Ejercicios de Estatica · PDF fileESTATICA Elaborado por: Cesar Alcalá/Wilmer Camacho...

ESTATICA

Elaborado por: Cesar Alcalá/Wilmer Camacho Pagina 1 de 26 Sección II-332

Problema 6.11. Armadura Howe: Determine la fuerza en cada uno de los miembros de la armadura Howe para techo mostrada en la figura. Diagrama de cuerpo libre: Aplicando momento en H: ΣMH=0 -FA x 32m + 3KN x 32m+6KN x (24m+16m+8m) = 0 -FA X 32m + 96 KN + 6 KN x 48m = 0

FA x 32m = 96 KN + 288 KN ⇒ 32m

384KN FA =

FA = 12 KN ΣFY=0 - 3KN + 12KN – 6KN x 3 – 3 KN + FH = 0

FH = 12 KN

G A

B

C E

D

H

F

3KN

6KN

6KN

6KN

3KN

8m 8m 8m 8m

6m

6m

G A

B

C E

D

H

F

3KN

6KN

6KN

6KN

3KN

8m 8m 8m 8m

6m

6m

FHY FA

FHX

ESTATICA


Análisis Nodo A:

ΣFY=0

12KN – 3KN – FAB x 10

6 = 0

FAB x 10

6 = 9 KN ⇒ FAB =

6

910x

FAB = 15 KN C .

ΣFX=0

FAC - FAB10

8 = 0 ⇒ FAC = FAB

10

8 =

10

815KNx

FAC = 12 KN T

Análisis Nodo C: Por Teoría se puede decir que este nodo esta bajo condiciones especiales de carga, este conecta tres elementos, dos de los cuales se encuentran en la misma línea y no están sujetos a cargas externas, por tanto FCB=0 y FAC = FCE

FAC = FCE = 12 KN T FCB = 0 KN .

Análisis Nodo G: El análisis de este nodo es idéntico al del nodo C, FGF = 0 y FGH = FEG, entonces podemos decir que por simetría,

FAC = FCE = FGH = FEG = 12 KN T FGF = 0 KN .

Análisis Nodo B:

ΣFY=0

15KN x 10

6 + FBE x

10

6 - 6 KN + FBD x

10

6 = 0

FBE x 10

6 + FBD x

10

6 = -3 KN . . . (E1)

ΣFX=0

15KN x 10

8 - FBE x

10

8 + FBD x

10

8 = 0

- FBE x 10

8 + FBD x

10

8 = - 12 KN . . . (E2)

FCE

FCB

FAC

C

12KN

FAC

FAB 3KN

6 8

A

FGH

FGF

FEG

G

FBE FBD

6KN

6 8

B

6 8

6 8

FAB

ESTATICA


Multiplicamos E1 por

−6

8 y sumamos a E2 para obtener el FBE

E1 x

−6

8 + E2: - FBE x

10

8 - FBD x

10

8 = 4 KN

- FBE x 10

8 + FBD x

10

8 = - 12KN

- FBE x 5

8 + 0 = - 8

FBE = 8 x 8

5

FBE = 5 KN C Sustituimos el valor de FBE en E1 para así obtener el valor de FBD.

5KN x 10

6 + FBD x

10

6 = - 3 KN ⇒ FBD x

10

6 = -3 KN – 3KN ⇒ FBD = - 6 KN x

6

10

FBD = 10 KN C

Análisis Nodo F: Para el análisis de este nodo se puede decir que por simetría,

FBE = FEF = 5KN C .

FBD = FDF = 10KN C Análisis Nodo E:

ΣFY=0

- 5KN x 10

6 + FDE x

10

6 - 5 x

10

6 = 0

FDE = 10KN x 10

6

FDE = 6 KN T

FBE FEF

6 8

FED

6 8

FEG FCE

ESTATICA


Problema 6.6: Determine la fuerza en cada uno de los miembros de la armadura mostrada en la figura. Diagrama de cuerpo libre: Aplicando momento en A: ΣMA=0 RC x 25,5ft + 3Kips x 6ft -9,9Kips x 8ft = 0 RC x 25,5ft = 79,2 Kips – 18 Kips

RC x 25,5ft = 61,2 Kips ⇒ ft 25,5

Kips 61,2 RC =

RC = 2,4 Kips ΣFY=0 RAY + RC – 9,9 Kips = 0 RAY = 9,9 Kips – 2,4 Kips

RAY = 7,5 Kips ΣFX=0 RAX + 3 Kips = 0

RAX = 3 Kips . Análisis Nodo A:

ΣFY=0

RAY – TAD x 10

6 – TAB x

10

6 = 0

- TAD x 10

6 - TAB x

10

6 = - 7,5 Kips . . . (E1)

9Kips

17,5ft 8ft

6ft

6ft

3Kips

A

B

C

D

17,5ft 8ft

6ft

6ft

3Kips

A

B

C

D

RAX

RAY

9.9 Kips

RC

RAX

A

RAY

TAD TAB

6 8

6 8

ESTATICA


ΣFX=0

- RAX + TAD x 10

8 - TAB x

10

8 = 0

TAD x 10

8 - TAB x

10

8 = 3 Kips . . . (E2)

Multiplicamos E1 por

6

8 y sumamos a E2 para obtener el TAD

E1 x

6

8 + E2: - TAD x

10

8 - TAB x

10

8 = - 10 Kips

TAD x 10

8 - TAB x

10

8 = 3 Kips

0 - TAB x 5

8 = - 7 Kips

TAB = 7 Kips x 8

5

TAB = 4,375 Kips C Sustituimos el valor de TAB en E1 para así obtener el valor de TAD.

- TAD x 10

6 - 4,375 Kips x

10

6 = - 7,5 Kips ⇒ - TAD x

10

6 = -7,5 Kips + 2,625 Kips

TAD = 4,875 Kips x 6

10

TAD = 8,125 Kips T

Análisis Nodo B:

ΣFX=0

4,375Kips x 10

8 – TBC x

5,18

5,17 = 0

- TBC x 5,18

5,17 = 3,5 Kips

- TBC = 3,5 Kips x 5,17

5,18

TBC = 3,7 Kips C

ΣFY=0

- 9,9 Kips + 4,375 Kips x 10

6 + 3,7 Kips x

5,18

6 - TBD= 0

TBD = - 9,9 Kips + 2,625 Kips + 1,2 Kips TBD = 6,075 Kips C

B

TBD

TBC

6 8

6 17,5

9,9Kips

TAB

ESTATICA


Análisis Nodo C:

ΣFX=0

3,7 Kips x 5,18

5,17 - TCD x

5,18

5,17 = 0

TCD x 5,18

5,17 = 3,5 Kips

TCD = 3,5 Kips x 5,17

5,18

TCD = 3,7 Kips T

C

RC

TBC

6 17,5

6 17,5 TCD

ESTATICA


Problema 6.7: Determine la fuerza en cada uno de los miembros de la armadura mostrada en la figura. Diagrama de cuerpo libre: Aplicando momento en A: ΣMA=0 FDX x 6m = 0

FDX = 0 N ΣFY=0 - FAY – 480 N = 0

FAY = 480 N . ΣFX=0 FDX + FAX = 0 FAX = - FDX

FAX = 0 N

480 N

2,5m

3m

3m

A

B

C

D E

480 N

2,5m

3m

3m

A

B

C

D E

FAX

FAY

FDX

ESTATICA


Análisis Nodo A:

Hacemos un triangulo de fuerzas: =

Decimos que:

03,25

F

1,25

F

3

480 ACAB ===

1603,25

F

1,25

F ACAB ==

FAB = 160 x 1,25 ; FAC = 160 x 3,25

FAB = 200 N C

FAC = 520 N T Ahora por simetría decimos que, FAC = FCD = FBC = FCE = 200 N C FAB = FDE = 520 N T Análisis Nodo B:

ΣFY=0

FBE – TBC x 25,3

3 = 0

TBE = 520 N x 25,3

3

TBE = 480 N C

480 N FAC

FAB

3,25 3

1,25

B

FBC

FBE

FAB

3 1,25

A

FAC

FAY

FAB

3 1,25

ESTATICA


Problema 6.11. Armadura Howe: Determine la fuerza en cada miembro de la armadura Fink para techo mostrada en la figura. Diagrama de cuerpo libre: Aplicando momento en A: ΣMA=0 -12Kips x (4,5ft + 9ft + 13,5ft) – 6Kips x 18ft + FG x 18ft = 0 FG x 18ft = 12 Kips x 27 ft + 108 Kips

FG x 18ft = 324 Kips + 108 Kips ⇒ 18ft

Kips432 FG =

FG = 24 Kips ΣFY = 0 - 6Kips – 12Kips x 3 – 6Kips + 24Kips + FAY = 0 FAY = 6 Kips + 36 Kips + 6 Kips – 24 Kips

FAY = 24 Kips ΣFX = 0 ⇒ FAX = 0

FAX = 0 Kips Análisis Nodo A:

FR = 24Kips - 6Kips = 18 Kips Hacemos un triangulo de fuerzas: =

G A

B

C E

D

F 6Kips

12Kips

12Kips

12Kips

6Kips

6ft

4,5ft

6ft 6ft

2ft

2ft

4,5ft

G A

B

C E

D

F 6Kips

12Kips

12Kips

12Kips

6Kips

6ft

4,5ft

6ft 6ft

2ft

2ft

4,5ft

FAX

FG

FAY

FAY = 24Kips

FAC

FAB 6Kips

2 4,5

A

FR FAB

FAC

4,92 2

4,5

ESTATICA


Decimos que:

02F

4,5F

4,92F RACAB ===

94,5F

4,92F ACAB ==

FAB = 9 x 4,92 ; FAC = 9 x 4,5

FAB = 44,28 Kips C

FAC = 40,50 Kips T Ahora, por simetría tenemos que, FAC = FEG = 40,50 Kips T FAB = FGF = 44,28 Kips C Análisis Nodo B:

ΣFX=0

44,28Kips x 9,4

5,4 + FBC x

5,2

5,1 - FBD x

9,4

5,4 = 0

FBC x 5,2

5,1 - FBD x

9,4

5,4 = - 40,66 Kips . . . (E1)

ΣFY=0

-12Kips + 44,28Kips x 9,4

2 - FBC x

5,2

2 - FBD x

9,4

2 = 0

- FBC x 5,2

2 - FBD x

9,4

2 = - 6,07 Kips . . . (E2)

Despejamos E1 y E2 para dejarla en función de FBC.

FBC x 5,2

5,1 = - 40,66 Kips + FBD x

9,4

5,4 ⇒ FBC = - 40,66Kips x

5,1

5,2 + FBD x

9,4

5,4 x

5,1

5,2

FBC = - 67,77 Kips + FBD x 35,7

25,11 . . . (E1)

- FBC x 5,2

2 = FBD x

9,4

2 - 6,07 Kips ⇒ - FBC = FBD x

9,4

2 x

2

5,2- 6,07 Kips x

2

5,2

FBC = - FBD x 8,9

5 + 7,58 Kips . . . (E2)

B

FBD FBC

2 4,5

2 1,5

12Kips

FAB

2 4,5

ESTATICA


Igualamos Ecuaciones y despejamos FBD,

- 67,77 Kips + FBD x 35,7

25,11 = - FBD x

8,9

5 + 7,58 Kips

FBD x 35,7

25,11 + - FBD x

8,9

5 = 75,35 Kips ⇒ FBD x

+8,9

5

35,7

25,11 = 75,35 Kips

FBD x 2,04 = 75,35 Kips ⇒ FBD = 04,2

Kips 75,35

FBD = 36,93 Kips C Sustituimos FBC en E1 para así obtener el valor de FBC,

FBC x 5,2

5,1 - 36,93 Kips x

9,4

5,4 = - 40,66 Kips

FBC x 5,2

5,1 = - 40,66 Kips + 33,94 Kips ⇒ FBD = - 6,72 Kips x

5,1

5,2

FBC = 11,2 Kips C Por simetría decimos que, FBD = FDF = 36,93 Kips C FBC = FEF = 11,2 Kips C Análisis Nodo C:

ΣFY=0

- 11,2 Kips x 5,2

2 - FCD x

5

4 = 0

FCD x 5

4 = - 8,96 Kips ⇒ FCD = - 8,96 Kips x

4

5

FCD = 11,2 Kips T ΣFX=0

- 40,50Kips + FCE - 11,2 Kips x 5,2

5,1 + 11,2 Kips

5

3 = 0

FCE = 40,50 Kips + 6,72 Kips – 6,72 Kips

FCE = 40,50 Kips T Por simetría decimos que, FCD = FDE = 11,2 Kips T

FAC

C

FCE

FBC FCD

4 3

2 1,5

ESTATICA


EJERCICIO 6.1 (PROPUESTO) Con el método de los nodos, determine la fuerza en cada elemento de la armadura mostrada en la figura. Para cada elemento establezca se este se encuentra en tensión o en compresión. Cuerpo Libre: + ∑ MB = 0 -315 N * 4 m + RC * 5.25 m = 0

A

B

C

315 N

4 m

3 m

1.25 m

RC

Bx

By

A

B C

315 N

4 m

3 m

1.25 m

ESTATICA


RC = (315 N * 4 m) / 5.25 m → RC = 240 N ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 By + RC – 315 N = 0 → By = 315 N – RC By = 315 N – 240 N → By = 75 N Análisis del Nodo C Calculo de CA. CA2 = (3 m)2 + (1.25 m)2

→ CA = 3.25 m

Aplicando la Ley del Seno RC FCA FCB = = 3 m 3.25 m 1.25 m FCA = (RC * 3.25 m) / 3m → FCA = (240 N * 3.25 m) / 3 m FCA = 260 N

RC FCA

FCB

3 CA

1.25 m

RC

C FCB

FCA

ESTATICA


FCB = (RC * 1.25 m) / 3 m → FCB = (240 N * 1.25 m) / 3 m FCB = 100 N Análisis del Nodo B. Calculo de Medida BA. BA2 = (3 m)2 + (4 m)2

→ BA = 5 m

+ ∑ Fx = 0 FBA * 3/5 m + FBy = 0 FBA = (- FBy * 5 m) / 3 m → FBA = (-75 N * 5 m) / 3 m FBA = -125 N FBA = 125 N

RC

B FBx

FBA

FBC

5

4 3

ESTATICA


Con el uso del método de los nodos, determine la fuerza en cada uno de los nodos de los elementos de la armadura mostrada.

Solución: Cuerpo Libre:

+ ΣMc = 0 2.000lb*24 ft + 1.000 lb*12 ft – RE*6 ft = 0 RE= (2.000 lb*24 ft + 1.000*12 ft) / 12 ft → RE = 10.000 lb

A B C

D E

2000 lb

1000 lb

6 ft 6 ft 12 ft

8 ft

12 ft 12 ft

A B C

D E

2000 lb

1000 lb

6 ft 6 ft 12 ft

8 ft

12 ft 12 ft Cy

Cx

RE

ESTATICA


+ ↑ ΣFy = 0 - 2.000 lb – 1.000 lb + 10.000 lb + Cy = 0 Cy = 2.000 lb + 1.000 lb – 10.000 lb Cy = - 7.000 lb → Cy = 7.000 lb ↓ Análisis nodo A Aplicando La Ley del Seno: 2.000 lb FAB FAD _ = = 4 3 5 FAB = ( 2.000 lb * 3 ft) / 4 ft → FAB = 1.500 LB FAD = ( 2.000 lb * 5 ft) / 4 ft → FAD = 2.500 LB Análisis nodo D

2.000 lb

FAB

FAD

4

3

5

A 2.000 lb

FAB

FAD 5 4

3

2.500 lb

FDE

FDB

A 2.500 lb FDB

FDE 3

5 5

ESTATICA


Aplicando La Ley del Seno: 2.500 lb FBD FDE _ = = 5 5 3 FBD = (2.500 lb * 5 ft) / 5 ft → FBD = 2.500 lb FDE = [(2.500 lb * 3 ft) / 5 ft] * 2 → FDE = 3.000 lb Análisis nodo B + ↑ ΣFy = 0 -1.000 lb - (4/5) * 2.500 lb – (4/5) FBE = 0 FBE = 5 [ -1.000 L - (4/5) * 2.500 lb] / 4 → FBE = - 3.750 lb FBE = 3.750 lb ↑ + →→→→ ΣΣΣΣFX = 0 FBC – 1.500 lb – 2.500 Lb * 3/5 – 3.750 * 3/5 = 0

FBC = 1.500 lb + 2.500 Lb * 3/5 + 3.750 * 3/5 →→→→ FBC = 5250 lb

B

1.000 lb

FBD = 2.500 lb FBE

FBC 4

3 4

3

ESTATICA


Análisis nodo E + → ΣFx = 0 3.000 lb + 3.750 lb * 3/5 + FEC * 3/5 = 0 (-3.000 lb - 3.750 lb * 3/5) 5 FEC = → FEC = -8.750 lb 3 ← FEC = 8.750 lb Análisis nodo C ΣFx = - 5.250 lb + 8.750 lb * 3/5 = - 5.250 lb + 5.250 lb = 0 ΣFy = - 7.000 lb + 8.750 lb * 3/5 = - 7.000 lb + 7.000 lb = 0

FBE = 3.750 lb FEC

FED = 3.000 lb

RE = 10.000 lb

E

4 4 3 3

5 5

C

Cy = 7.000 lb

FCE = 8.750 lb

4 3

FCE = 8.750 lb

Cx = 0

Con los valores de FCE y FCB se pueden determinar las reacciones Cx y Cy considerando el equilibrio de este nodo.

ESTATICA


EJERCICIO 6.4 (PROPUESTO) Con el método de los nodos, determine la fuerza en cada elemento de la armadura mostrada en la figura. Para cada elemento establezca se este se encuentra en tensión o en compresión.

CUERPO LIBRE

+ ∑ MB = 0 -2,4 k N * 3,6 m + RC * 1.5 m + 1,8 kN * 2 m = 0 RC = (2,4 k N * 3,6 m - 1,8 kN * 2 m) / 1.5 m → RC = 3,36K N

A

B C

2,4 KN

1.5m

2 m

2,1 m

D

1.8 kN

A

FBx

C

2,4 KN

1.5m

2 m

2,1 m

D

FBy RC

B

1.8 kN

ESTATICA


+↑ ∑ Fy = 0 Fby + RC - 2,4 k N = 0 → Fby = - RC + 2,4 k N Fby = - 3.36 kN + 2.4 kN → Fby = - 0.96 kN Fby = 0.96 kN ↓ + → ∑ Fx = 0 Fbx - 1,8 k N = 0 → Fbx = 1,8 k N Análisis del Nodo D. 2.1 m Calculo de CA. DA2 = (2 m)2 + (2.1 m)2

→ DA = 2.9 m

Aplicando la Ley del Seno 2.4 kN FDA FDC = = 2 m 2.9 m 2.1 m FDA = 2.4 kN * 2.9 m / 2 m → FDA = 3.48 kN FDC = 2.4 kN * 2.1 m / 2 m → FDC = 2.52 kN

2.4 kN FDA

FDC

2 m DA

.

2.4 kN

D

FDA

FDC

ESTATICA


Análisis del Nodo B. +↑ ∑ Fy = 0 Fby - FAB * (2/2.5) m = 0 → FAB = (0.96 kN * 2.5 m )/ 2 m FAB = 1.2 kN + → ∑ Fx = 0 Fbx + FBC + FAB * (1.5/2.5) m = 0 FBC = - Fbx – FAB * (1.5/2.5) m FBC = - 1.8 kN – 1.2 kN * (1.5/2.5) m → FBC = - 2.52 kN FBC = 2.52 kN ←

RC

B FBx

FBA

FBC

2.5

1.5 2

ESTATICA


Análisis del Nodo C. +↑ ∑ Fy = 0 RC + FAC = 0 → FAC = - RC → FAC = - 3.36 kN FAC = 3.36 kN ↓

RC

B

FCA

FCD FCB

ESTATICA


EJERCICIO 6.5 (PROPUESTO) Con el método de los nodos, determine la fuerza en cada elemento de la armadura mostrada en la figura. Para cada elemento establezca se este se encuentra en tensión o en compresión. 1,5 m Cuerpo Libre + ∑ MC = 0 3 k N * 1 m – 6 kN * 2 m + RD * 4 m - 3 kN * 5 m = 0 RD = (6 k N * 2 m + 3 kN * 5 m - 3 kN * 1 m) / 4 m → RD = 6 k N

B C

6 KN

1 m 1 m

A

3 KN

3 KN

D

E

2 m 2 m

B C

6 kN

1 m 1 m

A

3 kN

3 kN

D

E

1.5 m

2 m 2 m

Fcx Fcy RD

ESTATICA


+↑ ∑ Fy = 0 FCy + RD - 3 k N – 6 Kn – 3 kN = 0 → FCy = 3 k N + 6 Kn + 3 kN - 6 k N → FCy = 6 k N + → ∑ Fx = 0 Calculo de medidas. AE2 = (1.5 m)2 + (3 m)2

→ AE = 3.35 m

AE = AB = 3.35 M AD2 = (1.5 m)2 + (2 m)2

→ AD = 2.5 m

AD = AC = 2.5 M Análisis del Nodo E.

3 kN FEA

FED

1.5 m 3.35 m

3 m

E FED

FEA 3 kN

ESTATICA


Aplicando la Ley del Seno 3 kN FEA FED = = 1.5 m 3.35 m 3 m FEA = 3 kN * 3.35 m / 1.5 m → FEA = 6.7 kN FED = 3 kN * 3 m / 1.5 m → FED = 6.0 kN Análisis del Nodo D. +↑ ∑ Fy = 0 RD + FDA * (1.5 / 2.5) m = 0 → FDA = (- RD * 2.5 m) / 1.5 m FDA = (- 6kN * 2.5 m) / 1.5 m → FDA = - 10 k N FDA = 10 k N ↓ + → ∑ Fx = 0 - FDC + FDA * (2 / 2.5) m + FDE = 0 FDC = - 10 kN * (2 / 2.5) m + 6 kN → FDC = - 2 kN FDC = 2 kN ←

FDA

FDC

RD

D

1.5 2

FDE

2.5

ESTATICA


Nota: Como la estructura es simétrica entonces tenemos que: FEA =FBA=6.7 kN FDA = FCA = - 10 k N FEC = FCB = 6 kN

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