen

2. Ankervolumen uber C bestimmen Pmi = C · D2δ li · n

3. Bestimmung des Ankerinnendurchmessers

direkt mit λ =liτp

=2p·liπ·Dδ

indirekt uber Ankervolumen

4. Bestimmung des Ankeraußendurchmessers

5. Bestimmung des Wicklungsschemas

6. Statorentwurf

7. Rotorentwurf

8.3.1. Drehmoment

MD,N = 2p ·(

Dδ2

)2· li ·

πp

0Bδ(ϑ1, t) · A2(ϑ1, t) dϑ

τp · βpi = bpi

8.3.2. Bestimmung des Innendurchmessers Gleichstrommaschine

C = π2βpi · A2 · Bδ,max

A2 = 4w2IA2

1πDδ

Di = k1+k2·3

√p · Pmi

λ · nmit

k1 = 0,06 . . . 0,08m

k2 = 0,42 . . . 0,485 m3√kW min

8.3.3. Bestimmung des Innendurchmessers Drehfeldmaschine

C = π2√

2· A1 · Bδ(1) · ξ1(1)

A1 =I1·2w1·m

π·Dδ

Di = 3

√2p · PSN

λπ · C · ns

8.3.4. Bestimmung des Außendurchmessers

Da,max = Di +2,5 · A1

s1κN1 ·(1 −

Bδ(1)BZ1,max

) +Bδ(1) · τpBJ1,max

8.4. Wicklungsschemata

N = 2 · m · p · q = 2p · Q

Schleifringlaufer q2 = q1 ± 1

Kafiglaufer N2 = N1 ± 4p

8.4.1. Grundbegriffe (vgl. Skript S. 52 . . . 55)

Wicklungsschritt (Spulenweite in Stabzahlen) y1 [1]

Schaltschritt (Abstand Oberstab zu Unterstab) y2 [1]

Gesamtschritt yges [1]

Gangzahl mg [1]

Zahl der Spulenseiten je Nut zueinander u [1]

Zahl paralleler Ankerstromzweige 2 · ZpS [1]

y1 ≈ ZK2p

WSp =y1u

Schleifenwicklungyges = y1 − y2Grundform Schleife, aufeinanderfolgende Spulen unter gleichem Polpaar.

Symmetriebedingungen Np

,ZKp

∈ Zungekreuzt y1 > y2 (yges > 0)

gekreuzt y1 < y2 (yges < 0)

Wellenwicklung

yges = y1 + y2 =ZK∓mg

pGrundform Welle, aufeinanderfolgende Spulen unter Nachbarpolpaaren.

Symmetriebedingungen pZpS

, NZpS

,ZKZpS

∈ Z

ungekreuzt yges =ZK−ZpS

p)

gekreuzt yges =ZK+ZpS

p)

8.4.2. Wichtige Formeln

w1 =2p · q · ZN

Anzahl der Schichten · a=

N · ZN

Anzahl der Schichten · m · a

=

√2 · U1

2π · f1N · ξSZ(1) · Φδ(1)

wSp =ZN

Anzahl der Schichten

Φδ(1) =2

π· Bδ(1) · τp · li

U1

U2

=w2 · ξ2(1)w1 · ξ1(1)

8.4.3. Symmetriebedingungen

Zeigerwinkel αZ [rad]

Strangwinkel αStr [rad]

Erste Symmetriebedingunggleiche Spulenzahl je Strang

Einschichtwicklung N2·m ∈ N

Zweischichtwicklung Nm

∈ NZweite SymmetriebedingungαStr ganzzahliges Vielfaches von αZ

αZ = 2πN

· t, t = ggT N, p

normale Mehrphasensysteme αStr = 2πm

αStrαZ

= Nm·t ∈ N

reduzierte Mehrphasensysteme αStr = πm

αStrαZ

= N2·m·t ∈ N

8.4.4. Nutstern

Nutstern

1. Zeichne Zeigerkreis mit N′ = Nt

Zeigerstrahlen (Abstand αZ )

2. Beschriftung der Strahlen: 1 setzen und mit Zahlen von 2 bis N′

beschriften (Zwischen den Zeigern pt

− 1 freilassen)

3. t Zeiger pro Zeigerstrahl und Schicht (Richtung: + außen, − in-nen)

4. Zeigern einzeichnen nach Nutbelegungsplan

5. Wiederhole Schritte 3 und 4 t mal

8.4.5. Wicklungsfaktor (vgl. 4.4) (vgl. U2, Skript S. 64 . . . 70, 93)

WSp(absolut) Ruckleiter der Oberschicht um diesenWert verdreht

WSp(relativ) =WSpτp

Ruckleiter der Oberschicht um diesenWert bezogen auf die Polteilung verdreht

ξSZ(ν) = ξZ(ν) · ξS(ν) =|Z|

2 SpulenStrang

=|Z|

q · |Zeiger|

|Z| Lange der resultierenden Strangzeigers (aus Nutstern bestimmen)

ξSZ(ν) graphisch bestimmen

1. Vektorielles addieren q Zeigern aus Nutstern mit Zeigernummen 1bis q mit Abstand ν

Formel: |Z| =∑q−1

i=0 1 + ν · i2. Bestimme ξSZ(ν) uber obige Formel

8.4.6. Bruchlochwicklung (vgl. U5, Skript S. 71 . . . 75)q = n

e

Tingleyplan

1. Bilde Matrix mit 2p Zeilen und e · N2p

Spalten

2. Zeilen abwechselnd mit + und − beschriften

3. Spalten dritteln und mit U,−W,V fur Strange beschriften

4. Links oben 1 eintragen

5. e − 1 Felder freilassen und Plan mit Zahlen von 2 bis N fullen

Beispiel fur zweischichtige Bruchlochwicklung

N = 18, p = 4, m = 3, WSp = 2

U −W V

+ 1 2 3

− 4 5

+ 6 7

− 8 9

+ 10 11 12

− 13 14

+ 15 16

− 17 18

Nutbelegungsplan

1. Unterschicht mit Tingleyplan erstellen (+ ≜ und − ≜ ×)

2. Oberschicht enthalt Ruckleiter um WSp verschoben

1

2

3

4

5

6

7

8

91

2

3456

7

8

9

10

11

1213 14 15

16

17

18

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